Diskussion:Integralrechnung/Archiv/001

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unbestimmte Integrale

Ist es nicht sinnvoller, die partielle Integration für unbestimmte Integrale anzugeben? -- Caramdir 17:58, 12. Jun 2003 (CEST)

warum? aber vielleicht hast sich das ja mittlerweile (nach ueber 4 jahren) auch erledigt? -- seth 11:05, 28. Okt. 2007 (CET)

2004

Auf Bitte von Benutzer:DaTroll will ich mal zu begründen versuchen, warum ich den Artikel unverständlich finde. Grundsätzlich gilt ja der "Oma-Test", ein Wikipedia-Artikel sollte also für die berüchtige "Oma" oder "Tante Gerti" verständlich sein. Bei mathematischen Artikeln würde ich diese Anforderung mal grundsätzlich absenken auf den einführenden Abschnitt, jeder Durchschnittsbürger ohne mathematischen Ehrgeiz schaltet beim Anblick von mathematischen Formeln ohnehin ab; alle formelbezogenen Abschnitte des Artikels stufe ich also als "Expertenwissen" ein, das demnächst also solches gekennzeichnet werden kann und das aus der Bewertung als "unverständlich" ausgenommen ist.

Trotzdem fällt Integralrechnung beim Oma-Test garantiert durch, ebenso wie der Artikel Differentialrechnung . Das einzige, was bei mir nach dem Lesen der Einführung hängenbleibt ist, dass man mit der Integralrechnung die Fläche unter einem Funktionsgraphen berechnen kann; schon der zweite Satz führt den BegriffIntegrationsbereich ein, der nicht erklärt wird und auch nicht verlinkt ist; ab da wird der Artikel also für mich unverständlich (Bildungshorizont: Abitur an einem humanistischen Gymnasium, Studium, Berufstätigkeit im IT-Bereich).

Was ich von dem Einführungsabschnitt -- oder irgendeinem anderen Abschnitt des Artikels -- erwarte ist, dass mir erklärt wird, wuzu in Gottes Namen man Flächen unter Funktionsgraphen berechnen wollen könnte. Ganz am Schluss des Artikel sind dann noch "Anwendungen der Integralrechnung" skizziert, darunter die "Berechnung von Rauminhalten", dafür brauche ich aber kein Integral sondern nur die Multiplikation von Breite, Höhe und Tiefe. Da das so nicht stimmt, sollte im Artikel stehen, warum man Integrale für die Berechnung welcher Rauminhalte unter welchen Bedingungen benötigt. Kurz: Ich will wissen, welche Probleme die Integralrechnung für Otto Normalverbraucher löst, wer diese Lösung wann entwickelt hat und welche praktische Bedeutung die Integralrechnung heute für mich hat, sei es möglicherweise bei der Konstruktion von Flugzeugen oder bei der Erstellung von Wahlprognosen (oder was auch immer). --asb 17:24, 31. Aug 2004 (CEST)

Ich bin Gymnasialschueler und komme gut mit dem Arkitel klar. Natuerlich ist er nicht fuer Tante Gerda verstaendlich, die Dinge, von denen hier gesprochen wird, werden in der Jahrgangsstufe 12 behandelt. Dieser Artikel ist zwar nur fuer Leute, die die Grundlagen der Analysis kennen, verstaendlich, aber ich sehe keinen Weg, dies zu aendern, es sei denn, man will diesen Artikel gaaaanz am Anfang beginnen lassen (Was ist eigentlich eine Funktion?). Mir hat der Artikel geholfen, mein Wissen darueber auf Vordermann zu bringen Mehlkiffer ; )

Hmm, ich persönlich finde den Artikel recht gut verständlich, was daran liegen mag, dass ich Ingenieurstudent bin ;-) Wenn ich ganz ehrlich bin muss ich sagen, dass mir nichts gescheites dazu einfällt, welche Probleme die Integralrechnung für einen 'Otto Normalverbraucher' löst. Sobald ich zeit finde werd ich mich da mal dran versuchen. Nerezza

Als Historiker, der nebst seiner humanistischen auch eine naturwissenschaftliche Ausbildung genossen hat, bemerkte ich, dass soetwas wie "Verständlichkeit" sehr brauchbar und ohne Qualitätsabschnitte über die Einführung der "historischen Dimension" eines naturwissenschaftlichen Themas zu erreichen ist. Immerhin ist auch die Mathematik ja nicht vom Himmel gefallen. Gerade Integralrechnung und Differentialrechnung bieten da sehr nette Ansätze, und man könnte etwas auf Leibniz und Newton, die Funktion (übrigens ein von Leibniz "erfundener" Begriff) der Mathematik in der barocken Metaphysik, die Verbindung von Geometrie und Arithmetik etc. eingehen. Wenn die LeserInnen nicht nur den Snapshot der momentanen Mathematik bekommen, sondern auch die Geschichte der Konstruktion von Lösungen in einem distinkten Aussagensystem, könnten sie auch leichter folgen und hätten einen Ansatz, in die Thematik einzusteigen, ohne ein NaWi Studium dafür zu brauchen. Lapis 7. 9. 2004 - 11:40

Ich finde das ist eine gute idee, packen wirs an. Ich würde vorschlagen, wir machen auf der Disskussionsseite einen entwurf ... 08.09.2004 Nerezza

Im Artikel Differentialrechnung haben wir entschieden, dass der historische Teil, der sowohl fuer Integralrechnung als auch Differentialrechnung interessant ist, in Infinitesimalrechnung eingearbeitet werden sollte. Bitte beachtet das beim Ueberarbeiten. Viele Gruesse --DaTroll 12:57, 8. Sep 2004 (CEST)

Vielen Dank für den Hinsweis Nerezza

2006

Völlig unverständlich für einen Nichtmathematiker! Der Artikel gehört vielleicht in ein Lehrbuch ( das kann ich nicht beurteilen) - aber nicht in eine Enzyklopädie ( das kann ich beurteilen!).--Allander 19:33, 27. Jan 2006 (CET)

Leider hilft uns das nicht weiter: was ist unverständlich? --DaTroll 19:48, 27. Jan 2006 (CET)

Ganz einfach- ich versteh´aus diesem Artikel keinesfalls was die Integralrechnung überhaupt ist!- Und ich hab nicht den Eindruck das da ein Wille ist. Von Omatest kann nicht mal ansatzweise die Rede sein. --- Hab jetzt gesucht und gefunden-

ein Büchlein aus 1987 : Erich Schneider "Von der Null zur Unendlichkeit- Mathematische Plaudereien für Nichtmathematiker" Verl. Hesse und Becker,

und aus 1948 Egmont Colerus " Vom Einmaleins zum Integral" Verl. Zsolnay

als Beispiele für das Ringen um Verständlichkeit in der Mathematik. Das sollte doch 2006- nach Erklärern von Dithfurth bis Harald Lesch - auch hier möglich sein. Oder? Dz hab´ich den Eindruck die Autoren wollen garnicht verständlich sein. Eine gefährliche Warnung: wenn ihr euch lang spielt schreib ICHs´neu! ;-))--Allander 20:36, 27. Jan 2006 (CET)

Tja, wenn Du nach den ersten beiden Abschnitten nicht verstanden hast, was Integralrechnung eigentlich ist, dann weiß ich auch nicht. Ansonsten schreiben wir hier kein Lehrbuch, wenn ich das anmerken darf. --DaTroll 20:38, 27. Jan 2006 (CET)

Genau das!!!!-Für einen math. Laien IST der Artikel ein Lehrbuch der Oberstufe! Keine enzyklopädische Eintragung a´la (höre Mehlkiffer weiter oben): Eine math. "FUNKTION" heißt, daß eine Größe gesetzmäßig von einer anderen abhängt- so wie die Ausdehnung des Quecksilbers im Thermometer von der Temperatur abhängt- und ähnliches. Wir stellen das so dar....... Das versteht auch Oma. Kann man so nicht das Integral ERKLÄREN?--Allander 20:55, 27. Jan 2006 (CET) p.s.: Bist du wirklich mit solchen Sätzen zufrieden: ... anschaulich gesprochen mit der Berechnung von Flächen unter einem Funktionsgraphen, die Integration ist gleichzeitig die Operation, die eine Differentiation umkehrt.( Bahnhof zum Quadrat).

Ich habe mit dem einführenden Abschnitt noch ein anderes Problem. Der Abschnitt geht bloß auf Integrale ein, die über Funktionen gebildet werden, welche in einen "Zahlwert"-igen Raum abbildeten. Es gibt aber deutlich mehr Funktionen. Eine Funktion f(x,y) die man über einem Intavall [x_0,x_1] integriet wird zu einer Funktion g(y). Folglich stimmt die Aussage, "Ein Integral ordnet einer Funktion einen Zahlwert zu." nicht. Allerdings weiß ich auch nicht, wie man es besser machen sollte und gleichzeitig die Verständlichkeit wahrend.

Das ist ein Spezialfall, den man in der Einleitung nicht erwähnen muss. Wenn das Integral einer "gewöhnlichen" Funktion eine Zahl zuordnet, dann ordnet es natürlich auch einer Familie von Funktionen eine Familie von Zahlen, also wieder eine Funktion zu.--Gunther 12:32, 31. Jan 2006 (CET)

2007

Leider anonym, aber denoch:

Ich bin 42 Jahre, habe 2 juristische Staatsexamen abgelegt, bezeichne mich kühn als überdurchschnittlich gebildet weit über den Horizont meines eigenen Faches hinaus, weiss eine verhältnismässig große Privat-Bibliothek mein Eigen - und für mich ist dieser Artikel schon von den allerersten Sätzen her geradezu die Vollkommenheit der Unverständlichkeit. Es muß ein Mathematiker gewesen sein in der berühmten Mausefalle, der sich nicht mehr vorstellen kann, daß mit seinen Fachtermini niemand ausserhalb seiner Profession irgendjemand irgendeine Vorstellung verbinden könnte. Der Autor ist voll guten Willens, und ebenso vollkommen unfähig, einem Nicht-Mathematiker zu erklären, was Integralrechnung ist, und wofür sie gut ist.

Ich habe den Artikel nachgeschlagen, weil ich vor über 20 Jahren auf der "Penne" bei eben dieser Integralrechnung sozusagen "ausgestiegen" bin aus der Mathematik, die mir zuvor sehr viel Freude gemacht hatte, und die naive Hoffnung hatte, hier mal eine gewisse Aufklärung zu bekommen - Fehlanzeige !

Der Artikel entspricht genau dem, was man immer der Hilfe-Funktion von Windows nachsagt: Absolut korrekt, umfassend, widerspruchsfrei - und vollkommen nutzlos.

Peter Kronenberger (falsch signierter Beitrag von 87.171.103.244 (Diskussion) 2007-10-28T01:31:02)

sei mal etwas konkreter. welche begriffe stoeren dich/sind dir schlecht verstaendlich? welche saetze verstehst du nicht? ist zum beispiel die flaechenbilanzformulierung zu kurz gehalten? sollte das schon zu beginn ausgefuehrt werden (weiter unten wird es ja ausfuehrlich behandelt)?

ich denke, dass man bei diesem artikel voraussetzen darf, dass der leser grob weiss, was eine funktion bzw. eine abbildung ist, andernfalls sollte er es vorher nachlesen. mit diesem wissen - hatte ich bisher vermutet - sollten aber die einfuehrenden saetze auch verstaendlich sein. offenbar ein irrtum, aber dann sind wir umso mehr auf praezisere kritik von laien angewiesen. -- seth 10:47, 28. Okt. 2007 (CET)

Hallo zusammen, ich muß mich meinem anonymen Vorreder leider anschließen: Eine grobe Vorstellung was Integralrechnung ist, konnte ich dem Artikel leider nicht entnehmen! Was hat ein Integral im Prinzip für eine praktische Bedeutung? Wofür rechnet man die Fläche unter einer Funktion aus?? Genau DAS muss hier stehen. Und wenn es nur ein Satz ist! Ansonsten empfindet man die Integralrechnung schnell als mathematische Spielerei. Ich selber habe vor 20 Jahren Abitur gemacht (Mathematik) und konnte damals alle mir gestellten Aufgaben bestens lösen, aber den Sinn habe ich, ehrlich gesagt, nie ganz verstanden. Alexander Fiebrandt 11:04, 27. Dez. 2007 (CET)

hmm, habe soeben noch mal den artikel ueberflogen und muss euch recht geben. die abschnitte "motivation" und "anwendung" verdienen ihre ueberschriften eigentlich nicht. als anwendungen koennte man z.b. in der stochastik die verteilungsfunktion (definiert als integral ueber die dichte) nennen oder noch etwas anschaulicher physikalische umrechnungen, wie beschleunigung -> geschwindigkeit -> weg; naja und natuerlich traditionelle flaechen-/volumenberechnungen von komplizierteren gebilden als dreiecken oder wuerfeln, z.b. flugzeugtragflaeche oder sowas. vielleicht waere eine solches einleitendes beispiel sinnvoll? -- seth 11:49, 27. Dez. 2007 (CET)

Ich weiß nicht so ganz, wie ich die Gliederung durch Jahreszahlen fortführen soll, bzw. ob ich das überhaupt tun soll, schließlich möchte ich mir hier auf das beziehen was bei 2007 steht. Ich studiere Mathematik im 3. Semster und habe mich in der Analysis auch schon genug mit Integralrechnung beschäftigt. Gerade für Laien ist dieser Artikel jedoch vollkommen unverständlich. Was meiner Meinung nach fehlt ist ein Absatz mit einfach Beispielen für einfach Anwendungen (Berechnung von Riemann-Integralen über kompakten Intervallen von reellen Zahlen), bzw. Beispiele im Abschnitt Motivation. Wie man ein Integral berechnet (zumindest in einfach Fällen) steht nämlich erst in Abschnitt 7.2. Und ich glaube nicht, dass irgendjemand wirklich bis dahin liest. --85.181.94.150 01:10, 29. Jan. 2008 (CET)

2009

Die vier physikalischen Beispiele sind sämtlich Zeitintegrale. Das ist langweilig. Als Integral über eine Länge (Fläche, Volumen) könnte man das Trägheitsmoment anführen, als Integral über den Raumwinkel den Lichtstrom, als Integral über z.B. die Wellenlänge die Gewichtung mit einer (spektralen) Wirksamkeit, siehe UV-Index. – Rainald62 18:19, 19. Apr. 2009 (CEST)

Entwurf für verständlichen Artikel

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie beschäftigt sich anschaulich gesprochen mit der Berechnung von Flächen unter einem Funktionsgraphen, die Integration ist gleichzeitig die Operation, die eine Differentiation umkehrt.

wollen wir diesen anfang lassen?

Schon Archimedes (287 v. Chr. - 212 v. Chr.) stellte vor über 2000 Jahren Formeln zur Berechnung von Flächen und Rauminhalten auf. Leibnitz und Newton entwickelten rund 1900 Jahre später unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung, deren Bestandteile die Differential und die Integralrechnung sind.

Ich habe den Link zu „Leibnitz“ entfernt, weil er natürlich Unsinn ist (der Herr heißt Leibniz) und am Linkziel nur Verwirrung stiftet. Eine Unterschrift wäre im Übrigen auch nicht schlecht. --Alib 15:10, 19. Apr 2005 (CEST)

Der Link zu Gottfried Wilhelm Leibniz ist aber sehr wichtig. Er muss halt nur an die entsprechende Stelle führen. Genauso ist der Link zu Isaac Newton wichtig. Vielleicht wäre es allgemein angebracht die Personen gleich beim gesamten Namen zu nennen. Dann steht der Leser nach dem Link auch nicht vor einer riesigen Auswahlseite, wo er sich dann den richtigen Newton raussuchen darf.

Blumige Begriffsbildung

Wie ich es verstehe, hielt Benutzer DaTroll die von mir verwendeten Bezeichnungen für die drei partiellen Integrationsverfahren (Phönix aus der Asche, Abräumen, Faktor Eins) für unpassend und hat sie entfernt. Der Grund, weshalb ich sie eingebaut hatte, war, daß man diese kleinen Rechentricks an bayerischen Gymnasien im Leistungskurs Mathematik unter diesen Namen beigebracht bekommt. Ob sie in Lehrbüchern überhaupt zu finden sind, ist fraglich, bisher konnte ich sie nur an wenigen Stellen im Internet wiederfinden.

Im Sinne des Wiedererkennungswerts plädiere ich dafür, sie wieder in den Artikel aufzunehmen, möchte aber gerne eine Stellungnahme anderer Wikipedianer abwarten. --Laborfaktotum 16:05, 26. Okt 2004 (CEST)

Wir sind halt nur fuer die Darstellung bekannten Wissens dar, nicht fuer die Schaffung neuer Begriffe. So, wie es vorher im Artikel stand, wurde suggeriert "Phoenix aus der Asche" etc. seien Fachbegriffe. Das sind sie aber nicht, weswegen man sie auch nicht in Lehrbuechern findet. Viele Gruesse --DaTroll 17:04, 26. Okt 2004 (CEST)

Die Namen sind ja keine Erfindung meinerseits, sie existieren, soweit ich weiß, als Trivialnamen im mathematischen Sprachgebrauch, ähnlich wie Spitznamen für Laborgeräte, die in keinem Lehrbuch Erwähnung finden, obwohl sie von jedem Chemiker gebraucht werden. Von der Schaffung neuer Begriffe bin ich dabei also nicht ausgegangen. Mein Bestreben war eher, die mit diesen Namen verbundenen Verfahren zu bewahren und zugänglich zu machen, und ich will mich ungern um Formalitäten streiten. Sofern keine weiteren Meinungen laut werden, bin ich bereit, die Meinung eines Mathematikers zu respektieren und werde ich mich mit der jetzigen Version anfreunden. Beste Grüße --Laborfaktotum 00:39, 27. Okt 2004 (CEST)

Animation

Wieso spinnt denn meine Animation in der Vorschau so rum? Eigentlich sollte dieses Bild verwendet werden: Datei:Ab- und Aufleiten THUMB.png Gary Luck 16:52, 17. Dez 2004 (CET)

Ich habe keine Ahnung. Allerdings finde ich das Bild nicht besonders toll: Der Begriff Aufleitung ist kein Fachbegriff und sollte nicht verwendet werden. Auch ansonsten glaube ich, daß das ganz unanimiert besser ist, die Animation macht mich nur wuschig im Kopf. Viele Gruesse --DaTroll 14:06, 18. Dez 2004 (CET)

Ok dann lassen wirs drausen, dann haben wir uns auch das Problem mit der fehlerhaften Darstellung in der Vorschau gesparrt. Gary Luck 18:24, 18. Dez 2004 (CET)

Entferne erstmal die vollkommen falschen, und mathematisch total inkorekten Begriff "auf..." (ich wage es gar nicht, es auszusprechen) aus der Grafik. Diese Begriff wird teilweise sogar in der Literatur verwendet, was nicht gerade von mathemtischer Kenntnis zeugt. Einfach nur grausig.

Das Wort Ableiten hat nichts damit zu tun, dass ich eine Funktion in irgendeiner Form "ab"-"leite". --Iammrvip 11:40, 7. Feb 2005 (CET)

Integral für Regelfunktionen

Eine leicht verständliche Integraldefinition, die für (fast) alle praktischen Zwecke völlig ausreicht, ist das Integral für so genannte Regelfunktionen, d.h. Funktionen, die gleichmäßiger Limes von Treppenfunktionen sind (das umfasst alle stetigen Funktionen). Für Treppenfunktionen ist das Integral auf die offensichtliche Weise definiert, und ansonsten ist es der Limes der Integrale der jeweiligen Treppenfunktionen. (Wem das nicht genügt, kann jetzt noch nach der L¹-Norm vervollständigen.) Finde ich persönlich viel einfacher als das Riemann-Integral.--Gunther 00:32, 2. Mär 2005 (CET)

Wünsche

Darf man Wünsche an den Artikel bzw. die Autoren äußern? Tja also ich hätte dann gerne mal eine Integrationskonstante und ein Totales Differential wenn es keine Umstände macht. --Saperaud (Disk.) 20:23, 20. Mär 2005 (CET)

Ich würde den Artikel auf mehrere Teile aufspalten, der ist einfach zu konfus und versucht zuviel auf einmal! Richtiger wäre es, NUR das Riemann-Integral zu behandeln und alles andere auszulagern ("symbolische Integration" "Stammfunktion" usw.) Mathematisch gesehen ist das einzig interessante die Definition des Integrals über Treppenfunktionen (oder als sup und inf aus den Approximationen), es sollte auch klarerer rausgearbeitet werden dass durch diese Definition der Begriff "Flächeninhalt" erst definiert wird...--84.146.221.50

Du kannst Flächeninhalte über Integrale definieren, oder Integrale über Flächeninhalte. Da sollte der Artikel keine Wahl treffen. Das Riemann-Integral finde ich eher umständlich, und warum sollte man Riemann breittreten, wenn Lebesgue viel wichtiger ist? Wer sich für die Details der Konstruktionen nicht interessiert, kann den Abschnitt ja überspringen. Der Artikel heißt "Integralrechnung" und nicht "Integral", deshalb sollte der Hauptsatz schon drinbleiben, die Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen wurden ja schon ganz erheblich zusammengestrichen.--Gunther 12:50, 1. Sep 2005 (CEST)

Die additive Konstante C und die übliche mißverständliche Schreibweise

Also hier ist die Konstante und eine Aussage zur Schreibweise. Bei Belieben verbessern. Ansonsten ist dieser Artikel ein hoffnungsloses Chaos, allein die vielen Bezeichnungsweisen, mal so mal so, und nun meine noch dazu. Übrigens erhält man ja nicht alle Stammfunktionen durch Änderung der unteren Grenze. Siehe auch obige Beispiel hier in der Diskussion. Das mit Sinus. --Roomsixhu 18:31, 14. Mai 2005 (CEST)

Ich denke, man sollte aus den C's und unbestimmten Integralen keine Wissenschaft machen. Das ist eine unpräzise, aber effiziente Schreibweise. Und wie überall in der Mathematik sollte man stets wissen, wie man die entsprechende Aussage präzise formulieren könnte.--Gunther 18:58, 14. Mai 2005 (CEST)

Schade, dann ist es wieder weg! Aber wo kommt denn dann in der tollen Erklärung unbestimmtes Integral die Funktion F auf einmal her? Das unbestimmte Integral ist nun mal eine Funktion der oberen Grenze $\int f(x)dx$ ist nun einmal verwirrend und erklärt wird es im Artikel nicht.--Roomsixhu 19:11, 14. Mai 2005 (CEST)

Naja, nun steht es wenigstens wieder da. --Roomsixhu 19:16, 14. Mai 2005 (CEST)

Was bitte ist F(x)???? Gibt es eine ganz bestimmte Stammfunktion? Und nicht F(x) + 0? Oder gibt es nur unendlich viele unbestimmte Integrale, welches davon ist die Stammfunktion? Was für eine schwachsinnnige Idealisierung liegt hier eigentlich wieder mal vor? Wie algebraisiere ich sie?--Roomsixhu 19:44, 14. Mai 2005 (CEST)

Es ist eine unpräzise Schreibweise:

$\int x\,\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}$

ist nicht mehr oder weniger richtig als

$\int x\,\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+1.$

Die Gleichung sagt eigentlich nur aus: "die rechte Seite ist eine Stammfunktion von $x$".--Gunther 19:55, 14. Mai 2005 (CEST)

$F(x)$ ist eine beliebige Stammfunktion zu der man einfach $C$ addiert, da über die Differenzierung jede addierte Konstante auf Null geht. In etwa "Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann ist auch $F+C$ mit $c\in \mathbb {R}$ eine Stammfunktion von $f$ (d.h. es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die alle "denselben" Graphen haben, aber auf der y-Achse nach oben oder unten verschoben um $C$ sind. Tom1200 20:06, 14. Mai 2005 (CEST)

Es geht um die Frage, ob der Abschnitt "Unbestimmtes Integral" das verständlich wiedergibt.--Gunther 20:08, 14. Mai 2005 (CEST)

"Eine Stammfunktion" verwirrt mich. Gibt es noch eine andere Stammfunktion zu f(x)?? Nein es gibt nur eine einzige!

Man spricht ja auch so: F und F+c sind beide gleichzeitig eine Stammfunktion von f die sich durch eine additive Konstante unterscheiden. Vielleicht sollte man nie sagen: Die Stammfunktion.

Aber es gibt ein unbestimtes Integral oder doch ein anderes. Und alle unterscheiden sich durch eine Konstante, oder auch nicht (f(x)=0).

Aber das erkenne ich innerhalb der Integralrechnung. Außerhalb davon, nämlich in der Differentialrechnung erkenne ich, daß die Umkehrung der Integration die Differentiation ist und F'(x)=f(x). Aber nicht mal die Differentiale sind identisch, während die Differentiation für ein bestimmtes $x_{0}$ definiert ist, ist das Integral eine über einem Intervall zu erklärende Funktion.Differential_(Mathematik). Und dx(Differentiation) und dx(Integration) sind auch sauber getrennt, wenn man dt nimmt. Das heißt zuerst integrieren bis x, dann integrieren bis zu anderem x und feststellen, daß F(x) den Zuwachs des Flächeninhaltes beschreibt, weniger den Fächeninhalt selbst, für den t zuständig ist.

Ich wußte, daß ich mich darüber streiten muß. Deshalb habe ich auch ein bischen recherchiert, bevor ich das reingegeben habe, was Gunther ja sofort wieder löschte. Wenn man mal wieder ganz anders als heute üblich anfängt, nämlich nicht erst differenziert, sondern Differentiation und Integration erstmal nebeneinander betrachtet, wie auch historisch geschehen, dann integriert man zuerst bestimmt, wie Archimedes, dann unbestimmt und hat eine Funktion A(x), die eine Funktion der oberen Grenze eines Integrals ist, und das Integral selber wird mit einer Integrationsvariable zb. t ausgeführt. Dann stellt man fest, daß zwei verschiedene unbestimmte Integrale (A(x) und B(x)) sich nur durch eine Konstante unterscheiden (und sei sie 0)nach den Regeln der Integralrechnung. Bis hier habe ich noch kein einziges mal differenziert (stimmt das z hier?), geschweige denn eine Erklärung aus der Differentialrechnung benötigt. Jetzt sage ich es gibt eine Funktion, die alle unbestimmten Integrale bis auf eine Konstante c angibt. Und F(x) + 0 ist dann ein unbestimmtes Integral und F(x) "die" Stammfunktion. Und was soll denn das überhaupt, die Begründung die Konstante falle bei der Differentiation weg. Ich weiß ja bei meinem Herkommen aus der Integralrechnung gar nicht, was das ist, eine Differentiation. Jetzt, wo ich mit der Konstante aus der Integralrechnug heraus gekommen bin, sehe ich mir den Teil F(x) von F(x)+c an und erkenne, nachdem ich noch Differentialrechnung gelernt habe, F'(x)=f(x).

Trotzdem ist es für das Verständnis der Zusammenhänge unbedingt erforderlich, sich drüber klar zu sein, daß zunächst Integration und Umkehrung der Differentiation zwei vollständig voneinander verschiedene Dinge sind und daß erst die Erkenntnis ihrer Zusammenhänge uns das Recht gibt, für die primitive Funktion (Stammfunktion) auch das Wort "unbestimmtes Integral" zu verwenden.

Und wer kann mir wirklich erklären wie ich im Absatz von f(t)(A(x),unbestimmtes Integral, Integralrechnung) zu f(x)(F(x), Stammfunktion, Umkehrung der Integration ist Differentiation) von der Variablen t zur Variablen x komme.(Herr Courant !, Vorlesungen über Differential und Integralrechnung 1,S.118, Anhang zum zweiten Kapitel, §1., Springer, 1971).

Ich hänge das Gelöschte zur Klärung meiner Irrtümer hier nochmal an. War so kurz drin, hat ja außer Gunther keiner gelesen, und er liest schnell, weil er es ja schon verstanden hat. Wenn es Dich sehr ärgert kannst Du es ja wieder löschen, Gunther.--Roomsixhu 03:05, 16. Mai 2005 (CEST)

Die additive Konstante C

• Ein unbestimmtes Integral von f(x)

$\int \limits _{a}^{x}f(u)du=\Phi (x)$

• Ein anderes unbestimmtes Integral von f(x)

$\int \limits _{\alpha }^{x}f(u)du=\Psi (x)$

• Der Unterschied beider

$\Psi (x)-\Phi (x)$

• ist ein bestimmtes

Integral, da $\alpha$ und a konstant sind, und somit eine

Konstante

$\int \limits _{\alpha }^{a}f(u)du$

$\Psi (x)=\Phi (x)+\mathrm {const.} ;$

• Satz über "Stammfunktionen":

Es ist

$F_{1}(x)-F_{2}(x)=c,$

d.h. die Differenz zweier verschiedener primitiver Funktionen (Stammfunktionen) $F_{1}(x)$ und $F_{2}(x)$ zu $f(x)$ ist stets eine Konstante. Wir erhalten also zu einer beliebigen primitiven Funktion (Stammfunktion) $F(x)$ alle anderen in der Gestalt

$F(x)+c,$

bei geeigneter Wahl der Konstanten c. Umgekehrt stellt der Ausdruck $F_{1}(x)=F(x)+c,$

für jeden Wert der Konstanten c eine primitive Funktion (Stammfunktion) zu $f(x)$ dar.

Übliche mißverständliche Schreibweise

Man schreibt

üblicherweise symbolisch:

$F(x)=c+\int \limits _{a}^{x}f(u)du=\int f(x)dx$

und läßt dabei die obere Grenze x fort, ebenso die untere Grenze a (= const.) und die additive Konstante c und schreibt für die Integrationsvariable den Buchstaben x, den man vermeiden sollte um eine Verwechslung mit der oberen Grenze x, der unabhängigen Veränderlichen in F(x) auszuschließen. Ein unbestimmtes Integral F(x) ist eine Funktion der oberen Grenze. Der Integrationsvariablen sollte man deshalb einen anderen Namen als dx, z.B. du oder dt geben, :$\int \limits _{a}^{x}f(u)du$.

Wie aus u ein explizites x wieder wird bedarf eines ziemlich ausgeklügelten Beweises nach Cauchy-Konvergenz. Übrigens wirklich ein spannender Artikel Cauchy, obwohl der Herr immer schon für Ermüdung gesorgt hat.

Courant, Vorlesungen über Differential und Integralrechnung 1,S.118, Anhang zum zweiten Kapitel, §1., Springer, 1971

--83.176.134.6 02:40, 15. Mai 2005 (CEST)

WP:WWNI, Punkt 2. Es geht hier nicht darum, neue oder alte Ansätze darzustellen, sondern die übliche Herangehensweise. Und die definiert eben eine Stammfunktion von $f$ als eine Funktion, deren Ableitung $f$ ist. Davon gibt es (wenn überhaupt, dann) viele, die sich durch Addition von Konstanten unterscheiden. Das hat mit Integralrechnung direkt noch nichts zu tun. Bei dem Courant-Zitat kann ich aus der o.g. Formulierung nicht erkennen, welche Behauptung da bewiesen werden soll.--Gunther 02:59, 15. Mai 2005 (CEST)

Entschuldigung, der Blödsinn liegt auf meiner Seite! Aber was ist nun der Unterschied zwischen einem unbestimmten Integral und der Stammfunktion?? F(x) + 0 und F(x), was brauch ich von den beiden nicht, das unbestimmte Integral oder die Stammfunktion?

Vielleicht helfen Beispiele: Für f(x)=0 erhalte ich für alle unbestimmten Integrale 0 unabhängig von der unteren Grenze a oder b,(also $c\equiv 0$), Stammfunktion ist aber jede beliebige Konstante, denn der Zuwachs unter f(x)= 0 oder f(x)=c ist auf jeden Fall konstant sei es auch konstant 0. Für f(x)= 5 fällt der Unterschied gar nicht auf, denn ich kann durch Ändern der unteren Grenze mit A(x) - B(x)= c, jedes c erreichen.

Also der Unterschied ist anscheinend, mit dem unbestimmten Integral erhält man nicht alle Funktionen, die die Aufgabe lösen: Finde zu einer Funktion f(x) die Funktion F(x), so daß man sagen kann F'(x)=f(x). Also könnte man sagen die Differenz zweier Unbestimmter Integrale mit unterschiedlichen unteren Grenzen ergibt eine Konstante. Aber anscheinend nicht unbedingt alle Konstanten.

Man untersucht nun die Eigenschaften der unbetimmten Integrale A(x),B(x), C(x) etc. und findet sie sind stetig und differenzierbar und es ist $A'(x)=f(x)$.

Nun macht man sich wieder an obige Aufgabe: Finde zu einer Funktion f(x) die Funktion F(x), so daß man sagen kann F'(x)=f(x). Man zeigt, auf den #Satz über Stammfunktionen oben hin. F(x) und F(x) + c sind zugleich eine Stammfunktion zu f(x). Man bildet von beiden den Differentialquotienten und erhält:${\frac {d}{dx}}F(x+c)=f(x)=F'(x)$ und das beweist man dann, über den Mittelwertsatz (Differentialrechnung): und man sagt dann:

Jede Stammfunktion läßt sich in der Form $F(x)=c+\Phi (x)=c+\int _{a}^{x}f(u)du$ darstellen, wo c und a Konstante sind und umgekehrt stellt dieser Ausdruck bei beliebig fest gewähltem a und beliebigen Wert von c eine Stammfunktion dar.Hier wählen wir c beliebig und somit auch alle c , im Gegensatz zum unbestimmten Integral. Und danach sagen wir erst die Stammfunktion sei ein "unbestimmtes Integral", im Bewußtsein, daß sie ihm einiges voraus hat. Zum Beispiel die Ausführung bestimmter Integrale mit Hilfe der Stammfunktion.

Noch ein Beispiel: $f(x)={\sqrt {x}}$, nur für x nichtnegativ definiert, wenn man $f(x)\geq 0$ betrachtet. $\Phi (x)={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}a^{\frac {3}{2}}$ und für jede untere Grenze a entsteht das unbestimmte Integral aus ${\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$ durch Addition einer negativen Konstanten, nämlich $-{\frac {2}{3}}a^{\frac {3}{2}}$ (und das sind die Funktionen nur unterhalb f(x)) obwohl auch ${\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+1$ eine Stammfunktion zu ${\sqrt {x}}$ ist

• Aus Integralrechnung#Unbestimmtes Integral muß die Bemerkung mit Stammfunktion heraus. Zwei unbestimmte Integrale unterscheiden sich auch ohne das durch eine Konstante, aus der Integraldefinition.

• In den Hauptsatz muß das mit der Stammfunktion von obigem unbedingt wieder herein!!

• Das bestimmte Integral kann ebendort so

nicht stehenbleiben, da ist ein Schritt übersprungen worden, siehe meine neue Diskussion oben. --Roomsixhu 03:24, 16. Mai 2005 (CEST)

Verbesserung des Artikels

Mein Eindruck ist, dass die Bezeichnung "unbestimmtes Integral" entweder

(A) synonym zu Stammfunktion

oder

(B) für die Menge aller Stammfunktionen

benutzt wird, üblicherweise aber nicht

(C) als Bezeichnung für Funktionen der Form $x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.$ (Natürlich sind Funktionen dieses Typs Stammfunktionen und fallen damit unter (A) oder (B).)

--Gunther 12:47, 16. Mai 2005 (CEST)

(A) ist richtig aber erst zum Schluß nachdem man alles aus Integral- und Differentialrechnug zusammengetragen hat, incl Mittelwertsätze etc. Das wird so gemacht. Aber alles braucht eine Erklärung, auch wenn es nicht üblich ist, aber gangbar.

Man erhält mit dem Integral unter (C) nicht alle Konstanten für die Stammfunktion(s. Bsp. f(x)=0) wenn man davon verschiedene Integrale mit verschiedenen unteren Granzen a, b, c ... betrachtet, und somit nicht alle Stammfunktionen.Also eben nicht (B) Also scheint es ein ("halbwegs bestimmtes") Integral zu sein, aber keine Stammfunktion. Also Funktionen des Typs (C) sind differenzierbar, aber wir erhalten deshalb aus ihnen nicht alle Stammfunktionen. Das gelingt erst nach Betrachtung obiger Aufgabe suche eine Funktion F auf deren Ableitung f' ergibt etc. Funktionen des Typs (C) stellen ja noch nicht die Umkehrung der Differentialrechnung dar. Wir brauchen dafür noch alle Konstanten. Und sei es, wir können sie setzen und müssen sie nicht finden.

Meines Erachtens gibt es zwei Mengen von Konstanten, eine die sich aus dem unbestimmten Integrieren und nur daraus (Festhalten einer Grenze und mit x variable andere Grenze) ergibt, und das sind im Zweifelsfall jedoch nur einige (beschränkt?), und eine Konstante (unbeschränkt?), die aus der Umkehrung der Differentialrechnung folgt und das sind alle c's.Das muß erklärt werden im Artikel. Ebenso verschiedene feste untere Konstante, (es könnten auch obere sein etc und das unbestimmte Integral eine Funktion der unteren Grenze, ist ja egal) oder warum da unten überhaupt eine Konstante steht, oder irgendwas. Dann natürlich dx un dt gegenübergestellt, f(t) erlaütert werden im Zusammenhang mit F(x) und f(x) (übrigens war die Variable t und dt schon vor mir da im Artikel)--Roomsixhu 02:38, 17. Mai 2005 (CEST)

Mit (A) und (B) meine ich schon genau das, was da steht: Die Definition des Begriffes "unbestimmtes Integral" verwendet den Begriff des Integrals nicht.--Gunther 11:14, 24. Mai 2005 (CEST)

Und ich brauche den Begriff Differentialquotient (Differenzieren) nicht für die Konstante. Vielleicht sollten wir Wikipedianer den unbestimmten Begriff "unbestimmtes Integral" abschaffen? Aber ich bleibe dabei

1. Die Konstante die vom Integrieren herrührt ist
2. nicht identisch mit der Konstante, die von der Aufgabe herrührt: Finde zu einer Funktion f(x) die Funktion F(x), so daß man sagen kann F'(x)=f(x)

Identität ist auch so ein Begriff aus der Logik.

Siehe dazu auch das durchgerechnete Beispiel der Parabel Diskussion:Differential_(Mathematik) und obige Konstante C erster Teil. Bei der Parabel verändere ich die untere Grenze von a=0 zu b=(beliebig), die obere Grenze zu x und ziehe die beiden Integrale voneinander ab, dann folgen obige $\Phi$ und $\psi$-Funktionen und ich erhalte eine Konstante. Ich habe überhaupt noch nie differenziert! Geschweige den 2. verstanden.(Finde zu einer Funktion f(x) die Funktion F(x), so daß man sagen kann F'(x)=f(x))

Verwirrung kommt doch auch daher:

Ist ein dx abzählbar oder nicht? (van der Waerden, Algebra) Das kommt von Fall zu Fall darauf an, würde ich sagen. Und doch rechnet man mit dx etc so als ob sie ganz gewöhnliche Zahlen wären (Kettenregel).

Übrigens ist Musik auch logisch, hat in der Kontrapunktik geradezu mathematische Regeln und ist diskret ohne Probleme. Sozusagen eine diskrete Exponentialfunktion. Die soll mir mal jemand differenzieren. Statistik ist doch auch so eine Schummelei. Ich mache drei Elefanten beliebig klein (vergleichsweise) durch Bevölkerung der ganzen Welt mit Elefanten. Dann kann ich die drei in eine nicht diskrete (kontinuirliche) Verteilung, mathematisch einordnen, was sie für eine Farbe haben oder sowas. Also ich finde das alles ziemlich lustig! Mulgrew Miller auch!

Man kann die Differentiationsregeln auch aus der Integralrechnug entwickeln.

Wunderschön ist auch der Beweis, daß Folgen nicht abzählbar sind.--Roomsixhu 19:49, 24. Mai 2005 (CEST)

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Der Abschnitt behauptet, für stetige Funktionen ginge das Lebesgue-Integral in das Riemannsche über. Das stimmt ja auch für fast alle Funktionen, aber etwa ${\frac {\sin x}{x}}$ ist Riemann-integrierbar aber nicht Lebesgue-integrierbar. --EbbeSand 15:39, 19. Mai 2005 (CEST)

Man sollte klarer zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann-Integralen unterscheiden. Es ist allerdings auch eine Übertreibung, dass in dem Artikel überhaupt etwas definiert wird...--Gunther 15:47, 19. Mai 2005 (CEST)

Man kann sich beim Lebesgue-Integral natürlich desselben Tricks bedienen wie beim Riemann-Integral: Für $\lim _{T\to \infty }\int _{a}^{T}$ ist es bei der o.g. Funktion egal, ob man das Lebesgue- oder das Riemann-Integral verwendet.--Gunther 09:59, 12. Jun 2005 (CEST)

Verschieben

Kann man nicht die Verallgemeinerungen und uneigentlichen Integrale hinter Eigenschaften des Integrals unterbringen? Das verwirrt nicht so. Das ist ein Bitte an die jeweiligen Autoren. Stehen die denn gut unter der Überschrift bestimmtes Integral? --Roomsixhu 11.06.05

Ich denke, dass man den Artikel grundsätzlich umarbeiten muss, mit ein wenig Kosmetik ist es nicht getan.--Gunther 02:47, 11. Jun 2005 (CEST)

Z.B. ist die Integralfunktion nicht so wichtig, dass sie hier als erster Abschnitt erscheinen müsste. Könnte mMn gut in einen eigenen Artikel ausgelagert werden. Ich überleg' mir mal etwas genauer eine sinnvolle Strukturierung.--Gunther 03:02, 11. Jun 2005 (CEST)

Eigentlich ist der Artikel langsam doch ganz gut: Wir haben jetzt einschließlich der etwas dunklen Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe im Absatz bestimmtes Integral und mit Integralfunktion vier Definitionen des Integrals, für die alle Begriffe sauber erklärt werden müßten. Wenn man jetzt den Leser behutsam bis Intergation durch Substitition bringt, ohne daß er den Artikel linktechnisch dauernd verlassen muß, so ist er doch gerettet und ihm dürfte nichts ernsthaft Schlimmes mehr zustoßen. Dafür geeignet halte ich: Bestimmtes Integral, Integralfunktion, Notation, Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Eigenschaften des Integrals (sehr schön)

Nicht so geeignet ist Stammfunktionen und unbestimmtes Integral, weil es nicht so hilfreich ist.

Dann müssen natürlich die Verallgemeinerungen hinein, bl oß wo?

Zum Thema uneigentliche Integrale, gehört auch nochmal die Bemerkung des außergewöhnlicen Ergebnisse der Integralrechenung, so ein iger seltsamer Grenzwerte (rechts und links) und beispielsweise das Integral des Logharitmus.

Unter Eigenschaften des Integrals habe ich noch Produktregel und Kettenregel in Integralschreibweise eingefügt.

Dann fehlt nur noch die Didaktik. Die anderen Sprachen machen es auch nicht besser. Aber in der englischen Wikipedia ist ein sehr schöner link zu trigonometrische Substitution.--Roomsixhu 11.06.05

Die korrekten Bezeichungen für die Sachen sind partielle Integration und Substitution unter denen sie auch schon im Artikel stehen, entsprechend habe ich den neuen Teil wieder rausgenommen. --DaTroll 18:37, 11. Jun 2005 (CEST)

Ich wollte nur darauf hinweisen, daß es ein Eigenschaft der Integrale ist auch den Rechengesetzen der Differentialrechnung zu genügen, und dafür die Substitutionsformel (Umkehrung der Kettenregel) eben in ebendieser Form unter Eigenschaften darzustellen. Bei der Produktintegration (partielle Integration) steht es schon da, dass sie Umkehrung der Produktregel aus der Differentialrechnung ist, aber das gehört unter Eigenschaft. Dort unten kommt es zu spät und wirkt als Spezialfall, was es nicht ist. Die partielle Integration heißt auch Produktintegration. Und man braucht sie ausführlich bei Rekursionsformeln. Deswegen hätte ich sie da oben bei Eigenschaften, wenn man öfters darauf zurückgreifen muß. Und unten wiederholt oder darauf hingewiesen. Ansonsten sind bei der Substitution links zwei Funktionen und eine Veränderliche und rechts eine Funktion und "zwei" Veränderliche d.i. z(x). Meine Darstellung hatte das vermieden und links zwei Funktionen und zwei Veränderliche und rechts eine Funktion und eine Veränderliche. (wenn nicht zu viele Fehler drin waren). Außerdem endete sie, wo bei der Substitutionsformel vorrausgesetzt wurde. Man sollte nicht z=g(x) sondern x=g(z) vorraussetzten und dann weitersehen. Wenn ich in dieser Formel zum Schluß wieder g(x) für z einsetzte, kenn ich mich gar nicht mehr aus, was soll den das sein: $\int f(g(x))\mathrm {d} g(x)$ ? Da muß ich ja immer noch weiterrechnen. Und die linke Seite ist ja erstmal nur mein Ansatz, nicht die Lösung. Bitte verbessern. und unter Eigenschaften einfügen. Was lange drinsteht ist nicht unbedingt gut.--Roomsixhu 11.06.05

Gleich im ersten Beispiel steht x = sin(t), wie mein Ansatz und nicht der darüber mit z=g(x).Room 608

Was meinst Du mit "Erratum"? Was ist an der Formel darüber falsch? Ich sehe da keinen Fehler, höchstens ein etwas laxes Herumrechnen mit Differentialen, das aber als Merkhilfe ganz praktisch ist. Und ob man die Substitutionsformel nun von rechts nach links oder von links nach rechts anwendet, kommt halt auf den konkreten Fall an.--Gunther 09:24, 12. Jun 2005 (CEST)

Hallo! Sieh Dir bitte mal gleich das erste Beispiel an: Die Substitution x=sin(t), ist doch allgemein geschrieben x=g(t)(für mich t=z). An obigem Beispiel ist ja wohl auch wirklich falsch, nicht nur lax, f(x)=f(g(x)).v(x) ist nirgends definiert, ist v(x)=g(x)=z? Wahrscheinlich nicht, sondern ein ganz allgemeines $v(x)\neq g(x)$, bloß wozu steht es dann dort überhaupt? Wichtig ist doch die Erweiterung von $\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\mathrm {d} z$ und dafür brauch ich g(z) und nicht x=g(x), das ist doch höchstens trivial:$x\equiv x$ (ich mag dieses Zeichen). Und das ist doch keine Substituion, sondern garnichts.

Schließlich steht links der Ansatz, man versucht doch ein Integral aufzuteilen, daß es diese Form hat. Schlißlich braucht man den Hinweis für die Grenzen, daß man dafür die Umkehrfunktion von g(z), $g^{-1}$, braucht. Gleiches gilt für meine gelöschte Version "sorry,holprig" (von gestern). In meinem Duden Rechnen und Mathematik, haben sie dieselbe Form und substituieren $x=\phi (t)$. Und wie oben schon geschrieben, fangen die Probleme mit $\int f(z)\mathrm {d} z=\int f(g(x))\mathrm {d} g(x)$ doch erst richtig an. --Roomsixhu 11:22, 12. Jun 2005 (CEST) (Ich hab sie wiedergefunden: Ist Eure Schlange auch ein dead-key?)

Sorry, Dich in Deinem Arbeitseifer wieder zu unterbrechen, aber es gibt den Artikel Integration durch Substitution. Es ist also IMHO nicht sinnvoll, in diesem Artikel das ganze mehr als nur knapp zu erläutern (siehe dazu auch den Aufbau von Differentialrechnung). Der Rest sollte im eigenen Artikel passieren. So blähst Du diesen Artikel nur auf und machst ihn unübersichtlicher. Gleiches sollte IMHO auch für die partielle Integration gelten, die glaube ich derzeit ein Redirect hierauf ist. --DaTroll 11:38, 12. Jun 2005 (CEST)

Dir ist schon klar, dass man Substitution in zwei Richtungen anwenden kann?

• $\int _{0}^{2}{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{2}{\frac {u'(x)}{u(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{u(0)}^{u(2)}{\frac {\mathrm {d} u}{u}}$

${}=[\log |u|]_{u=u(0)}^{u=u(2)}=[\log(1+x^{2})]_{x=0}^{x=2}$

mit $u(x)=1+x^{2}$

• $\int _{0}^{2}{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(0)}^{x^{-1}(2)}{\frac {2{\sqrt {t}}}{1+t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{2{\sqrt {t}}}}=[\log |1+t|]_{x^{-1}(0)}^{x^{-1}(2)}=[\log(1+x^{2})]_{x=0}^{x=2}$

mit $x(t)={\sqrt {t}}$

--Gunther 15:15, 12. Jun 2005 (CEST)

Ja, ist mir klar. Aber ich finde meine Formel schöner. Sie hält die beiden Seiten besser auseinander. Und in dem Artikel Integration durch Substitution steht auch nichts über die Notwendigkeit für die Grenzen eine Umkehrfunktion parat haben zu müssen. Ich finde aber hier z=g(x) nicht schön dargestellt. Wie gesagt die zwei Gedanken müssen rein: 1. Erweiterung um dz/dz und 2. Umkehrbarkeit der Substitionsfunktion. 1. Steht nirgends 2.Aber sehr schön in Integration durch Substitution. In dem Artikel Integration durch Substitution steht schön $\phi (t)$ aber ich hätte gern die Grenzen auf der anderen Seite verändert (mit $\phi ^{-1}(t)$, finde ich auch nicht schön, weil nicht unmittelbar für den Einsteiger verständlich. Besser $t=\psi (x)$), damit man auf einer Seite mit allen Vorraussetzungen rein kann, und die andere nur ausführt. Aber dort ist sie dennoch schöner, als hier. Über gute Bezeichnungen sollten wir uns auch aus rein didaktischen Gründen einen Kopf machen. (Didaktik ist ein Ausdruck der Wissenschaft). Den link in der Überschrift habe ich leider übersehen. Gruß --Roomsixhu 01:01, 13. Jun 2005 (CEST)

Ich frage deshalb so blöd, weil die erste Variante absolut

nichts mit der Umkehrfunktion zu tun hat. Man könnte das genausogut mit den Grenzen $[-1,1]$ machen, und da ist $u$ gar nicht invertierbar. Aus dem "Erweitern um dz/dz" würde ich nicht mehr machen als eine Merkhilfe, es sei denn, Du willst über Differentialformen sprechen.--Gunther 01:15, 13. Jun 2005 (CEST)

Tolles Beispiel. 2. $x^{-1}(x)=x^{2}$! Richtig? Hier braucht man die Umkehrfunktion und den Hinweis ${\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}$. Aber man hat $\mathrm {d} t$ und nicht $\mathrm {d} t(irgendwas)$. 1.$u^{-1}={\sqrt {x-1}}$. Richtig? $u'(x)={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$ ist hier aber auch umgekehrt es wird um ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}$ gekürzt, aber es ist da. Du treibst da aber ein tolles Spiel mit der Konstanten, Du machst da "aus den C's eine Wissenschaft", bitte jetzt noch didaktisch (C=1)! x=1 ist erlaubt! x<1 ist (P.S. Lese grad Deine neue Notiz) auf meinem Level noch nicht definiert. (Das ist doch auch meine Darstellung).

Fazit: Bei $u(x)$ wird gekürzt, bei $x(t)$ wird erweitert. Das ist doch einen Hinweis wert.

Hat Spaß gemacht! Raum 608

Ja, die Notation bei $x^{-1}(x)=x^{2}$ ist suboptimal, kann ich kaum leugnen. Besser $x=\xi (t)={\sqrt {t}}$, $\xi ^{-1}(x)=x^{2}$ und

$\int _{0}^{2}{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{\xi ^{-1}(0)}^{\xi ^{-1}(2)}\cdots$

Irgendwie denke ich nicht an Kürzen, sondern an die Gleichung $\mathrm {d} u(x)=u'(x)\,\mathrm {d} x$. Das "C=1" verstehe ich nicht.--Gunther 03:04, 13. Jun 2005 (CEST)

Also die Umekhrfunktion brauch ich auch nicht. Bei mir steht ja auf der Seite (welcher bloß???), der linken, $\psi (x)$ schon da. Ich denke aber man sieht, die Substition hat eine im Zweifelsfall bevorzugte Richtung, und die geht anders herum als es in Integralrechnung steht. das mit dem C=1 versteh ich auch nicht (war ein Scherz), aber $\int \phi 'dx=\phi =x^{2}+1$, also muß doch C=1 sein.--Roomsixhu 12:38, 13. Jun 2005 (CEST)

Ich möchte bestreiten, dass es eine bevorzugte Richtung gibt. Im o.g. Beispiel würde ich die erste Möglichkeit definitiv vorziehen, aber bei einer trigonometrischen Substitution muss man typischerweise die zweite Variante anwenden.--Gunther 12:58, 13. Jun 2005 (CEST)

Verwirrung

Also oben in der Definition der Substitution steht $F(x)=G(v(x))$ und eine Zeile darunter $f(x)=f(g(x))=f(z)$, also $x=z$ ?? ?? Also in Deinen Beispielen komme ich nur auf eine Aussage F(x)=G(v) (denn x ist da nicht mehr drin), und $f(x)\neq f(g(x))=f(z)$. Dann ganz unten steht wieder $\int f(g(x))g'(x)\mathrm {d} x$. Ich kann jetzt keinen Zusammenhang zwischen z und v herstellen (und ihn nicht hinschreiben). Irgendwie scheint mir im Laufe der Definition das f die Rolle des g zu übernehmen das g die Rolle des v und schließlich z=v (aber das passt auch nicht, was ist dann z'?). Ich sehe, daß mit dem f(x) aus der zweiten Zeile, das aus der ersten gemeint ist, aber irgendwie sind das nicht dieselben. Auf jeden Fall verwirrt das v, das eine Zeile darunter nicht gebraucht wird und das f(x) aus der zweiten Zeile, das wiederum die nächste Zeile darunter nicht gebraucht wird. --Roomsixhu 21:42, 13. Jun 2005 (CEST)

Ja, das ist ziemliches Bezeichnungschaos und auch sonst suboptimal (was soll das $g'(x)$, wenn die Integrationsvariable schon $z$ ist?).--Gunther 15:27, 14. Jun 2005 (CEST)

Ich habe jetzt die suboptimalen Bezeichnungen subsuboptimiert und damit sicher noch nicht die Umkehrfunktion der Verwirrung erreicht. Ich arbeite gerade an einer allgemeinverständlichen Einleitung zur Substitution, will mir aber nicht gelingen. Für Produktintegration habe ich noch eine Rekursionsformel, die ja auch nicht fehlen sollte. Umbearbeitung bleibt unbenommen. --Roomsixhu 18:37, 17. Jun 2005 (CEST)

Da das völlig unterging, möchte ich nochmal anmerken, dass ich das ganze hier fehl am Platze finde: es sollte IMHO alles unter Integration durch Substitution stehen und hier nur die zentrale Gleichung und ein paar Sätze Erklärung dazu. --DaTroll 19:35, 17. Jun 2005 (CEST)

Zustimmung.--Gunther 15:42, 18. Jun 2005 (CEST)

Ich habe das mal erledigt und einige Teile rüberkopiert, den größten Teil aber nicht übernommen: Der Artikel Integration durch Substitution gefällt mir nämlich ganz gut. --DaTroll 22:48, 20. Jun 2005 (CEST)

Gliederung

Hier ein erster Anfang, ich hatte ja oben versprochen, mir mal grundsätzliche Gedanken zum Artikel zu machen:

1. Eindimensionales Integral: Anschauung und Eigenschaften (Monotonie, Linearität)
2. Hauptsatz, Stammfunktionen; Verfahren zum Auffinden von Stammfunktionen vielleicht nach Stammfunktion verschieben
3. Numerik
4. Konstruktionen: Riemann, Lebesgue, evtl. Integral für Regelfunktionen
5. Höherdimensionale Integration (Wegintegral, "echte" höherdimensionale Integrale)
6. Anwendungen
7. Verallgemeinerungen: Integration auf Mannigfaltigkeiten, Masstheorie

Evtl. auch zwei getrennte Abschnitte zu Anwendungen der ein- und höherdimensionalen Integraion. Kommentare, Vorschläge, Meinungen?--Gunther 4. Jul 2005 11:33 (CEST)

Warum beleben wir nicht wieder den Artikel Integral (Mathematik) und klären dort die Bezeichnungen, historisches etc. und treiben hier wirklich nur Integral-Rechnung? --Roomsixhu 4. Jul 2005 14:22 (CEST)

Nach meinem Verständnis ist "Integralrechnung" die Bezeichnung für ein Teilgebiet der Analysis, das sich nicht nur (auch nicht hauptsächlich) mit dem tatsächlichen Berechnen von Integralen beschäftigt.--Gunther 4. Jul 2005 14:31 (CEST)

Die Gliederung:

• Ehrlich gesagt fand ich Anschaung von Integralen noch nie anschaulich. Viel half mir die Darstellung der Differntialschreibweise der Rechenregeln der Differentialrechnung (vor allem Produktregel ist Addition (das Minus bei Partieller Integration nach "Rüberschaffen" (daher Pruduktintegration)), Quotientenregel ist Subtraktion), die ja auch die der Integralrechnung sind, aber Integralrechnung ist mehr. Die Exhaustion von Archimedes ist toll und geometrisch, aber höllisch kompliziert und so anschaulich wie die Möndchen des Hippokrates. Wegintegrale sind anschaulich und schon sehr schwierig (ich meine die, die sich auf der Funktionskurve bewegen). Und einzelne Flächenberechnungen von von Funktionen begrenzter Flächen gelangen schon lange vor der Integralrechnung, aber machten Integralrechnung nicht möglich. Für die Fläche unter einer Parabel brauche ich ja, wie unter Diskussion:Differential_(Mathematik) vorgerechnet, keine Integralrechnung, sondern nur eine Reihe und Infinitesimalrechnung (Grenzwertübergang). Deshalb die Frage nach elementarer Integration.
• Eigenschaften des Integrals meint sowas ja teilweise, ist aber auch lückenhaft.
• Mehrdimensionale Integrale ist unglücklich. Es ist nicht anschaulich und einfach ein Integral mehrerer unabhängiger Variablen. Die Überlegung aber, was diese Variablen nicht-abhängig macht gehört doch wohl ganz woanders hin.
• Die Verallgemeinerungen sind doch ok bis auf die der Variation, die versteh ich so gar nicht. Teilweise kann manden Sinus doch gut substituieren.
• Damit zusammenhängend wird die Reihenentwicklung nicht mal erwähnt.
• Ebenso beim Uneigentlichen Integrieren werden die Lösungsansätze partielle Integration, Substitution, Rekursion nich erwähnt
• Rekursion wird überhaupt nicht erwähnt.
• Die Anschauung von Flächen kommt meines Erachtens eher daher, dass man beim Integrieren es ständig mit Intervallen zu tun hat und nicht wie in der Differentialrechnung mit festen $x_{0}$-Punkten. Hat man diese "Anschaung" dem Lernenden eingprügelt, wird der Hinweis auf die Intervalle stillschweigend übergangen oder einfach vergessen. Das Nachdenken über Intervalle macht die Integralrechnung auch etwas lustiger/nerviger als die Differentialrechnung.
• In der englischen Wikipedia für Exponentialfunktion kommt bei den Lesern sehr gut an, dort sind zum Beispiel die Definitionen ausgelagert.
• Numerik sind doch Numerische Methoden. Sollen auch Beispiele rein? Numerisches Berechnen von Integralen geht auch so ohne Integrale. (wieder die Parabel)
• Differentialrechnung ist zweideutig und meint nicht nur Ableitungsrechnung.
• Was mir jetzt hier nicht gefällt ist die Erwähnung der uneigentlichen Integrale vor der Produktintegration (partiell) und vor der Substitution, denn man braucht ja wohl teils beides um sie zu lösen.
• Eine Erwähnung wäre noch wünschenswert, was mit nicht ausführbaren Integralen passiert, also z.B. Definition neuer Funktionen, Gammafunktion oder so ähnlich..
• Integralfunktion sollte man wirklich auslagern und so auch alle andern geschlossenen Begriffe.

Ich kann mich auch nicht richtig konstruktiv beteiligen, weil ich das Gebiet nicht vollständig überblicke. Ist elementare Integration, das Auffinden von Stammfunktionen schon Integral-Rechnung? Da gibt es doch schon eine List e. Nicht elementar sind für mein Verständnis Substitution, Partielle Integration, uneigentliche Integrale, da wird richtig gerechnet. Deshalb hab ich einfach meinen Eindruck vom jetzigen Artikel geschildert.

• Das Physikalische Beispiel ist doch knapp und ok.

Gruß --Roomsixhu 4. Jul 2005 17:4 9 (CEST)

Dann auch mal mein Senf: Anwendungen wü

rde ich immer mal wieder bringen, wo es gerade opportun ist (wie Du ja schon vorgeschlagen hast). Die Verfahren zum Auffinden von Stammfunktionen würde ich hier schon erwähnen, wie ich auch insgesamt ja den Artikel ähnlich wie Differentialrechnung aufziehen würde, zumindest insofern, dass Sachen, die eigene Artikel haben, hier nur kurz angerissen werden, vielleicht mit Ausnahme eines Integralbegriffs, bsp. des Riemann-Integrals, den ich ausgiebiger vorturnen würde. Konkret würde das beispielsweise bedeuten, Partielle Integration in einen eigenen Artikel zu verwandeln, also keinen Redirect mehr.

Ansonsten bedeutet die Gliederung natürlich ein großteiliges Neuschreiben des Artikels, aber das ist wohl eh nötig. --DaTroll 20:37, 12. Jul 2005 (CEST)

Ja, die partielle Integration auslagern! Das würde eine gewisse Asymmetrie zu Differentialrechnung betonen, denn dort wird die Produktregel nicht ausgelagert. Die Produktregel hat aber ja auch keine eigentlich weiterreichenden Konsequenzen für die Analysis im Gegensatz zur partiellen Integration. Nur die Kettenregel ist ausgelagert. Man könnte ja auch partielle Integration nach der Quotientenregel darstellen.--Roomsixhu 20:49, 12. Jul 2005 (CEST)

Es gibt einen qualitativen Unterschied: Um die Korrektheit einer Stammfunktion zu überprüfen, braucht man keine partielle Integration. Die partielle Integration ist also kein wesentlicher Bestandteil einer Argumentationskette. Statt: "durch Produktintegration erhält man die Stammfunktion xyz" kann man auch immer sagen: "wie man unmittelbar nachprüft, ist xyz eine Stammfunktion".--Gunther 11:20, 14. Jul 2005 (CEST)

Man kann doch aber sagen Integration definiert Funktionen, wenigstens für einige neue. --Roomsixhu 15:53, 14. Jul 2005 (CEST)

Habe die oben skizzierte Gliederung umgesetzt. Nennenswerte Änderungen:

• Die Skizze des Riemann-Integrals hat einen eigenen Abschnitt unter "Konstruktionen", stattdessen verlässt sich die (unfertige) Einleitung auf per Flächenanschauung motivierbare Eigenschaften des Integrals. Weitere Bildchen sind in Vorbereitung.
• Stammfunktionen und Hauptsatz wurden etwas gestrafft, es gibt ja dafür zwei separate Artikel.

Ansonsten habe ich i.w. nur umsortiert.--Gunther 03:26, 30. Jul 2005 (CEST)

Sieht ja schon ganz gut aus :-) Was haltet ihr eigentlich von dem Abschnitt "Mittelwerte stetiger Funktionen"? Ich finde den etwas banal und würde den glatt streichen. Ansonsten gibt es keinen Artikel zum Prinzip von Cavalieri, das ist nämlich ein Redirect auf Cavalieri :-/ --DaTroll 12:58, 30. Jul 2005 (CEST)

Der Abschnitt mit den Mittelwerten ist eigentlich nur ein Linkcontainer für den Mittelwertsatz. Dass es den "Hauptartikel" zum Prinzip von C. nicht gibt, war mir auch schon aufgefallen. Das sollte man irgendwann ändern.--Gunther 14:21, 30. Jul 2005 (CEST)

Es fehlt natürlich schon wieder die Bennenung einer Variablen einer Integralfunktion und deshalb wieder Verwirrung mit Schreibweise und Konstante. Wollt ihr sie nicht drinhaben? Und dx ist nicht symbolisch, sondern normierend, etc, blabla.

Kompakt bitte verlinken-- Roomsixhu 14:10, 30. Jul 2005 (CEST)

Was es noch zu Integralfunktionen zu sagen gibt, gehört mMn in einen separaten Artikel. dx ist in aller Regel tatsächlich nur noch ein Symbol, es taucht ja auch in den (unfertigen) Abschnitten zur Konstruktion des Integrals nicht auf.--Gunther 14:21, 30. Jul 2005 (CEST)

Stimme allem zu. Aber wie will man ein Symbol invertieren? Ich kann ja mal mit Integralfunktion anfangen.--Roomsixhu 14:39, 30. Jul 2005 (CEST)

Schöne Bilder zu C

Hallo Gunther, prima Bilder. Gerade weil sie so schön sind, drängt sich das Bedürfnis auf b durch x zu ersetzen und a zu verschieben. Im Fall des parabelähnlichen Dings, zum Beispiel a nach links (negativ) verschieben, vergrößert sich das Integral um ein Konstante (des zugehörigen Flächeninhaltes). Im Falle der geschlossenen Linie nicht, weil dort keine Funktion ist. Also für z.B. f(x)=const. ergeben sich bei Verschieben von a zwei Fälle:
1. Für $f(x)\neq 0$ ist die darausresultierende (Flächen)konstante $\neq$ 0
2. Für f(x)=0 ist sie gleich 0. Kannst Du nicht ein klitzekleines Fußnotenbild mit einem Fall machen für nur das parabelähnliche Dings mit dem Hinweis, daß Verschieben von a nicht unbedingt eine konstante Veränderung erzeugt?
Wie machst Du die Bilder? Gute Qualität!--Roomsixhu 23:05, 2. Aug 2005 (CEST)

Das erste Bild in der Einleitung ist übrigens total Panne, wie mir gerade auffällt: grob falsch in verschiedener Hinsicht. Kannst Du das mal ersetzen durch ein besseres? --DaTroll 21:53, 9. Aug 2005 (CEST)

Welches? Bild:Integral as region under curve.png oder Bild:Integral difference.png? Und was ist falsch (abgesehen von den vielen Pfeilenden im ersten Bild)?--Gunther 22:03, 9. Aug 2005 (CEST)

Ersteres und bis auf die Pfeile (ich musste doch sehr lachen als sie mir das erste mal aufgefallen sind :-)) ist es auch prima. --DaTroll 18:38, 10. Aug 2005 (CEST)

Mannigfaltigkeiten

Ich bin ja mit dem Satz von Stokes und Gauß etwas vorgeprescht, ohne dass die Grundlagen im Artikel wirklich schon da wären. Das hinterlässt natürlich dass Problem, dass über Untermannigfaltigkeiten, C1-Flächen oder anderes noch gar nicht integriert werden kann. Nun ist die Darstellung des ganzen auch sehr kompliziert. Hat jemand tolle Ideen wie man das machen könnte? Vielleicht die Methode mit Zerlegung der 1 und Integration über die einzelnen Karten einfach hinschreiben ohne sich groß um Herleitung zu kümmern? Was ist mit Mannigfaltigkeiten und Einbettungen? --DaTroll 22:06, 9. Aug 2005 (CEST)

Hmja. Differentialform#Integral_von_Differentialformen hab ich mal geschrieben, aber viel steht da nicht. Zerlegung der Eins gibt's auch, ist aber nicht essentiell. Einbettungen sind nicht mein Ding, ich bin eher für Intrinsik :-) --Gunther 23:10, 9. Aug 2005 (CEST)

Zerlegung der Eins ist ja nur so mittel. Und was so unter Differentialformen steht ist auch eher unergiebig :-) Mir fehlt da allerdings etwas der Überblick und bin mit meinem Wissen so auf Vordiplomsniveau. Insbesondere ist mir etwas unklar, welche Mannigfaltigkeiten sich nicht mehr integrieren lassen über die Methode für Untermannigfaltigkeiten plus Nullmengensonderbehandlung. --DaTroll 18:49, 10. Aug 2005 (CEST)

Die Details zur Zerlegung der Eins sind ja wie gesagt entbehrlich, wir brauchen ja nur eine $L^{\infty }$-Zerlegung der Eins. Vielleicht solltest wir uns die Schreibarbeit teilen, denn zu Untermannigfaltigkeiten kann ich nichts sagen (da muss man dann Normalenvektoren wählen oder wie?).--Gunther 18:55, 10. Aug 2005 (CEST)

Für Untermannigfaltigkeiten kann ich ja in jedem Punkt eine Einbettung in den R^n angeben, entsprechend bin ich nach einer Zerlegung der 1 die zu den Karten passt fertig, weil ich dann nur noch Integrale im R^n ausrechnen muss. Und das noch modulo technische Schwierigkeiten. --DaTroll 19:02, 10. Aug 2005 (CEST)

Differential

Der Bestandteil "dx" wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Was heißt hier hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung? Warum meist? Welcher Kontext? Ist die Formulierung symbolische Bedeutung nicht ungeschickt gewählt? In meinem Sprachverständnis ist ein Symbol ein Zeichen, d.h. alle Bestandteile des Integrals sind Symbole.

Ich gebe zu, dass mir die Sache mit dem Differential noch nie richtig geheuer war. Es wird als fest mit dem Integralzeichen (bzw. dem Ableitungs-Bruch) verbandelt definiert. Bis dann -- egal ob in der Schule, der Universität oder auch in diesem Artikel -- bei der Integration durch Substitution plötzlich einzelne Differentiale herummultipliziert werden.

Ich gehe davon aus, dass der von mir kritisierte Satz versucht, diese Ungereimtheit zu berücksichtigen. Die momentane Version verwirrt aber mehr als sie klarstellt, das sollte verbessert werden. Auch bei der Integration durch Substitution sollte eine Erklärung abgegeben werden, wo die einzelnen Differentiale herkommen.--MKI 01:50, 10. Aug 2005 (CEST)

Man kann $f(x)\,\mathrm {d} x$ auch als Differentialform auffassen, dann ist das $\mathrm {d} x$ nicht nur ein Symbol, sondern die 1-Form, die die Cartan-Ableitung (d) der Koordinatenfunktion $x$ ist. Aber normalerweise begnügt man sich damit, dass $\mathrm {d} x$ ein Symbol ist, das nicht mehr Bedeutung trägt, als die Integrationsvariable anzugeben. (Es gibt noch eine Interpretation als Spezialfall eines Riemann-Stieltjes-Integrals, aber darüber weiß ich nichts.) Ist der Satz jetzt verständlicher?--Gunther 01:58, 10. Aug 2005 (CEST)

ok. Geht denn die Theorie der Differentialformen mit dem Herummultiplizieren bei der Integration durch Substitution konform?

Ich denke immer noch, dass der von mir kritisierte Satz alles andere als erhellend ist. Meiner Meinung nach sollte unmissverständlich gesagt werden, dass in den meisten Fällen das Differential fest zum Integral gehört, dass es eine Theorie gibt die losgelöste Differentiale zulässt und dass das Herummultiplizieren bei der Integration durch Substitution in den allermeisten Situationen (Schule, Analysis in der Uni) nur ein dreckiger Trick ist, der "zufällig" zum richtigen Ergebnis führt. Da ich mich hier aber nicht sonderlich auskenne, rege ich diese Klarstellung nur an und überlasse das Ausführen anderen.--MKI 11:50, 11. Aug 2005 (CEST)

Nein, es gilt zwar $\mathrm {d} u=u'\cdot \mathrm {d} x$, aber Quotienten von Differentialformen werden üblicherweise nicht betrachtet.

Eigentlich wollte ich an dieser Stelle gar nicht so viel zum Differential schreiben, sondern sinngemäß nur ausdrücken: "Für den Moment genügt es, das Differential einfach als Notation zu akzeptieren."--Gunther 12:12, 11. Aug 2005 (CEST)

Das Herumultiplizieren wird unter Differential_(Mathematik) dargestellt. Die 1- Form ist eine Normierung und Gunther und ich sind bestimmt wieder unterschiedlicher Meinung. Das dx kann kein Differential sein, weil es ein Intervall sein muß, denn eine Linie hat keine Fläche. Ich habe hier auch schon mal die Frage aufgeworfen, wie man ein Symbol umkehrt (Umkehrfunktion).Das dx bezeinet mit der Variable des Integranden die Integrationsvariable, die nicht immer anders bezeichnet wird als die Variable der Integralfunktion. Schön wäre in diesem Zusammenhang immer eine Darstellung in der Form. $\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t$. dort ist dann t die Integrationsvariable und x die Varible der Integralfunktion, die eigentlich die wichtige Roole spielt, denn t verschwindet nach Integration. Die Problematik liegt in der Grundlegung der Mathematik und den dort betrachteten Größen: Zahlen oder Größen oder Verhältnisse und Zahlgrößen. Mein persönlicher link dazu: Benutzer:Roomsixhu/Kartesische_Geometrie#Geschichtlichres --Roomsixhu 09:13, 10. Aug 2005 (CEST).

In Differential_(Mathematik) wird das Geschichtliche breitgetreten, das aber mit der modernen Axiomatik nichts zu tun hat und deshalb auch das Herummultiplizieren der Differentiale bestenfalls anschaulich machen, aber nicht formal begründen kann. Was der Link zur kartesischen Geometrie mit Differentialen zu tun hat, erschließt sich mir nicht.--MKI 11:50, 11. Aug 2005 (CEST)

Differentiale als mathematische Objekte sind außer in den genannten Bedeutungen (für die jeweils andere Artikel zuständig sind) ausgestorben, deshalb kann man nicht viel mehr dazu sagen als ein paar historische Bemerkungen.--Gunther 12:07, 11. Aug 2005 (CEST)

Hallo, ich muß mich hier doch schon wieder nicht ganz kompetent einmischen, weil mir das Differential so gut gefällt und besonders, wenn es neun Meter lang ist. Leibniz hat ein Zahlenkontinuum, und legt das Differential der unabhängigen Variable mit dx=const. und ddx=0 fest. (ddx entspricht d²x). Dies habe ich unter Cauchy bei Differential bemerkt, das hat aber keiner gelesen, geschweigedenn verbessert. Was das bedeutet könnt ihr vieleicht selbst erkennen. Also jedes skalar multiplizierte Differential der "identischen Funktion" ist auch ein Differential der unabhängigen Variablen. Denn sie müssen darin die Eigenschaft der entsprechenden unendlichkleinen Größen teilen, und unter denen kann man keine Einheit auswählen. Unser dx ist ja auch beliebig "koordinatentransformierbar. Diesen Standpunkt vertritt Henk Bos 1975 mit seiner Schrift "differentials, and higher-order differentials in the leibnizian calculus" (oder so ähnlich. Das ist mir nur zu teuer für 30 US -Dollar bei Springer online zu kaufen, dort gibt es es). Nun ist mir momentan nicht der Stand dieser Fachdiskussion bekannt. Notfalls würde ich auch Herrn Bos e-mail mäßig fragen. Die Behauptung von Gunther das dx sei nur in gewissen Kontexten anwendbar, ist also nicht richtig und ich glaube seine Differentialformen sind somit Leibnizdifferentiale. Der Unterschied zur heutigen "modernen Axiomatik " drückt sich eher in der Art des Zahlbegriffs aus. Bei Cauchyschem Zahlbegriff ist jede Zahl gleichzeitig stetig und ausgelassene Werte sind verboten und vielleicht noch andere Eigenschaften. Aber auch für Hrenn Spalt und Herrn Bos (und andere) ist gewiß, daß der Zahlbegriff von Herrn Cauchy und Herrn Leibniz schlü ssig ist. Das Kontinuum der beiden ist gewiß nicht mehr modern oder wird es gerade wieder. Deshalb die Frage welche Historie hat die moderne Axiomatik mit letztendlich Prädikatenlogik. Gunthers Hinweis auf die Symbolik verschleiert vielleicht, daß Begriffe in dieser Art von Logik erst sehr, sehr, sehr, spät gebildet werden vielleicht zu spät. Ganz vielleicht sind die Begriffe Differential und Differential- und Integralrechnung identisch. Aber dann müßte man modern axiomaisch einen angenäherten Punkt un ein verschwindendes Intervall zahlentheoretisch gleichsetzen können, oder? Nun nur skizzenweise das Beispiel über das ich mir zwecks Normierung Gedanken mache. Wenn f(x)= x und g(y)=ax ( a konstant ) sind, so ist ein Verhältnis nach obiger Definition : g(y)dy/f(x)dx= a. Denn dy=konst und dx=anderes konstant aber für die Unabhängige gilt eben d(unabhängige)= konstant, somit dy = dx und dy/dx=1.Ich bitte Gunther um Vergleichung mit seinen Vorgaben. Die Unterschiede zwischen unseren heutigen Zahlbegriffen und denen von Cauchy und Leibniz erkennt man beim Zählen. Cauchy ließ explizit nur rationale Werte von Zahlen (Werte von Zahlgrößen, das sind die Variablen a mit denen er rechnet) zu, die sich mittels der Dezimalschreibweise darstellen lassen. Seine Zahlgrößen näherten sich irrationalen Zahlen nur als Grenze, nahmen sie aber nicht an. Aber er hatte auch für rationale Zahlen einen strengen Grenzwertbegriff. Damit hatte er einen vollständigen Zahlbegriff. Aber auch mit dem Ausschluß der angebbaren Betrachtung der Irrationalzahlen einen nicht in die Zukunft weisenden. Das hat dann Herr Weierstraß übernommen mit seiner Reihenvergleichung, aber es ist fraglich ob Weierstraß seinem Schüler Cantor in allem gefolgt wäre ohne die Frage, wohin? Soweit mein Stand des Wissens. Zum Schluß noch: Das Herummultiplizieren ist ja kein solches, sondern eigentlich die Darstellung derselben Regeln in Differentialrechnungsform und Integralrechnungsform. Einzig die Quotientenregel habe ich nicht in Integralschreibweise gefunden, wahrscheinlich wegen der ermüdenden Nullstellen im Nenner nicht. Aber dafür bei Herrn Spalt nach Cauchy die Darstellung der Kettenregel ohne Brüche. Also nicht in der verbreiteten Leibnizform. Ich bin mir sicher, beide Aufasungen sind gleichwertig, wie auch Begriffslogik und Prädikatenlogik letztendlich gleichwertig sind. Aber Integralrechnung ist ein weites Feld mit vielleicht noch Entdeckungen, und diese Entdeckungen (schon allein die alten) in logische Urteile zu fassen ist schwieriger als in meinbare Begriffe. Noch mein unvermeidliches Musikbeispiel: Es hat sich noch kein Harmoniker einen Gedanken über die Verträglichkeit eines disktreten Klaviers im Zusammenspiel mit einer kontinuierlichen Posaune gemacht, und der Ablauf (d.i. auch die Logik) der Harmonie funktioniert auf jeden Fall sogut, daß manchmal das Klavier das kontinuierliche Instrument wird. Man höre Mulgrew Miller! Wenn ich mehr weiß komme ich in einem halben Jahr auf das Thema zurück. Solang: Erklärt mir das Beispiel!--Roomsixhu 02:39, 14. Aug 2005 (CEST)

Mir ist Dein Beispiel nicht klar. Was meinst Du mit $g(y)=ax$? Wenn Du nicht vorher erklärst, in welcher Beziehung $x$ und $y$ zueinander stehen, ist auch ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ kein sinnvoller Ausdruck.--Gunther 14:48, 20. Aug 2005 (CEST)

Ja, sehr schlampig dargestellt: g(y)=y=a·x und ich habe damit folgendes Problem dargestellt, welches mir mangels Literatur, unklar ist. Wann wird aus dy=const. wie ebenso dx=const, d(ax)=adx, so daß gilt: dy=a·const.? Dann könnte man eine Einheit 1 bei infinitesimalen Größen beibehalten, aber das geht doch nicht.

(Bildet man Beispielsweise dx=1/2+1/3+/1/4... und sagt dy=2·dx so ist dy=2·1/2+2·1/3+2·1/4.... ; Das ist für endlich viele Anteile ok. Unter der Vorraussetzung, daß für unendliche Reihen, wie für endliche die Anordnung keine Rolle spielt. Es sind aber dagegen dx=1+ 1/2+1/3+1/4+... und dy=1·1+2·1/2+3·1/3+4·1/4.. gleich oder nicht zu unterscheiden, da sie endlich aus denselben Elementen gebildet sind (Umformung 1/2+2/3=1+1/6). Erst eine Anordnung macht das möglich.( dx=1/2+1/4+1/8 .. ginge wohl.))

Also Frage: Ist irgendwann dy=const=dx oder gilt immer dy=d(ax)=a·dx=a·const.? d(ax)=adx verstehe ich nur als Produktregel, aber nicht mit dx=const. und d(ax)=?·const. Es sind ja auch nur zweite Ableitungen invariant, also ein Maximum bleibt kein Maximum, ein Wendepunkt jedoch schon. Also wann war denn dann ursprünglich eine Maximum ein Maximum, nach welcher Voraussetzung? Man sieht ich verstehe sehr wenig. Bitte nicht mehr erwarten.

P.S.: Historisch sollte man verschiedene Differentiale unterscheiden z.B zwischen denen von Leibniz und Euler und Cauchy und Bourbaki und Laugwitz/Robinson/Nelson obwohl alle begründet eins haben und derselbe Name Sinn macht (nach Spalt). Ich finde meines mit 9 Metern weiterhin schön und sogar umgänglich, obwohl es natürlich nicht 9 Meter lang ist, sondern eine Änderung von 9 Metern bezeichnet. Z.B. könnte ich unter der Last meines verwirrten Hirns jetzt um neun Meter schrumpfen, wobei ich die negativen Zahlen entweder schon rechnend vorausgesetzt habe (wie Cantor) oder jetzt stillschweigend einführe (wie alle Verwirrten). --Roomsixhu 18:58, 21. Aug 2005 (CEST)

Herkunft der Notation

Die multiplikativ zu lesende Notation f(x)\;\mathrm{d}x deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zusammensetzt.

Also laut meinem Sprachverständnis heist infinitisimal unendlich... müsste es dann nicht eigentlich "infinitisimal KLEINEN Breite dx" heissen?!? kann mich irren, der link geht zu infinitisimalzahlen, die sofern pos. natürlich unendlich klein sind, aber das ist ja nciht das gleiche.

Gruss Lace

Nein, infinitesimal heißt schon unendlich klein. Mit meinem laienhaften Sprachverständnis könnte ich das Wort als das Adjektiv zu "unendlichster [Teil]" interpretieren. Vgl. auch en:infinitesimal vs. en:infinite.--Gunther 00:58, 11. Jan 2006 (CET)

ah, k dann hab ich wieder was gelernt ;) Lace

Alternative Schreibweise

Zum Absatz "Alternative Schreibweisen" kenne ich noch eine andere, wenn auch seltene Form. da das Integral quasi eine Summe ist, kann man es mit Laufindex schreiben und das Differential weglassen: $\int _{x=a}^{b}f(x)$ Sollte man das eventuell mit aufnehmen? Es lassen sich nämlich schöne Symmetrien ablesen, etwa bei der Fouriertransformation:

• $X(\omega )=\int _{t=-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}$ (zeitkontinuierlich)
• $X(\Omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$ (zeitdiskret)

Welche Autoren benutzen denn diese Schreibweise? --DaTroll 23:46, 18. Feb 2006 (CET)

Äähh, gute Frage, ich glaub, wir hatten das mal so in der Schule. Ist ja auch irgendwie logisch, das Integral ist doch die Summe über das Stetige, oder? Ich könnte mal googlen, aber: wie googelt man nach $\int _{x=...}{}$

Tja, das ist etwas dünn für eine Aufnahme. Ich kenne die Schreibweise ehrlich gesagt überhaupt nicht und halte sie auch für ungünstig, da sie nicht erweiterbar ist. Die Symmetrie im obigen Beispiel erkennt man IMHO auch mit einem zusätzlichen dt. --DaTroll 12:40, 19. Feb 2006 (CET)

Hmm, is freilich wahr. Trotzdem muss das doch irgendwie rauszukriegen sein. Die S-Form des Integralzeichens steht ja auch, zumindest laut Artikel, genauso für Summe wie das Sigma.

Wie wäre es damit: Du schreibst die Summe als $\int _{\mathbb {Z} }\ldots \mathrm {d} n$, wobei $\mathrm {d} n$ für das Zählmaß steht?--Gunther 12:49, 19. Feb 2006 (CET)

Versteh ich nicht ganz, was hat das mit dem Thema zu tun? Die Frage war doch, ob man das dx, das man ja eh nur mitschleppt, um zu wissen, nach welcher Variable man integriert, weglassen und die Variable analog zum Laufindex des Summenzeichens schreiben kann.

Wenn es Dir nur um das ähnliche Aussehen geht, dann ist es leichter, die Summe als Integral aufzufassen.--Gunther 13:54, 19. Feb 2006 (CET)

Äääähhhhh... wie?

Sagt mal, strenggenommen müsste sich ein Integral doch sogar so schreiben lassen, oder?: $\sum _{x=a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Nein, Integrale sind keine Summen. Aber wie gesagt: Du kannst die Summe als ein Integral auffassen, also

• $X(\omega )=\int _{\mathbb {R} }x(t)e^{-j\omega t}\mathrm {d} t$ (zeitkontinuierlich)
• $X(\Omega )=\int _{\mathbb {Z} }x[n]e^{-j\Omega n}\mathrm {d} n$ (zeitdiskret)

--Gunther 17:39, 19. Feb 2006 (CET)

Aha. verstehe ich das richtig: das Differential (der "kleinste Abstand" benachbarter Werte) im Reellen (dt) ist "unendlich klein", während das Differential in Z (dn) "eins" ist. Das Summenzeichen ist also eine Abkürzung des Integrals, da jeder Funktionswert mit dn, d.h. mit 1 multipliziert wird und sich damit nicht verändert. Vielleicht erklärt das auch folgende Bemerkung in der Diskussion:Differential: "Historische Fußnote: Leibniz schrieb ursprünglich für $dx$ ${\frac {x}{d}}$ und$\int l$ hieß vorher noch $omnia\;l$ Das dx hinter dem Integral war am Anfang noch nicht vorhanden. Leibniz und Bernoulli hingen es erst später an."

P.S. (ich fang mal wieder am zeilenanfang an): wie würde man denn bei der Integralschreibweise der Summe die Grenzen angeben, wenn sie nicht bis unendlich laufen?

Integration ohne Differential

Wie rechnet man, wenn in einem Integral gar kein Differential mehr vorkommt, also wenn man anstatt $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ nur noch $\int _{a}^{b}f(x)$ zum Rechnen hat? Danke, --Abdull 16:51, 7. Jun 2006 (CEST)

Das ist eine nachlässige Schreibweise, aber kein inhaltlicher Unterschied.--Gunther 16:55, 7. Jun 2006 (CEST)

Diese Begründung 'nachlässigen Schreibweise' reicht nicht aus. Ein Integral muss aus mathematischen Gründen unbedingt ein Differential enthalten. Ein Integral ohne Differential macht keinen Sinn. Der Grund lässt sich am einfachsten an der Substitutionsregel erkennen. Substitutiert man z.B. im bestimmten Integral $\int _{0}^{1}x\,dx={\frac {1}{2}}$

x=2z, so muß auch das Differential dx dieser Substitution unterzogen werden, also dx = 2dz. Folglich

$\int _{0}^{1/2}2z\,2dz=\int _{0}^{1/2}4z\,dz=2z^{2}{\Big |}_{0}^{1/2}={\frac {1}{2}}$. --Skraemer 20:54, 12. Dez. 2007 (CET)

Eingangsdefinition

Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert oder im unbestimmten Fall eine Menge von Funktionen zu. Dieser Vorgang heißt Integration.

Für das erstere gibt es einen Begriff: Funktional. Das weitere ist total verwirrend. Ich finde die Definition nicht gerade sehr hilfreich. Was dann folgt ist auch nicht besser. Wirkt wie der Anfang einer mathematischen Definiton, wird dann aber abgewürgt. Ich finde z.B. eine Definiton als Grenzwert von Summen wesentlich besser und auch verständlicher. Z.B.: Ein Integral ist die korrekte Ersetzung einer Summe beim Übergang vom Diskreten zum Kontinuum. Es ist der Grenzwert der Summe bei zunehmender Verfeinerung der Summen-Intervalle. Klingt zwar auch noch nicht so toll, aber vielleicht sieht man, auf was ich hinaus will. Ein Bild, das diesen Übergang zeigt (mit Blöcken, die immer feiner eine Fläche approximieren) wäre sicherlich hilfreich... 1. Juli 2006

Mein Leitgedanke bei der Neugliederung war der, dass es sich bei Aspekten wie der Approximation durch Rechtecke um technische Details einer speziellen Konstruktion (Riemann-Integral) handelt, die für das Wesen des Integralbegriffs irrelevant sind. Die Beschreibung als Flächeninhalt ist für die Anschauung perfekt, die wesentlichen Eigenschaften im Abschnitt "Axiomatischer Zugang" genügen als Definition, solange man nur "schöne" Funktionen integrieren will; es fehlt lediglich der Beweis, dass es tatsächlich ein Funktional mit diesen Eigenschaften gibt. (Der Begriff "Funktional" ist übrigens der Zielgruppe typischerweise nicht bekannt, enthält aber auch keinen inhaltlichen Mehrwert.) Die Existenz des Integrals wird durch eine der verschiedenen Konstruktionen (Abschnitt "Konstruktionen") sichergestellt, und das wohl von Dir angedachte Riemann-Integral ist nicht gerade die einfachste Variante (für den "Grenzwert der Summe bei zunehmender Verfeinerung" braucht man Netzlimites). Die entsprechenden Bildchen und eine korrekte Definition des Riemann-Integrals (nach Darboux, mit Supremum/Infimum statt Grenzwerten) finden sich im dortigen Artikel.--Gunther 03:57, 2. Jul 2006 (CEST)

Hallo Gunther.

Erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich wusste nicht , daß der Artikel schon einmal neu gegliedert wurde. Da hast du sicher einiges an Arbeit und Gedanken reingestreckt. Die Definition im Abschnitt axiomatischer Zugang ist sicherlich die Vernünftigste, aber steht relativ weit hinten, und trägt auch nicht grad zur Anschauung bei (Und muß so auch nicht gleich an den Anfang). Was das Wesen des Integrals ist weiß ich nicht. Aber für mich ist das Integral immernoch stark mit dem verbunden, was unter "Herkunft der Notation" steht. Ich habe nur erlebt, wie die ersten drei Zeilen im Artikel als Definition für einen Vortrag hergenommen wurden, von jemanden der keine Ahnung davon hat, was ein Integral ist. Auch gute einführende Bücher bauen den Integralbegriff langsam aus der Anschauung heraus auf. Sicherlich gibt es einige Leute, die wegen Unklarheiten in der Definition in einem Lexikon nachschauen, aber die Mehrzahl der Leute wissen eben nicht, was ein Integral ist, wenn sie den Artikel lesen.

Gut finde ich z.B. die Darstellung im Teubner-Taschenbuch der Mathematik (der blaue, 1.Band) Kapitel 1.6.1. Da steht: Grenzwert einer Summe: Das Integral ... ist gleich der ... Fläche unterhalb des Graphen von f. Diesen Flächeninhalt kann man berechnen, indem man eine Approximation durch Rechtecke ... wählt und die Zerlegung immer feiner werden läßt. Dann steht die Formel da, wo man erkennen kann, wie aus dem Summenzeichen im Limes das Integral wird, und aus dem delta-x das dx. Dann kommt noch ein Bild usw... Das mit der Fläche steht ja schon im Text, aber der historische Kontext mit der Limesbildung ist vielleicht noch am ehesten das Wesen des Integrals. 2. Juli 2006

Wie gesagt: Für die Anschauung genügt der Begriff "Flächeninhalt", jeder hat eine Vorstellung, was das in etwa ist. Die Approximation durch Rechtecke ist für das Wald-und-Wiesen-Integral unnötig, das wird stattdessen mithilfe von Stammfunktionen berechnet.

Wenn es Dir nur um die Einleitungssätze geht: Eines der Probleme besteht eben darin, dass der Integralbegriff extrem allgemein ist und meistens nicht mehr viel mit einem Flächeninhalt zu tun hat (z.B. wird kaum jemand das Integral einer Funktion auf einer Mannigfaltigkeit als $(n+1)$-dimensionales Volumen einer Teilmenge von $M\times \mathbb {R}$ ansehen). Die unbestimmten Integrale habe ich aus der Einführung herausgeworfen, das ist mMn ein ziemlich nebensächlicher Punkt, der an dieser Stelle nur verwirrt.--Gunther 15:04, 2. Jul 2006 (CEST)

Archivierung der gescheiterten Lesenswert-Kandidatur vom 16. bis zum 23. Januar 2007

Ich halte den Artikel für sehr vollständig und schlage ihn nun hier zur Wahl vor. --Caulfield 00:00, 16. Jan. 2007 (CET)

Bleibendes Manko des Artikels ist der ungeschriebene Abschnitt Integralrechnung#Verallgemeinerungen. Nach Benutzer:Gunthers Weggang sind meine Hoffnungen, dass ein kundigerer als ich das mal schreiben wuerde, ziemlich gesunken. Mein Ziel war immer, sobald dieser Abschnitt da ist, mal ins Review zu gehen und die Exzellenz anzustreben. Mal sehen obs so schon fuer lesenswert reicht :-) --P. Birken 13:16, 16. Jan. 2007 (CET)

• Contra. Neben den von P. Birken vermissten Verallgemeinerungen sind auch der allzu knappe Geschichtsteil, die sehr kleinteilige Struktur und die Listenhaftigkeit weiter Teile des Artikels zu nennen. Neben den üblichen Analysis-Büchern würde ich mir zudem noch mehr speziellere Angaben zur Entwicklung und den Techniken der Integralrechnung wünschen. -- Carbidfischer Kaffee? 14:27, 16. Jan. 2007 (CET)

• Contra Zu viele Trivialitäten, zu wenig Substanz. Eine Gegenüberstellung der verschiedenen Integral-Arten fehlt, sie werden nur aufgezählt. Das Pythagoräische Integral fehlt (Def. mittels Cavalieri-Prinzip) ebenso der Begriff des Cauchy-Hauptwertes. Die ganze Sache mit der Motivation hängt in der Luft, da noch nicht einmal klar ist, was den nun der Flächeninhalt sein soll, wenn noch kein Integralbegriff oder ein Mass definiert worden ist (besser wäre eine Motivation durch Approximation mit Treppenfunktionen, das ist anschaulich und allgemein, d.h. vom Prinzip her für Riemann-Int. als auch für Lebesgue-Int. auf beliebigen Mass-Räumen geeignet). Bei den Verallgemeinerungen ist der Verweis auf die Masstheorie recht mager.
  • unschön: Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen Das liest sich wie eine Definition der beschränkten totalen Variation, was natürlich nicht stimmt.
  • Falsch: Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren. stimmt nur für stetige Funktionen auf Kompakta, sonst Gegenbsp. $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x$.

Muss noch einmal gründlich überarbeitet und auf Fehler hin untersucht werden, im Moment sehe ich kaum Chancen, den Artikel "lesenswert" zu machen. --Enlil2 22:56, 17. Jan. 2007 (CET)

@"Falsch": Unsinn. Das Riemann-Integral existiert nur für Kompakta. Die Grenzübergänge für das uneigentliche Integral kann man mit den anderen Integralbegriffen genauso machen, und dann kommt auch dasselbe heraus.--80.136.161.152 12:18, 18. Jan. 2007 (CET)

Nein, es ist nicht Unsinn, das entsprechende Lebesgue-Integral existiert nicht. --Enlil2 19:52, 18. Jan. 2007 (CET)

Hast du ueberhaupt verstanden, was ich geschrieben habe?--83.189.112.165 16:09, 20. Jan. 2007 (CET)

Übersichtlichkeit

Mir ist nicht klar, warum die deutlichere Kennzeichnung der Hauptartikel mit der Vorlage wieder entfernt wurde. Gerade in längeren Texten gehen die Hinweise oftmals unter (mir selbst passiert, als ich etwas hier nachlesen wollte). Die Vereinfachung des Editierens ist für mich kein Argument, da der Unterschied letztendlich nur aus zwei Klammern besteht. 80.139.39.63 13:23, 12. Feb. 2007 (CET)

aeh, worum geht's? -- seth 11:03, 28. Okt. 2007 (CET)

Summenregel der Integralrechnung!!!

Ja, die gibt es auch! Nur der Summenregel-Artikel lässt die "Integralversion" völlig außen vor! Da diese Summen ständig bei Rechnungen (insbesondere bei der partiellen Integration) vorkommen, ist diese Regel sehr wichtig! -andy 80.129.108.185 22:10, 9. Mär. 2007 (CET)

Dass das Integral eine lineare Abbildung ist, steht direkt im ersten Absatz. Dass dies "Summenregel" genannt würde, wäre mir beim Integral neu. --P. Birken 16:57, 10. Mär. 2007 (CET)

Annäherung

Gibts nicht sowas wie die Annäherung der Ober- oder Untersumme? Ich glaube in der Schule nähert man sich so dem Integral(rechnen)! ;-) --212.23.126.27 06:28, 30. Mai 2007 (CEST)

Hier das Beispiel zum Nachrechnen: Diskussion:Differential_(Mathematik)#Die Quadratur der Parabel. --Room 608 23:41, 12. Jun. 2007 (CEST)

Grafisch

Noch eine Frage: Ist es nicht möglich das Integral mit Zeichen dazustellen? Es gibt ja auch jede Menge "nicht lateinische" Zeichen. Oder sind wir hier irgendwie UTF-8 o.ä. beschränkt? Bitte klärt mich auf! thx --212.23.126.27 06:33, 30. Mai 2007 (CEST)

Hab ich noch nicht gesehen, es ist auch nicht sinnvoll, da die Notation ohne Grenzen oft Verwirrung stiftet. --Room 608 23:41, 12. Jun. 2007 (CEST)

∫. --dvdb 00:13, 29. Jun. 2009 (CEST)

Flächeninhalt vs. Flächenbilanz

Vom Flächeninhalt zu sprechen ist ja wohl nicht korrekt. Wenn dann kann man von der Flächenbilanz reden. Da ja Flächen unterhalb der x-Achse beim Integrieren subtrahiert werden.

Flächenbilanz ist zwar genauso wenig richtig, aber ich habe die einleitung mal überarbeitet. --P. Birken 17:55, 26. Aug. 2007 (CEST)

1

Die neue Methode (Änd.) ist echt neu, deshalb zuerst nur als Bemerkung bevor sie in einer Fachzeitschrift oder einem Buch noch nicht erschienen ist. --Alexandar.R. 06:02, 11. Sep. 2007 (CEST)

Ist recht fragwürdig. Man sollte dick und fett dazuschreiben, dass dies eine konstruktivistische oder intuistionistische (oder was sonst, kenn mich nicht so aus?) Auffassung des Integralbegriffes ist. Das fängt bei der Funktionsdefinition schon an, Funktionen sind als endliche Berechnungsalgorithmen (vorgegebene Genauigkeit in endlicher Zeit, exp, sin, cos,... sind auch zulässig) definiert, Stetigkeit ist mit lokaler Lipschitzstetigkeit gleichgesetzt (was für diese Funktionengruppe keine große Einschränkung ist), das Integral wird für monotone Funktionen und später für Funktionen mit endlich vielen monotonen Abschnitten definiert. Das könnte, nebenbei bemerkt, beim Sinus schwierig werden, da die Intervallgrenze irrational ist. spätestens an dieser Stelle muss man fragen, wieviel einfacher dieser Ansatz wirklich ist. Außerdem scheint die Integraldefinition implizit ein Supremum bzw. Infimum als Ersatz des Grenzwertbegriffes zu verwenden, noch eine Stelle, an der beide Ansätze nur noch mit der Lupe zu unterscheiden sind.--LutzL 12:34, 11. Sep. 2007 (CEST)

Na, dann weg mit dem Zeug? --Alexandar.R. 13:34, 11. Sep. 2007 (CEST)

Ja, denke ich schon. --P. Birken 12:29, 16. Sep. 2007 (CEST)

• eine aufnahme des henstock-integrals sollte überdacht werden, da dieses gegenüber anderen integralbegriffen zum teil intuitiver zugänglich und teilweise leistungsfähiger ist.--82.83.94.128 03:31, 8. Nov. 2007 (CET)

2

muahahaha!
ich traue mich nicht, diese geniale aenderung zu revertieren. falsch ist es ja nicht und ich kann mir lebhaft so manchen verzweifelten menschen vorstellen, der es tatsaechlich so handhabt. aber in dieser form sollte es imho nicht bestehen bleiben. uebrigens ist die methode nicht nicht-mathematisch. -- seth 00:20, 16. Nov. 2007 (CET)

Ich glaube mich zu erinnern, gehört zu haben, dass dieses Vorgehen in Labors durchaus gängig ist. Messkurve aufmalen, ausschneiden, gegen ein Einheitsquadrat abwägen. Setzt natürlich eine entsprechend empfindliche Waage voraus.--LutzL 09:04, 16. Nov. 2007 (CET)

mag sein, dass man das frueher mal so gemacht hat, bzw. vielleicht aus didaktischen gruenden in der schule. aber ich glaube nicht, dass heutzutage noch jemand in einem labor keinen computer stehen hat, mit dem eine numerische annaehrung schneller und genauer hinzubekommen waere. -- seth 10:20, 16. Nov. 2007 (CET)

Naja, CAS-Systeme sind nicht so verbreitet wie man denkt. Wenn der Computer nur Excel hat, aber daneben eine Hochpräzisionswaage steht, ist das halt ne gute Alternative. Wär aber schön, dafür ne Quelle zu haben. --P. Birken 00:43, 22. Nov. 2007 (CET)

Unbestimmtes Integral

Hm, im Abschnitt "unbestimmtes Integral" steht, dass (für eine feste Stammfunktion $F$ von $f$) jede Stammfunktion in der Form $F(x)+C$ geschrieben werden kann. In dieser Allgemeinheit ist diese Aussage natürlich falsch, denn $F_{1}(x):={\frac {1}{x}}$ und $F_{2}(x):={\frac {1}{x}}+\chi _{(0,\infty )}(x)$ sind beides Stammfunktionen von $f(x):=\ln |x|$, aber es gibt keine Konstante $C$ mit $F_{2}=F_{1}+C$.

Klar, richtigerweise müsste man schreiben, jede Stammfunktion ist von der Form $F(x)+C(x)$ für eine "lokal konstante" Funktion $C$, nur solche Spitzfindigkeiten sind in einem Übersichtsartikel eher unangemessen. Man müsste irgendwie flüssig umformulieren, damit die Sache komplett richtig ist. --Tolentino 11:27, 17. Jan. 2008 (CET)

An der Stelle des Artikels wurden bisher ja nur stetige Funktionen betrachtet und für die gilt das ja. Genau die erste Hälfte des Artikel könnte aber mal eine Neukonzeptionierung vertragen, das ist schon etwas verworren. --P. Birken 07:58, 22. Jan. 2008 (CET)

Hunh?

Zitat: Das Integral ist eine lineare Abbildung, die einer Funktion auf einem gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert oder eine Funktion zuordnet.
Ginge das auch verständlicher? U. a. sollte der zu erklärende Begriff natürlich nicht in der Erklärung verwendet werden. Danke, Maikel 13:56, 27. Apr. 2008 (CEST)

stetige Summe

Ich würde gerne (in der Einleitung?) einfügen, dass Integrale im Grunde einfach stetige Summen sind, es geht darum, Funktionswerte aufzusummieren, halt nicht über diskrete Stellen wie normale Summen, sondern eben über ein Kontinuum. Ebenso wie die Ableitung, die ja die Veränderungsrate zum "nächsten Funktionswert" angibt, gerade die stetige Verallgemeinerung davon ist, die Differenz zwischen zwei Partialsummen zu bekommen (im diskreten Fall ist der Nenner des Differenzenquotienten halt immer gleich 1). Was meint ihr? Könnte das nicht das Verständnis verbessern? --χario 18:02, 5. Jul. 2008 (CEST)

Mh, sehe ich so nicht, wie das verständlicher sein könnte, aber mach doch mal nen Textvorschlag. --P. Birken 09:15, 7. Jul. 2008 (CEST)

Ich meinte auch nicht mein ganzen Geschwurbel, sondern nur so einen Halbsatz. Bisher erfährt der Leser in der Einleitung nicht, was Integralrechnung eigentlich will. Der historische Zugang ist so natürlich schon korrekt dargestellt, aber Flächeninhalt und Volumen sind ja Anwendungen, bei denen die stetigen Summen auch noch anschaulich werden. Ich überleg noch mit Formulierungen, bei mir war das Stichwort "stetige Summen" ein ganz großer Aha-Effekt, um das "Wesen" der Int-R. zu verstehen --χario 10:03, 7. Jul. 2008 (CEST)

Im Prinzip finde ich die Idee gut, hängt aber von Deinem Textvorschlag ab. Vielleicht eher an späterer Stelle einfügen. Andererseits wird in der Einleitung kein Anliegen der Integralrechnung wirklich deutlich. Allein an der Zeichnung kann der Leser ahnen worum es geht. Der Hinweis auf die Eigenschaft der linearen Abbildung ist zwar richtig, in der Einleitung aber entbehrlich. Hier wäre ein Bezug zur Summation sinnvoller. Ich denke wir sollten gerade bei Einleitungen darauf achten, dass nicht zu viel benutzt wird. Ich merke immer wieder, dass der größte Teil der Leserschaft schon mit den allereinfachsten Dingen überfordert ist. Als grobe Faustregel kann hier der Horizont eines sehr interessierten Abiturienten gelten. Mit der Frage, was Integralrechnung eigentlich will, würde ich aber etwas vorsichtig sein. Hier sind je nach Blickwinkel völlig verschiedene Antworten möglich. Z.B. hat Leibniz das Integral auch zur Summation über diskrete Stellen benutzt, indem er Reihen gliedweise integrierte. --Skraemer 12:26, 7. Jul. 2008 (CEST)

Guter Hinweis. Textvorschlag muss (s)ich erst entwickeln, deswegen auch hier die Anfrage. Mein gedanklicher Ansatz war ja die Parallele dazu, wie man diskrete Zahlenfolgen untersucht: Unterschied zwischen zwei Gliedern (-> Ableitung), Aufsummieren (-> Integral). Im Moment würde das aber alles schwurbelig, was meine Finger in den Artikel tippen würden. Wir entwickeln das hier ja gerade :-) --χario 12:49, 7. Jul. 2008 (CEST)

Hüllintegral?

der begriff "Hüllenintegral" wird auf diesen artikel verwiesen ohne darin auch nur erwähnt zu werden! GRD 14:41, 29. Mär. 2009 (CEST)

"näherungsweise"

wurde für die Planimeter-Methode eingefügt: Dieser schwammige Begriff sollte ersetzt werden durch eine bewertende Skala mit der prozentualen Größe der Fehler der einzelnen Methoden. Logischerweise wird der Fehler mit jeweils größerem Aufwand kleiner. Ob sich ein solcher Aufwand lohnt bzw. ob er überhaupt notwendig ist, hängt von der jeweiligen Aufgabe ab. Quantenphysiker in der Forschung bevorzugen sicherlich die aufwendigste Methode; für praktische technische Aufgaben genügen zumeist drei Dezimalstellen mit ± 1% Abweichung völlig. Das leistet die Wiegemethode ebenso wie ein Planimeter (sonst gäbe es schon lange keine Planimeter mehr zu kaufen). Gruß -- Dr.cueppers - Disk. 18:28, 21. Mai 2009 (CEST)

Um die Skala und Ablesegenauigkeit geht es nicht! Allein durch das Abfahren der Kurve kann die Fläche nur näherungsweise bestimmt werden. --Skraemer 19:24, 21. Mai 2009 (CEST)

eigentlich uneigentlich

Über einen Wikipedia-Link zu „uneigentliche Integrale“ kommend hier gelandet finde ich zwar „irgendetwas“ zum Thema, aber kaum erhellendes zur Frage, was denn uneigentliche Integrale von eigentlichen (die es anscheinend überhaupt nicht gibt: Eigentliches Integral vs. Uneigentliches Integral) wesentlich unterscheidet. Natürlich kann man so etwas nachlesen. Anderswo … --87.163.84.198 04:08, 23. Aug. 2009 (CEST)

Integralrechnung#Uneigentliche_Integrale_erster_und_zweiter_Art? Eigentliche sind das normale, laufen über ein kompaktes Gebiet, uneigentliche das andere. --P. Birken 11:45, 23. Aug. 2009 (CEST)

Bedingungen für die Integrierbarkeit

Irre ich mich oder fehlt in diesem Artikel ein kurzer Abschnitt über notwendige bzw. hinreichende Bedingungen zur Integrierbarkeit?--93.129.59.78 18:16, 23. Okt. 2010 (CEST)

Irgendwo im Abschnitt über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung steht versteckt, dass stetige Funktionen integrierbar sind. Was meinst Du mit notwendigen Bedingungen? Messbarkeit? Welche Funktionen integrierbar sind, hängt ja von der jeweiligen Integral-Definition ab. -- Digamma 18:53, 23. Okt. 2010 (CEST)

Integralfunktion

Ich möchte hier nicht nochmal von der Konstante C anfangen. Hier in der Diskussion sind schon mehrere Unklarheiten aufgetaucht. Ich empfinde die Einleitung als unglücklich.

• Wie wird aus dem Integral eine Funktion, eine Integralfunktion? Wenn in der Einleitung von Flächen die Rede ist, müsste es auch einen Grenzübergang vom Integral zur Stammfunktion geben.
• Der Begriff Integrationsbereich ist ungeklärt, könnte man nicht einfach auf ein Intervall hinweisen? Ist es endlich?
• Man kann auch beim bestimmten Integral ein $x<b$ als obere Grenze einführen und ist das dann auch ein unbestimmtes Integral?
• Ich würde auch nicht sagen Integration ist die inverse Opration zur Differentialrechnung, sondern die inverse Aufgabe zur Differentialrechnnung, oder man kann gleich schreiben; Differentialrechnung ist die inverse Operation zur Integration So ist es aber falsch: Aus der Differentialrechnung erhält man keine neuen Funktionen! --Roomsixhu 8.6.5 19.00 (meine Schlange funktioniert nicht) (nicht signierter Beitrag von Roomsixhu (Diskussion | Beiträge) 18:09, 8. Jun. 2005 (CEST))

Kann man nicht die Verallgemeinerungen und uneigentlichen Integrale hinter Eigenschaften des Integrals unterbringen? Das verwirrt nicht so.

Das ist ein Bitte an die jeweiligen Autoren. --Roomsixhu 11.06.05 (nicht signierter Beitrag von Roomsixhu (Diskussion | Beiträge) 02:45, 11. Jun. 2005 (CEST))

Integration über mehrdimensionale Bereiche

Der Artikel behauptet, dass man von der Funktionaldeterminante noch den Betrag nehmen muss! Dies ist aber für den verallgemeinerten 1-dimensionalen Bereich falsch, denn da ist die Determinante zwar nur eine Zahl aber von der nehme ich nicht den Betrag! das Ergebnis stimmt im Fall, dass die Determinante negativ ist, aber trotzdem da ich ja an die Determinante meine Integrationsgrenzen anpasse (wie bei der Substitution) ...

MFG

Homo oeconomicus (nicht signierter Beitrag von Homo oeconomicus (Diskussion | Beiträge) 18:52, 23. Mai 2006 (CEST))

Algemein

Es ist klar, dass der Artikel nicht unbedingt für einen Grundschüler verständlich sein muss. Allerdings steigt, selbst jemand der den mathematischen Ergeiz mitbringt, nicht durch. Selbst mit genügend Matheerfahrung versteht man es nicht, da weder auf die Formelzeichen noch auf die Schritte eingegangen wird. Total unverständlich.

Strüpsel :-)  : hätte ich dies nicht geschrieben hätten Sie es sicher nicht gelesen. (nicht signierter Beitrag von 84.133.249.93 (Diskussion) 20:46, 16. Jan. 2008 (CET))

3.3.4 Spezielle Verfahren

Am Ende beim Zusammenfassen ist ein Fehler unterlaufen, zuerst sind es 2arctanx und beim Umstellen wurde durch 2 dividiert und arctanx ist in einer gemeinsamen Klammer mit dem Faktor 1/2 davor.

Durch Umstellen folgt

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}+\arctan x\right).$

(nicht signierter Beitrag von213.33.22.51 (Diskussion) 17:36, 30. Aug. 2011 (CEST))

Ist aber trotzdem richtig. Es wird einmal arctan abgezogen, dann das Integral auf die linke Seite gebracht und dann durch den Faktor 2 vor dem Integral dividiert.--LutzL 11:54, 31. Aug. 2011 (CEST)

Herkunft des Integralzeichens

Ist die Abkunft von einem langen s belegt? Ich könnte mir genauso gut vorstellen, dass ein gewöhnliches großes S stilisiert wurde. -- Digamma 19:17, 18. Sep. 2011 (CEST)

Mh, alles nicht so klar. Hier ist eine Quelle angegeben, wo es stehen könnte: Bredekamp 2004, S. 87-100. --P. Birken 20:12, 19. Sep. 2011 (CEST)

Möglicher Fehler im Abschnitt "Einfache Folgerungen aus den Axiomen"

Das zweite Beispiel im Abschnitt "Einfache Folgerungen aus den Axiomen" lautet:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq (b-a)\cdot \|f\|_{\infty }$

aber wenn $f(x)=-1$, $a=0$ und $b=1$ dann

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|=1$

und

$(b-a)\cdot \|f\|_{\infty }=-1$

Somit wäre die angegebene Ungleichung falsch falls für alle $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x<0$ ? (nicht signierter Beitrag von 91.112.173.82 (Diskussion) 10:59, 28. Sep. 2011 (CEST))

Die Supremumsnorm ist auch 1, eine Norm ist immer nichtnegativ. Also kein Gegenbeispiel.--LutzL 12:25, 28. Sep. 2011 (CEST)

Bochner-Integral

Nicht erwähnt im Artikel wird die Bochner-Integral Konstruktion, eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachräumen. (nicht signierter Beitrag von 217.227.15.184 (Diskussion | Beiträge) 21:46, 6. Feb. 2008 (CET))

Das wurde wohl mitlerweile nachgeholt. --Christian1985 (Diskussion) 17:54, 20. Okt. 2011 (CEST)

Schwammige bis inkorrekte Aussage

"Das Integral selbst ist eine lineare Abbildung, die einer Funktion einen Zahlwert oder eine Funktion zuordnet, je nachdem, ob ein konkreter oder ein unbestimmter Integrationsbereich betrachtet wird."

Drei Punkte kommen mir an diesem Satz falsch vor:

• Für bestimmte Integrale gilt der Definitionsbereich "eine Funktion" nicht, schließlich gehören die Integrationsgrenzen ebenfalls zu den benötigten Parametern.
• Genau genommen müsste man unbestimmtes und bestimmtes Integral als 2 verschiedene Abbildungen charakterisieren, haben sie schließlich einen unterschiedlichen Definitions- und Wertebereich.
• Das bestimmte Integral ist eine lineare Abbildung, stimmt. Das unbestimmte ist es nicht, da es unendlich viele Stammfunktionen gibt und die Abbildung damit so nicht eindeutig ist, wie sie im Zitat beschrieben ist. Man müsste den Wertebereich in ${\mathcal {P}}(F)$ oder etwas Vergleichbares ändern, wobei $F$ die Menge der Stammfunktionen darstellen soll.

Korrigiert mich bitte, falls ich hier einem Trugschluss erliege! --Mathemaniker 18:57, 11. Okt. 2010 (CEST)

Aus meiner Sicht hast Du Recht. Ich versuche mal eine Änderung. -- Digamma 22:00, 11. Okt. 2010 (CEST)

Ich fürchte, mit ein paar kleineren Umformulierungen ist es da nicht getan. Vielleicht versuche ich mich später mal daran. Ansonsten kannst Du Dich gerne daran versuchen. -- Digamma 22:23, 11. Okt. 2010 (CEST)

Also ich habe den Satz irgendwann mal geschrieben: Er versucht halt, das Integral in seinen zwei Formen bestimmt und unbestimmt als Abbildung kurz mathematisch zu beschreiben, wobei die Betonung auf dem Begriff Abbildung liegt. Was bestimmt besser geht. Dem ersten Punkt würde ich allerdings wiedersprechen: Das bestimmte Integral als Abbildung enthält die Integrationsgrenzen, es ist meiner Meinung nach die Abbildung: Die Funktion f wird abgebildet auf die Zahl $\int _{a}^{b}f(x)dx$. --P. Birken 22:40, 11. Okt. 2010 (CEST)

Stimmt du hast Recht. Im Abschnitt Axiomatischer Zugang wird das bestimmte Integral als Funktion mit dem Definitionsbereich ${\mathcal {F}}$ definiert, wobei F die Menge der Funktionen mit dem Definitionsbereich [a;b] sei. Kommt halt immer auf die Definition an. --Mathemaniker 23:20, 11. Okt. 2010 (CEST)

Vielleicht sollte man nicht versuchen, das bestimmte und das unbestimmte Integral im selben Satz zu erklären. Für mich ist das Integral eigentlich das bestimmte Integral. Unbestimmte Integrale sind nur andere Sprech- und Schreibweisen für Stammfunktionen. -- Digamma 11:58, 12. Okt. 2010 (CEST)

So - ich hab jetzt den ersten Abschnitt überarbeitet. --Mathemaniker 19:41, 13. Okt. 2010 (CEST)

Das Problem wirkt aber noch nicht gelöst. Ich lese den ersten Abschnitt immer noch so, als sei das unbestimmte Integral eine Abbildung. Ist es das? --Christian1985 (Diskussion) 01:01, 7. Okt. 2011 (CEST)

Momentan steht ja in der Einleitung insgesamt sogar, dass das unbestimmte Integral eine lineare Abbildung sei, die einer Funktion eine Menge von Funktionen zuordnet. Das passt sowieso nicht zusammen. Ich denke, wie Digamma sagt, dass eine kurze Erwähnung des unbestimmten Integrals als Schreibweise für Stammfunktionen völlig ausreicht. -- HilberTraum 12:08, 7. Okt. 2011 (CEST)

Uneigentliche Integrale erster und zweiter Art

Bezieht sich dieser Abschnitt nicht ausschließlich auf das Riemann-Integral? Falls ja wäre es nicht sinnvoller den Begriff unter Riemann-Integral oder in einem eigenen Artikel abzuhandeln? --Christian1985 (Diskussion) 01:03, 7. Okt. 2011 (CEST)

Ja, an der Stelle passt der Abschnitt nicht gut hin und ist für einen Überblicksartikel wohl auch zu ausführlich. Außerdem stimmt die Einleitung des Abschnitts nicht: Das Lebesgue-Integral wird normalerweise nicht erst auf Teilmengen definiert und die Verallgemeinerung ergibt "sich ganz natürlich", sondern es wird erst auf dem ganzen Maßraum definiert und dann die Integration über Teilmengen einfach durch "Abschneiden". -- HilberTraum 11:52, 7. Okt. 2011 (CEST)

Gilt genau so für das Cauchy-Integral und bei Funktionen wie sin(x)/x auch für das Lebesgue-Integral.--84.166.222.83 21:28, 8. Okt. 2011 (CEST)

Ich verstehe Deine Antwort leider nicht. Was gilt genau? --Christian1985 (Diskussion) 21:32, 8. Okt. 2011 (CEST)

Wenn $\int _{a}^{b}f$ nicht existiert, aber $\lim _{b'\to b-}\int _{a}^{b'}f$, dann kann man letzteres uneigentliches Integral nennen. Das kann bei Riemann passieren, aber genauso bei Cauchy, Lebesgue, Henstock-Kurzweil (nur b=∞), ... --84.166.222.83 21:50, 8. Okt. 2011 (CEST)

Bei Riemann sind allerdings alle Integral uneigentlich, bei der eine Grenze $\infty$ ist. Im Gegensatz dazu kann man mit dem Lebesgue-Integral auch erstmal über unbeschränkte Mengen integrieren. Natürlich gibt es dann Funktionen wie sin(x)/x, die uneigentlich riemann-integrierbar sind, aber nicht eigentlich lebesgue-integrierbar. Führt man nun ein uneigentliches Lebesgue-Integral ein, kann man natürlich auch diesem Integral im Lebesgue-Sinn einen Wert zuordnen, aber hat der Begriff des uneigentlichen Lebesgue-Integrals gegenüber dem uneigentlich Riemann-Integral noch einen entscheidenden Vorteil? Ich habe bis jetzt nämlich leider noch keine Literatur gefunden, die das uneigentliche Lebesgue-Integral definiert. Allerdings scheint sich ein eigener Artikel zu dem Thema lohnen. --Christian1985 (Diskussion) 10:52, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe auch noch nie so eine Definition eines uneigentlichen Lebesgue-Integrals gesehen. Ich könnte mir vorstellen, dass eine solche schon deshalb unpraktisch ist, weil sie ja nur für Funktionen einer reellen Variablen funktioniert. Der große Vorteil der Lebesgue-Theorie, dass der Definitionsbereich des Integranden keine große Rolle spielt (kann beliebiger Maßraum sein), würde dann wegfallen. Außerdem ist eine nützliche Eigenschaft des Lebesgue-Integrals, dass f genau dann integrierbar ist, wenn |f| integrierbar ist. Ich denke, um solche Aussagen zu haben, nimmt man einfach in Kauf, dass Funktionen wie sin(x)/x nicht integrierbar sind. -- HilberTraum 12:16, 9. Okt. 2011 (CEST)

http://books.lmgtfy.com/?q=%22improper+Lebesgue%22 --84.166.231.79 12:21, 9. Okt. 2011 (CEST)

Also zumindest die ersten einsehbaren Google-Ergebnisse sagen doch ungefähr das gleiche wie ich oben. Der erste nimmt lieber ein "DP-Integral", weil das uneigentliche Lebesgue-Integral nichts taugt. Und in dem Real Analysis Buch steht sogar wörtlich In any event, please note that there is no such thing as an "improper" Lebesgue integral. Aber danke für die Links. -- HilberTraum 12:41, 9. Okt. 2011 (CEST)

Integral als lineare Abbildung

Ich denke es ist ein ganz wesentlicher Punkt, dass ein Integral eine lineare Abbildung ist, denn das ist das, was es als mathematisches Objekt charakterisiert, im Gegensatz zu Vorstellungen als Flächenmaß. Warum wurde das als falsch rausgenommen? --P. Birken 12:32, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe es rausgenommen, weil zumindest das unbestimmte Integral meiner Meinung nach keine Abbildung ist. Dies erschien mir die einfachste Möglichkeit den Absatz zu korrigieren. Eine Diskussion gibt es auch etwas weiter oben dazu. --Christian1985 (Diskussion) 12:35, 9. Okt. 2011 (CEST)

Warum sollte das unbestimmte Integral keine Abbildung sein? Es bildet nicht auf Zahlen, sondern auf Funktionen ab, ist aber ebenso linear im Argument. --P. Birken 12:38, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ist aber $F$ eine Stammfunktion zu $f$, Dann ist $\textstyle \int f(x)dx=F(x)+c$ und das für alle $c\in \mathbb {R}$. Also bildet das Integral, wenn man es denn so sehen will, auf eine Klasse von Funktionen ab. Fixiert man nun ein $c\in \mathbb {R}$ mit $c\neq 0$, dann gilt $a\cdot F(x)+c\neq a(F(x)+c)$. Damit klappt die Linearität doch nicht? --Christian1985 (Diskussion) 12:50, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ach nein, dass das Argument mit der Linearität Müll ist, sehe ich ein. Das Lexikon der Mathematik aus dem Specktrumverlag, löst das Problem mit der Abbildung so, in dem es sagt "Das‘ unbestimmte Integral zu einer gegebenen Funktion ist also keine eindeutig bestimmte Funktion, sondern eine ‚Schar‘ von Funktionen." Diese Information könnte allerdings für die Einleitung zu weit führen. --Christian1985 (Diskussion) 13:01, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ja, deswegen wird das in der Einleitung ja auch nicht ausgeführt :-) --P. Birken 13:08, 9. Okt. 2011 (CEST)

Nungut, vielleicht gibt es noch ein paar andere Stimmen? Ansonsten kann meine Änderung auch wieder revertiert werden. Allerdings sollte der Artikel Stammfunktion entsprechend angepasst werden. Dort steht dass ein unbestimmtes Integral eine Stammfunktion sei und nicht die Menge aller Stammfunktionen. Wahrscheinlich wird dies auch so in manchen Büchern zu finden sein. Daher müsste das differenzierter betrachtet werden.--Christian1985 (Diskussion) 13:18, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ich denke auch, eine kurze Erwähnung des unbestimmten Integrals als Bezeichnung und Schreibweise für eine Stammfunktion oder (je nach Quelle) der Menge aller Stammfunktionen reicht völlig aus. Ich kenne auf Anhieb keine Quelle, in der das unbestimmte Integral als tiefer liegendes mathematisches Objekt (also z.B. als Abbildung) definiert oder verwendet wird (und wüsste ohne Recherche auch nicht, wie man das sauber machen sollte, so dass ein nützlicher Begriff dabei rauskommt). -- HilberTraum 13:49, 9. Okt. 2011 (CEST)

Wie ist denn Deine Meinung zum eigentlichen Punkt? Viele Grüße --P. Birken 15:15, 9. Okt. 2011 (CEST)

Ich dachte, die Rolle, die der Artikel dem Begriff des unbestimmten Integrals (Notation oder Abbildung) zuweisen soll, ist der eigentliche Punkt? Wenn du die einzelnen Teile deiner Eingangsfrage meinst: Ja, ich denke wie du, dass die Linearität des bestimmten Integrals ein wesentlicher Punkt ist, der zusätzlich zur Flächenvorstellung in die Einleitung gehört. Und ja, ich denke, dass vorher etwas Falsches in der Einleitung stand: Nämlich dass das unbestimmte Integral eine lineare Abbildung sei, die einer Funktion eine Menge von Funktionen zuordnet. -- HilberTraum 17:03, 9. Okt. 2011 (CEST)

Wir reden glaube ich noch aneinander vorbei: Mein Punkt ist, dass das Integral, egal ob unbestimmt oder bestimmt, eine lineare Abbildung ist und dass das eine wesentliche Eigenschaft des Integrals ist und in die Einleitung sollte. --21:54, 24. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe schon verstanden, dass du auch das unbestimmte Integral als lineare Abbildung definieren willst, aber ich glaube, dass klappt so nicht: Zwischen welchen Vektorräumen sollte es denn deiner Meinung nach abbilden und welche Abbildungsvorschrift willst du verwenden? -- HilberTraum 22:58, 24. Okt. 2011 (CEST)

Zunächst: Jetzt steht gar nichts mehr über die lineare Abbildung in der Einleitung drin. Und das ist IMHO nicht sinnvoll. Es wäre schön, wenn Christian oder Du mal endlich darauf eingehen würden.

Nun zum unbestimmten Integral. Das funktioniert prima, wenn man das unbestimmte Integral als Abbildung einer Funktion auf ihre Stammfunktion auffasst (Forster macht das so). Nicht funktionieren tut es, wenn man die Integrationskonstante reinnimmt (Heuser macht das so). --P. Birken 11:31, 29. Okt. 2011 (CEST)

Also ich finde es problematisch in der Einleitung zu sagen, dass das unbestimmte Integral eine lineare Abbildung sei, denn in der Literatur gibt es dazu unterschiedliche Konventionen. In einer ist es eine lineare Abbildung in der anderen ist es keine Abbildung, und dieses Problem in der Einleitung anzusprechen finde ich nicht gut. Aber wie gesagt, kann ich auch notfalls damit leben, wenn die Einleitung auf die alte Version zurückgesetzt wird. :Ich schlage vor das unbestimmte Integral einfach - bis auf einen Verweis auf Stammfunktion - ganz aus der Einleitung rauszunehmen und kann dann ohne Probleme zu sagen, dass das Integral eine lineare Abbildung ist. Ich habe selbst den Artikel Stammfunktion, um die Definition eines unbestimmten Integrals von Forster ergänzt. Er versteht das unbestimmte Integral als eine Integration über [a,x], wobei x eine Variable ist. Ich habe solche Integrale immer als bestimmte Parameterintegrale verstanden. Im Prinzip ist es eine dritte Möglichkeit das unbestimmte Integral zu definieren, allerdings erhält man mit dieser Methode von der Nullfunktion nur die Nullfunktion als Stammfunktion und bei Funktionen, für die der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nicht gilt, kommt man da auch nicht weiter. Bei solchen Spitzfindigkeiten ziehe ich auch ungerne die Bücher von Forster heran, weil er manchmal Objekte so definiert, dass sie für den Inhalt des Buches unproblematisch sind, aber schaut man mal ein gutes über den Buchrand hinaus so ergeben sich mit den Definitionen Probleme. Beispielsweise transponiert er im zweiten Buch den Gradienten nicht, was in der Differentialgeometrie aber wichtig ist. --Christian1985 (Diskussion) 13:15, 29. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe mal einen Satz zur Linearität des bestimmten Integrals eingefügt, das war ja völlig unstrittig, dass das in die Einleitung soll. Vielleicht findet ja noch jemand eine bessere Formulierung dazu. Was das unbestimmte Integral angeht, stimme ich wie gesagt Christian völlig zu, dass wir die ganze Problematik der verschiedenen Definitionsmöglichkeiten weitgehend aus dem Artikel heraushalten sollten und es nur als Notation für Stammfunktionen einführen sollten. Ein Verweis auf die Ausführungen dazu in Stammfunktion sollte natürlich auch gegeben werden. -- HilberTraum 22:51, 29. Okt. 2011 (CEST)

Unbestritten ist, dass die Ableitung eine nicht injektive lineare Abbildung ist. Für eine lineare Abbildung in der anderen Richtung muss man eine Wahl treffen wie bei Forster das a im Intervall.--84.166.248.70 12:30, 30. Okt. 2011 (CET)

Integrationskonstante

Dieser allgemein übliche und auch in WP (sogar in dieser Diskussion) oft benutzte Begriff sollte in diesem Artikel im Absatz zum unbestimmten Integral definiert werden. Evtl. könnte sogar eine Weiterleitung dahin angelegt werden. --Reseka 17:53, 6. Feb. 2012 (CET)

Ich habe mal einen Satz dazu eingebaut. Ist das so OK? --Digamma 18:26, 6. Feb. 2012 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 21:32, 3. Dez. 2012 (CET)