Diskussion:Länge (Mathematik)

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Ich halte dieses Lemma für wesentlich weniger geeignet als Bogenlänge oder Rektifizierbarer Weg (meinetwegen auch Rektifizierbarkeit), würde also eine Einarbeitung oder Verschiebung anstreben. Aus dem entbehrlichen Inhalt von Bogenlänge wurde inzwischen ein Redirect gemacht.

Vorschlag: Partielle Einarbeitung nach Rektifizierbarer Weg und Löschung dieses Lemmas: Die "Herleitungsskizze" ist viel zu lang und hat mit einer Herleitung nicht viel zu tun (die Hauptschwierigkeit liegt ohnehin in der Definition der Länge); Beispiele benötigen mMn keine Nebenrechnungen.

Was nocht fehlt und eigentlich zu dem Lemma Bogenlänge gehört, ist die Parametrisierung nach Bogenlänge.--Gunther 12:24, 19. Jan 2006 (CET)

Ich stimme zu, dass die drei genannten Artikel zu einem zusammengefasst gehören, wobei mir das Lemma Bogenlänge am besten gefällt. Allerdings würde ich den Inhalt aller drei Artikel gerne gemeinsam in einem sehen: Die "Herleitungsskizze" und das Beispiel finde ich nicht zu lang und sollte meiner nach behalten werden, der alte Inhalt von Bogenlänge (Berechnung in unterschiedlichen Darstellungen der Fuktion) ist evtl. für Ingenieure interessant; die exakte Definition der Länge wie in Rektifizierbarer Weg gehört jedenfalls auch hinein. --NeoUrfahraner 13:11, 19. Jan 2006 (CET)

"Bogenlänge" sagt halt nicht mehr als "Länge" und ist deshalb nur in Zusammensetzungen wie der o.a. aus historischen Gründen sinnvoll. Die "Herleitungsskizze" sollte zumindest in "Motivation" o.ä. umbenannt werden.--Gunther 13:46, 19. Jan 2006 (CET)

Aus Rektifizierbarer Weg: Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Die Länge einer Strecke (Pythagoras) ist schon ein wenig elementarer als die Länge einer Kurve (Supremum); an dieser Frage und der Frage, ob es "Herleitungsskizze" oder "Motivation" heißt, soll die Zusammenlegung jednefalls nicht scheitern ;-) --NeoUrfahraner 14:43, 19. Jan 2006 (CET)

Es redet halt niemand mehr von "Bögen", deshalb kommt mir "Bogenlänge" etwas antiquiert vor, und mehr als "Länge eines Bogens" bedeutet es ja auch nicht. Vielleicht Länge (Mathematik), denn der karge Verweis auf Weg (Mathematik) unter Länge ist ja nicht gerade befriedigend?--Gunther 13:07, 22. Jan 2006 (CET)

Länge (Mathematik) gefällt mir sehr gut. --NeoUrfahraner 09:57, 23. Jan 2006 (CET)

Habe jetzt alles hier zusammengeführt, ein bisschen Nachbearbeitung kann aber nicht schaden, insbesondere könnte man noch die Motivation an den allgemeineren Kontext angleichen, wenn man das wünscht.--Gunther 11:55, 23. Jan 2006 (CET)

Ich habe die drei alten Artikel nochmals durchgesehen. Aus meiner Sicht ist jetzt alles dabei, was erhalten bleiben soll. --NeoUrfahraner 21:50, 25. Jan 2006 (CET)

Irgendetwas sollte man noch dazu sagen, dass die Länge meistens nicht von der Parametrisierung abhängt.--Gunther 22:08, 25. Jan 2006 (CET)

Wieso "meistens"? Gibt es Beispiele, wo die Länge von der Parametrisierung abhängt? --NeoUrfahraner 22:15, 25. Jan 2006 (CET)

Wenn der Weg nicht injektiv ist bzw. wenn die Nichtinjektivität schlimmer ist als Kreuzungspunkte oder so.--Gunther 22:20, 25. Jan 2006 (CET)

Dankeschön.--Gunther 15:30, 27. Jan 2006 (CET)

Gern geschehn --NeoUrfahraner 15:34, 27. Jan 2006 (CET)

Bogenlänge

Hallo, ich hab eine Frage bezüglich diesem Thema.

Nehmen wir eine Funtkion:

$f(x)\ =\sin(x)$

Dann ist die Stammfunktion $F(x)$ folgende:

$F(x)\ =\int \sin(x)\mathrm {d} x=-\cos(x)$

und die 1. Ableitung $f'(x)$:

$f\,'(x)=\cos(x)$

Wenn wir jetzt die Bogenlänge der Kurve, die von $f$ gezeichnet wird berechnen wollen mit

$B(x)\ =\int {\sqrt {1-(f'(x))^{2}}}\mathrm {d} x$

Dann müssen wir also die Ableitung von f quadrieren und das unter die oben genannte Wurzel stellen, also

$B(x)\ =\int {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\mathrm {d} x$

Da aber folgendes gilt:

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\to \sin(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}$

Muss auch folgendes gelten

$B(x)\ =\int {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\mathrm {d} x=\int \sin(x)\mathrm {d} x=-\cos(x)$

Also:

$B(x)\ =F(x)$

Das hieße aber, dass die Länge der Kurve von sin(x) gleich der Fläche unter sin(x) ist. Ich kann das jetzt überhaupt nirgendswo einordnen, ist mein Weg dahin überhaupt richtig und was bedeutet das jetzt? (nicht signierter Beitrag von Markovic (Diskussion | Beiträge) 15:35, 4. Apr 2006)

In der Formel für die Bogenlänge muss es + statt − heißen.--Gunther 15:37, 4. Apr 2006 (CEST)

Aber dann wäre ja aber sin²x+cos²x=1 also -sinx=Sqrt(1+cos²x), also die Bogenlänge ja gleich dem Cosinus.

${\sqrt {1+\cos ^{2}x}}$ lässt sich nicht nicht so ohne weiteres umformen.--Gunther 15:51, 4. Apr 2006 (CEST)

Stimmt, ich geb dir recht, denn das wäre gleich $i*\sin x$Markovic 15:53, 4. Apr 2006 (CEST)

Nein, auch das nicht.­--Gunther 15:56, 4. Apr 2006 (CEST)

Der Begriff "Bogenlänge" wird hier verwendet aber nicht definiert. Da der Artikel "Bogenlänge" zur Zeit eine Weiterleitung auf diesen Artikel (Länge (Mathematik)) ist, wird nicht klar, was mit Bogenlänge gemeint ist. --195.4.130.67 21:24, 5. Okt 2006 (CEST)

Kurve

Die Begriffe "Kurve und "Länge der Kurve" werden verwendet, bevor sie erklärt werden. Das erschwert m.E. das Verständnis und ist auch prinzipiell unschön. --195.4.130.67 21:35, 5. Okt 2006 (CEST)

Zu "Kurve" siehe Weg (Mathematik). Wo wird "Länge der Kurve" vor der Erklärung verwendet?--80.136.177.224 21:41, 5. Okt 2006 (CEST)

Im Abschnitt "Länge von Wegen", Unterabschnitt "Motivation", steht: „Das Bogenstück auf einer ebenen Kurve ...“ Hier ist weder geklärt, was ein Bogenstück ist, noch was eine Kurve ist. Außerdem ist unklar, ob es sich um eine Weglänge oder eine Kurvenlänge handelt. Auch im Unterabschnitt "Polarkoordinaten" steht: „Ist eine ebene Kurve in Polarkoordinatendarstellung ...“ und „Die Länge der Kurve in Polarkoordinatendarstellung ist daher ...“. Sinnvollerweise müßte dies also unter dem Abschnitt "Länge von Kurven" stehen. Und wie ist das mit dem genannten Funktionsgraphen: Ist das nicht auch eigentlich eine Kurve? --194.97.127.137 08:14, 6. Okt 2006 (CEST)

Der Abschnitt "Motivation" muss nicht präzise sein. Rest geändert. Funktionsgraphen sind auch Kurven, ja, aber sie kommen mit einer kanonischen Parametrisierung.--Gunther 09:57, 6. Okt 2006 (CEST)

Wie ist denn jetzt der Begriff "Bogen" im Sinne dieses Artikels zu verstehen: Ist damit ein Weg oder eine Kurve gemeint? --195.4.128.24 10:32, 6. Okt 2006 (CEST)

Das ist ein Stück der Kurve, deshalb ja auch $\Delta s$. Erst der Übergang zu $\Delta t$ verwendet dann den konkreten Weg. An dieser Stelle wird auch schon intuitiv klar, dass die Länge nicht von der Parametrisierung abhängen sollte.--Gunther 10:37, 6. Okt 2006 (CEST)

Wenn ein Bogen ein Stück einer Kurve ist, was ist dann das im Artikel erwähnte Bogenstück? --195.4.128.24 11:31, 6. Okt 2006 (CEST)

Anschaulich sollte es klar sein, und wie gesagt geht es in dem Abschnitt nur um eine Motivation. Die englische WP versucht sich mit en:arc zwar an einer exakten Definition, aber ich fürchte, der Begriff ist in etwa so schwammig wie Kurve (mit unserer Definition ist z.B. das ausgefüllte Einheitsquadrat eine Kurve).--Gunther 11:37, 6. Okt 2006 (CEST)

Rektifizierbare Kurven

Ich denke, eine interessante Frage, die sich einem relativ fix stellt, wenn man über Rektifizierbarkeit nachdenkt und -liest ist: Gibt es rektifierbare Wege, die nicht fast-überall differenzierbar sind. Ich habe nirgends etwas dazu gefunden und fände eine kurze Bemerkung (so wie die zur Kochkurve) ziemlich gut.--129.206.196.151 15:07, 31. Dez. 2008 (CET)

Elementare Länge

Ich bin auf diesen Artikel über einen Link von der Seite "Kongruenzabbildung" gestoßen. Da hätte ich erwartet, zuerst etwas über die Streckenlänge in der klassischen euklidischen Geometrie zu finden. --Digamma 18:38, 14. Mai 2010 (CEST)

Länge einer Kurve

1. Nach der in der Differentialgeometrie üblichen Definition ist eine Kurve eine Äquivalenzklasse von Wegen, wobei zwei Wege äquivalent sind, falls sie der eine durch Umparametrisierung aus dem andern hervorgeht, wobei die Umparametrisierung bijektiv sein muss.
   Der Unterschied zur Definition hier: Wird die Kurve mehrfach durchlaufen, dann wird auch die Länge mehrfach gezählt.
2. Kurvenlängen werden zwar meistens über das Integral der Länge der Ableitung ausgerechnet. Elementarer ist aber die Approximation durch Streckenzüge. Deshalb sollte zuerst die Länge eines Streckenzugs definiert werden und davon ausgehend die Länge einer Kurve als die obere Grenze aller Längen von Streckenzügen, die die Kurve interpolieren. Erst danach sollte die Formel mit dem Integral stehen. Schließlich spielt der Begriff "rektifizierbar" nicht nur in allgemeinen metrischen Räumen eine Rolle, sondern auch im euklidischen Raum. --Digamma 18:52, 14. Mai 2010 (CEST)

Längen von Strecken

Daraus: Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken. Ich sehe nicht, inwiefern der Begriff des Abstands eine Verallgemeinerung der Länge einer Strecke sein soll. -- Digamma 16:38, 6. Jul. 2010 (CEST)

Siehe dazu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Länge_(Mathematik)&diff=12927838&oldid=12927412

Es ist wohl im Zusammenhang mit dem vorherigen Satz "Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm." zu verstehen (Metrik ist ein allgemeinerer Distanzbegriff als Norm). An dieser Stelle ist es aber mehr verwirrend als hilfreich; die Verallgemeinerung gehören irgendwo ans Ende; evtl. reicht auch ein Eintrag bei "Siehe auch". --NeoUrfahraner 06:39, 7. Jul. 2010 (CEST)

Rektifizierbarkeit und Länge

Ich kann nicht nachvollziehen, weshalb nicht rektifizierbare Kurven unendlich lang sein sollten. Man kann jede "nichtpathologische" Kurve folgendermaßen durch eine fraktale Kurve approximieren: Es wird eine Zickzackkurve über die Kurve gelegt. Anschließend wird jeder "Zahn" in einem Drittel der Höhe umgeknickt und die Spitze auf die andere Kurvenseite geschlagen. Wenn das iteriert wird, konvergiert die Zickzacklinie im Grenzübergang gegen die approximierte Kurve. Beispiel: Man nehme die Diagonale des Einheitsquadrats von [0,0] nach [1,1]. Das wird durch den Streckenzug [0,0]-[0.5,0]-[0.5,1]-[1,1] approximiert und sukzessive die Ecken über die Diagonale umgeklappt. Im Grenzübergang ist die Zickzackkurve sicherlich nicht rektifizierbar, hat aber zweifellos weiterhin die Länge 2. (nicht signierter Beitrag von 85.179.94.91 (Diskussion) 18:37, 7. Nov. 2017 (CET))

Man erhält so keine fraktale Kurve. Die einzige Kurve, die man im Grenzübergang bekommt, ist die Diagonale und die hat die Länge ${\sqrt {2}}$. --Digamma (Diskussion) 18:50, 7. Nov. 2017 (CET)

Ergänzung: Im Satz Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. sind mit "Streckenzüge" solche gemeint, bei denen die Anfangs- und Endpunkte der einzelnen Strecken auf der Kurve liegen. Das ist bei deinem Beispiel nicht der Fall, weil z.B. der Punkt (0.5,0) nicht auf der Diagonalen liegt. Streckenzüge im oben genannten Sinn sind immer kürzer oder höchstens gleich lang wie die Kurve, da gerade Strecken kürzer sind als gekrümmte Kurven. Die von dir beschriebenen "Streckenzüge" sind aber länger als die Kurve. --Digamma (Diskussion) 19:24, 7. Nov. 2017 (CET)

Mit Verlaub, aber ...

... die Gleichung (*) unter "Länge eines Funktionsgraphen" kann so nicht stimmen: Bei jeder Funktion wie sin oder cos (beide sind beliebig oft stetig diff'bar auf R) wäre die Weg-/Kuven-Länge/Strecke (egal, wie man es nennt) aufgrund der Periodizität der Länge 2*Pi bei festem, aber beliebigem a und b offensichtlich gleich der Weglänge für b+2*Pi oder allg. b+n*2*Pi (für a entsprechend). Eigentlich ergibt sich ein Widerspruch (bei a=0) schon bei Pi/2, denn zB sin(Pi/2 - x) = sin(Pi/2 + x) für 0 <= x <= Pi/2 --178.6.93.141 20:28, 28. Sep. 2018 (CEST)

Ich nehme an, du beziehst dich auf den Abschnitt

Sei die Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare auf $[a,b]\subset \mathbb {R}$, dann berechnet sich die Länge $L$ des Funktionsgraphen zwischen den Punkten $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$ wie folgt:

$L(a,b)=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;\mathrm {d} x\qquad (*)$

Deine Überlegungen sind falsch (wenn ich sie richtig verstanden habe). Die Länge der Kurve ist natürlich immer größer, je größer die obere Grenze ist. Wenn man $b$ durch $b+\pi$ ersetzt, bleibt die Länge nicht gleich, sondern sie vergrößert sich um die Länge des Kurvenstücks zwischen $b$ und $b+\pi$. Nennen wir diese Länge mal $L_{0}$, so gilt $L(a,b+n\pi )=L(a,b)+nL_{0}$ und nicht $L(a,b+n\pi )=L(a,b)$. --Digamma (Diskussion) 21:45, 28. Sep. 2018 (CEST)

Über dem Artikel hängt immer noch der Redundanz-Bäpper. Da aber die Länge nicht nur in R2 bzw. R3 definiert ist, hat sich das imo erledigt. Welchen Sinn hat aber die Länge einer Kurve, z.B. beim Kraft/Geschwindigkeitsdiagramm eines Dämpfers. Ausser für den Tintenverbrauch beim Drucker seh ich keinen praktischen Nutzen (oder täusch ich mich da).--Wruedt (Diskussion) 10:16, 17. Jun. 2019 (CEST)

Begriff "Rektifikationslinie".

In der Einleitung steht: ". Die Länge einer Kurve wird auch als [...] Rektifikationslinie bezeichnet." Ich habe den Begriff noch nie gehört. Google liefert bei der Suche "Rektifikationslinie" ausschließlich Treffer, die etwas mit Chemie zu tun haben. Selbst die Suche "Rektifikationsline" + "Mathematik" liefert nur Treffer, die genau auf diesen Satz aus Wikipedia verweisen. Sachlogisch ergibt es keinen Sinn, eine "Länge" mit einer Art von "Linie" zu bezeichnen. Ich plädiere deshalb dafür, diesen Begriff, der allem Anschein nach nicht in der Mathematik etabliert ist, aus der Einleitung rauszunehmen. --Mathze (Diskussion) 08:44, 12. Jan. 2023 (CET)

Die Bezeichnung wurde bei dieser Bearbeitung ohne Beleg eingefügt. Der Bearbeiter kann leider nicht mehr angesprochen werden, da er seit langem gesperrt ist. Ich bin auch dafür, das rauszunehmen. --Digamma (Diskussion) 20:59, 12. Jan. 2023 (CET)