Diskussion:Kommutativgesetz

Subtraktion und Division

Die Subtraktion oder Division rationaler Zahlen, kann ebenfalls von dieser Regel erfasst werden, wenn man die Subtraktion als eine Addtion einer negativen Zahl und die Division als eine Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors auffasst. Die Division durch Null ist verboten.

a -b = a + (-b) = -b + a 
a / b = a * (1/b) = (1/b) * a

Ich habe den Text gelöscht, denn die Addition einer negativen Zahl ist eben eine Addition einer negativen Zahl und keine Subtraktion. --NeoUrfahraner 04:28, 1. Mär 2005 (CET)

Warum steht dann unter Subtraktion, dass die "Subtraktion nichts anderes als eine Addition mit dem inversen Element ist" ? Ich habe in meinem Studium eigentlich auch nichts von einer Subtraktion gehört, sondern nur von einer vereinfachten Schreibweise der Addition eines Inversen Elements (hieraus ergeben sich auch keine weiteren Probleme...) Eigentlich gibt es also gar keine Subtraktion ;-) (nicht signierter Beitrag von 91.89.45.232 (Diskussion) 20:13, 26. Okt. 2010 (CEST))

Matrizenmultiplikation

kann kommutativ sein! zb wenn man nur die Menge :{einheitsmatrix und nullmatrix} betrachtet.kann man realy was dazu schreibn????

Ja kann man. Natürlich !

Was ist richtig

Kommutativgesetz oder Kommutativitätsgesetz? Der Artikel heißt ja klar Kommutativgesetz, ist Kommutativität dann die Eigenschaft? Also kann etwas besser nicht "kommutiv" sein, sondern "kommutativ" - ach ne das würde sich nichts nehmen... "alg. Struktur auf Kommutativität prüfen" - "prüfen, ob das Kommutativgesetz gilt" ? Aber Kommutativitätsgesetz klingt ja auch nicht falsch - nur länger eben. Wo sind die Deutschlehrer hier? ^^ Grüße --WissensDürster 22:21, 10. Feb. 2009 (CET)

Unendliche Summen

Afaik gilt das KG nicht bei unendlichen Summen. Könnte das in den Artikel eingebaut werden? -- mafutrct 14:59, 26. Jul. 2009 (CEST)

Artikel-Verständlichkeit

Nun, ich finde grundsätzlich sehr schön, dass WP oft wissenschaftlich und exakt ist... Aber hier stimmen m.E. Gewichtung und Reihenfolge nicht (vergleiche die OmA-Regel): - Der einleitende Satz (sehr schön, dass es den gibt!) wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden sollte auf die math. Begriffe Argument, Operation verzichten (z.B.: Bestandteile, Rechnung).

- Dann könnte zur einfachen Illustration der einfachste Fall (reelle Zahlen) gezeigt werden -- spätestens da und damit dürfte den meisten LeserInnen (ab ca. 10-12 Jahren) schon klar werden, was das Kommutativgesetz besagt.

- Erst dann könnte der Abschnitt 'Formale Definition' das Thema genauer, hier auch: allgemeiner angehen.

Einverstanden...? Widerspruch...? Physiosoziologicus 12:17, 29. Nov. 2009 (CET)

Kommutativgesetz der Addition

In einer Summe können wir beliebig Summanden vertauschen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Die Buchstaben a und b seien beliebige Zahlen, dann gilt immer:

a + b = b + a

Ein Beispiel: 47 + 84 = 84 + 47 = 131

Das Kommutativgesetz gilt für eine beliebig große Anzahl von Summanden. Dies kann man auch nutzen, um in größeren Termen Rechenvorteile zu bekommen. Auch das hoffentlich bekannte Assoziativgesetz bietet zusätzlich Hilfe.

Das Kommutativgesetz (deutsch: Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist und lautet wie folgt:

a+b = b+a

bzw.

ab = ba Ableitungen

Hieraus folgt ferner:

a-b = a+(-b) = (-b)+a = -b+a

bzw.

a/b = a(1/b) = (1/b)a Beispiele

   * 7+21x = 21x+7
   * 12+16x-28 = 16x+12-28 = 16x-16 (nicht signierter Beitrag von Slyly (Diskussion | Beiträge) 14:22, 21. Feb. 2010 (CET)) 

Der allgemeine Fall

Ist die dort untergebrachte Definition überhaupt nützlich? Verwendet das jemand? Quellen? Ich meine, wenn man eine n-stellige Funktion hat, die nach der gegebenen Definition kommutativ ist, kann man die doch ziemlich sicher auch aus einer Komposition mehrerer Instanzen einer 2-stelligen kommutativen Operation gewinnen. So kommt es mir jedenfalls vor, nachdem ich eine Minute darüber nachgedacht habe...--Daniel5Ko 23:48, 24. Mai 2010 (CEST)

Oh, es geht natürlich nicht, da von Aⁿ nach X abgebildet wird. Aber Quellen wären dennoch interessant.--Daniel5Ko 23:58, 24. Mai 2010 (CEST)

Frage evtl. direkt bei Benutzer:JFKCom nach; der Eintrag stammt anscheinend von ihm: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kommutativgesetz&diff=prev&oldid=11141235 --NeoUrfahraner 10:42, 25. Mai 2010 (CEST)

Das wäre auch 'ne Idee. --Daniel5Ko 21:37, 25. Mai 2010 (CEST)

Ergänzung zur Klarstellung meines Problems: Wenn f nach der genannten Definition kommutativ ist, dann kann es als $f=f\circ g\circ h$ geschrieben werden, wobei $g\circ h$ nicht unbedingt die Identität ist, h mittels Multimengenvereinigung (welche zweistellig und kommutativ ist) definiert ist, g eine beliebige "Linearisierung" einer Multimenge zu einem Tupel darstellt, und $f\circ g$ "in den meisten Fällen" (so meine Vermutung) simpler zu definieren ist, als f und g separat — so simpel, dass die Kommutativität in Gesamtheit eher von h stammt. --Daniel5Ko 22:15, 25. Mai 2010 (CEST)

Was mir so als Beispiel einfällt, wäre der Absolutbetrag des Spatprodukts oder allgemeiner der Absolutbetrag einer Determiniante als Funktion der Zeilen bzw. der Spalten. Diese Beispiele empfinde ich aber als ein wenig künstlich. --NeoUrfahraner 10:15, 26. Mai 2010 (CEST)

Vielleicht ein besseres Beispiel: Mittelwertbildung: $\left(x_{1},\dots x_{N}\right)\mapsto {\frac {1}{N}}\sum _{n}x_{n}$ (sowie alle verwandten Operationen wie Median, Modus, Momente etc.) --NeoUrfahraner 10:27, 26. Mai 2010 (CEST)

Hmm, das Spatproduktsquadrat war kein schlechtes Beispiel. Jedenfalls besser als Mittelwertbildung und Moment (weil letztere ihre Kommutativität ziemlich direkt von der der zweistelligen Addition erben). Und besser als Median (kommutativ wegen Sortierung, welche mittels $(x,y)\mapsto (\mathrm {min} \{x,y\},\mathrm {max} \{x,y\})$ gebastelt werden kann)... Naja, egal. Danke für die Diskussionsbeteiligung. :) --Daniel5Ko 19:39, 26. Mai 2010 (CEST)

Naja, die zweistellige Operation beim Mittelwert ist eigentlich ${\frac {1}{N}}\left(x_{N}+(N-1)f\left(x_{1},\dots ,x_{N-1}\right)\right)$, die ist nicht sehr kommutativ. Wie Du die Sortierung bei mehr als nur 2 Elementen einfach mit min und max beschreiben willst, sehe ich auch nicht. Die zweistellige Operation bei Stichprobenvarianz wird auch interessant. Generell fallen mir bei Statistik noch viel mehr Beispiele ein, etwa die Regressionsgerade oder so ziemlich alle statistische Tests, die von en:iid ausgehen. --NeoUrfahraner 23:58, 26. Mai 2010 (CEST)

Meine Interpretation: n ist fest, bevor die n-stellige Operation definiert wird. Daher ist die Durchschnittsbildung als 1.) Skalierung der Argumente mit 1/n [da hier jedes Element für sich betrachtet wird, spielt die Vertauschung gar keine Rolle]; 2.) Summation [hier spielt die Vertauschung aufgrund der Kommutativität von + keine Rolle]; definierbar.

Zur Sortierung mittels min und max: (Haskell)

   sort :: Ord a => [a] -> [a]
   sort [] = []
   sort els = m : sort rest
    	where (m, rest) = runningMin' els
   
   -- (runningMin' gibt *ein* Minimum und die restliche Liste zurück)
   runningMin' (x:xs) = h x xs where
   	h m [] = (m, [])
   	h m (x:xs) = second (higher:) $ h lower xs
   		where (lower, higher) = (min x m, max x m)

Für im Vorhinein bekannte n lässt sich das auch fester verdrahten — ohne auf Rekursion o.ä. angewiesen zu sein. Auf den restlichen Inhalt gehe ich jetzt nicht ein, weil's leider schon zu spät ist. Aber viel sinnvolles hätte ich wahrscheinlich eh nicht zu sagen ;) . [runningMin' ist ein schlecht gewählter Name] --Daniel5Ko 01:26, 27. Mai 2010 (CEST)

Das heißt also, Du bist der Meinung, dass "Der allgemeine Fall" nicht nützlich ist? --NeoUrfahraner 07:04, 27. Mai 2010 (CEST)

Der allgemeine Fall beschreibt die Voraussetzungen an die Kommutativität einer n-stelligen Verknüpfung; wie kann diese unnütz sein? Um die Kommutativität einer n-stelligen Erweiterung einer ursprünglich binären Verknüpfung (Beispiel: Addition auf den reellen Zahlen) zu zeigen, muss beweistechnisch zusätzlich die Assoziativität der binären Verknüpfung verwendet werden. Ein konkretes Konstrukt (illustrativ wäre: aus einer 2-stelligen, kommutativen und nicht-assoziativen Verknüpfung stammende 3-stellige kommutative Verknüpfung) fällt mir spontan nicht ein; vielleicht wäre es im Bereich der nicht-assoziativen Algebren zu suchen. Aber Beispiele wie oben genannt – auch die p-Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ fällt mir hier ein – sind doch meines Erachtens genügend, da hier nicht einfach die n-stellige Erweiterung einer binären Verknüpfung vorliegt.--JFKCom 08:24, 27. Mai 2010 (CEST)

Zitat: 'Um die Kommutativität einer n-stelligen Erweiterung einer ursprünglich binären Verknüpfung (Beispiel: Addition auf den reellen Zahlen) zu zeigen, muss beweistechnisch zusätzlich die Assoziativität der binären Verknüpfung verwendet werden.' ← Mir ging es eben um n-stellige Operationen, die nicht Erweiterungen von zweistelligen sind (und dass für die Erweiterung scheinbar meistens Assoziativität mitbenutzt werden muss, habe ich mal ignoriert). Gibt es sowas? Etc. NeoUrfahraners Spatprodukt-Beispiel liefert so etwas. Auch wenn es ein wenig darunter leidet, dass die Kommutativität erst durch die anschließende Quadrierung aus einer Antikommutativität gewonnen wird... --Daniel5Ko 02:00, 28. Mai 2010 (CEST)

Ich habe jetzt einen Abschnitt mit Beispielen für den allgemeinen Fall angelegt, von mir aus kannst Du gerne noch andere ergänzen (etwa die p-Norm; die lässt sich allerdings tatsächlich als Verknüpfung der zweistelligen Operation $a\circ b={\sqrt[{p}]{a^{p}+b^{p}}}$ deuten.

PS: Da antikommutativ schon drin ist, sollen wir Glossar_mathematischer_Attribute#hermitesch (komplexes Skalarprodukt) auch aufnehmen? --NeoUrfahraner 14:02, 27. Mai 2010 (CEST)

Ich bin eigentlich grundsätzlich gegen Nennung von vielen Minimalabwandlungen und Beispielen. Ich würde eher die Antikommutativität 'rausnehmen. Auch die kürzlich von mir editierte Bemerkung über die Verwandtschaft zur Symmetrie von Relationen finde ich eigentlich ein wenig zu viel des guten. Kurz: beim Thema bleiben! Aber das ist nur meine Meinung. --Daniel5Ko 23:30, 28. Mai 2010 (CEST)

Antikommutativität könnte man rausnehmen, wenn wir ein deutsches Gegenstück zu en:Anticommutativity hätten. --NeoUrfahraner 22:27, 30. Mai 2010 (CEST)

Genau. --Daniel5Ko 23:24, 30. Mai 2010 (CEST)

PPS: Jetzt habe ich es gefunden: die übliche Bezeichnung ist symmetrische Funktion --NeoUrfahraner 18:05, 27. Mai 2010 (CEST)

Hmm, vielleicht. Aber bloß keinen Aktionismus aufkommen lassen. :) --Daniel5Ko 02:00, 28. Mai 2010 (CEST)

An welche Art von Aktionismus denkst Du? Sofern keine Quellen gefunden werden, ist die Verwendung von "kommutativer Funktion" statt "symmetrischer Funktion" eine Begriffsfindung. Hier müssten wir schon eine saubere Lösung überlegen. --NeoUrfahraner 09:47, 28. Mai 2010 (CEST)

Nun ja, ich meinte lediglich: Dass wir jetzt auf die Schnelle keine Quelle finden, heißt ja nicht, dass es keine gibt. Und angesichts der Tatsache, dass das schon jahrelang dasteht, besteht wenig Anlass, das innerhalb der nächsten Tage 'rauszunehmen, falls sich keine Quelle findet. --Daniel5Ko 22:41, 28. Mai 2010 (CEST)

Meines Wissens wird der Begriff der „Kommutativität“ nur auf zweistellige Verknüpfungen angewandt. Es gibt kommutative Gruppen, Ringe und Algebren, aber keine mehrstelligen kommutativen Verknüpfungen oder gar kommutative Funktionen. Da für diese Begriffsbildung keine Quelle angegeben wurde, habe ich sie nun aus dem Artikel entfernt. Stattdessen habe ich den Artikel Symmetrische Funktion unter "Siehe auch" verlinkt, der das gleiche Konstrukt behandelt und als Begriff etabliert ist. Gegebenfalls kann man dort noch das ein oder andere Beispiel von hier ergänzen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:21, 20. Jan. 2013 (CET)

Skalarprodukt des Nabla-Operators

Vielleicht sollte man nochmal extra erwähnen (beim Skalarprodukt), ob (Nabla, A)=(A, Nabla).--130.149.58.221 14:36, 3. Jul. 2012 (CEST)

grundlegende Regeln der Algebra?

• Im einleitenden Abschnitt heißt es:

"Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra."

• Grundlegende Regeln der Algebra sind nicht Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz; es gibt Nicht-Kommutative Algebren, ohne diese könnte die ganze Quanten-Physik nicht mathematisch dargestellt werden. Max Born hat in seinem Briefwechsel mit Einstein, darauf hingewiesen, dass Heisenberg diese Nicht-Kommutative-Algebra nicht verstanden hatte, und deswegen sein Geheimnis mit der Unschärferelation und der Matritzenmechanik verbreitet hat. Unter Mathematikern war die Nicht-Kommutativität der Multiplikation von bestimmten Matrizen längst bekannt. In http://www.wissenschaft-online.de/artikel/866465 ist auf Borns Formulierung verwiesen: "Das drückte Born im Juli 1925 mit der Matrizenformel pq-qp=(h/2πi)I aus, die heute auf seinem Grabstein in Göttingen steht."
• Vielleicht lässt sich das oben von mir kritisierte so formulieren:

"Ob Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz gelten oder auch nicht, bestimmt grundlegend die Struktur einer Algebra." Gruß --TumtraH-PumA (Diskussion) 23:13, 11. Mai 2013 (CEST)

Matrizenrechnung

Hier könnte noch ein Verweis auf Hermitesche Matrix#Direkte Folgerungen aus der Definition

• Hermitesche Matrizen sind normal, d. h $A^{*}\cdot A=A\cdot A^{*}$
• sinnvoll sein, auf eine Klasse von quadratischen Matrizen, die mit ihrer konjugiert Komplexen multiplikativ kommutativ sind.

--TumtraH-PumA (Diskussion) 23:28, 11. Mai 2013 (CEST)

Es seien A und Fehler beim Parsen(Unbekannter Fehler): X

Ich kann einen Fehler im Quelltext nicht finden, der zu dieser Meldung auf der Seite führt. Wenn ich die aktuelle Artikelversion aus der Verionsgeschichte abrufe, ist der Fehler nicht vorhanden, wenn ich den Artikel zur Bearbeitung öffne und ohne änderung die Vorschau speichere, ist der Fehler auch nicht vorhanden.

Im Abschnitt "Reelle Zahlen" taucht der Fehler noch einmal auf.

Ich ändere speichere daher nichts ab. Was kann den Fehler verursacht haben? 93.192.164.195 14:07, 9. Feb. 2014 (CET)

Es gibt momentan ein leider Problem bei der math-Umgebung, s.a. Portal_Diskussion:Mathematik#Latex-Rendering_kaputt Gruß--Frogfol (Diskussion) 14:10, 9. Feb. 2014 (CET)

abelsch

irgendwie sollte rein. Das kommutativ (grade bei Gruppenelementen) auch abelsch genannt wird. (nicht signierter Beitrag von 2001:7C0:409:8900:F924:3886:E1DB:4E2C (Diskussion | Beiträge) 12:42, 8. Sep. 2014 (CEST))

Kommutativ- und Assoziativgesetz unabhängig voneinander?

Bei der Potenzierung auf einem Magma kann man offensichtlich zwei verschiedene Potenzoperationen definieren, die (traditionelle) "Rechtspotenz" mit a¹ := a und aⁿ := a^n-1 * a sowie eine "Linkspotenz" mit a¹ := a und aⁿ := a * a^n-1, die im allgemeinen Fall zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, da (a * ... * a) * a nicht notwendig gleich a * (a * ... * a) ist (die Klammerausdrücke mit jeweils n - 1 Faktoren).

Man könnte nun unbedarft der Nichtgültigkeit des Kommutativgesetzes (KG) in Magmen die Schuld geben; allerdings tritt dieses Phänomen schon in Halbgruppen, in denen ja nur zusätzlich das Assoziativgesetz (AG) erfüllt ist, nicht mehr auf. Offensichtlich reicht dieses aus, "Linkspotenz" und "Rechtspotenz" miteinander zu identifizieren. Klar - die Faktoren sind ja in beiden Fällen dieselben, nur die Klammerung ist eine andere.

Kann man daraus nun schließen, dass das AG eine Voraussetzung des KG ist, oder sind beide unabhängig voneinander? Mit anderen Worten, gibt es operationale Strukturen, in denen das KG, nicht aber das AG gilt, oder ist das logisch unmöglich? Ich kann mich nicht erinnern, diese Frage jemals besprochen gesehen zu haben. Vielleicht ist ihre Beantwortung ja sehr banal und nur bislang an mir vorbeigegangen. MfG --Grünes Ekel (Diskussion) 12:29, 20. Feb. 2018 (CET)

p.s.: Wie aktiviere ich eigentlich den Matheeditor? Oder ist der in der "Diskussion" nicht zugänglich?