Diskussion:Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Definition des allgemeinen Falls

Der allgemeine Fall besteht darin, den Bildraum für die Zufallsvariablen von R auf einen beliebigen metrischen Raum auszudehnen. Wieso sollte der separabel sein? Das wird für die Definition überhaupt nicht verwendet. Es erscheint daher nicht sinnvoll, die Definition auf separable Räume einzuschränken.--FerdiBf (Diskussion) 15:23, 20. Jun. 2015 (CEST)

Die Separabilität des Raumes wird benötigt, um die Messbarkeit der Metrik zu garantieren. --NikelsenH (Diskussion) 15:39, 20. Jun. 2015 (CEST)

Die Metrik $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ ist stetig und daher messbar bzgl. der Borel-Algebra auf $M\times M$, und das ist die von allen offenen Mengen erzeugte $\sigma$-Algebra. Dann ist auch $d(X_{n},X):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ messbar. Wo braucht man dafür Separabilität? Sollte ich hier etwas wesentliches übersehen haben, so wäre das wert, in den Artikel aufgenommen zu werden.--FerdiBf (Diskussion) 17:59, 21. Jun. 2015 (CEST)

Also der Klenke verwendet (soweit ich das sehe) die Separabilität nur für die Messbarkeit der Metrik , der Elstrodt definiert die Konvergenz nach Maß sogar nur für Körperwertige Fkt. dann nehm ich es raus, scheint ja nicht gebraut zu werden. LG --NikelsenH (Diskussion) 18:33, 21. Jun. 2015 (CEST)

Ich denke, man braucht die Separabilität, um die Messbarkeit von $(X_{n},X)\colon \Omega \to M\times M$ bzgl. der Borel-Algebra auf $M\times M$ zu zeigen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:58, 21. Jun. 2015 (CEST)

Ich habe die Separabilität jetzt wieder eingefügt, siehe auch z. B. hier (Remarks und Comments). -- HilberTraum (d, m) 08:44, 23. Jun. 2015 (CEST)

Das überzeugt mich, da habe ich etwas übersehen. $(X_{n},X):\Omega \rightarrow M\times M$ ist messbar bezüglich der Produkt-Sigma-Algebra ${\mathcal {B}}(M)\otimes {\mathcal {B}}(M)$ und die Metrik $d:M\times M\rightarrow R$ ist messbar bzgl. ${\mathcal {B}}(M\times M)$. Natürlich gilt ${\mathcal {B}}(M)\otimes {\mathcal {B}}(M)\subset {\mathcal {B}}(M\times M)$, aber zur Messbarkeit von $d\circ (X_{n},X)$ benötigt man die Gleichheit der Sigma-Algebren, und dazu muss man wissen, dass jede offene Menge in $M\times M$ abzählbare Vereinigung von offenen Rechtecken ist, und das erfordert Separabilität. Es tut mir leid, hier kurzzeitig Verwirrung gestiftet zu haben. Ich habe den Artikel entsprechend ergänzt.--FerdiBf (Diskussion) 14:42, 27. Jun. 2015 (CEST)