Diskussion:Hyperebene

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Definition

Ist es wirklich sinvoll die Definitionen aus der linearen Algebra und Funktionanalysis zusammenzulegen statt sie in separaten Abschnitten zu behandeln?

Zum einen ist eine Trennung vielleicht omafreundlicher für Leute ohne Kenntnisse in der Funtionalanalysis und zum anderen ist die Zusammenlegung zumindest in der aktuellen Form auch in Bezug auf die behauptete Äquivalenz eigentlich falsch, da die einzelnen Bedingungen unterschiedliche implizite Voraussetzungen besitzen. So gilt #2 für beliebige Vektorräume , während #1 zusätzlich den Begriff der Orthoginalität und damit die Existenz eines Skalarprodukts benötigt.

Neben der Aufteilung in 2 Abschnitte fände ich es zudem auch sinnvoll bei der linearen Algebra den einfacheren Fall der endlich-dimensionalen Vektorräume explizit anzuführen auch im Hinblick auf die Definition in der analytischen Geometrie.

Wenn sich jemand der Sache annimmt wäre es dann auch wünschenwert, die einzelnen Definitionsvarianten und Bedingungen eventuell auch mit EN zu versehen, so dass man direkt sieht in welchem Lehrbuch man was findet.--Kmhkmh (Diskussion) 13:17, 1. Mai 2015 (CEST)

In der ersten Definition wird mit $U^{\perp }$ wohl ein beliebiger (nicht notwendigerweise orthogonaler) Komplementärraum von $U$ bezeichnet. Die Probleme fangen aber schon früher an: Warum sollte eine Hyperebene in linearer Algebra und Funktionalanalysis stets als Untervektorraum und nicht als affiner Unterraum definiert sein? Oder anders ausgedrückt: warum ist hier jede Hyperebene eine Ursprungshyperebene? Zwei Beispiele für anders lautende Definitionen aus linearer Algebra und Funktionalanalysis: [1] [2]. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:20, 1. Mai 2015 (CEST)

Wenn ein beliebiges nicht näher spezifiziertes Komplement statt einem orthogonalem gemeint sein soll, dann ist mMn. die Notation "falsch" bzw. zumindest ungünstig gewählt. Jedenfalls ich kenne ich persönlich $\perp$ nur als Bezeichnung für orthogonale Komplemente (heißt auch auch in Latex bezeichnender Weise "\perp"). Für andere Komplemente wird eher ein c oder Ähnliches verwendet.

Was die nun die Ursprungsebenen betrifft, weil das soweit ich weiß in der Literatur eben (auch) so definiert wird. Die anderen (Hyper-)Ebenen werden dann als affine (Hyper-)-Ebenen definiert, was ja auch im Abschnitt zur analytischen Geomatrie im Prinzip so steht (auch wenn vielleicht unnötig kompliziert, da dort ein Bezug zum synthetischen Geometrieaufbau als Grundlage genommen wird). Offenbar gibt es aber in der Literatur anderen Verwendungsweisen, umso mehr ein Grund die gegenwärtige Darstellung zu überarbeiten und EN zu verwenden.--Kmhkmh (Diskussion) 15:07, 1. Mai 2015 (CEST)

P.S.: Der Vorgänder des Vieweg-Mathelexikons (für das Grundstudium) geht es übrigens so an: [3]. Wolfram machtes wie dein LAAG-Buch oben ([4]) und die Encylopedia of Mathematics so ähnlich mit einer anderen Darstellung ([5]). Nebenbei bemerkt ich finde die Beschreibung als Funktional (anstatt der expliziten linearen Gleichung) auch unnötig "intransparent" bzw. der eigentliche mathematische Sachverhalt wird hier hinter einem weiteren Fachterm (Funktional) versteckt.--Kmhkmh (Diskussion) 15:20, 1. Mai 2015 (CEST)

Ja, mit den Komplementärräumen war nur eine Vermutung meinerseits, die Notation fände ich dafür auch zumindest ungünstig. Mit den Ursprungshyperebenen bin ich jedoch noch nicht überzeugt. Dein Mathelexikon lässt leider undefiniert, was ein linearer Teilraum ist. Bei der analogen Definition von Ebene [6] wird jedoch klar, dass darunter nicht nur Untervektorräume gemeint sein können. Ich denke, dass die Definition von Hyperebene als Ursprungshyperebene in der Literatur eher die Ausnahme darstellen wird. Im Artikel würde ich die Definition aus der analytischen (euklidischen) Geometrie

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\}$

mit $a\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},b\in \mathbb {R}$ samt Beispielen und Eigenschaften an den Anfang stellen. Die anderen Definitionen kommen dann fachlich zusammengefasst im weiteren Verlauf des Artikels. Übrigens ist die Beschreibung über ein lineares Funktional die direkte Verallgemeinerung dieser Definition auf unendlichdimensionale Vektorräume. Die Nullfunktion muss man hierbei ausnehmen, das ist noch falsch/ungenau im Artikel. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:31, 2. Mai 2015 (CEST)

Klingt für mich so ok, auf jedenFall als die aktuelle Variante. Am Anfang sollte eine Definition stehen, die das geringste Kontextwissrn voraussetzt, dazu nimmt am besten einen endlichen bzw. n-dimensionen Vekrorraum mit der von dir vorgeschlagenen Definition. Danach bzw. in späteren Abschnitten kann man auf Verallgemeinerungen und Definitionsvarianten in anderen Räumen bzw. Raumstrukturen eingegen (Funktionalanalysis, unendlich dimensionale Vektorräume, Hilberträume , etc.). Auch sollte darauf geachtet werden, dass diverse Fachbegriffe wie Komplement/Komplementärraum, Funktional & Co. entweder selbsterklärend beschrieben werden und/oder zumindest verlinkt sind.--Kmhkmh (Diskussion) 10:01, 2. Mai 2015 (CEST)

Hier liegt ein klarer Fall von Begriffsverwirrung vor: Die Einleitung redet von linearen Hyperbenen (also maximalen echten Untervektorräumen), im Text werden dann aber Hyperbenen (ohne Zusatz linear) definiert, und das sind maximale echte affine Unterräume, die hier in endlichdimensionalen Räumen korrekt beschrieben sind. Der Abschnitt "Lineare Algebra und Funktionalanalysis", der eigentlich nur unendlichdimensionale Räume behandelt, schränkt sich wieder auf lineare Hyperebenen ein. Daneben hat dieser Abschnitt folgende weitere Mängel: Er kommt mit beliebigen Körpern daher, was für die Funktionalanalysis ungewöhnlich ist, und er behandelt nur in den letzten beiden Zeilen ein wirklich funktionalanalytisches Thema (Stetigkeit von Funktionalen). Den Bemerkungen von Quartl und Kmhkmh folgend schlage ich vor

1. Anpassung der Einleitung
2. Aufteilung von "Lineare Alegbra und Funktionalanalysis" in zwei Abschnitte "Lineare Algebra" und "Funktionalanalysis".
3. In "Lineare Algebra" sollten Hyperbenen dann auch als maximale echte affine Unterräume behandelt werden (also nicht nur lineare Hyperbenen).
4. "Funktionalanalysis" sollte nur kurz die Rolle der Funktionale beleuchten aber nicht weiter in die Tiefe gehen, sondern lediglich auf passende Artikel verlinken.

Was haltet Ihr davon?--FerdiBf (Diskussion) 08:21, 14. Mai 2015 (CEST)

Finde ich gut. Um die lineare Algebra kann ich mich gerne kümmern. Ich würde eine Hyperebene in einem beliebigen Vektorraum $V$ als Menge der Form

$H=v+U$

definieren, wobei $v\in V$ ist und $U$ ein Untervektorraum von $V$ mit $\dim(V/U)=1$ ist. Spricht da was dagegen oder sollte man besser eine andere Definitionsvariante voranstellen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:29, 14. Mai 2015 (CEST)

Ich würde in einem ersten Schritt lineare Hyperebenen definieren und zwar als Untervektorräume der Kodimension 1. Was das bedeutet, kann man danach noch erläutern.

Anschließend würde ich definieren, dass eine affine Hyperebene eine Menge der Form $H=v+U$ ist, wobei U eine lineare Hyperebene ist. --Digamma (Diskussion) 10:03, 14. Mai 2015 (CEST)

Wie wäre es andersrum (sonst passt das alles nicht zum Rest): erst Hyperebenen als affine Hyperebenen definieren und dann sagen, dass eine Hyperebene als „lineare Hyperebene“ bezeichnet wird, wenn $v=0$ gewählt werden kann. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:16, 14. Mai 2015 (CEST)

Ich fand es halt naheliegend, dass man, wenn man sich in einem Vektorraum bewegt, erstmal den Begriff definiert, der zur Vektorraumstruktur gehört, und das ist der Untervektorraum der Kodimension 1. Andererseits, weiß ich nicht, wie üblich der Begriff "Hyperebene" für diesen Untervektorraum ist.

Auf jeden Fall würde ich aber das U in deiner Definition nicht direkt über dim(V/U) = 1 definieren, sondern über den Begriff der Kodimension. Und danach dann äquivalente Charakterisierungen dafür angeben:

• dim (V/U) = 1
• Es existiert ein eindimensionaler Komplementärraum.
• Für endliche Dimension: dim U = dim V - 1.

--Digamma (Diskussion) 10:28, 14. Mai 2015 (CEST)

Gleich den Begriff Kodimension zu verwenden geht natürlich in Ordnung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:36, 14. Mai 2015 (CEST)

Ich hatte schon ganz oben gesagt, dass ich eine Auftrennung von linearer Algebra (inklusive analytischer Geometrie/affin) und der Funktionanalysis für sinnvoll halte, ebenso solte zunächst endlich und unendlich unterschieden werden bzw. eigene Definitionen haben. Das erhöht die Zugänglichkeit für Leser mit weniger Kontextwissen und gibt ihnen jeweils eine für ihren Kontext ausreichende bzw. übliche Definition.

Für den endlich dimensionalen Fall in der linearen Algebra kann/sollte man zusätzlich eine zusammenfassende Definition von linear und affin als Hyperebene über $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {K} ^{n}$als Lösungsraum einer Gleichung angeben, wenn das offenbar in vielen Lehrbüchern so üblich ist. Einen eigenen Abschnitt bzw. Aufbau für den euklidischen Raum braucht es allerdings nicht, da man das dass in dem endlich dimensionalen Fall der linearen Algebra abhandeln kann.

Außerdem sollte notationstechnisch zwischen Komplement und orthogonalem Komplement unterscheiden bzw. $\perp$ nicht für das allgemeine Komplement verwenden und noch lineares Funktional verlinken.--Kmhkmh (Diskussion) 10:50, 14. Mai 2015 (CEST)

Ich habe da jetzt einfach etwas gemacht. Da der Inhalt zur linearen Algebra sich nur auf lineare Hyperebenen bezog, sah ich Handlungsbedarf. Was sich noch lohnen würde, wäre eine in obiger Diskussion bereits erwähnte Behandlung von endlichdimensionalen $K^{n}$ und die Beziehung zwischen Hyperebenen und Gleichungssystemen. Das ist ja für den $\mathbb {R} ^{n}$ auch dargestellt. Den Fall $\mathbb {R} ^{n}$ habe ich nicht angefasst, da es hier bei Schulniveau bleiben sollte. Auf den Begriff des Komplements habe ich ganz verzichtet, der ist hier nicht erforderlich und vermeidet die oben genannten begrifflichen Probleme.--FerdiBf (Diskussion) 15:55, 16. Mai 2015 (CEST)

Vielen Dank. Ich habe jetzt in der Einleitung sowie in den Abschnitten zur euklidischen Geometrie und zur linearen Algebra die explizite Definition $v+U$ vorangestellt und die (natürlich nicht weniger wichtige) implizite Charakterisierung als Lösung von $f(x)=b$ erst danach gebracht. Ich denke, das gibt dem Artikel eine etwas einheitlichere Struktur. Ein bischen vorsichtig muss man noch bei der Definition von affinen Unterräumen sein: ich kenne affine Unterräume nur mit der Voraussetzung $U\subsetneq V$, deswegen habe ich den Zusatz "echt" weggelassen; sollte man besser $U=V$ auch zulassen (wie unserer Artikel affiner Unterraum), müsste man das "echt" besser wieder ergänzen.

Ich habe noch etwas Schwierigkeiten, den Fall $K^{n}$ zwischen dem $\mathbb {R} ^{n}$ und allgemeinen Vektorräumen $V$ unterzubringen. Wenn ich im Abschnitt zur euklidischen Geometrie einfach alle $\mathbb {R}$ durch $K$ ersetze, hängen die Normalformen. Wenn ich den Fall $K^{n}$ als neuen Abschnitt einfüge, wird der Artikeltext ziemlich redundant. Wenn ich den Abschnitt Hyperebene#Eigenschaften in die lineare Algebra verschiebe und mit dem Zusatz endlichdimensional versehe, dann kommt der Bezug zu linearen Gleichungen viel zu spät im Artikel. Hat hier jemand eine gute Idee? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:21, 18. Mai 2015 (CEST)

In der Einleitung „In der linearen Algebra werden Hyperebenen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen betrachtet und sind dort gerade die echten affinen Unterräume maximaler Dimension“. Ich glaube, das klappt so nicht. Wenn der Raum unendlichdimensional ist (z. B. der Polynomraum mit abzählbarer Basis $(x^{n})$), dann haben doch zum Beispiel Unterräume mit Kodimension 1 die gleiche Dimension (Mächtigkeit der Basis) wie Unterräume mit Kodimension 2. -- HilberTraum (d, m) 17:53, 21. Mai 2015 (CEST)

Ich hatte das gerade eben behoben, noch bevor ich deinen Beitrag gelesen hatte :-). Gemeint war das was jetzt weiter unten steht: Hyperebenen sind maximale affine Unterräume in dem Sinn, dass jeder echte affine Unterraum in einer Hyperebene enthalten ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:00, 21. Mai 2015 (CEST)

Danke. Ich hatte schon öfters den Eindruck, dass wir unter einer telepathischen Verbindung oder so stehen. Wie oft wollte ich schon an einem Artikel etwas umformulieren oder eine Frage auf einer Diskussionsseite beantworten, dann schau ich nochmal auf meine Beo … und sehe, dass du das schon haargenau so geschrieben hast, wie ich es gerade wollte … grrr Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 18:10, 21. Mai 2015 (CEST)

Tja, Mathematik ist halt relativ absolut, da gibt's nicht viel Spielraum, was Formulierungen betrifft ;-). Dass wir ähnlich ticken wird woi an da guadn Schui da drunt liegn. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:02, 21. Mai 2015 (CEST)

Ich habe jetzt das verbleibende Problem mit dem $K^{n}$ über ein Beispiel gelöst. Was mir jetzt noch nicht so gut gefällt ist, dass die Abschnitte zur affinen und projektiven Geometrie sehr auf die synthetische Geometrie ausgerichtet sind. Ich würde an dieser Stelle eher was zu den Themen Fernhyperebene, projektiver Abschluss, Darstellung in projektiven Koordinaten usw. erwarten. Hat jemand eine Idee, wie man das am besten aufzieht:

• Erst projektiv, dann affin oder besser umgekehrt?
• Erst synthetisch, dann analytisch oder besser umgekehrt?

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:46, 27. Mai 2015 (CEST)

Ich habe nun noch einen separaten Abschnitt zur nicht-synthetischen projektiven Geometrie ergänzt, da (projektive) Hyperebenen dort schon eine besondere Rolle spielen. Ich bin aber kein Experte in projektiver Geometrie, deswegen sollte jemand meinen Text besser noch einmal gegenlesen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:00, 15. Jun. 2015 (CEST)

Name der Hyperebene im vierdimensionalen Raum?

Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum muss ja ein unendliches Volumen haben (Eine Ebene im dreidimensionalen Raum hat ja auch einen unendlichen Flächeninhalt). Aber wie heißt diese Hyperebene? Weiß es jemand, denn ich würde es wirklich gerne im Artikel stehen haben --87.166.158.214 21:23, 1. Mai 2015 (CEST)

Welches Volumen eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum hat, hängt davon ab, wie Volumen definiert wird. Bezüglich des normalerweise verwendeten Lebesgue-Maßes ist eine Hyperebene eine Nullmenge, hat also Volumen null und nicht unendlich. Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum heißt Hyperebene, ich wüsste keinen anderen Namen dafür. Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:37, 2. Mai 2015 (CEST)

Schlicht: "Raum". Eine Hyperebene im R4 ist ein n-1 = 3-dimensionaler (affiner) Unterraum. Ich weiß allerdings nicht, ob "Raum" in diesem Zusammenhang verwendet wird. In den Artikel würde ich den Begriff daher nicht aufnehmen. Ich wüsste übrigens nicht, warum das Volumen null sein sollte. --Felix Tritschler (Diskussion) 17:31, 19. Apr. 2022 (CEST)

"Im n-dimensionalen Koordinatenraum ist eine Hyperebene die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit n Unbekannten."

Dieser Satz, momentan im Artikel, gilt ja nur für den Spezialfall, dass alle n Gleichungen dieselbe Hyperebene beschreiben, also alle n Hyperebenen aufeinander liegen. Bei n nicht parallelen Hyperebenen, also dem "üblichsten" Fall, ist die Lösungsmenge ein Punkt oder leer. --Felix Tritschler (Diskussion) 17:40, 19. Apr. 2022 (CEST)

Da steht "eine ... Gleichung" nicht "n Gleichungen". Es handelt sich also um eine lineare Gleichung mit n Unbekannten. --Digamma (Diskussion) 20:54, 19. Apr. 2022 (CEST)

Oh, richtig, habe mich verlesen. Danke für die Korrektur. --Felix Tritschler (Diskussion) 10:58, 21. Apr. 2022 (CEST)