Diskussion:Komplexe Wechselstromrechnung

Zum Archiv

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte monatlich automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 200 Tage zurückliegt und die mindestens 2 signierte Beiträge enthalten. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 2 Abschnitte.

Einleitung

Würde jemand die in Anführungszeichen gesetzte Ergänzung des zweiten Einleitungsabschnitts wieder entfernen?

...ersetzt werden können. "Die auf elektrische Wechselstromnetzwerke anzuwendenden Kirchhoffschen Regeln vereinfachen sich damit zu algebraischen Gleichungen, allerdings mit komplexwertigen Unbekannten. Alle für lineare Gleichstromnetzwerke gültigen Methoden stehen damit auch für Wechselstromnetzwerke zur Verfügung."

Darüber hinausgehend bestehen ... --Modalanalytiker (Diskussion) 12:32, 15. Mär. 2019 (CET)

Ich verstehe nicht, was du möchtest. Der genannte Satz steht da doch gar nicht. --Digamma (Diskussion) 19:16, 16. Mär. 2019 (CET)

Pardon, ich habe unklar gefragt. Was da in Anführungszeichen steht, ist ein Ergänzungsvorschlag von mir. Den Text würde ich einfügen, falls hier niemand dagegen argumentiert. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:05, 16. Mär. 2019 (CET)

Aber die Kirchhoffschen Regeln (Knotenpunkt- und Maschensatz) sind ja immer algebraische Gleichungen. Die komplexe Wechselstromrechnung macht aus den Differentialgleichungen der Bauelementebeziehungen algebraische Gleichungen! Ich würde das etwa so formulieren: „Die komplexe Wechselstromrechnung gestattet als symbolische Methode die Transformation der Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen, deren Lösung sich wesentlich einfacher gestaltet und gleichzeitig besser interpretierbar ist. Damit wird außerdem die Berechnung von Wechselstromnetzwerken auf die Methoden der Gleichstromnetzwerke reduziert.“ --Reseka (Diskussion) 21:38, 16. Mär. 2019 (CET)

Dein Text ist besser. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:50, 16. Mär. 2019 (CET)

Da verallgemeinere und ergänze ich mal die Einleitung und strukturiere sie neu. --Reseka (Diskussion) 15:04, 17. Mär. 2019 (CET)

Ja. mach mal. Ist eine Verbesserung. --Modalanalytiker (Diskussion) 17:57, 17. Mär. 2019 (CET)

Alternative Erläuterung des Verfahrens und der komplexen Scheinleistung

Es folgt ein Text, mit dem ich das Verfahren der symbolischen Methode erklären würde und der das Thema Leistung behandelt. Der Entwurf ist nicht soweit ausgearbeitet, dass er die einschlägigen Abschnitte des Artilels ersetzen kann. Es fehlen Bilder und Links. Er ist als Diskussionsgrundlage gedacht, ob die andere Herangehensweise einen Verbesserung wäre.

Herleitung der Methode

Zur Erläuterung der komplexen Wechselstromrechnung wird exemplarisch eine Reihenschaltung aus Widerstand $R$, Induktivität $L$ und Kapazität $C$ betrachtet, die an eine ideale Spannungsquelle angeschlossen ist. Für $R$, $L$ und $C$ gelten die oben angegebenen Beziehungen zwischen den Momentanwerten $i$ und $u$ von Stromstärke und Spannung. Die Schaltung wird durch die aus der Maschenregel gewonnene Spannungsgleichung für Momentanwerte

$u_{Q}=Ri+L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}+1/C\int {i{\text{d}}t}$

vollständig beschrieben. Für die Quellenspannung und die Stromstärke im eingeschwungenen Zustand gelten die harmonischen Ansätze $u_{Q}={\sqrt {2}}U_{Q}\cos(\omega t+\varphi _{Q})$ bzw. $i={\sqrt {2}}I\cos(\omega t+\varphi _{i})$. $U_{Q}$ und $I$ bezeichnen Effektivwerte.

Die Kosinusterme in der Spannungsgleichung lassen sich mit Hilfe der Gleichung $\cos x={\frac {1}{2}}{\Big (}{\text{e}}^{{\text{j}}x}+{\text{e}}^{-{\text{j}}x}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}{\text{e}}^{{\text{j}}x}+({\text{e}}^{{\text{j}}x})^{*}{\Big )}$ ersetzen, die den Zusammenhang von Kosinus- und Exponentialfunktion allgemein beschreibt. Zur Schreibvereinfachung wird die komplexwertige (Hilfs-)Funktion

${\underline {h}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}e^{{\text{j}}\omega t}$

definiert, ferner die komplexen Effektivwertzeiger

${\underline {U}}_{Q}=U_{Q}e^{{\text{j}}\varphi _{Q}}$

und

${\underline {I}}=Ie^{{\text{j}}\varphi _{i}}$.

Damit lautet die Spannungsgleichung für die reellen Momentanwerte

${\underline {U}}_{Q}{\underline {h}}+({\underline {U}}_{Q}{\underline {h}})^{*}=R{\Big (}{\underline {I}}{\underline {h}}+({\underline {I}}{\underline {h}})^{*}{\Big )}+L{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\Big (}{\underline {I}}{\underline {h}}+({\underline {I}}{\underline {h}})^{*}{\Big )}+{\frac {1}{C}}\int {\Big (}{\underline {I}}{\underline {h}}+({\underline {I}}{\underline {h}})^{*}{\Big )}{\text{d}}t$

Differenzieren, Integrieren und Ausklammern der Hilfsfunktion führt auf

${\underline {h}}\cdot {\Big (}{\underline {U}}_{Q}-R{\underline {I}}-{\text{j}}\omega L{\underline {I}}-{\frac {1}{{\text{j}}\omega C}}{\underline {I}}{\Big )}+{\underline {h}}^{*}\cdot {\Big (}{\underline {U}}_{Q}-R{\underline {I}}-{\text{j}}\omega L{\underline {I}}-{\frac {1}{{\text{j}}\omega C}}{\underline {I}}{\Big )}^{*}=0$

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die eingeklammerten Koeffizienten von ${\underline {h}}$ und ${\underline {h}}^{*}$ gleich null sind. Durch Nullsetzen ergibt sich die komplexwertige Spannungsgleichung des Stromkreises

${\underline {U}}_{Q}={\Big (}R+{\text{j}}\omega L+{\frac {1}{{\text{j}}\omega C}}{\Big )}{\underline {I}}$.

Mit den Rechenregeln für komplexwertige Größen folgt daraus der Effektivwertzeiger

${\underline {I}}={\frac {{\underline {U}}_{Q}}{R+{\text{j}}\omega L+{\frac {1}{{\text{j}}\omega C}}}}$.

Der (reelle) Effektivwert des harmonischen Stromes ist nach der obigen Herleitung gleich dem Betrag des Effektivwertzeigers

$I=|{\underline {I}}|$.

Den Nullphasenwinkel erhält man als sein Argument

$\varphi _{i}={\text{arg}}\,{\underline {I}}$.

In der komplexen Wechselstromrechnung (symbolische Methode) werden die in der Tabelle zusammengestellten genormten Größen benutzt.

Größe	Bezeichnungen	Widerstand	Induktivität	Kapazität
${\underline {Z}}={\frac {\underline {U}}{\underline {I}}}=R+{\text{j}}X=Z{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }$	Impdeanz, komplexe Impedanz	$R$	${\text{j}}\omega L$	${\frac {1}{{\text{j}}\omega C}}$
$Z=|{\underline {Z}}|={\frac {U}{I}}$	Scheinimpedanz, Scheinwiderstand	$R$	$\omega L$	${\frac {1}{\omega C}}$
$R=\operatorname {Re} {\underline {Z}}$	Widerstand, Widerstandswert, Wirkwiderstand, Resistanz	$R$	$0$	$0$
$X=\operatorname {Im} {\underline {Z}}$	Blindwiderstand, Reaktanz	$0$	$\omega L$	$-{\frac {1}{\omega C}}$
${\underline {Y}}={\frac {\underline {I}}{\underline {U}}}=G+{\text{j}}B=Y{\text{e}}^{-{\text{j}}\varphi }$	Admittanz, komplexe Admittanz	${\frac {1}{R}}$	${\frac {1}{{\text{j}}\omega L}}$	${\text{j}}\omega C$
$Y=|{\underline {Y}}|={\frac {I}{U}}$	Scheinadmittanz, Scheinleitwert	${\frac {1}{R}}$	${\frac {1}{\omega L}}$	$\omega C$
$G=\operatorname {Re} {\underline {Y}}$	Leitwert, Wirkleitwert, Konduktanz	${\frac {1}{R}}$	$0$	$0$
$B=\operatorname {Im} {\underline {Y}}$	Blindleitwert, Suszeptanz	$0$	$-{\frac {1}{\omega L}}$	$\omega C$
$\varphi =\operatorname {arg} {\underline {Z}}=-\operatorname {arg} {\underline {Y}}=\varphi _{u}-\varphi _{i}$	Spannung-Strom-Phasenverschiebungswinkel	$0$	${\frac {\pi }{2}}$	$-{\frac {\pi }{2}}$

Mit den beschriebenen Begriffen läuft die Berechnung eines lineaaren Wechselstromnetzwerks mit sinusförmigem Zeitverlauf aller Spannungen und Ströme im eingeschwungenen Zustand nach folgendem Schema ab:

1. Den Induktivitäten und Kapazitäten von Spulen und Kondensatoren komplexe Impedanzen oder komplexe Admittanzen laut Tabelle zuordnen.
2. Den durch Effektivwert und Nullphasenwinkel gegebenen Quellenspannungen und -strömen Effektivwertzeiger zuordnen.
3. Die unbekannten komplexwertigen Ströme und Spannungen (Effektivwertzeiger) wie bei Gleichstromnetzwerken, aber nach den Regeln komplexer Zahlen, berechnen.
4. Den Effektivwertzeigern die entsprechenden (reellen) Effektivwerte und Nullphasenwinkel zuordnen.

Leistung

Außerhalb der komplexen Rechnung ist die elektrische Scheinleistung durch das Produkt

$S=UI$

definiert und die elektrische Wirk- und Blindleistung $P$ bzw. $Q$ als die arithmetischen Mittelwerte

$P={\overline {ui}}=UI\cos \varphi$

bzw.

$Q={\overline {u{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}(\omega t)}}}}=UI\sin \varphi$.

Aus Wirk- und Blindleistung wird die komplexen Größe

${\underline {S}}=P+{\text{j}}Q$

konstruiert.

Wegen ${\underline {S}}=UI(\cos \varphi +{\text{j}}\sin \varphi )=UI{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=U{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi _{u}}\cdot I{\text{e}}^{-{\text{j}}\varphi _{i}}$ gilt auch

${\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}$.

${\underline {S}}$ wird als komplexe Scheinleistung bezeichnet. Aus ihr lassen sich die Wirk-, Blind und Scheinleistung mit den Formeln

$P=|{\underline {S}}|\cos \varphi$,

$Q=|{\underline {S}}|\sin \varphi$

bzw.

$S=|{\underline {S}}|$

berechnen. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:14, 17. Mär. 2019 (CET)

__________________________

Erwiderung

Darf es nicht noch ein Stück komplizierter dargestellt werden? Auch das Thema Leistung wird bisher schon behandelt. --der Saure 11:27, 18. Mär. 2019 (CET)

Folgende Bemerkungen von mir:

1. Eine (exakte) Herleitung der Methode der komplexen Wechselstromrechnung ist nicht so einfach. Deshalb ist sie auch kaum in Lehrbüchern zu finden (ich kenne keine Quelle). Trotzdem habe ich mich daran versucht (Benutzer:Reseka/Komplexe Wechselstromrechnung oder [1]), aber sowohl mein und als auch der obige Vorschlag können nicht in die WikiPedia, denn weil es dazu keine sauberen Quellen gibt, sind sie Theoriefindung.
2. Allerdings befürworte ich es, als „eine Art“ Zusammenfassung ein Schema/eine Methode des schrittweisen Vorgehens bei der Nutzung der komplexen Wechselstromrechnung anzugeben. Das wird in der Literatur gemacht und ich habe auch ein Schema unter den oben genannten Links angegeben.
3. Die Bemerkungen zur komplexen Leistung stellen die übliche (und schon vorhandene) Definition dar, bringen aber nicht den Zusammenhang zur Momentanleistung. Ich würde diesen Abschnitt lieber kürzen und einen speziellen Artikel zur komplexen Leistung erstellen.

Weiterhin wäre es günstig, die Einschränkungen zur Anwendung der komplexen Wechselstromrechnung (LTI + stationär usw.) in einem eigenen Abschnitt zu konzentrieren und nach vorn zu ziehen. --Reseka (Diskussion) 17:57, 18. Mär. 2019 (CET)

@ Reseka: "Theoriefindung" ist mein Text nicht. Das steht so in Haase/Garbe/Gerth: Grundlagen der Elektrotechnik, SchöneworthVerlag, 4. Auflage 2018 (und auch in älteren Ausgaben). Ich kenne keinen einfacheren und direkteren Zugang zur Wechselstromrechnung. Er basiert nur auf der DGl. im Zeitbereich und einem für den eingeschwungenen Zustand passenden cos-Ansatz, der wegen einfacherer Rechnung mit der e-Funktion ausgedrückt wird. Es wird nichts hinzugefügt oder weggelassen. Der Ansatz wird an der Dgl. erprobt und nach ausschließlich identischen Umformungen fallen die komplexen Gleichungen des betrachteten Netzwerks heraus. Bei Kenntnis dieses Weges erweist sich der rotierende Zeiger als unnötig und umwegig.

Bei diesem Ansatz entfällt natürlich auch die Anbindung der Leistungsgrößen an die Drehzeiger. Bitte nicht übersehen, das wir die Definitionen von P, Q und S nicht der komplexen Rechnung verdanken. Nur die reellen Koordinaten der komplexen Scheinleistung (Real- und Imaginärtei oder Betrag und Phasenverschiebungswinkel) haben physikalische Bedeutung.--Modalanalytiker (Diskussion) 19:27, 18. Mär. 2019 (CET)

@Reseka, nur zu Deinem 1. Punkt: Die im Artikel erwähnte (Primär)quelle (Artikel) von Wilhelm Quade ist Dir bekannt? Als Lehrbuchersatz ist der Artikel von Quade aus ditaktischen Gründen meiner Meinung aber nicht so zu empfehlen.--wdwd (Diskussion) 20:54, 18. Mär. 2019 (CET)

Nein, ich kenne den Artikel nicht und habe den Verweis darauf auch nicht (erstmals) eingefügt. Ich möchte auch auf keinen Fall eine exakte Herleitung der Methode der komplexen Wechselstromrechnung in der WikiPedia haben. Ein an Beispielen erläuterter Weg (wie er in der Literatur und auch jetzt schon annähernd im Artikel dargelegt wird) sehe ich als ausreichend an. Diese aktuelle Darstellung sollte deshalb durch einige Modifikationen und Ergänzungen plausibler und vollständiger gemacht werden:

(1) Abschnitt „Zeigerdiagramm“ sollte „Komplexe Signale“ o.ä. heißen: Ausgehend vom rotierenden Zeiger und/oder der eulerschen Formel werden die komplexe Spannung (++) und als Abkürzung die komplexen Amplituden bzw. Effektivwerte eingeführt. Hier sollte der Begriff der imaginären Frequenz für jω ergänzt werden. (2) Abschnitt „Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich“: Hier sollte gezeigt werden, dass jω der Differentialoperator ist (Begriff „jω-Rechnung“) und dass sich damit die Impedanzen (++) bzw. Operatoren „sauber“ definieren lassen. (3) Abschnitt „Rechnung bei mehreren Bauteilen“ sollte „Symbolische Methode“ o.ä. heißen: Hier sollte auf ruhende Zeiger verwiesen und demonstriert werden, dass es ausreicht, von Anfang an mit komplexen Amplituden bzw. Effektivwerten zu rechnen, was die „eigentliche“ symbolische Methode der komplexen Wechselstromrechnung ausmacht. Hier wäre auch die Zusammenfassung der 4 Schritte der symbolischen Methode (etwa wie sie Modalanalytiker vorgeschlagen hat) angebracht (wobei auf die „Unnötigkeit einer Rücktransformation“ hingewiesen wird). --Reseka (Diskussion) 21:54, 19. Mär. 2019 (CET)

@Reseka: Ich würde es begrüßen, wenn du das so machst. --der Saure 11:05, 20. Mär. 2019 (CET)

Da werde ich mich mal „abschnittsweise voran arbeiten“ und versuchen, soviel wie möglich Vorhandenes beizubehalten. --Reseka (Diskussion) 21:46, 23. Mär. 2019 (CET)

+1, zu Vorschlag Reseka. Mein Hinweis auf die Arbeiten von Quade war nicht, diese in größeren Umfang in die Wikipedia zu übernehmen, sondern nur ein Hinweis, dass es (verschiedene) Quellen in diesem Themenbereich gibt und Theoriefindung sich leicht vermeiden lässt. Es ist weniger ein Quellenproblem sondern eher eine Frage wie man es hier darstellen will.--wdwd (Diskussion) 08:42, 25. Mär. 2019 (CET)