Diskussion:Levi-Civita-Zusammenhang

Vorschlag zur Veranschaulichung

Bei dreidimensionalen reellen Vektorfeldern gibt es die Schreibweise

$\nabla ={\begin{pmatrix}d/dx\\d/dy\\d/dz\end{pmatrix}},$

damit lassen sich Gradient einer Skalarfunktion $f$ sowie Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes $\Phi$ schreiben als Skalar- bzw. Kreuzprodukt

${\rm {grad}}\,f=\nabla \cdot f,$

${\rm {div}}\,\Phi =\nabla \cdot \Phi ,$

${\rm {rot}}\,\Phi =\nabla \times \Phi .$

Das ist zunächst nur eine formale Schreibweise; könnte das aber helfen, den Levi-Civita-Zusammenhang anschaulich zu machen? --HeikoTheissen 13:04, 26. Sep 2005 (CEST)

Leuchtet mir nicht ein. Ich sehe diese Operatoren als adjungiert zur äußeren Ableitung, sie hängen also nur von der Metrik und nicht vom gewählten Zusammenhang ab.--Gunther 13:17, 26. Sep 2005 (CEST)

OK. Vergessen wir's :-) HeikoTheissen 10:21, 27. Sep 2005 (CEST)

Sur3 22:15, 10. Feb 2006 (MEZ) man sollte vielleicht den Zusammenhang mit dem Nabla-Operator irgendwie herstellen, ist das nicht sogar das selbe?

Mal ganz platt gesagt: "klassisch" steht neben dem Nabla nur ein Ding und nicht zwei.--Gunther 22:28, 10. Feb 2006 (CET)

Der Nabla-Operator zur Bezeichnung von Gradient und Divergenz im R^n und der Rotation im R^3 scheint mir wenig mit dem Zusammenhang auf einer Mannigfaltigkeit zu tun zu haben. Ich habe eher den Eindruck, dass hier zufällig dasselbe Symbol gewählt wurde.--Digamma 22:42, 16. Jan. 2007 (CET)

Richtungsableitung entlang Kurven

fuer ein vektorfeld $X$ entlang $\alpha$ wird die richtungsableitung entlang $\alpha$ im Punkt $t_{0}$ definiert als

$(\nabla _{\alpha }X)(t_{0}):=\nabla _{\alpha '(t_{0})}X.$

ueblicherweise vesteht man unter einem VF entlang $\alpha$ einen schnitt in $\alpha ^{\ast }TM$, darauf ist jedoch der levi-civita zusammenhang von $TM$ nicht anwendbar, die rechte seite macht also keinen sinn.

es scheint also so, als soll hier $X$ einfach nur ein VF auf $M$ sein. dafuer ist die notation $\nabla _{\alpha }$ sogar ganz huebsch. das anschliessend genannte ${\frac {\nabla }{dt}}$ wird jedoch ueblicherweise tatsaechlich fuer VF entlang einer kurve definiert, und $D_{t}X$ waere nun wirklich eine komische notation, wenn $X$ gar nicht von $t$ abhaengt (d.h. nicht auf $I$ definiert ist).

ich kenne die notation $\nabla _{\alpha }$ nicht, und wuerde die anderen beiden als $\alpha ^{\ast }\nabla$ definieren. -- Peter Grabs (Diskussion) 21:11, 29. Apr. 2012 (CEST)

Ich stimme dir zu. Wie ist $\alpha ^{\ast }\nabla$ definiert? Meines Wissens ist das nicht so einfach. --Digamma (Diskussion) 22:42, 29. Apr. 2012 (CEST)

das ist der pullback zusammenhang, definition siehe hier http://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_(differential_geometry)#Pullback_of_connections_.28covariant_derivatives.29

er laesst sich tatsaechlich soweit ich weiss nicht geschlossen sondern nur ueber charakterisierende bedingungen definieren, aber auch fuer nabla nach dt kenne ich nichts anderes. --Peter Grabs (Diskussion) 17:49, 16. Mai 2012 (CEST)

Sei mutig. --Digamma (Diskussion) 20:27, 16. Mai 2012 (CEST)