Diskussion:Lemma von Bézout

Beweis des folgenden Abschnitts gesucht:

Insbesondere sind $a$ und $b$ genau dann teilerfremd, wenn es $s,t\in \mathbb {Z}$ gibt, sodass

$1=s\cdot a+t\cdot b$

gilt.

Demus wiesbaden 01:54, 20. Dez. 2007 (CET)

Beweis ersetzt

Ich habe den Beweis ersetzt, da in der bisherigen Fassung auf Dinge verwiesen wird, die das Lemma von Bézout normaler Weise zum Beweis benutzen. Das Lemma von Bézout ist die elementarere Aussage, die überall eingeht und auch die Vorstellung darüber beeinflusst, was zyklische Gruppen ausmacht: Z.B. dass Untergruppen zyklischer Gruppen wieder zyklisch sind. --B-greift 17:43, 11. Apr. 2011 (CEST)

nicht kommutativer Fall

Im Artikel steht "in jedem Hauptidealring, sogar in einem nicht-kommutativen".

Das erscheint mir problematisch, da üblicherweise die Hauptidealringe eine Teilmenge der Integritätsringe, also kommutativ, sind. Ich habe es deshalb geändert. Wer mag, darf es gerne verbessern. (nicht signierter Beitrag von 128.176.114.168 (Diskussion) 22:00, 13. Jul 2011 (CEST))

Ein Hauptidealring ist ein Hauptidealring ist ein Hauptidealring

Die neusten (jetzt noch ungesichteten) Änderungen am Artikel verwirren doch eher. Dass in einem Hauptidealring das Lemma von Bézout gilt, ist doch eher eine Umformulierung als eine Erkenntnis. Man Beweise mal, dass Z ein Hauptidealring ist, ohne das Lemma von Bézout zu benutzen. Das Herumschaufeln verschiedener algebraischer Darstellungen der selben Sache, muss man doch von den echten Erkenntnissen über Zahlen (und auch Polynome) unterscheiden. --B-greift 01:11, 15. Jul. 2011 (CEST)

Habe die Änderungen rückgängig gemacht und stattdessen ein Abschnitt eingefügt, der erläutert, was das Lemma in "Ideal-Sprech" bedeutet. --B-greift 23:36, 16. Jul. 2011 (CEST)

Die Aussage für Hauptidealringe ist schon von großer Bedeutung. Will man etwa zeigen, dass Z ein Hauptidealring ist, beweist man dies und das Lemma von Bézout in der Regel gleichzeitig, indem man den erweiterten euklidischen Algorithmus benutzt. Wenn man aber einen Hauptidealring vor sich hat, der kein euklidischer Ring ist, kann man die Linearkombination des ggT nicht mehr konstruktiv erhalten, man kann aber immerhin noch (anders) die Existenz beweisen. Mehr noch: Über faktoriellen Ringen, die keine Hauptidealringe sind, gibt es zwar noch den ggT, aber in der Regel gar keine Linearkombination des ggT. --Neunundneunzigwasser (Diskussion) 23:17, 8. Nov. 2016 (CET)

Zahlbericht Satz 12

Nach Hilberts Zahlbericht Satz 12 lässt sich jedes Ideal als ggT zweier ganzer Zahlen darstellen. Das sollte noch geeignet eingebaut werden (hier oder bei ggT oder bei Ideal) --Ralf Preußen (Diskussion) 08:57, 4. Aug. 2020 (CEST)

Ich nehme an, es geht speziell um Ganzheitsringen in Zahlkörpern? (Oder um gebrochene Ideale im Zahlkörper?)—Hoegiro (Diskussion) 11:34, 4. Aug. 2020 (CEST)

Ein ggT-Ring umfasste auch einen HI-Ring. Und Hilberts Ideale nennt man jetzt wohl gebrochene Ideale. --Ralf Preußen (Diskussion) 11:48, 4. Aug. 2020 (CEST)

Letzteres hatte ich in einer anderen Diskussion geschrieben. Mir ging es hier nur darum, dass Ende des 19. Jahrhunderts ja noch keine allgemeine Ringtheorie gemacht wurde, der Satz im Zahlbericht sich also auf eine speziellere Klasse beziehen muß.—Hoegiro (Diskussion) 12:58, 4. Aug. 2020 (CEST)

Ja genau. Könntest Du den Satz deshalb bitte an geigneten Stellen einbauen. --Ralf Preußen (Diskussion) 13:16, 4. Aug. 2020 (CEST)