Diskussion:Konvexe und konkave Funktionen

Die Definitionen von konvexen und konkaven Funktionen sind in der Literatur kontrovers. So definiert z. B. der Duden genau entgegengesetzt, während der Bronstein zur Definition die Betrachtungsseite heranzieht. Wer ist nun die ultimative Authorität?

"ultimative Autorität" gibt es keine; aber meines Wissens ist die Notation (auch im Bronstein) so, dass z.B. $x^{2}$ kovex/konvex von unten und $x^{1/2}$ konkav/konvex von oben ist. Welcher Duden schreibt was anderes?--NeoUrfahraner 09:00, 19. Feb 2005 (CET)

Konvex und stetig

Kennt wer einen schönen Beweis, dass konvexe Funktionen an inneren Punkten stetig sind? Mir fallen zwar einige ein, die aber nicht wirklich elegant sind. Vor allem lassen sie sich nur schwierig auf den Fall $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ übertragen

Konvexe und konkave Funktionen

Sinnvoll wäre es meines Erachtens, konvexe und konkave Funktionen gemeinsam unter dem Titel "Konvexe und konkave Funktionen" abzuhandeln; d. h. "konvexe Funktionen" umzubenennen und redirects darauf zu setzen. Meinungen dazu? --NeoUrfahraner 14:33, 20. Feb 2005 (CET)

Meinen Segen hättest du. Einige andere Benutzer haben aber anscheinend ein Problem damit, wenn Artikeltitel nicht zum Verlinken geeignet sind. Wer schreibt schon in anderen Artikeln über "konvexe und konkave Funktionen"? Und ungern schreibt man "[[konvexe und konkave Funktionen|konkave Funktion]]". Aber ich denke, da die vorhandenen Titel konvexe Funktion und konkave Funktion bleiben als Redirect erhalten blieben, wäre das kein Problem.

Problematisch könnte da eher die (aus leicht ersichtlichen Gründen) streng eingehaltene Regel sein, dass Artikeltitel im Singular stehen sollten.

Wenn du weitere Meinungen einholen willst, solltest du diese Seite auf der Portaldiskussion verlinken. --SirJective 15:11, 20. Feb 2005 (CET)

Wenn es nur um Einzahl/Mehrzahl geht, käme natürlich auch ein Titel wie "konvex/konkave Funktion" oder "konvexe bzw. konkave Funktion" in Frage, das gefällt mir aber nicht wirklich besser. Evtl. passt auch "konvexe oder konkave Funktion", zumindest kann ich mir vorstellen, dass die Formulierung sei "f eine konvexe oder konkave Funktion" des öfteren verwendet wird (na ja, google hat 4 Treffer dafuer und 137 für "convex or concave function"). Vielleicht fällt jemand noch eine griffigere Bezeichnung ein. Diese Seite habe ich jetzt jedenfalls mit Portaldiskussion verlinkt. Unklar ist mir auch noch, wie man mit den nicht-deutschprachigen Links umgehen soll, die konvexe und konkave Funktion trennen (en:Convex function, en:concave function, he:פונקציה קעורה sowie he:פונקציה_קמורה ). Auf beide verweisen? --NeoUrfahraner 18:34, 20. Feb 2005 (CET) 16:15, 20. Feb 2005 (CET)

Ich habe übrigens nachgelesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Namenskonventionen#Ausnahmen_von_der_Singularregel Es handelt sich zwar um Mathematik, nicht Geschichte, aber die Punischen Kriege wären eigentlich ein passendes Analogon. --NeoUrfahraner 18:53, 20. Feb 2005 (CET)

Um die Sache zu einem Ende zu bringen: wenn bis 5. März 2005 keine neuen Argumente (oder ein wirklich griffiges Lemma) auftauchen, werde ich konvexe Funktion und konkave Funktion unter dem Lemma "Konvexe und konkave Funktionen" zusammenfassen, selbstverständlich mit redirect. Betonen möchte ich, dass ich dabei keine neue Singular/Plural-Regel einzuführen gedenke, sondern lediglich die vorhandenen Regeln in Analogie zu den Punischen Kriegen auf diese Situation hier auslege. --NeoUrfahraner 11:48, 26. Feb 2005 (CET)

Absatz "Konvexität und Stetigkeit"

Der Absatz beginnt mit

Jede auf einem offenen Intervall konvexe Funktion ist stetig. Setzt man umgekehrt Stetigkeit voraus, so reicht für Konvexität bereits die Bedingung, dass für alle x,y aus I gilt:

und enthält dann die (auch woanders im Artikel verwendete) Formel:

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$.

die durch Pviefs "[vermutlich] allgemeiner gefasst" wurde:

$f(\lambda \cdot x+(1-\lambda )\cdot y)\leq \lambda \cdot f(x)+(1-\lambda )\cdot f(y)$.

Verlangt man die Gültigkeit für jedes lambda, dann verstärkt man die Voraussetzung, gelangt also zu einer spezielleren Aussage. Verlangt man jedoch die Gültigkeit für ein lambda zwischen 0 und 1 (welches dann für alle x und y gleich sein muss), dann verallgemeinert man die Aussage durch Übergang zu einer schwächeren Voraussetzung. --SirJective 17:45, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich verstehe, bin mir aber icht sicher, dass Pviefs das tatsächlich gemeint hat. Kennt jemand eine Quelle, dass diese Verallgemeinerung tatsächlich gilt? Wenn ja, würde ich es für sinnvoller halten, am Ende des Abschnitts zu schreiben, "diese Aussage lässt sich laut ... verallgemeinern, dass ... für irgendein $\lambda$ gilt." --NeoUrfahraner 21:45, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich habe zwar keine Quelle gefunden; da sich die Verallgemeinerung aber problemlos zeigen lässt, habe ich sie wie vorgeschlagen eingebaut. --NeoUrfahraner 13:23, 20. Jul 2005 (CEST)

Paragraph Graph

Hallo

Es steht unter "Konvexität und zweite Ableitung" geschrieben:

"Ist die Funktion $f\!$: $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt

• $f\!$ ist genau dann konvex, wenn $f''\!$ nichtnegativ ist. [...]"

Wäre es falsch aus diesem Grund im Paragraph "Graph" dazuzuschreiben:

Ein konvexer Graph ist linksgekrümmt ?

-- Graphity 12:01, 05. Sep 2005 (CEST)

Nein, kann man durchaus dazuschreiben. "linksgekrümmt" ist anscheinend eine verbreitete Eindeutschung für konvex - mir ist allerdings nicht ganz klar, ob linksgekrümmt gleichbedeutend mit konvex oder mit strikt konvex verwendet wird. --NeoUrfahraner 12:29, 5. Sep 2005 (CEST)

Also ich habe linksgekrümmt im Gymnasium gelernt. Deshalb kommt mir das Wort überhaupt in den Sinnn...

Laßt uns klären, ob es strikt konvex sein muß! Ich denke schon, denn wenn ein Graph nur konvex ist, kann er auch linear sein und hat somit entweder keine oder zwei Krümmungen. Und bedeutet konvex in einem $\mathbb {R} ^{n}$ dann auch Linkskrümmung?

-- Graphity 13:10, 06. Sep 2005 (CEST)

Ich habe die Definition von linkgekrümmt jetzt so übernommen, wie sie bei Riemannscher Krümmungstensor steht, also zweite Ableitung positiv, und ins Glossar mathematischer Attribute übernommen. Für Funktionen $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ wird linksgekrümmt anscheinend nicht verwendet. Im Artikel konvexe und konkave Funktionen habe ich es nicht im Abschnitt Graph, sondern im Abschnitt über die zweite Ableitung eingebaut, dort passt es meines Erachtens besser hin. --NeoUrfahraner 10:15, 7. Sep 2005 (CEST)

Von wem stammt der Begriff "Konvexe Funktion"?

Wer hat den Begriff "Konvexe Funktion" erstmals eingeführt? Irgendwie liest sich Jensens Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes (Acta Math. 30, 175-193, 1906) so, alsob es Jensen gewesen wäre. Weiß wer mehr dazu? --NeoUrfahraner 22:09, 27. Jul 2006 (CEST)

Hat sich erledigt: http://members.aol.com/jeff570/c.html --NeoUrfahraner 12:54, 28. Jul 2006 (CEST)

"zwischen"

Wenn t zwischen 0 und 1 liegt, bedeutet das 0<t<1 ? Jedenfalls wird diese strenge Ungleichung ja für die strenge Konvex- und Konkavheit gebraucht, bei den nicht-strengen Formulierungen hingegen nicht. Also müsste/könnte man auf jeden Fall die Formulierungen "zwischen 0 und 1" präzisieren. -- Amtiss, SNAFU ? 14:07, 5. Aug 2006 (CEST)

Ich habe es mit "echt zwischen" im strengen Fall präzisert. --NeoUrfahraner 15:07, 5. Aug 2006 (CEST)das stimmt

Werte vs. Stellen

Müsste es nicht anstatt "Die Funktionswerte zwischen zwei Werten x,y" heißen: "Die Funktionswerte zwischen zwei Stellen x,y" ? --83.243.118.163 13:27, 12. Nov. 2007 (CET)

Konvexität und zweite Ableitung

Im oben genannten Abschnitt heisst es:

Für eine reelle, zweimal differenzierbare Funktion $f$ lassen sich weitere Aussagen treffen. $f$ ist genau dann konvex, wenn ihre zweite Ableitung nicht negativ ist. Ist $f''$ durchweg positiv, $f$ also stets linksgekrümmt, dann ist $f$ streng konvex; bei einfacher Konvexität dagegen kann die zweite Ableitung auch einzelne Nullstellen, das heißt die Funktion selbst einzelne nicht gekrümmte Stellen besitzen, wie etwa $f(x)=x^{4}$ an der Stelle $x=0$.

Das ist sehr merkwürdig formuliert, denn es entsteht der Eindruck als sei $f(x)=x^{4}$ nicht streng konvex. Dabei ist diese Funktion gerade ein Beispiel dafür dass die Bedingung $f''>0$ nicht notwendig für strenge Konvexität ist. Abgesehen davon ist nirgends definiert was einfache Konvexität sein soll. Vermutlich ist schlicht Konvexität gemeint. Wenn man alle überflüssigen Wörter rausnimmt wird dann aus den letzten Halbsatz: "bei Konvexität kann die zweite Ableitung einzelne Nullstellen besitzen". Das ist zwar nicht falsch, sagt aber auch nichts neues aus.

Ich denke es ist besser den letzten Halbsatz wegzunehmen und $f(x)=x^{4}$ als Beispiel für die Nichtnotwendigkeit von $f''>0$ für strenge Konvexität zu erwähnen.

Analog dazu ist $f$ ist genau dann konkav, wenn $f''\leq 0$ gilt. Ist $f''$ durchweg negativ, $f$ also stets rechtsgekrümmt, so ist $f$ streng konkav; bei einfacher Konkavität dagegen kann die zweite Ableitung auch einzelne Nullstellen, d.h. die Funktion selbst einzelne nicht gekrümmte Stellen besitzen, wie etwa $f(x)=-x^{4}$ an der Stelle $x=0$.

Hier gilt natürlich dasselbe analog. Aber dass hier das "d.h." im Gegensatz zu oben abgekürzt wurde zeigt wie wenig der Text reviewed wurde... (nicht signierter Beitrag von 85.177.237.171 (Diskussion) 09:13, 10. Dez. 2012 (CET))

Im Abschnitt "Positivkombinationen" steht, dass alle Funktionen der Form f(x)=ax^2+bx+c strikt konvex sind, wenn a,b,c>0 sind. Reicht es nicht, wenn man voraussetzt, dass a>0 ist? Das wäre doch dann eine nach oben geöffnete Parabel, und damit konvex. Das c sorgt doch nur für eine Verschiebung entlang der y-Achse. Ob das nun nach oben oder nach unten verschoben wird, ist doch bei der Konvexität egal. Also kann man das doch im Artikel ändern, oder? (nicht signierter Beitrag von 213.211.233.226 (Diskussion) 16:18, 6. Jun. 2013 (CEST))

OK, wenn keine Rückmeldung kommt, deute ich das jetzt mal so, dass keiner was gegen eine Änderung hat. Ich ändere das dann mal. (nicht signierter Beitrag von 213.211.233.226 (Diskussion) 23:38, 8. Jun. 2013 (CEST))

Es handelt sich um ein Beispiel dafür, dass Positivkombinationen von konvexen Funktionen konvex sind. Schon der zweite Satz im Text sagt, dass das bei dem ohnehin klar ist.

Etwas Grundsätzliches: warte nicht ewig auf Diskussionsrückmeldungen. In der Regel sind Reaktionen auf konkrete Artikeländerungen weit früher zu erwarten als diese. --93.218.206.144 03:33, 9. Jun. 2013 (CEST)

grauenhafter Artikel, die relevanten Defition sind derart Umständlich und Unverständlich Formuliert in im Fall R, dabei ist die Untersuchung von Konvex und Konkav bei Funktionen sehr einfach, was dieser Artikel überhaupt nicht abbildet! (nicht signierter Beitrag von 88.71.107.198 (Diskussion) 16:17, 5. Jul 2013 (CEST))

Toter Link

Der letzte Weblink "Convex Function in PlanetMath" ist tot. --Das O2 (Diskussion) 00:43, 22. Jan. 2014 (CET)

Erweiterte Definition

Den Abschnitt finde ich zumindest an dieser Stelle problematisch. Das „hat sich eingebürgert“ stimmt sicherlich nicht, denn diese Definition wird höchstens in einem Spezialgebiet verwendet (konvexe Optimierung?). Abgesehen davon hat diese Erweiterung nichts mit konvexen Funktionen zu tun, das kann man immer machen, wenn man gewisse Definitionsbereiche einer Funktion ausblenden möchte. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:39, 27. Mai 2015 (CEST)

Dann nehm ich ihn ma raus und schreib einen eigenen Artikel zu erweiterten Funktionen. Da war eigentlich als Vorarbeit für die Überarbeitung der Verkettungsregeln gedacht, aber dann kommts erstmal Weg und in einen kleinen Kommentar wenn Erweiterte Funktion ein eigener Artikel ist. LG --NikelsenH (Diskussion) 21:54, 27. Mai 2015 (CEST)

Das ist wohl die beste Lösung. Vielen Dank, --Quartl (Diskussion) 21:59, 27. Mai 2015 (CEST)

Konvex und Konkav ganz einfach so kompliziert

Wie findet man in Wikipedia ganz schnell und zielsicher eine ganz simple Erklärung. Irgendwie bohrt sich hier Wikipedia mal wieder ein Loch ins Knie.

... und warum gibt es hier so was nicht (als SchnellEinleitung oder als Link, aber wohin ?)

Wikipedia ist oft so langsam und gibt wenig Überblick (auch über das Umfeld).

Konvex

Aber English ist es auch nicht besser, es reicht oft der Hinweis, ob es nun nach aussen oder nach innen gewölbt ist.

--AK45500 (Diskussion) 09:00, 4. Okt. 2018 (CEST)

Definition konvexe Funktion

Die aktuelle Definition einer konvexen Funktion benötigt die Konvexität der Domain $C$ als Teil der Definition. Eine allgemeinere Definition ohne Einschränkung der Domain wäre

Eine Funktion $f:C\to \mathbb {R} ,C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn ihr Epigraph $\operatorname {epi} f=\{(x,t)\in C\times \mathbb {R} \ |\ x\in C,t\geq f(x)\}$ eine konvexe Menge ist.

Daraus erhält man sowohl direkt die analytische Definition ($f(\theta x+(1-\theta )y)\leq \theta f(x)+(1-\theta )f(y)\ \forall x,y\in C,\theta \in [0,1]$), als auch die Konvexität von $C$ über folgendes Lemma:

Sei $f:C\to \mathbb {R} ,C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine konvexe Funktion. Dann ist $C$ eine konvexe Menge.

Beweis: Da $f$ konvex ist, ist $\operatorname {epi} f$ eine konvexe Menge. Definiere die Abbildung $L:C\times \mathbb {R} \to C:(x,t)\mapsto x$, die den Epigraph von $f$ auf die Domain projiziert. Da die Konvexität einer Menge unter linearen Abbildungen erhalten bleibt und $L$ linear ist, ergibt sich dass die Domain $C$ konvex ist.

Nachtrag: Die geometrische Definition mit dem Epigraph kommt seit dem Klassiker "Convex Analysis" von Rockafellar (Begründer von konvexer Analysis als eigenständiges Fachgebiet!) in unzähligen Lehrbüchern vor und ist ebenso weit verbreitet wie die analytische Definition über Jensens Ungleichung. Die Definition über den Epigraph ist einfacher und allgemeiner als die Definition über Jensens Ungleichung (welche Konvexität der Domain voraussetzt), daher sollte sie auch am Anfang erwähnt werden. Die Definition über Jensens Ungleichung wird dadurch nicht entwertet, sie ist zusammen mit der Abbildung ja tatsächlich sehr anschaulich und sollte auch drinbleiben. Die Intention der Änderung ist es, die Präsentationsreihenfolge des Abschnitt Definition logisch aufzubauen: vom allgemeinen zum spezielleren. Die analytische Definition über Jensens Ungleichung macht beispielsweise Probleme bei erweiterten reellwertigen konvexen Funktionen, welche die Werte $\infty$ und $-\infty$ annehmen kann. Die geometrische Definition mit dem Epigraph ist ein eleganter Weg solche Probleme zu umgehen, s. auch "Convex Analysis and Optimization" von Bertsekas, S. 26. --188.23.155.136 10:37, 15. Apr. 2019 (CEST)

Die Definition der konvexen Funktionen f über epi(f) steht so auch in Martis "Konvexe Analysis". Allerdings krankt das Ganze ein wenig an der Einschränkung auf den R^n. Die Konvexitätsbetrachtungen in der Funktionalanalysis, die auch allgemeine reelle Vektorräume einbeziehen, werden also zunächst mal außer Acht gelassen, was mE nicht sachgerecht ist. Und mW ist die übliche Definition der Funktionalanalysis nun mal die, welche von vorn herein eine konvexe Definitionsmenge zugrundelegt. Übrigens kann man auch hier den Fall der um ⚭ erweiterten reellen Zahlen mit einbeziehen. So etwa macht es Peter Kosmol in "Optimierung und Approximation" (de Gruyter, 2. A., 2010). Ganz grundsätzlich sollte man sich daran orientieren, was die übliche Fachliteratur sagt. Das heißt: Kollege HilberTraum hat recht, wenn er darauf verweist, dass die Definition mit konvexer Definitionsmenge ... *sehr* verbreitet sei. --Schojoha (Diskussion) 19:46, 15. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe einige (es gibt noch wesentlich mehr) Referenzen für die Definition mit dem Epigraph eingefügt: Rockafellars "Convex Analysis", Martis "Konvexe Analysis", Bertsekas "Convex Analysis and Optimization" und Bauschke & Combettes "Convex analysis and monotone operator theory in hilbert spaces". Wenn das kein repräsentativer Querschnitt durch die Fachliteratur ist dann weiß ich auch nicht. Selbstverständlich hat HilberTraum recht, die Definition mit konvexer Definitionsmenge ist sehr verbreitet. Aber das bedeutet nicht, dass die Definition mit Epigraph weniger weit verbreitet bzw. selten oder ungewöhnlich wäre. Tatsächlich ist mein Eindruck, dass die meiste Fachliteratur beide Definition erwähnt. Rockafellar z.b. gibt zuerst die Definition mit Epigraph, um dann eine "important interpolation property" (nämlich die Definition über Jenses Ungleichung) als alternative Definition herzuleiten. Nicht ohne Grund beginnen die meisten Bücher mit einem Kapitel über konvexe Mengen, bevor sie konvexe Funktionen behandeln. Das einzige Buch das mir auf die Schnelle einfällt und in dem NICHT beide Definitionen, sondern nur die analytische mit Jensens Ungleichung angegeben ist, ist Boyd & Vandenberghes "Convex Optimization". Aber das ist wohl eher aus Optimierungs-Perspektive geschrieben und sie erwähnen am Anfang (S.68) explizit dass sie sich mit konvexer Analysis nicht weiter beschäftigen ("The analysis of convex functions is a well developed field, which we will not pursue in any depth.")

Die Perspektive aus der Funktionalanalysis wo man Konvexität in allgemeineren Räumen betrachtet könnte man auch mit hineinnehmen, ja. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob das nicht eine zu spezielle Perspektive ist. Immerhin ist konvexe Analysis als eigenständiges Fachgebiet etabliert, und dort beschränkt man sich mW auf den R^n. Vielleicht kann man als zusätzliche Information erwähnen dass es auch noch weitere allgemeinere Konvextitätsbegriffe gibt. Werners "Funktionalanalysis" definiert Konvexität mit Jensens Ungleichung, hat aber die Definition mit Epigraph als Übungsaufgabe (Aufgabe III.6.35) - es scheint also auch in allgemeinen Räumen mehrere äquivalente Definitionen zu geben. Bauschke & Combette "Convex analysis and monotone operator theory in hilbert spaces" definieren konvexe Funktion in einem (allgemeinen) Hilbertraum über den Epigraph. Singer "Abstract Convex Analysis" definiert einen allgemeinen (und mE recht komplizierten) W-Konvexitätsbegriff über den Epigraph, aber ich denke das führt wirklich etwas zu weit.

Natürlich kann man auch die Definition mit Jensens Ungleichung für die erweiterten reellen Zahlen mit $\infty$ verwenden. Der Punkt ist, für die Definition mit Epigraph muss man nicht erst die entsprechenden Rechenregeln für Ausdrücke mit $\infty$ definieren.

Zusammengefasst: Die Definition über den Epigraph ist in der Fachliteratur (im Kontext "Konvexe Analysis") fest verankert, sie ist allgemein (benötigt nicht Konvexität der Definitionsmenge, keine Probleme mit $\infty$) und sie ist einfach und intuitiv. Deshalb denke ich sie sollte GEMEINSAM mit der analytischen Definition in den Artikel. Die Änderung die zur Sichtung ansteht setzt das um. --188.23.155.136 11:21, 16. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe zwei Anmerkungen:

1) Ich begrüße es sehr, wenn sich neue User finden, die hier im Portal Mathematik mitmachen. Die Diskussion wäre aber um einiges leichter - zumindest für mich - wenn sich der neue unbekannte User mit obiger IP-Adresse eine Benutzernamen und eine Benutzerseite gäben. Insbesondere würde mich sein mathematischer Hintergrund interessieren.

2) Da die konvexen Funktionale für die gesamte Analysis und darüber hinaus bedeutsam sind, sollte es in dieser Grundsatzdiskussion ein breiteres Meinungsbild geben. Ich bleibe zunächst bei meinem oben kurz umschriebenen Standpunkt - und möglicherweise HilberTraum ebenfalls! Aber andere mögen es anders sehen. Ich habe also eine QS auf den Weg gebracht.

--Schojoha (Diskussion) 23:10, 23. Apr. 2019 (CEST)

Die Definition mittels Ungleichung ist sicher anschaulicher und historisch früher. Daher würde ich diese Definition, gerade für eine Enzyklopädie, die ja kein Mathematiklehrwerk sein will/kann/soll, vorziehen, und es geht hierbei nur um die Reihenfolge. Die Definition mittels Epigraph ist ja nicht wirklich allgemeiner, denn die Konvexität des Definitionsbereichs folgt trivial. Das gegebene Argument, es sei logischer vom Allgemeinen zum Speziellen überzugehen, greift hier also gar nicht und ist zudem falsch denn man lernt Mathematik und Mathematik entsteht umgekehrt. Ferner bietet es keinen Vorteil, die Konvexität des Definitionsbereichs nicht in der Definition zu haben, sondern ist eher lästig, denn die Konvexität des Definitionsbereichs wird ständig benutzt und man müsste jedesmal auf das triviale Lemma verweisen. Wir sollten auch an Leser mit Schulkenntnissen denken, denn konvexe Funktionen kommen in der Schule vor (zweite Ableitung bla-bla-bla), und an Schulen wird ganz sicher mit der Ungleichung gearbeitet. Meine klare Präferenz ist daher: Ungleichung. --FerdiBf (Diskussion) 09:42, 24. Apr. 2019 (CEST)

Zu Schojohas Anmerkungen:

1) Als typischer Gelegneheits wikipedia Nutzer, der vielleicht zweimal im Jahr irgendwo einen Tippfehler ausbessert, sah ich bis jetzt keine Notwendigkeit für einen Benutzeraccount. Ich habe allerdings noch nie Änderungen an einem so "großen" Artikel vorgenommen wie jetzt, daher habe ich nun einen Benutzeraccount angelegt. Mein Hintergrund ist angewandte Mathematik im Bereich Computer Vision, insbesondere Variationsrechnung, (konvexe) Optimierung & Algorithmen und was man sonst noch so für Computer Vision braucht (Diskrete Optimierung, Lineare Algebra, ein bisschen Differentialgeometrie, Machine Learning & Neuronale Netze etc)

2) Danke für das Erstellen der QS, ich werde dort antworten! --Pingpong128 (Diskussion) 12:17, 24. Apr. 2019 (CEST)

Notation

Ich fände es sinnvoll bei denen Definitionen nicht so was $x,y\in C$ oder $x,y\in X$ oder Ähnliches zu verwenden, auch wenn diverse Bücher das so machen mögen. Diese Notation beißt sich nämlich mit der Konvention bei der $y$ ein Element der Zielmenge ist, d.h. $y=f(x)$. Daher fände ich es besser etwas wie $c_{1},c_{2}\in C$, $x_{1},x_{2}\in X$ oder wenn's ohne Index sein soll $a,b\in C$.--Kmhkmh (Diskussion) 23:14, 23. Apr. 2019 (CEST)

Ich kenne die Form $y=f(x)$ hauptsächlich aus der Schulmathematik, wo man sich in $\mathbb {R}$ bewegt und für die Visualisierung das Argument auf der x-Achse und den Wert eben auf der y-Achse aufträgt. Daraus ergibt sich dann intuitiv dass man den Funktionswert nach der Achse benennt. In höherdimensionalen Räumen ergibt diese Intuition allerdings keinen Sinn mehr. $x,y$ als Bezeichnung für Punkte in einem Raum ist in der mathematischen Literatur Standard, ich finde wikipedia sollte nicht ohne gewichtigen Grund davon abweichen.

Wenn es doch etwas anderes sein soll, bitte nicht $x_{1},x_{2}\in X$, da es hier eine Überschneidung mit der Verwendung von Indizes für die Komponenten eines Punktes gibt: $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$--Pingpong128 (Diskussion) 09:17, 25. Apr. 2019 (CEST)

Naja es wird doch gerade auch die Verwendung in der Schule bzw. die für Schüler am leichtesten lesbare Definition diskutiert, deswegen finde ich die $x,y\in C$ unschön. Ansonsten ist die angesproche Verwendung von y nicht nur auf den Schulbereich beschränkt und wird öfters verwendet, solange man sich im gegebenen Kontext ausschließlich im $\mathbb {R} ^{2}$ oder $\mathbb {R} ^{3}$ bewegt. Bzgl. des $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ gebe ich dir recht, die Variante ist auch ungünstig, im Prinzip aus denselben Gründen.--Kmhkmh (Diskussion) 10:18, 25. Apr. 2019 (CEST)

Wenn man die Verwendung von $y$ als Punkt vermeiden möchte, weil es an den Funktionswert auf der y-Achse erinnert, würde ich am ehesten $p,q\in C$ vorschlagen. Ich könnte mir allerdings vorstellen dass aus Schülersicht $f(q)$ ähnlich ungewohnt aussieht wie $f(y)$, und würde hier bei der derzeitigen Form $x,y\in C$ bleiben. Aus Schülersicht hat man dann zumindest das bekannte $f(x)$ und muss "nur" den Abstraktionsschritt vollziehen dass man statt $x$ auch $y$ als Argument einsetzen kann.

Um die Notation etwas klarer zu machen könnte man statt $t\in [0,1]$ einen griechischen Buchstaben verwenden, z.b. $\theta$ oder $\alpha$. Damit hätte man den Unterschied zwischen den höherdimensionalen Vektoren (lat. Buchstaben) und dem skalaren Parameter (griech. Buchstaben) auch in der Notation abgebildet. --Pingpong128 (Diskussion) 13:33, 25. Apr. 2019 (CEST)

Man könnte die Punkte mit $a$ und $b$ bezeichnen. Das $\theta$ gefällt mir ehrlich gesagt gar nicht. Es erschwert nur die Lesbarkeit und ist für Schüler überhaupt nicht geläufig. Hingegen ist es üblich, Geraden durch den Parameter $t$ zu parametrisieren. Die danebenstehende Grafik verwendet auch $t$. Allerdings auch $x$ und $y$. --Digamma (Diskussion) 20:53, 28. Apr. 2019 (CEST)

Bzgl. a,b und t sehe ich das ähnlich. Die Bezeichnungen in den Illustrationen sind derzeit auch unheitlich, das könnte man eventuell anpassen, nachdem man sich auf eine einheitliche Notation für den Artikel bzw. die Definition geeinigt hat. Langfristig wäre es ohnehin wünschenswert, dass Illustrationen und Artikel dieselben Notationen/Konventionen verwenden.--Kmhkmh (Diskussion) 21:11, 28. Apr. 2019 (CEST)

Zum Parameter, gibt es eine Abneigung allgemein gegen griechische Buchstaben, oder gegen $\theta$ speziell? Das ist mir nur als erstes eingefallen, war vielleicht keine so gute Wahl. Schülern dürfte das in der Tat nicht so geläufig sein. $\alpha$ wäre eine andere Möglichkeit, das sollten auch Schüler kennen.

Als Hintergrund hier eine Aufstellung was in div. Fachliteratur, welche ich auf die Schnelle überprüfen kann, verwendet wird (Erweiterung gern gesehen!)

Werk	Punkte	Parameter
Bauschke & Combettes "Convex Analysis and monotone operator theory in Hilber Spaces"	$x,y$	$\alpha$
Bertsekas "Convex Analysis and Optimization"	$x,y$	$\alpha$
Werner "Funktionalanalysis"	$x,y$	$\lambda$
Rockafellar "Convex Analysis"	$x,y$	$\lambda$
Boyd & Vandenberghe "Convex Optimization"	$x,y$	$\theta$
Marti "Konvexe Analysis"	$x,y$	$t$
Daniel Grieser "Analysis I"	$x_{0},x_{1}$	$t$
Friedmar Schulz "Analysis I"	$x',x''$	$t$
Amann, Escher "Analysis I"	$x,y$	$t$
Otto Forster "Analysis I"	$x_{1},x_{2}$	$\lambda$
Harro Heuser "Analysis I"	$x_{1},x_{2}$	$\lambda$
Wolfgang Walter "Analysis I"	$a,b$	$\lambda$
Matthias Hieber "Analysis I"	$a,b$	$t$
König "Analysis I"	$u,v$	$t$

Für die Punkte ist meine Präferenz klar $x,y$, für den Parameter fände ich griech. Buchstaben (egal welcher) schön, muss aber nicht sein. Ich melde mich freiwillig fürs Erstellen entsprechender Illustrationen, sobald wir eine Übereinkunft bez. der Notation erzielt haben :) --Pingpong128 (Diskussion) 12:26, 29. Apr. 2019 (CEST) Habe die Tabelle um Analysis-I-Bücher ergänzt, siehe unten. --Digamma (Diskussion) 21:15, 30. Apr. 2019 (CEST)

Ich denke die Tabelle geht jetzt etwas am obigen Kontext vorbei, dass die allgemeine mathematische Fachliteratur überwiegend x und y benutzt steht außer Frage bzw. wird nicht bestritten. Die Frage ist, ob wir diese Notationskonvention 1:1 übernehmen oder im Sinne der "Leserfreundlichkeit" abändern. Darstellungen in der Fachliteratur "leserlicher" bzw. "verständlicher" machen ist ja durchaus im Sinne von WP. Wenn da man ein Literaturargument führen möchte, müsste man schauen welche Notation in Schülbüchern, die das Thema behandeln, verwendet wird oder auch in Literatur, die sich an Leute ohne größere mathematische Vorbildung richtet, sowie Literatur zur Mathematikdidaktik.--Kmhkmh (Diskussion) 14:26, 29. Apr. 2019 (CEST)

Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I schreibt $x_{1}$ und $x_{2}$ für die Stellen und $t$ für den Parameter. --Digamma (Diskussion) 16:36, 29. Apr. 2019 (CEST)

Ich verstehe den Wunsch nach einer "einfachen" Darstellung und unterstütze das auch. Soweit ich verstanden habe soll WP als Enzyklopädie Wissen abbilden, und da gibt mE eine Abwägung zwischen Einfachheit und "Abbildungsgenauigkeit": Will heißen natürlich ist das Ziel einer möglichst einfachen/intuitiven Präsentation erstrebenswert, wenn es allerdings in Verfolgung dieses Ziels dazu führt dass die Präsentation sich zu sehr von den üblichen Gepflogenheiten unterscheidet, hat man in gewisser Weise zwar das Ziel Einfachheit erreicht, das Ziel Abbildungsgenauigkeit aber verfehlt. Was ist z.b. mit Leuten die nach der Lektüre des WP Artikels in die Situation kommen auch die Fachliteratur zu lesen und dort eine andere Notation vorfinden? Oder umgekehrt, Leute die vielleicht schon einmal ein bisschen in die Fachliteratur reingelesen haben und auf WP kommen um das Wissen aufzufrischen?

Oder eine andere Sache, wenn man in der Definition $a,b$ für die Punkte nimmt, soll das dann konsistent auch im weiteren Verlauf des Artikels durchgezogen werden und z.b. in den Beispielen die Funktion $f(a)$ heißen? Das sieht für Schüler dann erst wieder ungewohnt aus. Ich würde hier wie gesagt bei $x,y$ bleiben.

@Digamma: Ist Analysis 1 von Barner & Flohr ev. auf den $\mathbb {R}$ beschränkt, also keine höherdimensionalen Räume? Man könnte natürlich auch folgendes machen: Im Abschnitt Definition zwei Unterabschnitte, einmal für den eindimensionalen und einmal für den höherdimensionalen Fall. Im eindimensionalen könnte man dann mit schönen Illustrationen und $x_{1},x_{2}$ für die Punkte arbeiten, das wäre wohl am einsteigerfreundlichsten. Im höherdimensionalen dann die übliche Definition mit $x,y$, man kann auch einen Satz dazuschreiben warum man im höherdimensionalen eine andere Notation verwendet (weil die Indizes üblicherweise für die Komponenten eines Punktes verwendet werden). Oder verkompliziert das zu sehr? --Pingpong128 (Diskussion) 11:28, 30. Apr. 2019 (CEST)

Na, denen mit entsprechenden Vorkenntnissen sollte eine leicht abweichende Notation doch geringsten bzw. keine Probleme bereiten. Oder anders aus gedrückt, die "Flexibilität" die man bei einem Schüler oder Leuten mit geringen Vorkenntnissen nicht unbedingt voraussetzen will, sollte man von Leuten mit Vorkenntnissen schon erwarten können.

Insofern sehe ich das auch it der Abbildungsgenauigkeit etwas anders. Eine möglichst einfache Darstellung darf nicht zu Abstrichen and mathematischer Korrektheit und Exaktheit (d.h. Abbildungsgenauigkeit in diesem Sinne), aber Variationen der Notation (solange sie exakt und korrekt bleibt) fallen nicht darunter. Letztlich ist aus mathematischer Sicht, die Verwendung von Variablennamen ohnehin völlig beliebig. Der Vorteil oder Sinn einer Konvention liegt ja nur im Wiedererkenungswert zur schnellen Orientierung. In diesem Sinne ist die Frage dann, ob wir im Artikel den Wiedererkennungswert für Fachleute oder für Schüler optimieren sollen/wollen, wenn da ein Zielkonflikt besteht.--Kmhkmh (Diskussion) 19:21, 30. Apr. 2019 (CEST)

Ich halte es für sinnvoll, in einführende Analysis-Bücher wie den von mir oben genannten Barner-Flohr zu schauen. Auch wenn diese in der Regel nur den eindimensionalen Fall betrachten. Es wäre vielleicht auch sinnvoll, diesen Fall hier gesondert zu betrachten. Ich ergänze mal in obiger Tabelle ein paar Suchergebnisse aus Analysis-I-Büchern. --Digamma (Diskussion) 20:55, 30. Apr. 2019 (CEST)

Danke Digamma fürs ergänzen der Tabelle! Zur Notation und Wiedererkennungswert, ich denke Kmhkmh hat es gut zusammengefasst. Fachleute sollten natürlich kein Problem haben mit einer geänderten Notation, ja. Ich hatte es ähnlich gemeint wie Kmhkmh und habe meine Gedanken einfach mal aufgeschrieben.

Es bleibt also die Frage, ob man Unterabschnitte für den eindimensionalen und mehrdimensionalen Fall anlegen soll. Damit könnte man am ehesten die Notation für Schüler und Fachleute gleichzeitig optimieren. Ich meine hier auf WP schon öfter Artikel gelesen zu haben, in denen das so gehandhabt wird. Also erst der eindimensionale Fall, von mir aus mit ein paar schönen Beispielen, und dann die Erweiterung auf höherdimensional. Was meint ihr? Vor allem besteht das Lemma ja aus mehr als nur der Abschnitt Definition über den wir hier reden. Ich würde aus dem Bauch heraus einmal sagen für den Abschnitt Definition könnte man es wie beschrieben zweiteilen (eindimensional, mehdiemnsional), der Rest des Lemmas sollte dann den allgemeinen mehrdiemnsionalen Fall behandeln. Ich denke der Aufwand die Zweiteilung auch im Rest des Lemmas durchzuziehen steht nicht dafür. --Pingpong128 (Diskussion) 22:37, 30. Apr. 2019 (CEST)

Ich würde zumindest die Beziehungen zur ersten und zweiten Ableitung für den eindimensionalen Fall gesondert betrachten und da auch weiter nach vorne ziehen. Das ist das, was für die Schule wichtig ist. --Digamma (Diskussion) 22:44, 30. Apr. 2019 (CEST)

Ja guter Punkt. Ich hatte auch schon dran gedacht den Abschnitt Konvexität und Differenzierbarkeit nach vorne zu ziehen, ev. in den Abschnitt Elementare Eigenschaften hinein? Für differenzierbare Funktionen können die Bedingungen 1. und 2. Ordnung als alternative Definition für Konvexität verwendet werden, da könnte man auch darüber nachdenken es direkt als Unterabschnitt in Definition zu bringen. Wenn man den Abschnitt Definition sowieso in ein- und mehrdimensional zweiteilt würde sich das anbieten. --Pingpong128 (Diskussion) 23:41, 30. Apr. 2019 (CEST)

Physik

Ich denke es sollte erwähnt werden, dass zumindest in manchen Teilbereichen der Physik "konvexe und konkave Funktion" genau umgekehrt definiert ist wie heute in der Mathematik üblich. --MrBurns (Diskussion) 17:35, 17. Nov. 2019 (CET)

Hast du dazu Quellen? --Digamma (Diskussion) 20:07, 17. Nov. 2019 (CET)

Die Ableitung als Konvexitätskriterium

Im Abschnitt "Die Ableitung als Konvexitätskriterium" wird vorausgesetzt, dass f stetig differenzierbar ist. M.E. genügt es vorauszusetzen, dass f differenzierbar ist. --Ulli123 (Diskussion) 14:08, 15. Mai 2020 (CEST)

Eine schwächere Definition der Konvexität

Im Beweis im Beweisarchiv ist ein kleiner Fehler: In der 11. Zeile des Beweises wird definiert:

${\displaystyle 0<q:=\min \left(\lambda ,1-\lambda \right)<1}$

es muss aber heißen:

${\displaystyle 0<q:=\max \left(\lambda ,1-\lambda \right)<1}$ --Ulli123 (Diskussion) 14:08, 15. Mai 2020 (CEST)

Definitionsbereich

Im Abschnitt "Analytische Definition" werden konvexe Funktionen nur mit Definitionsbereich ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ definiert. Dabei wäre es ja kein Problem, aber sinnvoll, konvexe Mengen in beliebigen reellen Vektorräumen zuzulassen. Tatsächlich wird dies ja auch weiter unten so verstanden, z.B.:

"Eine schwächere Definition der Konvexität

Eine stetige Funktion f auf einer konvexen Teilmenge C eines reellen topologischen Vektorraums ..." oder

"In unendlichdimensionalen Räumen

Im unendlichdimensionalen Fall sind konvexe Funktionen nicht notwendigerweise stetig ..." --Ulli123 (Diskussion) 14:07, 15. Mai 2020 (CEST)

Konvexe Funktionen in der Geometrie

Im Abschnitt "Konvexe Funktionen in der Geometrie" muss es heißen: Der Abschluss von A ist eine konvexe Menge genau dann, wenn ...

Z.B. für ${\mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$ ist die Abstandsfunktion ${f(x):=d(x,\mathbb {Q} ),x\in \mathbb {R} }$ konstant 0, also konvex, aber ${\mathbb {Q} }$ ist natürlich nicht konvex.

Ausserdem sollte ${A\neq \emptyset }$ vorausgesetzt werden, da sonst $f(x)=\infty$.

Andererseits gilt dies dann sogar in beliebigen normierten Vektorräumen. --Ulli123 (Diskussion) 21:07, 15. Mai 2020 (CEST)

Ich würde eher schreiben: "Eine abgeschlossene nicht-leere Teilmenge A ... ist genau dann konvex, wenn ...". Oder ist das nicht äquivalent? --Digamma (Diskussion) 21:12, 15. Mai 2020 (CEST)

Klar, so geht es auch, und ist vielleicht etwas griffiger. --Ulli123 (Diskussion) 21:16, 15. Mai 2020 (CEST)

Mach doch einfach. Ich sichte es dann. --Digamma (Diskussion) 21:31, 15. Mai 2020 (CEST)

Ich habe das jetzt gesichtet. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das für normierte Vektorräume auch gilt. --Digamma (Diskussion) 21:52, 15. Mai 2020 (CEST)

Danke für die Sichtung. Und das gilt sicher auch in normierten Räumen, der Beweis ist ziemlich straightforward. --Ulli123 (Diskussion) 21:57, 15. Mai 2020 (CEST)

Das heißt dann, man berechnet die Abstandsfunktion bezüglich der Norm? --Digamma (Diskussion) 11:22, 16. Mai 2020 (CEST)

Genau, also bzgl. der von der Norm induzierten Metrik. --Ulli123 (Diskussion) 20:58, 16. Mai 2020 (CEST)

Ergänzung zu differenzierbaren Funktionen

Bei Konvexe und konkave Funktionen#Die_Ableitung_als_Konvexitätskriterium sollte ein Argument vom Typ [1] eingebaut werden. (nicht signierter Beitrag von Maximilian Janisch (Diskussion | Beiträge) 20:08, 25. Okt. 2020 (CET))