Diskussion:Kompaktheitssatz von Cheeger und Gromov

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Die Verlinkung auf Artikel andersprachiger Wikis ist nicht ganz korrekt. Dort wird der verwandte Präkompaktheitssatz von Gromov behandelt (andere Krümmungsvoraussetzung, keine Volumenvoraussetzung, Konvergenz in der Gromov-Hausdorff-Topologie). Für den hier vorgestellten Satz kann man sogar die stärkere Cheeger-Gromov-Konvergenz erhalten, wie auch in beiden angegebenen Quellen ausgeführt. Die vorgestellte Aussage ist zwar richtig, gibt aber nicht die volle Aussage der Konvergenzsatzes von Cheeger und Gromov wieder. Ich würde daher Folgendes vorschlagen: 1) Entfernung der Links auf anderssprachige Wikis. 2) Formulierung des Satzes für Cheeger-Gromov-Konvergenz. 3) Gegebenfalls Erstellung eines neuen Artikels zum Präkompaktheitssatz von Gromov.--FerdiBf (Diskussion) 10:02, 2. Nov. 2014 (CET)

Meiner Meinung nach ist die Formulierung in der englischen Wikipedia falsch. Man braucht entweder eine untere Schranke für das Volumen oder eine untere Schranke für den Injektivitätsradius. Ein einfaches Gegenbeispiel (unter den Voraussetzungen der en-wp) ist eine Folge von Kreisen vom Radius ${\frac {1}{i}}$ für i gegen unendlich: die Schnittkrümmungen sind konstant 0, der Durchmesser ist kleiner 2, aber die Folge konvergiert nicht gegen eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit. Analoge Gegenbeispiele in höheren Dimensionen n bekommt man, wenn man das Produkt einer fest gewählten n-1-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit Kreisen vom Radius ${\frac {1}{i}}$ betrachtet.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 10:53, 2. Nov. 2014 (CET)

Zunächst einmal möchte ich mich für Deinen Artikel bedanken. Zur Fortführung dieser Diskussion: Die englische Wikipedia behauptet nur relative Kompaktheit bzgl. der Gromov-Hausdorff-Topologie. Dein Beispiel konvergiert gegen den einelementigen metrischen Raum. Das führt mich zurück zu meiner oben gemachten Bemerkung über die Topologie. Wie gesagt, die gewählte Formulierung ist meiner Meinung nach nicht falsch, könnte aber präzisiert werden. Gerade deshalb sollte man einen Artikel zum Präkompaktheitssatz von Gromov schreiben und obiges Beispiel zur Herausarbeitung der Unterschiede ausführen. Kannst Du diese Auffassung teilen? Ich selbst kenne mich hier nicht sehr gut mit weiteren Einzelheiten aus, daher werde ich einen solchen Artikel kurzfristig nicht schreiben.--FerdiBf (Diskussion) 12:39, 2. Nov. 2014 (CET)

Okay, ich verstehe den Punkt. Spontan tendiere ich eher dazu, dass beides in einen Artikel sollte, aber ich denke nochmal drüber nach.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 12:51, 2. Nov. 2014 (CET)

Beides in einem Artikel zu behandeln, ist vielleicht sogar die bessere Idee. Über das Artikellemma müsste man dann noch einmal reden, aber das ist ein lösbares Problem. Ich würde mich sehr über eine Artikelerweiterung freuen.--FerdiBf (Diskussion) 13:13, 2. Nov. 2014 (CET)

Ich habe jetzt einen Abschnitt zum Präkompaktheitssatz ergänzt und eine entsprechende Weiterleitung angelegt.—Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:51, 3. Mär. 2021 (CET)