Diskussion:Intervallschachtelung

Das Intervallschachtelungsprinzip ist ein grundlegendes mathematisches Prinzip und kein Verfahren zum berechnen von Nullstellen, dieses Verfahren heißt Bisektion und basiert auf dem Intervallschachtelungsprinzip. --Leflo 15:31, 7. Mär 2006 (CET)

"Wichtig ist, das man beim Berechnen eines Wertes immer das Intervall vor Augen hat, was ein negatives und ein positives Ergebnis hervorgibt. Denn zwischen einem negativen Wert und einem positiven Wert ist logischerweise die Null." Was bitte soll das heißen?!? --Leflo 15:33, 7. Mär 2006 (CET)

stark veränderter artikel

ich hab mal die intervalschachtelung neu geschrieben, wäre nett wenn jemand sagen könnte was noch fehlt, ich kümmere mich dann soweit ich kann darum -- leflo

Bisektion und Intervallschachtelung

Ich kenne das hier beschriebene Verfahren als Bisektion; Intervallschachtelung hingegen als eine Möglichkeit, reelle Zahlen als Intervallschachtelung von rationalen Zahlen zu definieren. --NeoUrfahraner 14:03, 15. Mär 2005 (CET)

Ich kenne die Intervallschachtelung einfach nur als verschachteln von Intervallen. Die Bedinung, dass ein Randpunkt auf einem der Randpunkt der vorherigen Intervalle liegen muss ist unnötig. (So kann man mit diesem Verfahren eine Bisection oder Trisection usw. erfassen) Den theoretischen Unterbau liefer das Stetigkeitsaxiom von Cantor. Im Artikel wird dies aber als Intervallscahcterlungssatz bezeichnet.

Konstruktion der reellen Zahlen

Könnte jemand mit Ahnung noch was dazu schreiben, warum diese Konstruktion auch wirklich alle reelle Zahlen abdecken soll. Oder anders gesprochen, wieso diese Konstruktion eine kompakte Menge ergibt. --SK-Genius (nicht signierter Beitrag von 88.72.135.64 (Diskussion | Beiträge) 19:46, 15. Jul 2009 (CEST))

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Ich verlagerte die Schreibweise

$\bigcap _{k\in \mathbb {N} }J_{n}=\{\sigma \in \mathbb {R} \}$

aus dem Artikel "Zwischenwertsatz" hierher. Zur Begründung siehe Diskussionsbeitrag "zu Formulierungen im Beweis" im angegebenen Artikel.

--Psychironiker (Diskussion) 01:06, 17. Nov. 2017 (CET)

Begriffsklärung

Konvergiert die Länge nicht gegen 0, so nennt man es keine Intervallschachtelung? --Jobu0101 14:47, 6. Jan. 2012 (CET)

Falsche Aussage

Die Aussage aus der Einleitung ist definitiv falsch:

Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.

Es muss keine solche Zahl geben. Es gibt nur maximal eine. --Jobu0101 14:49, 6. Jan. 2012 (CET)

Es gibt eine, wenn man kompakte (also beschränkte, abgeschlossene) Intervalle wählt. Diese Aussage ist eine mögliche Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen. --Digamma 20:49, 6. Jan. 2012 (CET)

Das weiß ich sehr wohl, jedoch steht da nichts von kompakt. --Jobu0101 21:19, 6. Jan. 2012 (CET)

Dann schreib doch bitte nicht einfach, dass der Satz falsch ist, sondern was daran falsch ist. Ich denke, dass bei Intervallschachtelungen immer beschränkte, abgeschlossene Intervalle gemeint sind, deshalb ändere ich den Artikel mal entsprechend. --Digamma 21:46, 6. Jan. 2012 (CET)

Okay, so ist die Aussage auf jeden Fall richtig. Die Aussage bleibt sogar wahr, wenn wir mit einem beschränkten Intervall beginnen, dass nicht notwendigerweise abgeschlossen ist. --Jobu0101 15:12, 7. Jan. 2012 (CET)

Ich habe das einmal entsprechend geändert, das ließt sich schöner. --Jobu0101 15:13, 7. Jan. 2012 (CET)

Fragwürdig

Die Intervallschachtelung findet sich in Dieudonné "Grundzüge der Analysis" nicht als ein Prinzip oder Verfahren wieder, sondern als Axiom. Und mit diesem Axiom wird dort schließlich die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen. Die reellen Zahlen werden dort auch (aus gutem Grund) nicht als Erweiterung der rationalen Zahlen konstruiert, sondern die rationalen Zahlen werden schlicht als spezielle reelle Zahlen, also als Unterkörper derselben aufgefasst. Da Dieudonné einer der Hauptautoren der Werke von N. Bourbaki gilt, halte ich das für glaubhaft. Gaubhaft i.d.S., dass andere Konstruktionen irgendwie keine geschlossene Axiomatik der reellen Zahlen bewerkstelligen. Andere Einführungen in die Analysis (auch Hochschullehrbücher) tricksen sich gelegentlich um dieses Axiom herum. (nicht signierter Beitrag von 84.118.180.123 (Diskussion) 13:05, 4. Okt. 2015 (CEST))

Siehe Reelle Zahl#Axiomatische Einführung der reellen Zahlen. Wenn die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt werden, braucht man ein Axiom für die Vollständigkeit. In den meisten Darstellungen, die ich kenne, ist das die Ordnungsvollständigkeit (jede nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum) oder die Vollständigkeit als metrischer Raum (jede Cauchy-Folge konvergiert). Das Intervallschachtelungsaxiom ist eine dritte Möglichkeit. --Digamma (Diskussion) 15:18, 4. Okt. 2015 (CEST)

Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung

Der eingefügte Abschnitt sollte durch den (recht übersichtlichen und "elementaren") Beweis vorläufig hinreichend belegt sein - aber natürlich wäre vorzuziehen, wenn jemand noch eine andere Quelle dazu weiß.

Die Überlegung fehlt im Beweis des Zwischenwertsatzes, bläht jenen Beweis aber unnötig auf (da die Aussage unabhängig von stetigen Funktionen gilt).

--Psychironiker (Diskussion) 00:07, 17. Nov. 2017 (CET)

Fixpunktsatz von Brouwer?

Im Artikel heißt es: "Der Zwischenwertsatz von Bolzano lässt sich mit dem Intervallschachtelungsprinzip beweisen, aus ihm leitet sich der Fixpunktsatz von Brouwer ab." Den ersten Teil glaube ich gerne. Aber der Fixpunktsatz von Brouwer ist doch ein viel schwereres Kaliber. Mag sein, dass im Beweis auch irgendwo der Zwischenwertsatz eingeht. Aber das zentrale Element des Beweises ist er wohl kaum (siehe auch der verlinkte Artikel). Wenn da niemand eine Begründung liefert, werde ich den Satzteil in Kürze entfernen. --Stephan2802 (Diskussion) 22:17, 26. Mär. 2019 (CET)

Tu das. --Digamma (Diskussion) 17:42, 27. Mär. 2019 (CET)

Ist passiert. Ich vermute, die Bemerkung kam rein, weil man den Fixpunktsatz in der Dimension 1 tatsächlich leicht aus dem Zwischenwertsatz ableiten kann. Die wirklich interessanten Fälle des Fixpunktsatzes sind aber die in höherer Dimension. --Stephan2802 (Diskussion) 14:26, 28. Mär. 2019 (CET)