Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)

Widerspruch zwischen Definition und Eigenschaften?

Im Abschnitt „Definition“ steht:

Ist ${\mathcal {C}}$ ein Ring, so ist eine äquivalente Definition: $\mu$ ist ein Inhalt, genau dann wenn folgende drei Kriterien zutreffen:

…

• $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ für alle $A,B\in {\mathcal {C}}$.

Unter „Eigenschaften im Ring“ steht:

• $A,B\in {\mathcal {R}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$
• Subadditivität …

Fehlt in der Definition hier vielleicht die Voraussetzung „disjunkt“?
Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   19:50, 14. Dez. 2014 (CET)

Danke für den Hinweis, ich hab’s korrigiert. Grüße -- HilberTraum (d, m) 09:02, 15. Dez. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 21:52, 21. Mär. 2024 (CET)

Definitionen unvollständig

In den Definitionen eines Inhaltes und eines Wahrscheinlichkeitsinhalts fehlen Minimalanforderungen an das Mengensystem ${\mathcal {C}}$.

Erstes Beispiel: $\Omega :=\{1,2\}$, ${\mathcal {C}}:=\{\emptyset ,\{1\},\Omega \}$. Die Mengenfunktion $\mu \colon {\mathcal {C}}\to [0,\infty )$,

$\mu (\emptyset )=0,\quad \mu (\{1\})=2,\quad \mu (\Omega )=1$

ist gemäß der angegebenen Definitionen ein Inhalt, sogar ein Wahrscheinlichkeitsinhalt, hat aber nichts mit beiden Konzepten zu tun.

Zweites Beispiel: $\Omega :=\{1,2,3\}$, ${\mathcal {C}}:=\{\emptyset ,\{1\},\{1,2\},\Omega \}$. Die Mengenfunktion ${\mathcal {C}}\colon \Omega \to [0,1]$,

$\mu (\emptyset )=0,\quad \mu (\{1,2\})=1/3,\quad \mu (\{1\})=2/3,\quad \mu (\Omega )=1$

ist gemäß der angegebenen Definitionen ein Wahrscheinlichkeitsinhalt, hat aber nichts mit diesem Konzept zu tun. --Sigma^2 (Diskussion) 21:51, 21. Mär. 2024 (CET)

Beispiele

Im Abschnitt Beispiele findet sich folgender Satz: „Durch ihn [den Stieltjes'schen Inhalt] lassen sich alle endlichen Inhalte auf den reellen Zahlen beschreiben.“ Dieser Satz ist vermutlich falsch. Die Charakterisierung aller endlichen Inhalte ist ein viel schwierigeres Problem.--Sigma^2 (Diskussion) 11:57, 3. Aug. 2024 (CEST)