Diskussion:Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem

Sehr Technischer eintrag. Gedacht als grundlage für weiteres. 130.92.9.58

Korrekt?

"Das Hauptresultat der KAM-Theorie garantiert die Existenz von quasiperiodischen Lösungen für eine gewisse Klasse von Differentialgleichungen. Eine wichtige Unterklasse davon bilden die Differentialgleichungen für das sogenannte N-Körperproblem."

Ich glaube nicht, dass das stimmen kann! Das KAM-Theorem handelt von kleinen Störungen integrierbarer Systeme. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das N-Körper Problem allgemein darunter fällt. Das würde ja bedeuten, dass es immer ein Hamiltonsches System mit 3N ersten Integralen gibt, dass es "approximiert"... Soweit ich weiß erfordert es schon sehr viel Arbeit, ein KAM Resultat überhaupt auf das 3-Körper Problem anzuwenden und das entsprechende Resultat ist nicht verallgemeinerbar.

Oder sehe ich hier etwas falsch?

--93.135.39.137 12:28, 11. Jul. 2013 (CEST)

Überarbeiten

Lemma wird nicht erklärt. --chrislb 问题 20:42, 26. Aug 2006 (CEST)

Lemma sollte nun erklärt sein, d.h. den überarbeiten baustein ausgefügt. StollenTroll 11:28, 15. Dez. 2006 (CET)

Verlinkung

Dieser Artikel enthält viele Begriffe, die einem Leser, der etwas über das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem erfahren möchste, wahrscheinlich unbekannt sind. Das betrifft unter anderem

• quasiperiodisch
• autonome hamiltonsche Störung
• resonanter Torus

Können wir da geeignete Links setzen bzw. fehlende Erklärungen nachreichen?--FerdiBf 21:54, 11. Aug. 2008 (CEST)

Abschnitt Anwendung Biologie

Ehe das hier noch weiter ausgebaut wird, aus dem zitierten populärwissenschaftlichen Artikel geht nur hervor, dass der goldene Schnitt auch in der KAM-Theorie eine gewichtige Rolle spielt, nicht dass diese in diesen Systemen anwendbar wäre (so weit ich sehe sind das Reaktions-Diffusionssysteme, keine Hamiltonschen Systeme). Das sollte dann entweder belegt werden (Anwendungen KAM-Theorie in Biologie) oder ganz entfernt, denn das betrifft dann nur den goldenen Schnitt über den es einen ausführlichen Artikel gibt (auch mit Anwendungen in der Biologie). PS: der ganze Artikel müsste eigentlich ausgebaut und exakter gefasst werden, der englische Artikel ist auch nicht sonderlich (siehe auch die vielen kritischen Anmerkungsbausteine im Text der engl. wiki)--Claude J (Diskussion) 06:51, 26. Mai 2021 (CEST)

Man kann die Ordnungsliebe auch übertreiben. Klar ist dass Freistetters irrationalste von allen Zahlen (Goldener Schnitt) sowohl für das KAM-Theorem (Physik) als auch für die Biologie von hoher Bedeutung ist. Da in beiden Gebieten "stabile Systeme" exstieren, existiert ein guter Grund das im Artikel einzupflegen. Um so mehr weil Freistetter (der Link ddhin) auch anschaulich erklärt was das KAM-Theorem leistet (im Gegensatz zum Artikel) --2003:C9:C705:2200:1CA2:35DC:3DA4:4998 07:33, 29. Jul. 2021 (CEST)

Nein, das ist ein grundlegender Punkt, da es um die Anwendbarkeit des KAM-Theorems geht. Gegen die Erwähnung des Goldenen Schnitts beim KAM-Theorem habe ich natürlich nichts, das wird auch in der Literatur so dargestellt, die Rolle des Goldenen Schnitts geht aber weit über das KAM-Theorem hinaus. Das liegt an den grundlegenden Eigenschaften der Goldene-Schnitt-Zahl, insbesondere ist sie sehr schlecht approximierbar durch rationale Zahlen und steht in einem Zusammenhang mit Fibonaccireihen. Genau diese beiden Eigenschaften sind es auch die im Artikel Goldener Schnitt bei den Beispielen aus der Biologie (Sonnenblume...) herangezogen werden. Das KAM-Theorem taucht erst im folgenden Abschnitt zu Anwendungen in der Himmelsmechanik auf (Bahnresonanzen). Das sind vom Typ der zugrundeliegenden Differentialgleichungen/Dynamischen Systeme aber ganz andere Systeme. Ich wüsste auch nicht auf ganz formaler Ebene, wo in der Literatur das KAM-Theorem zu den von dir genannten Beispielen in der Biologie herangezogen würde, wenn du einen solchen kennst führe ihn bitte an. Der von dir zitierte populärwiss. Artikel spricht sich wenn du ihn genau durchliest auch nicht für eine solche Erklärung aus, der Autor schreibt nur nach der Anführung der Beispiele aus der Biologie, dass er sich an die Rolle des Goldenen Schnitts auch an die KAM-Theorie erinnern würde. Übrigens ist die schlechte Approximierbarkeit durch rationale Zahlen auch der Grund warum der Goldene Schnitt beim KAM-Theorem eine Rolle spielt.--Claude J (Diskussion) 07:50, 29. Jul. 2021 (CEST)

Es mag sein dass das ganz andere Systeme sind, das Gemeeinsame aller ist aber dass sie wechseln können von chaotischen zu robusten Zuständen:

"Das KAM-Theorem beschreibt, wie robust stabile Zustände gegenüber äußeren Störungen sind und wann sich ein stabiler Zustand zu chaotischem Verhalten wandelt (...) Systeme, die durch den goldenen Schnitt beschrieben werden können, sind (...) besonders stabil. Es ist also auch nicht überraschend, dass man den goldenen Schnitt überall in der Natur findet. Zum Beispiel bei der Anordnung von Pflanzenblättern..."

https://www.spektrum.de/kolumne/die-irrationalste-aller-zahlen/1430636 Freistetter hat hier also nicht nur eine vage "Erinnerung" sondern legt den Zusammenhang klar und damit eine wunderbare Möglichkeit, Instabil-Robust als grundsätzliche Aspekte des Kam-Theorems durch den Link zur Flora zu illustrieren. Mir ist immer noch nicht klar wo für Dich das Problem liegt. In der Annahme dass im Artikel nur die Anwendbarkeit des KAM-T. zu erscheinen habe? Unter der Voraussetzung gäbe ich Dir natürlich recht, aber wie gesagt: Man kanns mit dem gut gemeinten Vorsatz, Chaos durch Ordnung zu unterbinden, auch übertreiben. "Gegen die Erwähnung des Goldenen Schnitts beim KAM-Theorem habe ich natürlich nichts, das wird auch in der Literatur so dargestellt, die Rolle des Goldenen Schnitts geht aber weit über das KAM-Theorem hinaus." Was soll das "aber" da? Ist doch völlig außer Diskussion dass die irrationalste von allen Zahlen nicht lediglich im KAM-T. auftaucht. --2003:C9:C705:2200:1CA2:35DC:3DA4:4998 22:44, 29. Jul. 2021 (CEST)

Das ist alles sehr schwammig (und deine Lesart von Freistetter teile ich wie gesagt nicht), instabil-stabil ist doch kein spezielles Herausstellungsmerkmal der KAM-Theorie, sondern der gesamten Chaostheorie, und da gibt es, wie eine der grundlegenden Erkenntnisse dieser Theorie war, viele verschiedene Wege zum Chaos. Die KAM-Theorie macht ganz spezifische Aussagen für klar abgegrenzte Theorien (Hamiltonsche Systeme, solche mit Erhaltungssätzen, die isolierte, invariante Tori im Phasenraum, also elliptische Fixpunkte, aufweisen). Mag sein dass es die auch in der Biologie gibt (diskutiert wird das bei einigen Modellen der Populationsdynamik, Lew Ginzburg, Mark Colyan, Ecological Orbits, Oxford UP 2004), aber das wird im Allgemeinen nicht als Anwendungsgebiet der KAM-Theorie gesehen (sondern Himmelsmechanik mit i. A. wenigen Körpern, in der Biologie gibt es aber wie in statistischer Mechanik i.A. viele miteinander wechselwirkende Objekte und es treten i.A. offene Systeme im thermodynamischen Sinn auf, Fließgleichgewichte etc.) und wenn dann solltest du das belegen. Freistetters populärwiss. Aufsatz hilft da auch nicht weiter, er bringt keine Literaturverweise.--Claude J (Diskussion) 06:34, 30. Jul. 2021 (CEST)

Nachtrag: so weit ich weiss ist die genaue Ursache des Auftretens von Fibonacci-Folgen und Goldener Schnitt bei Phyllotaxis nicht bekannt, man weiss nur was das bewirkt (Blätter erhalten mehr Licht und können mehr Regenwasser auffangen da versetzt angeordnet). Eine Erklärung bzw. Nachweis in einem halbwegs realistischen mikroskopischen Modell gibt es nicht (offene Frage). Dass ist aber Vorraussetzung um überhaupt eine Rolle des KAM-Theorems zu diskutieren und nicht nur zu spekulieren.--Claude J (Diskussion) 07:04, 30. Jul. 2021 (CEST)

"Die KAM-Theorie macht ganz spezifische Aussagen.." -> Nichts was ich bestreite... "deine Lesart von Freistetter teile ich wie gesagt nicht)" Da lohnt sich genauer zu fragen: Du bist also nicht der Auffassung dass Freistetters Link zur Flora geeignet sei für eine Illustration dessen was Naturwissenschaft u.a. im KAM-Theorem unter chaotischen und robusten Systemen versteht? "instabil-stabil ist doch kein spezielles Herausstellungsmerkmal der KAM-Theorie..." Natürlich nicht; behaupte ich auch nicht... "Eine Erklärung bzw. Nachweis in einem halbwegs realistischen mikroskopischen Modell gibt es nicht (offene Frage). Dass ist aber Vorraussetzung um überhaupt eine Rolle des KAM-Theorems zu diskutieren und nicht nur zu spekulieren." Wenn "Anwendbarkeit (des KAM-Theorems)" der Punkt sein sollte an dem wir bislang tendenziell aneinander vorbeigeredet haben, dann möchte ich hier nochmals hervorheben, dass der Link zur Flora - in solchem Sinne aufgefasst - in der Tat nicht geeignet wäre. Immerhin aber gibt es durch den Goldenen Schnitt wenigstens eine herausstechende Gemeinsamkeit, wodurch also gerechtfertigt ist den Link im Artikel zu platzieren. Um nämlich zu illustrieren was das KAM-Theorem ganz von Grund auf (nicht als "Alleinstellungsmerkmal") unter einem robusten (nicht-chaotischen) System versteht... "Das ist alles sehr schwammig" -> Das ist eine mögliche Option meinen Standpunkt zu interpretieren. Als Gegenthese wäre zu bedenken dass das was Dir als schwammig erscheint ein Produkt Deiner m.E. überzogenen Ordnungsliebe sein kann. Es ist ja nun weiß Gott nicht so dass Freistetters Link zur Flora groben Unfug in Wikipedia einpflegen würde, oder in den Naturwissenschaftsbetrieb überhaupt. --91.59.200.156 18:01, 30. Jul. 2021 (CEST)

Das hat mit Ordnungsliebe nichts zu tun. Es ist schlicht und einfach falsch und irreführend hier diese Biologie-Anwendungen reinzubringen. Ich gebe zu dass das für Laien schwer verständlich ist und kündige hiermit an, den Artikel demnächst zu bearbeiten, was ich schon länger vor hatte. Vielleicht wird das dann klarer. PS: Du brauchst meine Aussagen nicht zu wiederholen oder fettzudrucken, sie stehen eins drüber.--Claude J (Diskussion) 18:34, 30. Jul. 2021 (CEST)

Die Flora reinzubringen wäre allerdings wie gesag dann grottenfalsch wenn der Zweck davon sein soll eine Möglichkeit der "Anwendung des KAM-Theorems" zu illustrieren. Das ist grade nicht das Argument, das ich oben angeführt habe, und müsstest Du das eigentlich auch wissen. --91.59.200.156 20:37, 30. Jul. 2021 (CEST)

?Instabil viel seltener als als stabil?

hier heißt es: Quasiperiodische Lösungen können nahe beieinander liegen, aber zwischen ihnen können instabile Bahnen liegen, so dass in der Praxis wegen beispielsweise endlicher Messgenauigkeit nicht entschieden werden kann, ob man sich auf einer stabilen oder instabilen Bahn befindet. Für das Planetensystem kann gezeigt werden, dass die instabilen Bahnen sehr viel seltener sind als die stabilen.. Also dass die instabilen Bahnen sehr viel seltener sind als die stabilen ist nicht möglich, jedenfalls nicht wenn Singularitäten auch als Bahnen bezeichnet werden. In verteilten dynamischen System sind die stabilen Bereiche von einander durch Seperatrixen (die instabilen Grenzen ihrer Einfluss-Zonen) getrennt, so dass sich - zumindest in 2-dimensionaler Projektion - immer eine Art gefingertes Muster ergibt, bei dem zwischen dem "Sein" immer das "Nicht-Sein" sich zeigt. Also schon statt Quasiperiodische Lösungen können nahe beieinander liegen, aber zwischen ihnen können instabile Bahnen liegen, muss es lauten: Quasiperiodische Lösungen können nahe beieinander liegen, aber zwischen ihnen liegen instabile Grenzen (?Bahnen?). Die Topologie im mehr-dimensionalen Raum lässt es zu, dass ausgedehnte stabile, aber auch instabile Zonen so "durchlöchert" sind, wie ein "Schweizer Käse", so dass in der Tat die Anzahl solcher "Wurmgänge" nicht ungefähr gleich ist. Jede stabile Bahn ist von einer, möglicherweise sehr stark begrenzten Attraktions-Zone umgeben, alle Bewegungen in dieser Zone laufen letztlich (Störungeen werden ausgeglichen) in diese Bahn, periodische oder quasiperiodische Störungen machen diese Bahnen kompliziert, so dass ein Himmelskörper scheinbar zwischen zwei oder mehreren "Bahnen" hin und her zu pendeln scheint. --TumtraH-PumA (Diskussion) 06:32, 6. Sep. 2022 (CEST)