Diskussion:Isomorphiesatz

Isomorphie-Symbol

Ich finde die aktuelle Version nicht so toll, weil ein Leser meinen könnte, dass das $\cong$-Symbol ganz allgemein für Isomorphie via kanonischer Abbildung stehen könnte, was natürlich Unsinn ist. Besser wäre also in meinen Augen, das $\cong$-Symbol in seiner ursprünglichen Bedeutung zu erläutern (also so wie ich es vorher gemacht hatte) und dann vielleicht anzumerken, dass hier der Isomorphismus bereits durch die kanon. Abb. gegeben ist.--MKI 13:57, 22. Sep 2005 (CEST)

Dann könnte man auch gleich zum "=" zurückkehren, denn das wird häufig als Symbol für einen kanonischen oder natürlichen Isomorphismus verwendet, genauso wie $\simeq$. Dass der Isomorphismus durch die kanonische Abbildung vermittelt wird, sollte nicht nur nebenbei erwähnt werden; sehr oft interessiert man sich bei der Frage der Isomorphie nicht nur für das "ob", sondern das "wie".--Gunther 14:01, 22. Sep 2005 (CEST)

Ein eigenes Symbol für "kanonische Isomorphie" habe ich noch nicht gesehen, glaube ich. Dass gelegentlich ein Istgleichzeichen verwendet wird, wo nur Isomorphie richtig wäre, schon, aber das halte ich nicht für einen guten Stil. Ich hoffe, dass dir mein neuer Überarbeitungsversuch besser zusagt.--MKI 14:15, 22. Sep 2005 (CEST)

Nicht so richtig. Solange man weiß, was man tut, spricht nichts dagegen, kanonische Isomorphismen mit Gleichheitszeichen zu schreiben; eine Unterscheidung ist auf jeden Fall sinnvoll. Ein endlichdimensionaler Vektorraum ist nun einmal "isomorpher" zu seinem Bidualraum als zu seinem Dualraum.

Was hieltest Du davon, im Artikel einfach zu sagen, dass die Abbildungen

$M/(M\cap N)\to M+N/N$ bzw. $M/N\to (M/Q)/(N/Q)$

Isomorphismen sind?--Gunther 19:02, 22. Sep 2005 (CEST)

Ich denke dass die Formeln in jedem Fall in der jetzigen Form bestehen bleiben sollten, weil man sie häufig so sieht.

Weil wir jetzt ohnehin weiter ausholen, möchte ich noch folgendes anmerken: Bei dem Begriff kanonische Abbildung ist mir nicht ganz wohl. Wann ist ein Objekt in der Mathematik kanonisch? Wahrscheinlich dann, wenn allen Leuten vom Fach sofort klar ist, welches Objekt gemeint ist, und wenn diese unabhängig voneinander alle das selbe Objekt meinen.

Deshalb mein Vorschlag: Die Formel bleibt wie sie ist. Die Erklärung zum $\cong$-Symbol bleibt ebenfalls. Dann schreiben wir die Isomorphismen explizit hin und setzen dahinter die Bemerkung, dass sie aufgrund ihrer Einfachheit kanonische Isomorphismen heißen.

Alternativ könnte man auch über das $\cong$-Symbol noch den Schriftzug kan. setzen (normalerweise mit \stackrel, aber das scheint hier nicht zu funktionieren), das wäre meiner Meinung nach noch die beste Möglichkeit, ein spezielles Symbol für die kanonische Isomorphie einzuführen.--MKI 19:24, 22. Sep 2005 (CEST)

Denk mal an Vektorräume. Will man $M/N\cong (M/Q)/(N/Q)$ für endlichdimensionale Vektorräume zeigen, muss man nur $m-n=(m-q)-(n-q)$ nachrechnen. Die eigentliche Aussage ist aber viel stärker: nämlich dass man auf beiden Seiten mit demselben Vertreter in $M$ rechnen kann.

"Kanonisch" ist ein unscharfes Wort, daran liegt mir nicht viel, meinetwegen kann man es auch durch "natürlich" ersetzen, das hat wenigstens eine präzise Bedeutung. Die Notation ist uneinheitlich, ich habe auch schon $\approx$ für nichtkanonische Isomorphismen gesehen; von Eigenkreationen halte ich wenig. Wichtig ist mir, dass es eben mehr ist als nur irgendeine Isomorphie.--Gunther 20:55, 22. Sep 2005 (CEST)

Ich habe den Eindruck, dass wir aneinander vorbeireden. Meine Standpunkte fasse ich nochmal stichpunktartig zusammen:

• Du hast völlig recht damit, dass es eine relevante Information ist, dass eine Isomorphie bereits durch einen kanonischen Isomorphismus gegeben ist (dass also mit den gleichen Vertretern gerechnet werden kann). In meiner ersten Änderung ist das rausgeflogen, nach deinem Zurücksetzen des Artikels habe ich aber sofort eingesehen, dass die Information wichtig ist und in irgendeiner Form im Artikel verbleiben sollte. Ein wenig habe ich den Verdacht, dass deine Kommentare (Dualraum vs. Bidualraum sowie Rechnen auf beiden Seiten mit den selben Vertretern) darauf abzielen, mich von dieser Sache zu überzeugen, obwohl ich nie einen konträren Standpunkt eingenommen hatte.
• Auch wenn in der Literatur für die Isomorphie unterschiedliche Symbole (mindestens $=,\cong ,\simeq ,\approx$) verwendet werden, sollten wir versuchen, das Symbol innerhalb der Wikipedia einheitlich zu wählen. Das Gleichheitszeichen ist wegen der Verwechslungsgefahr zur mengentheoretischen Gleichheit eine schlechte Wahl, und $\approx$ gefällt mir auch nicht gut, weil es zu sehr nach "ungefähr gleich" aussieht. Unter den verbleibenden beiden ist es mir einigermaßen egal, welches benutzt wird. Meine spontane Wahl wäre $\cong$.
• Meiner Meinung nach brauchen wir kein eigenes Symbol, um die kanonische Isomorphie gegenüber der gewöhnlichen Isomorphie abzugrenzen. In diesem Punkt bin ich mir über deine Meinung nicht im klaren. Was denkst du?
• Ich kann mich nicht erinnern, jemals in der Literatur ein eigenes Symbol für die kanonische Isomorphie gesehen zu haben, außer dass in einfachen Fällen manchmal ein Gleichheitszeichen gesetzt wurde.
• Solltest du ein eigenes Symbol für die kanonische Isomorphie befürworten, so es wäre meine Wahl, den Schriftzug kan. über das allgemeine Isomorphiesymbol zu setzen. Eine Neuschöpfung ist das eigentlich nicht, denn es ist nicht unüblich, das Symbol (beispielsweise ein $\phi$) des zum Nachweis erforderlichen Isomorphismus über das Isomorphie-Symbol zu setzen. Natürlich ist kan. kein Funktionssymbol, aber es sollte unmittelbar klar sein, was gemeint ist.

An dieser Stelle höre ich jetzt auf, ich möchte erstmal wissen was du bis hierher anzumerken hast.--MKI 22:53, 23. Sep 2005 (CEST)

Der Reihe nach:

• Ich denke, man könnte noch einen Schritt weiter gehen, und nicht sagen: "Sie sind isomorph, und wir kennen eine Abbildung", sondern: "Es gibt eine kanonische Abbildung, und sie ist ein Isomorphismus".
• Am häufigsten ist $\cong$.
• Wir brauchen kein festgelegtes Symbol, weil es keine strikte Konvention gibt, an die wir uns halten könnten.
• Ich suche mal Referenzen.
• Erübrigt sich.

--Gunther 00:23, 24. Sep 2005 (CEST)

Gut, dann scheinen sich unsere Ansichten ja zu decken. Ich habe nichts dagegen, zuerst von der kanonischen Abbildung zu sprechen und dann festzustellen, dass sie ein Isomorphismus ist. Weiter gehts:

• Dieser Artikel sollte nicht suggerieren, dass das Symbol $\cong$ kanonische Isomorphie bedeutet (Das war vor meiner ersten Änderung sowie nach deinem Zurücksetzen der Fall).
• Der Begriff kanonisch bereitet mir wie oben begründet Kopfschmerzen. Ich weiß auch nicht, was die präzise Bedeutung des Wortes natürlich sein sollte. Das von dir weiter oben eingebrachte Rechnen mit den gleichen Vertretern scheint mir aber ein guter Ansatz zu sein, dem Wort kanonisch auf eine besser verständliche Art auszuweichen.

Anmerkungen?--MKI 11:16, 24. Sep 2005 (CEST)

Dem ersten Punkt kann ich uneingeschränkt zustimmen. "Kanonisch" bedeutet für mich, dass man keine Wahl treffen musste. Das ist unpräzise (man kann natürlich statt $f$ einfach $-f$ wählen), aber meistens genügt das trotzdem. Beutelspacher rät von jeder Verwendung des Wortes "kanonisch" außer für die kanonische Abbildung $G\to G/H$ ab, das entspricht aber nicht der gängigen Praxis. Das Wort "kanonisch" ist in der Tat nicht unproblematisch, beispielsweise sind $A\times B$ und $B\times A$ kanonisch isomorph, allerdings gibt es für $A=B$ noch eine naheliegendere Abbildung.

"Natürlich" bedeutet, dass die Abbildung mit Wechsel der Objekte kompatibel ist, d.h. im eben genannten Beispiel: Sind $f\colon A_{1}\to A_{2}$ und $g\colon B_{1}\to B_{2}$ Abbildungen und ist $\sigma \colon A\times B\to B\times A$ die Vertauschung (jeweils), dann ist $(g\times f)\circ \sigma _{(A_{1},B_{1})}=\sigma _{(A_{2},B_{2})}\circ (f\times g)$. Allgemeine Definition siehe Kategorientheorie.--Gunther 11:57, 24. Sep 2005 (CEST)

Alles klar. Die Diskussion war ziemlich unnötig, schließlich stimmen wir so gut wie überall überein. Bau doch den Artikel mal so um, wie du ihn haben möchtest.

Zum Stichwort kanonisch: Das Buch "Das ist o.B.d.A. trivial!" habe ich hier. Auf Seite 66 steht: "Das Wort kanonisch wird für ein Objekt gebraucht, von dessen Sorte es zwar mehrere gibt, das aber aus seinen Artgenossen so deutlich herausragt, dass es "in gewissem Sinne" eindeutig ist." -- genauso sehe ich es auch. Übrigens bedeutet das Wort kanonisch meines Wissens ursprünglich "von Gott gegeben" (vgl. biblischer Kanon). In der Wikipedia halte ich das Wort kanonisch ohne eine weitere Erklärung für unpassend, weil nicht jeder Leser in der Lage sein dürfte zu erkennen, wann ein "Objekt aus seinen Artgenossen herausragt".

Von der Bedeutung des Worts natürlich in der Kategorientheorie habe (bzw. hatte) ich keine Ahnung, und der Beutelspacher scheinbar genausowenig: "Ähnlich wie kanonisch wird manchmal auch das Wort natürlich gebraucht. Hier müssen Sie natürlich die entsprechenden Vorsichtsmaßnahmen ergreifen." Übrigens schreibt Beutelspacher auch noch "Verwenden Sie es [das Wort kanonisch] für die kanonische Basis des Vektorraums $K^{n}$ uns sonst nicht!". Das hattest du wohl falsch in Erinnerung.--MKI 16:53, 24. Sep 2005 (CEST)

Ja, das hatte ich offenbar verwechselt. Aber ich halte das auch für einen der Fälle, in denen nichts schiefgehen kann. Aber mehr als zwei verschiedene kanonische Abbildungen sind mir auch sonst noch nicht begegnet ;-) Ich habe mich mal an einer kleinen Überarbeitung versucht, nur die Abbildungen in die Formeln zu schreiben erscheint mir inzwischen auch etwas zu karg. Mir ist dabei noch aufgefallen, dass wir in der Einleitung drei Isosätze ankündigen, aber dann nur zwei liefern...--Gunther 21:20, 24. Sep 2005 (CEST)

Die Überarbeitung gefällt mir ganz gut. Ich habe noch ein paar Kleinigkeiten verändert.--MKI 23:14, 24. Sep 2005 (CEST)

Danke, ich habe noch die Bezeichnungen für die Elemente vereinheitlicht.--Gunther 23:40, 24. Sep 2005 (CEST)

Anschauliche Erklärungen für die Isomorphiesätze

Ich habe mal anschauliche Erklärungen für die beiden Isomorphisätze hinzugefügt, ich finde diese anschaulichen Erklärungen für die doch sehr abstrakten Sätze als äußerst hilfreich zum "Gefühl kriegen" und zum Merken. Aber diese Analogien sind natürlich nicht 100% korrekt. Muss man das noch stärker herausarbeiten, oder ist sowas in so einem spezeillen Artikel gar nicht gewünscht? --Blubbalutsch 00:03, 6. Feb 2006 (CET)

Hm, also die Bezeichnung "Erklärung" finde ich ja etwas hoch gegriffen, "Merkhilfe" trifft es schon eher.--Gunther 10:58, 6. Feb 2006 (CET)

Ja, Merkhilfe ist das bessere Wort. :-) --Blubbalutsch 11:06, 6. Feb 2006 (CET)

Anschauliche Erklärungen

fehlen völlig. Für Nichtfachleute ein insgesamt und in allen Details absolut unverständlicher Artikel! Gibt es vielleicht verstehbare Beispiele dafür? --Dr.cueppers - Disk. 14:51, 18. Mär. 2007 (CET)

Ein Isomorphiesatz fehlt?!

Mir ist aufgefallen, dass in unserem Artikel im Gegensatz zum englischen Artikel nur zwei statt drei Isomorphiesätzen stehen; auch im Fischer (Lehrbuch der Algebra [1]) stehen 1. bis 3. Isomorphiesatz. Ich vermute also, dass der "erste" Isomorphiesatz bei uns ausgelassen wurde und somit ergänzt werden sollte. Lg --Star Flyer 18:01, 29. Jan. 2011 (CET)

Dabei handelt es sich um den Homomorphiesatz, wie in der Einleitung angemerkt ist. --80.171.208.38 18:12, 5. Jan. 2012 (CET)