Diskussion:Kleinsche Vierergruppe

Graphenbeispiel

In dem Graphenbeispiel unten: ist das ein Graph mit drei Knoten und einer doppelten Kante oder einer mit fünf Knoten und fünf Kanten? Den Isomorphismus zur kleinschen Vierergruppe sehe ich in keinem der beiden Fälle.--Gunther 00:43, 18. Mär 2005 (CET)

Das soll wohl   o--o   o--o--o   sein. Also 5 Knoten und 3 Kanten. Die englische Seite hat auch ein Bild aber von einem anderen Graphen (  o  o   o--o  ). (nicht signierter Beitrag von Torsten Hilgenberg (Diskussion | Beiträge) 01:07, 14. Mai 2006)

Ah ja, inzwischen verstehe ich es auch. Wobei die 2+3 ja ziemlich egal ist, Hauptsache, die beiden Komponenten sind unterschiedlich lang und damit nicht isomorph. Naja.--Gunther 01:12, 14. Mai 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das ist wohl schon lange gelöst.FerdiBf (Diskussion) 11:57, 28. Mär. 2016 (CEST)

Operationstafel

Warum kommt bei der Operationstafel bei a*b=c?

Ich verstehe diese Frage nicht. So ist es nun einmal, ansonsten wäre es vielleicht eine andere Gruppe.--Gunther 16:49, 5. Dez 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Hier hat der Fragesteller offenbar das nteresse verloren.FerdiBf (Diskussion) 11:26, 28. Mär. 2016 (CEST)

Diedergruppe

Isomorph zur Diedergruppe? zu welcher?

Ich sehe nicht, wieso die kleinsche Vierergruppe isomorph ist zur Diedergruppe der Ordnung 4 (ist das D4?). Diese Diedergruppe hat doch acht Elemente... Müsste es nicht die Diedergrupppe der Ordnung 2 sein? -- ardschi 22:20, 15.5.2006 (CET)

Nun ja, da isomorphe Gruppen gleich viele Elemente haben, muss sie wohl zur Diedergruppe mit vier Elementen sein, egal, ob Du jetzt die Konvention $D_{2}$ oder $D_{4}$ für diese Gruppe benutzt, und egal, ob Du im Fall der Konvention $D_{2n}$ das $n$ als Ordnung bezeichnest oder die Gruppenordnung $2n$.--Gunther 12:24, 16. Mai 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Seit langem geklärt, die aktuelle Version gibt die konkrete Diedergruppe an.FerdiBf (Diskussion) 11:28, 28. Mär. 2016 (CEST)

Benennung

Aus welchem Grund wird die Vierergruppe nach Felix Klein benannt? Ich weiß es leider nicht. --Hanfried.lenz 09:05, 13. Nov. 2007 (CET).

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das wird in der Einleitung bereits begründet.FerdiBf (Diskussion) 11:29, 28. Mär. 2016 (CEST)

Interessant für Nichtmathematiker

Die Kleinsche-Vierergruppe wurde auch vom Entwicklungspsychologen Jean Piaget in seine Überlegungen zur zunehmenden Fähigkeit von Kindern, logische Operationen durchzuführen, aufgenommen. Wäre schön, wenn jemand etwas dazu schreiben könnte, ich habe die entsprechende Literatur leider zur Zeit nicht vorliegen, werde mich in Zukunft aber mal darum kümmern. Bei Piaget handelte es sich bei den vier Operationen glaube ich um "Negation", "Reziprozität", "Identität" und "Korrelation". Operationen könnte dabei der falsche Begriff sein, zumindest aus Sicht des Mathematikers.

Hm, da in diesem Zusammenhang vermutlich "Identität" das neutrale Element ist, wäre zu klären, inwiesofern "Reziprozität" auf irgendeine Weise mit "Korrelation" verknüpft werden kann, um "Negation" zu erhalten, aber ohne mit Spatzen auf Kanonen zu schießen...--Hagman 21:11, 19. Feb. 2008 (CET)

Redirects und Möbiustransformationen

Hab 'Kleingruppe' und 'Kleinsche Gruppe' angelegt. Beide Bezeichnungen sind mir geläufiger. Kleingruppe ist möglicherweise ein Anglizismus. Mocy 23:04, 27. Mai 2008 (CEST)

Der Redirect von Kleinsche Gruppe nach Kleinsche Vierergruppe ist falsch. Kleinsche Gruppen sind diskrete Untergruppen der Gruppe PSL(2,C) der Möbiustransformationen. Mag sein, dass eine dieser Untergruppen der kleinschen Vierergruppe entspricht, aber zu "Kleinsche Gruppe" sollte es auf jeden Fall einen eigenen Artikel geben, denn das ist eine viel umfassendere Thematik (mit der ich mich leider nicht auskenne). 80.228.36.89

Ein gutes Argument! Ich habe jetzt unter den Stichwort Kleinsche Gruppe (bzw. Kleingruppe) erstmal eine entsprechende Begriffserklärungsſeite eingefügt. Leider fühle auch ich mich allerdings nicht kompetent genug, um einen entsprechenden Artikel über die Kleinschen Gruppen aus der Funktionentheorie zu schreiben – Freiwillige vor! --Frakturfreund 03:55, 16. Jul. 2009 (CEST)

Kleinsche Gruppe ist ja mittlerweile auch als Artikel vorhanden und enthält eine Verzweigung nach hierhin. Das habe ich umgekehrt auch nun so eingerichtet.--FerdiBf (Diskussion) 11:42, 28. Mär. 2016 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Begriffsverwirrungen sind durch Verzweigungshinweise ausreichend vermieden.FerdiBf (Diskussion) 11:42, 28. Mär. 2016 (CEST)

Formeln

Ich vermute dass mit den Z/2Z im Fließtext jeweils $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ gemeint ist. Bin mir aber nicht sicher. Wenn jemand dies bestätigen kann bitte diese Seite editieren und den LaTeX Code einfügen zwischen <math> in den Artikel einfügen, denn derzeit schaut dass unschön aus.--Methossant 23:37, 10. Dez. 2008 (CET)

Das scheint mir ganz eindeutig der Fall zu sein – ich werde das gleich mal entsprechend ändern. --Frakturfreund 14:09, 11. Jul. 2009 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Die gewünschte Änderung ist seit langem eingepflegt.FerdiBf (Diskussion) 11:31, 28. Mär. 2016 (CEST)

ohne a,b abgebildetes Rechteck

Die verwendete Bilddatei eines Rechtecks erscheint mir wegen der Seitenbezeichnungen "a" und "b" sowie der eingetragenen Diagonalen "d" für dieses Beispiel ungünstig zu sein. Wünschenswert wäre hier ein Rechteck ohne beschriftete Seiten, nur mit Eckenbenennung (links unten mit A beginnend), vielleicht auch mit punktierter senkrechter und waagrechter Mittelachse, doch ohne Diagonalen. Auch eine auf der Spitze stehende gestreckte Raute ohne Beschriftung, aber mit Diagonalen, würde noch daneben passen. Bisher konnte ich keine solchen einfachen Bilder finden. --nanu _*diskuss 22:49, 12. Jun. 2012 (CEST)

Diese Kritik war natürlich völlig berechtigt, die Bezeichnungen a und b in dem Rechteck standen sogar im Widerspruch zu den Bezeichnungen in diesem Artikel. Ich habe das Rechteck ausgetauscht.--FerdiBf (Diskussion) 11:54, 28. Mär. 2016 (CEST)

Einleitung

Wir lesen als Einleitung:

In der Gruppentheorie ist die Kleinsche Vierergruppe die kleinste nicht-zyklische Gruppe und – wie nur die zyklische Gruppe C_4 neben ihr – eine abelsche Gruppe der Gruppenordnung 4.

Man könnte den Satz auch so verstehen, dass es eventuell noch eine weitere Gruppe der Ordnung 4 gibt, die dann aber nicht abelsch ist. Dem ist ja nicht so, vielleicht sollte man daher die Einleitung umformulieren, um die Aussage etwas stärker zu machen. --Jobu0101 (Diskussion) 19:42, 12. Apr. 2013 (CEST)

Sollte man. Falls Du die umformulierte Einleitung noch verbessern kannst - gerne. --nanu _*diskuss 22:58, 12. Apr. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Die aktuelle Formulierung ist perfekt.FerdiBf (Diskussion) 11:34, 28. Mär. 2016 (CEST)

Graph unten

Bei dem unten abgebildeten Graph (vier Punkte im Quadrat mit nur einer durchgezogenen Linie links) besteht meiner Meinung nach die Automorphismengruppe nur aus zwei Elementen und nicht aus vier. Der korrekte Graph mit Automorphismengruppe Kleinsche Vierergruppe müsste auch noch auf der rechten Seite eine durchgezogene Linie haben (Numerierung der Ecken im Uhrzeigersinn).--Claude J (Diskussion) 17:24, 5. Jul. 2013 (CEST)

Meiner Meinung nach stimmt das so, wie es im Artikel steht: Die vier Knotenpermutationen müssten sein:

1  2     3  2     1  4     3  4
|        |        |        |
3  4     1  4     3  2     1  2

-- HilberTraum (Diskussion) 18:00, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ich ging eigentlich wie im Artikel von folgender Darstellung als Permutationen aus: (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3) (wie bei dem Rechteck). Die erste davon (1 2) (3 4) entspricht einer Spiegelung links-rechts, was eine Linie zwischen 2-4 erfordert. Aber wenn du die Darstellung (1 3), (2 4) und (1 3) (2 4) nimmst hast du natürlich recht.--Claude J (Diskussion) 18:22, 5. Jul. 2013 (CEST)

Die Definition der Grahen-Automorphismen ist eindeutig und unabhängig davon, wie Du die Permutationen der Ecken darstellst. Nochmal zu Deiner ursprünglichen Frage, ob man bei dem Graphen nicht noch eine Linie ergänzen sollte: $G=E,V=(\{1,2,3,4\},\{(1,2)\})$ und $G'=(\{1,2,3,4\},\{(1,2),(3,4)\})$ haben tatsächlich die gleiche Automorphismengruppe ($\phi _{1}={\text{id}},\phi _{2}=(12),\phi _{3}=(3,4),\phi _{4}=(12)(34)$), eben die Kleinsche Vierergruppe. Aber wir Mathematiker sind faul, also warum sollte man zwei Linien einzeichnen, wo es eine doch auch tut ;). --Frakturfreund (Diskussion) 20:22, 5. Jul. 2013 (CEST)

Hmm, gibt's denn bei zwei Linien nicht noch mehr Automorphismen, z.B. $(13)(24)$ bei $G'$? -- HilberTraum (Diskussion) 20:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ups, Du hast vollkommen Recht: G' hat natürlich mehr Automorphismen als G – (1 3)(2 4) und (1 4) (2 3). Mein Fehler! --Frakturfreund (Diskussion) 22:52, 5. Jul. 2013 (CEST)

Der Graph mit den zwei Linien hat die Kleinsche Vierergruppe (V) als Symmetriegruppe, wenn man die Automorphismen auf Bewegungen in der euklidischen Ebene einschränkt (Drehungen, Spiegelungen, in diesem Fall nur Spiegelungen), also nur gerade Permutationen. Das ergibt auch eine natürliche Interpretation in der Reihe der Diedergruppen (D2 ist isomorph V): D1 Symmetriegruppe der Linie, D2 von zwei gegenüberliegenden Linien in einem Quadrat, D3 gleichseitiges Dreieck, D4 Quadrat etc.--Claude J (Diskussion) 06:50, 6. Jul. 2013 (CEST)