Diskussion:Leere Summe

Kategorisierung

Kategorie:Formelsammlung ist unsinnig. 79.239.235.250 11:43, 30. Jul. 2011 (CEST)

Habe die Kategorie in Kategorie:Arithmetik geändert. Damit ist der Artikel „Leere Summe“ in der gleichen Kategorie wie der Artikel Summe eingeordnet. Grüße Stephan Kulla 13:26, 30. Jul. 2011 (CEST)

Endindex = Anfangsindex - 1 ?

Im Artikel steht: "Es gilt also $\sum _{k=m}^{n}a_{k}=0$, wann immer $m>n$ ist." Ich kenne das eher so, dass man diesen Ausdruck nur im Fall $n=m-1$ verwendet, und die angegebene Quelle von PlanetMath sieht das auch so. Gibt es zu der Version im Artikel auch eine Literaturstelle? -- HilberTraum (Diskussion) 13:58, 20. Jun. 2013 (CEST)

Stand vorher schon drin, ich kenne das aber auch so. Eine schnelle GB-Suche bestätigt meine Einschätzung: [1], [2]. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:11, 20. Jun. 2013 (CEST)

PS: die Begründung in dem PlanetMath-Artikel finde ich nicht sonderlich stichhaltig, denn die Zerlegung

$\sum _{i=m}^{k}a_{i}=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=n+1}^{k}a_{i}$

ist sinnvollerweise nur für $m\leq n<k$ definiert. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:56, 20. Jun. 2013 (CEST)

Ja so wie's im Artikel steht ist es tatsächlich sehr weit verbreitet, ich weiß gar nicht mehr, wo ich meine Version genau herhabe. Im englischen Artikel wird die Summe aber auch nur für $n\geq m-1$ definiert.

Stichhaltiger wäre wohl die Begründung, dass die rekusive Definition

$\sum _{i=m}^{n+1}a_{i}=a_{n+1}+\sum _{i=m}^{n}a_{i},\qquad \sum _{i=m}^{m}a_{i}=a_{m}$

für alle $n\in \mathbb {Z}$ gültig bleiben sollte. Formeln wie $\sum _{i=1}^{n}c=nc$ gelten mit der Definition im Artikel ja nur für $n\geq 0$. -- HilberTraum (Diskussion) 19:01, 20. Jun. 2013 (CEST)

So eine zweiseitige Rekursion ist aber doch eher ungewöhnlich. In den englischen Artikeln findet man auch noch dollere Sachen wie (en:Summation#General_manipulations)

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}$,

was mit beiden Definitionen falsch ist (vermutlich hat das ein Informatiker geschrieben). Ich denke, man muss mit den Konventionen ziemlich aufpassen und vieles hängt vom Kontext ab. In der Kombinatorik verwendet man jedenfalls häufig die aus dem Artikel. Ich kann mir aber auch gut vorstellen, dass es manchmal besser ist, den Fall $n<m-1$ undefiniert zu lassen. Kennst du eine Quelle, wo diese Problematik diskutiert wird, dann könnte man die Diskussion in den Artikel aufnehmen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:33, 20. Jun. 2013 (CEST)

Ich kann mich ehrlich gesagt gerade nicht mal erinnern überhaupt schon eine Summe mit $n<m-1$ bewusst gesehen zu haben, du? Allerdings habe ich gerade herausgefunden, dass z.B. das CAS Maple die andere Konvention verwendet und auch in der Hilfe so erklärt: z.B. sum(3,i=1..-1) ergibt -3. Evtl. könnte so was in Knuth: The Art of Computer Programming diskutiert werden, da schau ich morgen mal nach. -- HilberTraum (Diskussion) 20:21, 20. Jun. 2013 (CEST)

Müsste ich suchen, ich habe die Konvention schon gesehen, wenn der Anfangs- oder Eindindex variabel ist und man sich keine Gedanken über die Grenzen machen möchte. Im Knuth steht leider nichts drin, zumindest nicht im Kapitel zu Summen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:19, 20. Jun. 2013 (CEST)

Nach einmal drüber schlafen: letztlich muss man

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i\in \{j\in \mathbb {Z} \mid m\leq j\leq n\}}a_{i}$

lesen, was für $n<m$ dann konsistent mit der Definition der Summe über die leere Indexmenge ist. Damit macht es keinen Sinn, den Fall $n=m-1$ anders als den Fall $n<m-1$ zu behandeln, und alle Summenumformungen, die die Gesetze der Mengenlehre verletzen, sind als ungültig anzusehen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:14, 21. Jun. 2013 (CEST)

Na, ob man das so lesen muss, weiß ich nicht, aber ja, die Beleglage für die andere Konvention ist sehr dünn, und ich halte den Punkt jetzt auch nicht für so wichtig, dass ich da lang herumsuche, also lassen wir's am besten so, wie's jetzt ist, oder? (Persönlich finde ich's ein bisschen schade: Schon allein, dass der Kleine Gauß damit für alle ganzen Zahlen gelten würde, wäre doch toll, oder? ;-) ich glaub, ich versuch in nächster Zeit mal ein bisschen Werbung für die andere Definition zu machen ... -- HilberTraum (Diskussion) 14:20, 21. Jun. 2013 (CEST)