Diskussion:Konvergenzgeschwindigkeit

Konvergenzgeschwindigkeit

Ich halte den aktuellen Artikel für schlecht, es wird ja noch nicht einmal definiert, was Konvergenzgeschwindigkeit ist. Außerdem habe ich die numerischen Aspekte eher verdeutlicht. Dass man sich auf Nullfolgen beschränken kann, ist jedem mathematisch Denkenden klar. --Eppps 09:55, 20. Apr. 2011 (CEST)

Wir sprechen hier aber nicht nur mathematisch Denkende an, sondern jedermann. Siehe bitte WP:OmA. --PeterFrankfurt 01:58, 21. Apr. 2011 (CEST)

Auch Menschen, die mathematische denken können, wollen nicht mit Mathematik auf der Stufe "Mathematik für Psychologen" abgespeist werden. Und Menschen, die sich nicht für Mathematik interessieren. lesen solche Artikel sowieso nicht. Ist es etwa das Ziel von Wikipedia, alles zu trivialisieren?

In der modernen Mathematik spielen Fragen der Konvergenzgeschwindigkeit eine große Rolle, etwa bei inkorrekt gestellten Problemen. Schließlich will ein Anwender (zB Arzt, CT-Anwender) nicht ewig warten, bis er sein Bild auf dem Computer hat. Also lass dich überzeugen und stell den Artikel wieder rein. --Eppps 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST)

Das ist einer der Lerneffekte in der Wikipedia: Mathematiker sind anders. Sie können noch viel weniger als andere Wissenschaftler auf Menschen eingehen, die nicht die tiefschürfenden Fachkenntnisse wie sie selbst haben. Wir in der Physik haben gerade aus der amerikanischen Wissenschaftsszene ein paar leuchtende Vorbilder (à la Feynman), die es immer wieder geschafft haben, komplizierte Sachverhalte allgemeinverständlich darzustellen. Deutsche Wissenschaftler (auch wir hiesigen Physiker) und noch viel mehr hiesige Mathematiker kommen da offensichtlich nicht ganz mit, das zeigt sich auch immer wieder in anderen mathematischen Artikeln hier. - Die Punkte, die Du ergänzen möchtest, mögen ja relevant sein und den Inhalt weiterbringen, aber halt nicht in der Form. Da ist noch etwas an Arbeit dran nötig. --PeterFrankfurt 03:15, 22. Apr. 2011 (CEST)

@Peter Frankfurt: Ich würde mal vorschlagen, dass Du diesen ätzenden Diskussionsbeitrag einfach mal selbst entfernst, das ist schon ziemlich unter aller Kanone.

@Eppps: Also ich muss sagen, dass mir als Autor des bisherigen viele Sachen am neuen Beitrag nicht gefallen. Zunächst einmal kenne ich Konvergenzgeschwindigkeit nur so, wie das bisher definiert war und halte das auch für den Standard: Konkreter also lineare/quadratische oder sonstige Ordnung. Vom den Begriff "schnell fallend" und "beliebig langsam konvergent" habe ich dagegen gerade zum ersten mal gehört. Das heißt nicht, dass man die Begriffe nicht ruhig aufnehmen kann, aber die Konvergenzordnung sollte dennoch im Mittelpunkt stehen. Den Vergleich mit den Nullfolgen würde ich dagegen ganz weglassen, ich sehe nicht, was man dadurch gewinnt. Schließlich würde ich nicht behaupten wollen, dass "Viele wichtige numerische Verfahren beliebig langsam konvergent sind." Zwar würde ich dem Satz zustimmen, dass es für einige wichtige Probleme nur beliebig langsam konvergente Verfahren sind, aber "viele", eher nicht. --P. Birken 15:00, 23. Apr. 2011 (CEST) P.S. Bitte kein HTML statt TeX verwenden, danke!

Danke für die Diskussionsbeiträge, auch für den von PeterFrankfurt. Ich will gerne zugeben, dass der Artikel vielleicht etwas ausführlicher hätte sein können und damit auch verständlicher. Was den Inhalt betrifft, bin ich aber ganz anderer Meinung: der bisherige (und jetzt aktuelle) Artikel ist 19. Jahrhundert. Dass viele Physiker und Mathematik-Nutzer anderer Disziplinen noch nicht mehr wissen, liegt an ihrer veralteten Ausbildung, dass sie aber nicht mehr wissen wollen, das ist ein anderes Ding.

Ist Wikipedia eigentlich ein modernes Lexikon oder eine Fundgrube für alte Hüte? --Eppps 14:43, 26. Apr. 2011 (CEST)

Die Antwort ist ein modernes Lexikon, weswegen ich ja auch bei der Erstellung des Artikels moderne Numerikliteratur genommen habe. Welche wichtigen Werke genau habe ich jetzt uebersehen, in denen der Begriff ganz anders definiert wird als in allen Standardlehrbuechern zur Numerik? --P. Birken 17:18, 28. Apr. 2011 (CEST)

Apropos Nullfolgen: Konvergenzgeschwindigkeit muss man mit Nullfolgen definieren. Ist etwa im Newtonverfahren |x - x_n| keine Nullfolge? --Eppps 14:22, 27. Apr. 2011 (CEST)

Natuerlich ist das eine Nullfolge, aber ich brauche den Begriff der Nullfolge trotzdem nicht, um Konvergenzgeschwindigkeit zu definieren. --P. Birken 17:18, 28. Apr. 2011 (CEST)

Was fehlt zum Beispiel?

Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie der Große Grenzwertsatz, aus der Approximationstheorie die Jackson-Sätze, aus der Numerik partieller Differentialgleichungen die Konnvergenzgeschwindigkeit bzgl. Sobolev-Normen, Konvergenzgeschwindigkeit der Regularisierungsverfahren bei inkorrekt gestellten Problemen in Abhänigkeit von der Qualität der Lösung, auch die Verteilung der Primzahlen passt in das Schema hinein, noch mehr gewünscht? Konvergenzgeschwinigkeit tritt eben nicht nur bei Iterationsverfahren auf. (Ich habe ja Newton-Verfahren, Picard-Itertion und Sekanten-Verfahren im Artikel behalten) --Eppps 12:23, 29. Apr. 2011 (CEST)

@P. Birken: Huch, da oben habe ich doch nichts Böses geschrieben, nichts dass die Mathematiker alle schlechte Menschen seien oder so. Ich habe da nur eine milde Besorgnis bekundet, wobei ich ausdrücklich auch mich selbst und meine Zunft nicht komplett ausschließe. Es ist im deutschen Wissenschaftsbetrieb ein Problem, dass auf "populärwissenschaftliche" Darstellungsweisen mit einem gewissen Dünkel herabgeblickt wird. In USA geht man damit wie gesagt vollkommen anders um, und ich finde deren Ansatz persönlich viel pragmatischer: Immer dem Leser entgegenkommen, ihm den Stoff auf dem Silbertablett liefern, er soll es so einfach wie möglich haben, alle Details zu verstehen. Das ist der Unterschied zwischen einer Referenz und einem Lehrbuch. Jetzt sind wir hier in der WP gerade kein Lehrbuch, aber auch keine nackte Referenz, insofern sind mal wieder Kompromisse nötig, und die WP:OmA geht meiner Auffassung nach auch gerade eher in die Richtung Lehrbuchkompatibilität.
@Eppps: Das mit der Nullfolge sehe ich wie P. Birken, man braucht sie nicht zur Definition, also muss man sie nicht unbedingt erwähnen. Zu Deinen Einordnungen "modern" und "alter Hut" nur soviel: Bei der Konvergenzgeschwindigkeit müssen für den Anwender von iterativen numerischen Verfahren die Stichworte lineare und quadratische Konvergenz auftauchen und allgemeinverständlich erklärt werden, sowie deren praktische Folgen für die Fehler im Iterationsprozess (lineares Ansteigen der korrekten Stellen im Lösungswert bzw. Verdoppeln derselben von Schritt zu Schritt). Wenn das geleistet ist, sind 99% der Anwendungsfälle in der realen Welt iterativer numerischer Lösungsvefahren abgedeckt, danach darf man dann zum restlichen Prozent der komplexeren Fälle weitergehen. Konkret im derzeitigen Artikel sind meine Ansprüche nur so gerade eben erfüllt, ich könnte mir das noch etwas leserfreundlicher vorstellen. --PeterFrankfurt 02:39, 30. Apr. 2011 (CEST)

Vielleicht kommen wir doch noch unter einen Hut, immerhin ist die Argumentation jetzt sachlicher, wenn auch nicht überzeugend. Sicher sind iterative Verfahren ein wichtiger Teilschritt in einem numerischen Prozess, aber selten (nie?) der einzige. Denken wir doch nur mal an die Lösung einer partiellen Diffenrentialgleichung, die Diskretisierung der Ableitungen, die Aufstellung der (nicht-) linearen Gleichungssysteme und dann eine iterative Lösung der Gleichungen. Da reicht aber ein so simples Newton-Verfahren, wie beschrieben, nicht aus. (Das nur zu der Bemerkung mit den 99%). Ein Artikel über Konvergenzgeschwindigkeit sollte unterteilt sein, und ein Unterpunkt könnte heißen: Klassische Iterationsverfahren. --Eppps 18:59, 1. Mai 2011 (CEST)

Äh, doch. Hier wird ja nur von der Konvergenzgeschwindigkeit gesprochen. Newton ist mit seiner quadratischen Konvergenz kaum zu überbieten. Wenn es komplizierter wird, landet man typischerweise wieder bei linear konvergierenden Methoden. Wenn man genauer hinschauen möchte, könnte man bei manchen Verfahren noch eine(n) Geschwindigkeit(sexponenten) zwischen 1 und 2 definieren, so ähnlich wie bei Fraktale Dimension. Aber mir erscheint die Aussage, dass man mit linearer und quadratischer Konvergenz ca. 99% aller realen Anwendungsfälle abdeckt, weiter plausibel. Belegen kann ich da allerdings nichts, klar. --PeterFrankfurt 03:22, 2. Mai 2011 (CEST)

Plausibel ist manches, was falsch ist.

...und: das Sekantenverfahren hat eine gebrochene Ordnung der KOnvergenzgeschwindigkeit, wie ich geschrieben hatte. --Eppps 14:03, 2. Mai 2011 (CEST)

Dann mal Butter bei die Fische: Was kommt denn außer linear und quadratisch (und Zwischenstufen davon) in der Praxis konkret öfter vor? Und wie oft? --PeterFrankfurt 03:03, 3. Mai 2011 (CEST)

Numerische Integration mit der Trapezformel hat O(n^-2)

Gewöhnliche Differentialgleichungen, Euler-Verfahren hat O(n^-1)

Interpolation mit kubischen Splines: O(n^-4)

wobei jeweils äquidistante Stützstellen und entsprechende Differenzierbarkeitsvoraussetzungen angenommen sind. --Eppps 13:08, 3. Mai 2011 (CEST)

Aber das ist doch wohl ein anderes n, nicht? Bei diesen Verfahren wird die Anzahl der Stützstellen von Schritt zu Schritt vervielfacht, klar dass das dann langsamer wird. Das ist aber in meinen Augen nicht die "quadratische Konvergenz", von der man bei iterativen Verfahren spricht. Dort hat man es mit einem festen Satz an Stützpunkten zu tun und mit einer Rechenvorschrift, die aus dem Wert des vorhergehenden Schritts und einer Auswertung dessen Ergebnisses einen neuen Wert ermittelt, der damit gegen den idealen Endwert konvergiert. Gut behandelbares Beispiel ist immer das Heron-Verfahren (ok, nichts anderes als Newton), mit dem ich mich mal zur Anfangszeit der Mikrorechner ausführlichst beschäftigt habe, ziemlich genau vor 30 Jahren... --PeterFrankfurt 02:54, 4. Mai 2011 (CEST)

Selbstverständlich ist das nicht die quadratische Konvergenz, aber es ist die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Diskretisierungsverfahren, 1/n ist hier die Schrittweite. Der Artikel heißt ja "Konvergenzgeschwindigkeit" und muss sich mit allen Facetten des Themas befassen. Vielleicht sollte man daraus zwei Artikel machen, einen "Konvergenzordnung" nennen und den anderen "Konvergenzgeschwindigkeit". Es ist doch wohl klar, dass etwa sich das Resultat einer Quadraturformel schneller dem Wert des Integrals nähert, wenn die Stützstellenzahl erhöht wird oder wenn die Differenzierbarkeitsordnung größer ist. "Schnell" oder "langsam" sind doch Begriffe, die etwas mit Geschwindigkeit zu tun haben. Wie kann man nur so blind sein? --93.209.42.38 09:16, 4. Mai 2011 (CEST) Das war ich! --Eppps 09:30, 4. Mai 2011 (CEST)

Jein, "schnell" und "langsam" ist tatsächlich auf zwei sehr unterschiedliche Arten zu verstehen, wie Du richtig anmerkst: Einmal als reine Rechengeschwindigkeit, die bei Deinen Beispielen eben immer langsamer wird, und andererseits im Sinne des Genauigkeitsfortschritts von einem Iterationsschritt zum nächsten, egal wieviel Rechenzeit für einen solchen Schritt benötigt wird. Ich hatte bisher immer angenommen, die Konvergenzgeschwindigkeit würde sich ausschließlich mit letzterem Aspekt beschäftigen, und hatte den ersteren komplett ausgeblendet. Gehört die Rechenzeitbetrachtung/Rechenaufwandbetrachtung wirklich mit in dieses Lemma hinein? Das wäre neu für mich, könnte aber auch eine echte Bildungslücke meinerseits sein, man lernt ja nie aus... --PeterFrankfurt 02:26, 5. Mai 2011 (CEST)

Es geht natürlich auch um Rechenzeit. Ebenso geht es um Genauigkeit. Wenn ich ein Integral mit der Trapezregel auswerten will, dann brauche ich z. B. mehr Stützstellen, längere Rechenzeit, habe eine größere Akkumulation von Rundungsfehlern als mit einer besseren Quadraturformel. Umgekehrt: wenn ich Qualität meines Integranden nicht kenne und bemerke, dass das Integral sehr längsam angenähert wird, dann kann ich sicher sein, dass die Funktion nur stetig oder höchstens einmal differenzierbar ist. Dasselbe in der Approximationstheorie: Eine k-fach differzierbare Funktion kann man mit Polynomen vom Grad n mit ~ O(n^-k) approximieren. Ist andererseits die Konvergenzgeschwindigkeit von O(n^-k) gegeben, so kann man nachweisen, dass die Funktion k-fach differenzierbar ist (Sätze von Jackson und Bernstein). Übrigens ist im englischen Wiki das Thema "speed of convergence" etwas breiter behandelt. --Eppps 14:20, 5. Mai 2011 (CEST)

Zu der (nun wieder gelöschten) Kritik: Natürlich möchte der Anwender schnelle Verfahren, aber es will auch jeder reich sein. Manche Wünsche gehen nicht in Erfüllung, und die Aussage der Konvergenzgeschwindigkeit besteht darin, dass manche, sogar viele Verfahren gar nicht schneller konvergieren können.--Eppps 14:03, 20. Mai 2011 (CEST)

sup

Einen Term im neuen Text habe ich noch nie in meinem Leben gesehen: sup a_n/b_n < ∞

Was in aller Welt ist dieser sup-Operator? Oder was auch immer? Oder doch Tippfehler von wegen sup-HTML-Tag? Ich dachte immer, ein paar Mathe-Grundlagen zu beherrschen... --PeterFrankfurt 02:12, 12. Mai 2011 (CEST)

Das kann ich nicht glauben ........ sup ist Supremum. Langsam geht ja meine Geduld zu Ende, ich würde auch gerne am Artikel weiterarbeiten, die Beispiele ergänzen. Aber wenn der Artikel nicht gesichtet und akzeptiert wird, so hat das erst mal keinen Zweck. --Eppps 12:34, 12. Mai 2011 (CEST)

Sorry für meine Ignoranz, kam bei uns echt nicht vor, und wir hatten unsere Mathe-Kursvorlesungen zusammen mit den Mathematikern selber, die haben das bei uns also auch nicht gelernt. Und gesichtet hatte ich doch gestern Abend noch? --PeterFrankfurt 02:17, 13. Mai 2011 (CEST)

Mögliche Fehler

Ich bin mir ziemlich sicher, das bei der allgemeine Definition der Konvergenzgeschwindigkeit sup a_n / b_n < ∞ heißen muss. Denn a_n * b_n konvergiert gegen Null und ist somit immer beschränkt.

Das folgende Beispiel zur quadratischen Konvergenz: exp(-n^2) konvergiert nicht quadratisch. Da exp(-(n+1)^2) / exp(-2*n^2) = exp(n^2 −2*n - 1) gegen Unendlich konvergiert.

—77.181.28.243 22:03, 27. Mai 2011 (CEST)

Da fehlt auch der Betrag bei sup a_n / b_n !

—Waldelefant 03:23, 28. Mai 2011 (CEST)

Die Kritik ist berechtigt. Der Fehler behoben. --Eppps 22:58, 29. Mai 2011 (CEST)

Mein lieber Herr Gesangsverein

Da gibt es doch hier Leute, die das Unterste zuoberst kehren, die also aus einem Nenner einen Zähler machen, aus n^k machen sie n^-k und aus 2ⁿ machen sie n². Das kann ja nur Bosheit oder Dummheit sein. Oder gibt es noch eine andere Interpretation? Wenn man einen Artikel verändert, sollte man ihn verstanden haben.--Eppps 14:04, 31. Mai 2011 (CEST)

(Neue Beiträge bitte unten anfügen mittels Pluszeichen oben in der Leiste.) Das ist in der WP leider alltägliches Geschäft. Ich hatte das auch schon gesehen, aber da ich bei sup nur Bahnhof verstehe, lasse ich da lieber die Finger von. --PeterFrankfurt 03:12, 1. Jun. 2011 (CEST)

Ja, mir sind beim Umwandeln von HTML nach TeX Fehler unterlaufen, tut mir leid. Ich halte mich ansonsten weder für böse noch dumm, aber für fehlbar. Und bin übrigens der Meinung dass Leute, die Fremden Bosheit oder Dummheit unterstellen, ganz andere Dinge als Konvergenzgeschwindigkeit nicht verstanden haben. --P. Birken 20:24, 1. Jun. 2011 (CEST)

Es tut mir leid, meinen Unmut etwas arg sarkastisch geäußert zu haben, aber ich bitte um Verständnis, denn ich glaubte, Grund zu haben, mich sehr zu ärgern.--Eppps 16:15, 4. Jun. 2011 (CEST)

Überarbeitung

Hallo! Ich hatte zunächst angefangen, ein paar Kleinigkeiten an diesem Artikel zu verbessern und dann gemerkt, dass mir immer mehr einfällt. In den nächsten Tagen möchte ich unter anderem Folgendes umsetzten:

• Bei Iterationsverfahren: Q- und R-Konvergenzordnung
• Konvergenzordnung nicht nur bei Folgen, sondern auch für Funktionen bei h gegen 0 von oben
• … insbesondere Konvergenzordnung bei Diskretisierungsverfahren: Numerische Integration, ODEs (vgl. Runge-Kutta-Verfahren#Konsistenzordnung und Konvergenzordnung), PDEs
• Abschnitt „Weitere Beispiele“ ausbauen (sofern ich Ahnung davon habe)
• Bezüge zu Landau-Symbolen (ggf. auch zu Komplexitätstheorie)
• Belege, Einzelnachweise
• Einleitung überarbeiten (Folgen, Mengen von Folgen, Funktionen, Klassen von Funktionen, gegen unendlich, gegen Null, Iterationsverfahren, Diskretisierungsverfahren, Numerik, Analysis, … Warum unterschiedliche Begriffsbildung in unterschiedlichen Bereichen?)
• Gliederung überarbeiten

Ich bin also erstmal dran. --DufterKunde (Diskussion) 18:06, 25. Sep. 2014 (CEST)

Das lobenswerte Vorhaben ist wohl leider eingeschlafen?--Christian1985 (Disk) 00:22, 21. Dez. 2015 (CET)

Q- und R-Konvergenzordnung (Schreibweise)

@FranzR:: Du hast Q-Konvergenzordnung in $Q$-Konvergenzordnung geändert. Dabei ist das Q mitnichten eine mathematische Variable, sondern Teil eines Namens, eines terminus technicus und so von irgend einem schlauen Menschen irgendwann mal so getauft worden. Ich habe es in der zitierten Literatur schräg, also italic, geschrieben gefunden, was man nicht unbedingt genauso machen muss. Aber sicherlich ist die Schreibung $Q$ fehl am Platze. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:31, 5. Okt. 2017 (CEST)

@Nomen4Omen:: Ja, da hast Du wohl Recht, danke fürs Korrigieren. Ob die Kursivschreibung überhaupt angebracht ist, kann man dann natürlich in Frage stellen (der Begriff kommt in der ganzen Wikipedia kein weiteres Mal mehr vor!). Es ist mir aber nicht weiter wichtig, solange die Einheitlichkeit der Schreibweise gewahrt bleibt. Gruß, Franz 07:07, 6. Okt. 2017 (CEST)

Quadratische Konvergenz

Aus dem Artikel:

Man nennt es quadratisch konvergent, wenn es so schnell wie die Folge $\left(e^{-c2^{n}}\right)$ konvergiert.

Das kommt mir nicht sehr sinnvoll vor (nichts daran ist von quadratischer Form), vielleicht ist $\left(e^{-cn^{2}}\right)$ gemeint? --85.176.232.156 16:00, 19. Dez. 2017 (CET)

Sehe ich auch so. Bei quadratischer Konvergenz verdoppelt sich im Allgemeinen die Anzahl korrekter Stellen mit jeder Iteration, was $e^{-cn^{2}}$ entspricht. Werde das im Text ändern. --Ezander (Diskussion) 11:04, 12. Sep. 2022 (CEST)

Nein, ist doch nicht so. Nehmen wir mal den Fall linearer Konvergenz vereinfacht mit einer Konstanten $c$, d.h. $e_{k+1}\leq ce_{k}$, wobei $e_{k}$ der Fehler nach der $k$-ten Iteration sei. Dann gilt $e_{n}\leq ce_{n-1}\leq c^{2}e_{n-2}\leq \dots \leq c^{n}e_{0}$.

Bei quadratischer Konvergenz (wieder vereinfacht mit $e_{k+1}\leq ce_{k}^{2}$) dagegen $e_{n}\leq ce_{n-1}^{2}\leq c(c^{2}e_{n-2}^{4})\leq c(c^{2}(c^{4}e_{n-3}^{8}))\dots \leq c^{2^{n}-1}e_{0}^{2^{n}}$. Es muss also tatsächelich $2^{n}$ und nicht $n^{2}$ im Exponenten sein.

Habe die ursprüngliche Version wieder hergestellt. Vielleicht sollte ein Hinweis, warum das so ist, in den Text aufgenommen werden... --Ezander (Diskussion) 11:24, 12. Sep. 2022 (CEST)