Diskussion:Laguerre-Polynome

Hallo,

es gibt glaub ich zwei verschiedene Definitionen der zugehörigen Laguerre-Polynome;

(1) $L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\,{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\,L_{n+k}(x)$ und

(2) $L_{n}^{k}(x)={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\,L_{n}(x)$

In diesem Artikel wird (1) verwendet, aber ich glaube die angegebene DGL

$x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+(n-k)\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\ldots \qquad k\leq n.$

gehört zu (2).

Meiner Meinung nach müsste die DGL lauten

$x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\ldots \qquad k\leq n.$

Wäre nett, wenn das jemand überprüfen könnte :-)

Gruß

Stefan

--84.155.217.101 12:50, 25. Aug. 2008 (CEST)

Stimmt! siehe mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html

--78.49.106.60 20:39, 23. Nov. 2009 (CET)

Hallo, gibt es einen Grund dafür, dass bei der letzten Gleichung (vollständige Wellenfunktion) der Drehimpuls L verwendet wird, während bei der Gleichung darüber (Radialanteil) die Bahndrehimpulsquantenzahl l verwendet wird? Meiner Kenntnis nach ist die Bahndrehimpulsquantenzahl l korrekt, siehe bspw. [1]. Auch ist die Verwendung des Drehimpulses unsinnig, da dieser nicht einheitenlos und somit als Index/Exponent nicht verwendbar ist. Ich werde den entsprechenden Teil dahingehend ändern. -- Jan Krieg 21:23, 17. Jan. 2010 (CET)

Laguerre-Polynome als orthogonale Polynome

Im Artikel Orthogonale_Polynome#Liste_von_orthogonalen_Polynomen werden die Laguerre-Polynome (mit Verweis auf diesen Artikel) als orthogonale Polynome aufgeführt, in diesem Artikel wird darauf jedoch nicht mehr eingegangen.

Kann man die Eigenschaft, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bzgl. des Skalarprodukts $\langle f,g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)g(x)\mathrm {d} x$ (vgl. z. B. http://www.mathematik-online.org/inhalt/aussage/aussage408/ oder http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html) noch nachtragen (ähnlich wie bei Legendre-Polynom#Eigenschaften)?

-- 129.69.116.64 15:47, 10. Mär. 2011 (CET)

zugeordnete Laguerre-Polynome

Was soll die Angabe der Bedingung $k\leq n$ bedeuten? Die Polynome mit $k>n$ erfüllen doch auch die zugeordnete Laguerre-Gleichung. -- Arkonia (Diskussion) 15:39, 21. Feb. 2013 (CET)

Schreibweisen, Definitionen

Im letzten Abschnitt "Wasserstoffatom" wird für die zugeordneten Laguerre-Polynome die Notation ${\mathfrak {L}}_{...}^{...}$, im restlichen Artikel dagegen $L_{...}^{...}$. Gibt es dafür einen besonderen Grund? --Zesel 17:26, 1. Jun. 2013 (CEST)

Orthogonale Polynome

Ist $L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)$ wirklich eine etablierte Schreibweise? --188.98.211.164 07:40, 30. Mai 2019 (CEST)

Ja, denn betrachtet man die Laguerre-Differentialgleichung in der Theorie des Sturm-Liouville-Problems, dann sind die Laguerre-Polynome quadratintegrierbare Eigenfunktionen auf einem Intervall $[a,b]$ ausgestattet mit einem Gewicht $\mathrm {e} ^{-x}$, so dass gilt: $\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x$ bleibt beschränkt.

Grüsse --LoRo (Diskussion) 12:45, 30. Mai 2019 (CEST)