Diskussion:Lemma von Zorn

Lemma

Eine Kleine Frage bleibt da noch: Was ist ein Lemma?

Siehe dazu Diskussion:Lemma. --SirJective 13:55, 30. Dez 2003 (CET)

Verständlichkeit?

Und eine weitere Frage: kann man das vielleicht so erklären dass man es versteht?

Kurze Antwort: Nein. Sätze, die das Auswahlaxiom beinhalten, haben einen subtilen Hang zur Unanschaulichkeit. :) --Hagman 18:47, 24. Mär. 2007 (CET)

Wie wäre es mit diesem Satz: „Jeder Vektorraum hat eine Basis.“ Gruß, Wasseralm 20:02, 24. Mär. 2007 (CET)

Willst du eine Erklärung, was der Satz bedeutet (da klicke man auf Vektorraum bzw. Basis), oder willst du den Beweis vorgeführt bekommen? Eine Beweisskizze (die das Zornsche Lemma ebenfalls in klassischer Weise anwendet) gibt es ebenfalls bei Basis_(Vektorraum)#Existenzbeweis_(Skizze).

o.W.

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Zorns Lemma, oder [...] Zornsches Lemma [...]

Wer soll denn mit dieser Pseudo-Korrektheit verarscht werden? --129.132.146.66 11:06, 8. Mai 2007 (CEST)

"Zorns Lemma" ist ein Anglizismus. Korrekt ist "Zornsches Lemma". Schlage daher die Streichung von "Zorns Lemma" vor. --134.93.142.42 10:46, 27. Nov. 2007 (CET)

"Lemma von Zorn", "Zornsches Lemma" UND "Zorns Lemma" völlig unnötig. Der Artikel wird dadurch sehr schlecht lesbar. "Zornsches Lemma" als korrekte deutsche Schreibweise reicht hier völlig! (nicht signierter Beitrag von 95.222.156.153 (Diskussion) 10:41, 8. Sep. 2010 (CEST))

Ich denke auch, dass eine Schreibung ausreicht und der Rest als Redirect auf diesen Artikel durchgeführt werden könnte. --Tolentino 18:34, 8. Sep. 2010 (CEST)

Stärkere Version?

Der Beweis zeigt sogar eine etwas stärkere Version von Zorns Lemma (weniger Voraussetzung und mehr Folgerung):

Ist P eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, und ist x in P, dann hat P ein maximales Element, das größer-gleich x ist, also mit x vergleichbar.

(Jede wohlgeordnete Menge ist total geordnet, und die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.)

Das ist nicht weniger Vorraussetzung, sondern mehr Voraussetzung, und somit kein stärkerer Satz. Oder sehe ich etwas falsch? -- Paul E. 22:12, 16. Mai 2007 (CEST)

Da sich offenbar niemand darum kümmern will, habe ich das jetzt mal rausgenommen. Zwei Vorschläge, wie es reinpassen könnte:

Der Beweis zeigt sogar eine etwas stärkere Version von Zorns Lemma (mehr Folgerung):

:Ist P eine halbgeordnete Menge, in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, und ist x in P, dann hat P ein maximales Element, das größer-gleich x ist, also mit x vergleichbar.

(Die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.)

Ich habe dabei einfach mal Wohlordnung durch Totalordnung ersetzt. Ob das so noch stimmt, sehe ich auf Anhieb nicht, das möge mal ein Mengentheoretiker beurteilen, aber es ist jedenfalls eine stärkere Version.

Der Beweis zeigt auch eine andere Version von Zorns Lemma (mehr Voraussetzung und mehr Folgerung):

:Ist P eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, und ist x in P, dann hat P ein maximales Element, das größer-gleich x ist, also mit x vergleichbar.

(Jede wohlgeordnete Menge ist total geordnet, umgekehrt nicht, und die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.)

Das ist die Aussage, wie sie drinstand, ohne den irreführenden Hinweis, dass es eine stärkere Aussage wäre. -- Paul E. 20:20, 3. Sep. 20e07 (CEST)

Doch, es ist in der Tat weniger Vorraussetzung: Weil Wohlordnung totale Ordnung impliziert, ist es schwächer, die Existenz von oberen Schranken nur für Wohlordnungen zu fordern. --Benutzer:SnowIsWhite 12:54, 20.11.2008

Kleiner und Kleiner-Gleich

Am Anfang des Artikels steht das Zeichen "<" für "kleiner oder gleich". Das sollte m. E. geändert werden. Ich kann das nicht selbst tun, weil ich das Zeichen für "kleiner oder gleich" nicht tippen kann. --Hanfried.lenz 09:36, 28. Aug. 2007 (CEST).

erledigt Wasseralm 23:14, 31. Aug. 2007 (CEST)

Ich finde, im Absatz "Aussage" sollte nur das Zeichen für "kleiner oder gleich" und nicht "<" verwendet werden (warum überhaupt zwei Symbole??). Da "<" im normalen Gebrauch nicht reflexiv ist, kann dies leicht zu Verwirrungen führen. --Xoto 13:23, 21. Aug. 2013 (CEST)

Das verstehe ich nicht. Wo steht denn im Absatz "Aussage" das Zeichen "<"? Das ursprünglich angesprochene Problem wurde längst beseitigt ([1], [2]). --84.130.137.6 09:11, 22. Aug. 2013 (CEST)

Chevalley

In Claude Chevalley steht, dass das Lemma von Zorn angeblich von ihm stamme (dann verstehe ich aber nicht, warum Zorn es ihm mündlich mitgeteilt habe). Wie ist nun genau der Entdeckungszusammenhang zwischen Chevalley und Zorn? --Tolentino 11:17, 16. Sep. 2008 (CEST)

Bei Chevalley entfernt, siehe diskussion dort.--Claude J (Diskussion) 05:42, 13. Sep. 2016 (CEST)

automatisch nicht-leer

Die Voraussetzung nichtleer kann offensichtlich gestrichen werden, da die leere Menge eine Kette ist und deren behauptete obere Schranke ein Element liefert. Beweistaktisch benutzt man andererseits (äquivalent) meist Jede nichtleere Menge, in der jede nichtleere Kette …, denn die obere Schranke gewinnt man meist als eine Art „Vereinigung“ über die Kette; die Vereinigung über die leere Kette ist dann ein gerne übersehener Grenzfall. Beispiel: Sei $v$ nicht der Nullvektor. Um zu zeigen, dass es eine $v$ enthaltende Basis gibt, betrachte alle linear unabhängigen Systeme, die $v$ enthalten. Dann ist die Vereinigung über eine nichtleere Kette solcher Systeme wieder eines, nicht jedoch die Vereinigung über die leere Kette! Die Korrektur ist trivial, erfordert aber sprachliche Klimmzüge, die den Beweis bestimmt nicht verschönern. Sinnvoll könnte es daher sein, die zwei Varianten

Jede Menge, in der jede Kette …

und

Jede nichtleere Menge, in der jede nichtleere Kette …

anzugeben.--Hagman 14:31, 7. Nov. 2009 (CET)

Ist die vorgelegte Formulierung des Zornschen Lemmas falsch?

Die Formulierung "Eine halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element." scheint mir falsch zu sein. Beispiel: Die Menge {0;1} werde mit der Halbordnung versehen a ≤ b :↔ a = b.

Die so definierte Relation ist transitiv, reflexiv und antisymmetrisch. Interessanterweise ist sie sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch :-)

Jede Kette hat eine obere Schranke, da jede Kette trivial ist. Die Menge enthält aber kein maximales Element, da weder 0 ≤ 1 noch 1 ≤ 0 gilt.

Braucht man vielleicht die Formulierung "echte" obere Schranke? --2A02:8109:3640:2D8:839:9C17:5BAB:9A75 04:44, 19. Okt. 2024 (CEST)

Wie dumm von mir... Ich beantworte mir die Frage mal kurz selbst: Ich habe "Maximum" mit "größtes Element" verwechselt. Da dies auch einigen anderen Lesern passieren könnte, lasse ich die Frage mit Antwort trotzdem mal stehen. Außerdem kann man mit dieser trivialen Relation umgekehrt das Auswahlaxiom aus dem Zornschen Lemma herleiten, also zusammen mit der Umkehrung aus dem Artikel die Äquivalenz. --2A02:8109:3640:2D8:839:9C17:5BAB:9A75 04:55, 19. Okt. 2024 (CEST)