Diskussion:Lineare Algebra

Darstellung

Wenn jemand weiß, wie man Brüche vernünftig in einem Spaltenvektor mit TeX unterbringt, möge er es bitte korrigieren. Blubbalutsch 12:30, 25. Okt 2003 (CEST)

Meinst du, statt dieser Form

$x={\begin{pmatrix}-4/3\\2/3\\-4/3\end{pmatrix}}$

diese zu verwenden?

$x={\begin{pmatrix}-{\frac {4}{3}}\\{\frac {2}{3}}\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$

Ehrlich gesagt bevorzuge ich da die erste Darstellungsweise. Ich denke auch, damit sollte niemand ein Problem haben. --SirJective 12:31, 26. Okt 2003 (CET)

Fast, ich meine halt, dass man z.B. die vertikalen Abstände innerhalb des Vektors zwischen den brüchen etwas vergrößert, weil die bei meinen Versuchen irgendwie zu nah aneinander waren, aber von mir aus können wir die jetzige Darstellungsweise beibehalten. Blubbalutsch 21:57, 28. Okt 2003 (CET)

Man koennte tricksen:

$x={\begin{pmatrix}-{\frac {4}{3}}\\\\{\frac {2}{3}}\\\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$

aber das finde ich noch unschoener. Vielleicht gibt es eine Moeglichkeit, die Zeilenabstaende innerhalb einer Matrix zu veraendern (das waere wohl, was du suchst), aber mir ist keine bekannt. Ich denke, wir sollten die Schraegstrich-Schreibweise beibehalten. --SirJective 11:15, 29. Okt 2003 (CET)

• Schrägstrichschreibweise ist abzulehnen, da sie zu sehr an eine 2. Spalte erinnert. Am Elegantesten ist die 3. Schreibweise, aber, wie ihr selber auch sagt, ist zuviel Platz nötig, falls die Zeilenabstände nur sehr schwierig zu verkleinern sind; insofern: Nehmt doch die mittlere der 3 Schreibweisen;31.Okt.11, Dr.No (nicht signierter Beitrag von 188.174.100.240 (Diskussion) 21:28, 31. Okt. 2011 (CET))

Fehlerteufel oder bin ich einfach zu doof ?

In dem Beispiel wo 2 Matrizen mit ungleichen Spalten und Zeilen multipliziert werden wurde folgende Lösung angegeben

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}3&2&4\\1&4&6\\\end{pmatrix}}&*&{\begin{pmatrix}2&1\\4&2\\3&1\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}26&11\\36&15\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Ich bekomme aber folgende Lösung raus

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}3&2&4\\1&4&6\\\end{pmatrix}}&*&{\begin{pmatrix}2&1\\4&2\\3&1\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}18&11\\36&15\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Was ist nun richtig ? Gruß, Mischl

die erstere: 3*2 + 2*4+4*3=26. Gruß --Philipendula 11:55, 6. Feb 2005 (CET)

Darstellung allgemeiner?

Die Darstellung erscheint mir zu stark auf die Sicht der Schulmathematik verkürzt. Lineare Algebra gibt es aber auch über allgemeinen Zahlkörpern oder Ringen. Auch die Bedeutung unendlich dimensionaler VR kommt nicht raus,, s. Funktionalanalysis und Fourier-Transformationen etc. --Glasreiniger 15:02, 13. Mär 2005 (CET)

Das heißt dann aber entweder kommutative Algebra oder Funktionalanalysis, sollte hier also höchstens mit einem Link erwähnt werden.--Gunther 15:42, 13. Mär 2005 (CET)

[kommutative Algebra]] setzt zwar auf die lineare auf, aber da sind doch schon ein paar Dinge, die dazukommen: Zahlentheorie (Primzahlen), Polyomringe etc. IMHO sollte man alles bei der linearen Algebra lassen, was mit den typischen Methoden (Matrizenzerlegungen, Gleichungsauflösungen] zu bewältigen ist. Ich gebe mal zu, daß die LA über allgemeineren Zahlkörpern nicht dazu gehören muß, gleichwohl sind die linearen Methoden oft problemlos verallgemeinerbar. Betr. Funktionalanalysis weise ich mal darauf hin, daß der Satz von Hahn-Banach seine Hauptschwierigkeit schon im endlich-dimensionalen Fall hat. Der Begriff der Konvexität gehört auch schon mit zur LA.

"Lineare Algebra" über Ringen funktioniert i.w. nur, wenn man sich auf freie Moduln beschränkt. Ich stimme Dir aber zu, dass lineare Algebra nicht auf reelle oder komplexe Vektorräume beschränkt werden sollte. Die Schwierigkeit bei Hahn-Banach liegt in der Stetigkeit des Funktionals, ansonsten folgt die Aussage trivial aus der Existenz einer Basis. Konvexität ist momentan unter "Geometrie" einsortiert, und ich finde das auch ganz ok; alternativ wäre wohl auch "Funktionalanalysis" zu vertreten, aber man betrachtet ja auch konvexe Polyeder und sowas.--Gunther 18:01, 13. Mär 2005 (CET)

Ich kann Glasreiniger nur zustimmen. Die Darstellung vermittelt zu sehr den Eindruck, die Lineare Algebra würde sich mit Vektorrechnung beschäftigen. Dies ist aber doch nur eine Anwendung der Linearen Algebra in anderen naturwissenschaftlichen Fächern. Nach meinem Verständnis sind Vektorräume und nicht Vektoren, die Elemente die in der Lineare Algebra untersucht werden. Die Betrachtung ihrer Beziehungen untereinander (mittels linearer Abbildungen) und ihre Kategorie sind die zentralen Themen, nicht nur wichtiger Bestandteil. --MuDi 12:25, 5. Apr 2005 (CEST)

Nur damit keine Missverständnisse aufkommen: ich sage nicht, dass der Artikel schön und gut ist. Ich sage nur, dass "lineare Algebra über Ringen", Satz von Hahn-Banach und Fouriertransformation hier definitiv nichts verloren haben.-- Gunther 13:47, 5. Apr 2005 (CEST)

Ich möchte doch noch einmal für meine Sicht der Frage betr. Hahn-Banach werben. In Robertson: Topologische Vektorräume (ist natürlich Funktionalanalysis), wird die Ansicht vertreten, daß bei diesem Satz gerade auch der endlichdimensionale Teil der Beweiseführung nichttrivial ist, nämlich der Nachweis, daß das Funktional auf eine Dimension höher erweitert werden kann. Im Kern braucht man dazu die Idee, daß zu jeder offenen konvexen Menge, die Null nicht enthält, eine Hyperebene existiert (die man Tangentialebene nennen könnte, wenn 0 auf dem Rand liegt), die diese nicht schneidet. Eine Darstellung der Linearen Algebra, die die Sicht auf solche Zusammenhänge nicht öffnet, kann m.E. nicht befriedigen. Auch kann man die Augen nicht davor verschließen, daß der Gaußsche Eliminationsalgorithmus für größere Probleme keine angemessene Wahl mehr sein kann. Wie man abstreiten kann, daß die Fouriertransformation (mit ihrer bedeutenden Anwendung FFT) unter L.A. fällt, verstehe ich nicht. --Glasreiniger 14:29, 6. Apr 2005 (CEST)

Endliche Dimension und endliche Kodimension sind zwei unterschiedliche Dinge. Dass der Fall endlicher Kodimension der Kernpunkt von Hahn-Banach ist, sehe ich ganz genauso, der Rest ist nur noch Lemma von Zorn. Aber im endlichdimensionalen Fall ist jedes Funktional stetig, und damit folgt Hahn-Banach aus dem Basisergänzungssatz.

Die Fouriertransformation ist eine lineare Abbildung. Bei der von Dir angesprochenen diskreten FT sind die Vektorräume endlichdimensional. Aber mehr Bezüge zur LA sehe ich nicht, lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gibt es überall in der Mathematik. Und die reelle Fouriertransformation wäre vollkommen uninteressant, wenn sie nicht stetig wäre. Also gehört sie zur Funktionalanalysis.

Was Du mit dem Gauß sagen willst, verstehe ich nicht. Natürlich gibt es andere/bessere Verfahren, von denen ich keine Ahnung habe, und ich bin froh und dankbar, wenn die im Artikel Erwähnung finden. Wie gesagt, ich finde den Artikel momentan ziemlich schlecht, ich wollte mich nur dagegen wehren, Dinge hineinzupacken, die nicht wirklich lineare Algebra sind.-- Gunther 15:46, 6. Apr 2005 (CEST)

Stimme ebenfalls zu: Der Artikel vermittelt den Eindruck: Lineare Algebra = Sammlung von Rechenregeln für Vektoren und Matrizen. Kann man diese Teile des Artikels nicht wo anders reinpacken, z.B. zu Vektoren bzw. Matrizen? Statt dessen sollte man einen groben Überblick verschaffen, denn was kann man ansonsten groß über Lineare Algebra sagen, was sich nicht in ein sinnvolles Unterthema packen liesse? -- Prometeus 15:48, 8. Apr 2005 (CEST)

Habe zumindest mal den Anfangsteil ein wenig umgeschrieben, ab "Vektoren und Matrizen" ist noch alles alt.-- Gunther 18:12, 11. Apr 2005 (CEST)

Ich denke, man sollte sich bei einem solchen Artikel grob an dem Orientieren, was man z. B. an eigentlich jeder Deutschen Universität zu diesem Thema geboten bekommt. Es geht schließlich darum, das ich finde, wonach ich suche und nicht mit tausend Sachen erschlagen werde, von denen ich noch nichts gehört habe. Unendlich Dimensionale Vektorräume, VR über Ringen etc. sollten hier nicht auftauchen, weil die hier auch keiner suchen würde. Wahrscheinlich sind es ja überwiegend Schüler uns Studenten die sich sowas ankucken. Daher sollte man, finde ich, die spezielleren Dinge besser verlinken, statt alles hinschreiben. Eigenwertprobleme und Fragen der diagonalisierbarkeit kommen aber etwas kurz, finde ich... Gruß Christoph

Es fehlt auch noch etwas zu Skalarprodukten. Bei Eigenwertproblemen ist mir nicht so ganz klar, wie man das elementar motivieren soll.--Gunther 22:03, 14. Jul 2005 (CEST)

Hier wird der Eindruck erweckt, dass unendliche dimensionale Vektorräume eine komplett andere Mathematik wären. Meiner Erfahrung nach werden bei vielen Sätzen Endlichkeitsargumente garnicht benötigt und viele Resultate aus dem endlichdimensionalen gelten auch in Hilbert- und Banach-Räumen. Das Gegenteil ist eher die Ausnahme. Die topologische Struktur ist übrigens in allen genannten Beispielen gegeben - umgekehrt: Viele Sätze der Funktionalanalysis lassen sich allgemein für topologische VR beweisen. Ein Banachraum hat durch die Norm eine natürliche Topologie induziert, ebenso wie jeder endlich-dim. normierter VR ein Hilbert und Banachraum und somit ein topologischer VR ist. --Sebastian 21:27, 13. Mai 2023 (CEST)

Vorschlag zur Motivation von Eigenwerten und Diagonalisierung

Ich habe den Abschnitt in den Artikel übernommen. --HeikoTheissen 19:24, 17. Jul 2005 (CEST)

Das ist eigentlich ein sehr schönes Beispiel, aber ich fürchte, es sprengt den Rahmen dieses Artikels. Die Motivation ist allerdings nicht klar: Wieso sollte man die Eigenwertgleichung betrachten? Die beste Sichtweise, die mir momentan einfällt, ist die folgende: Die Matrix beschreibt den Shiftoperator auf dem zweidimensionalen Raum der Zahlenfolgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen. Dann ist die Eigenwertgleichung gerade die Frage nach Folgen der Form $c\lambda ^{n}$, aber von diesem Ansatz zur expliziten Formel zu kommen ist auch ohne lineare Algebra kein nennenswerter Aufwand.--Gunther 12:50, 16. Jul 2005 (CEST)

Die Eigenwertgleichung wird betrachtet, um die Diagonalform der Matrix zu finden. Und die Diagonalform ist für mich dadurch motiviert, dass sie (nach Basiswechsel) die komponentenweise Potenzierung ermöglicht, die man in der expliziten Formel ja noch regelrecht sehen kann. Ob das am Ende weniger Rechenaufwand bedeutet, spielt für die Motivation m.E. keine Rolle. --HeikoTheissen 13:01, 16. Jul 2005 (CEST)

Der Abschnitt setzt jetzt zwar einige Begriffe voraus, die bisher im Artikel nicht erklärt sind, aber ich fände es trotzdem gut, ihn einfach zu übernehmen. Die sehr alten Abschnitte "Vektoren und Matrizen" und "Rechenregeln" kann man ja bei Gelegenheit umschreiben bzw. bis auf kleinere Punkte, die woanders noch fehlen, löschen.--Gunther 21:46, 16. Jul 2005 (CEST)

Nur ein ganz kleiner Kritikpunkt: Der eingeschobene Satz "(Ein Gleichungssystem, dessen zugehörige Matrix einen Eigenwert 0 hat, hat also nie eine eindeutige Lösung.)" verwirrt an dieser Stelle, weil es direkt danach um das Gleichungssystem $(A-\lambda )v=0$ geht. Das ist zwar für $\lambda =0$ dasselbe, aber trotzdem anders.--Gunther 21:51, 16. Jul 2005 (CEST)

Hier noch meine Kritik am neuen Text: i) Die Definition eines Eigenwerts ist jetzt versteckt und nicht auffindbar. ii) Das Beispiel wirkt wie ein Rechentrick, der irgendwas mit Folgen und goldenem Schnitt zu tun hat. Eine Eigenschaft von Eigenwerten, die hier dann dochmal auftaucht: Eigenwerte bestimmen, wie sich Potenzen einer Matrix für n gegen Unendlich verhalten, geht dann unter. Anders gesagt: nach dem Lesen frage ich mich, was das Beispiel konkret motivieren soll. iii) Es ist denke ich zu lang für diesen Artikel und wäre vielleicht in Eigenwertproblem besser aufgehoben oder in Fibonacci-Folge. iv) Mal ganz was anderes: Sollten Determinanten nicht hinter Eigenwerte? --DaTroll 22:31, 17. Jul 2005 (CEST)

Warum sollten Determinanten erst danach erwähnt werden, wenn man Determinanten braucht, um Eigenwerte zu berechnen? --Blubbalutsch 23:43, 17. Jul 2005 (CEST)

Wegen Kritikpunkt (ii) habe ich eine Umformulierung vorgenommen. Die Länge des Abschnitts (Kritikpunkt (iii)) würde ich gerne durch Vermeidung der platzfressenden TeX-Formeln verringern. Unter Fibonacci-Folge würde ich es nicht einordnen, eher unter Eigenwertproblem. --HeikoTheissen 08:56, 18. Jul 2005 (CEST)

Schon viel besser, danke. @Blubbalutsch, hast natürlich Recht. --DaTroll 18:09, 18. Jul 2005 (CEST)

Matrizen vs. lineare Abbildungen (Änderungen vom 15. Juli 2005)

An dieser Stelle ist ja noch gar nicht die Rede von Basen und Vektorräumen. Es geht um lineare Abbildungen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, und aus meiner Sicht spricht nichts dagegen, sie mit $2\times 2$-Matrizen zu identifizieren. Es geht an dieser Stelle ja nur um eine informelle Einleitung, die zeigen soll, wieso man überhaupt Matrizen betrachtet usw.--Gunther 01:13, 15. Jul 2005 (CEST)

Zusammenhang mit linearen Abbildungen

Nachdem ich den Abschnitt über den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen geschrieben habe, frage ich mich, ob der nicht schon so viele Details enthält, dass er eher in

Wikibooks: Lineare Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

gehört. Was meint Ihr? --HeikoTheissen 08:34, 19. Aug 2005 (CEST)

Meiner Meinung nach kann es im derzeitigen Umfang durchaus in der Wikipedia stehen bleiben; es spricht aber nichts dagegen, den gleichen Text in die Wikibooks zu kopieren und dort weiter auszubauen (z.B. mit numerischen Beispielen). --NeoUrfahraner 09:40, 19. Aug 2005 (CEST)

Was ist eigentlich 'linear'?

Also ich oute mich ja nur ungern, aber ich mag diese Mathematik-Artikel nicht wirklich, weil sie immer sehr speziell sind und scheinbar nur für Leute, die eh' schon alles verstanden haben. Bei mir fängt es bei der Frage an, was macht 'Lineare Algebra' und den ganzen anderen linearen Kram eingentlich 'linear'? So werde ich es in 3 Tagen sicher auch bei der Prüfung beim Thema lineare Optimierung gefragt. Ich denke die Antwort darauf wäre bei der scheinbaren Mutter alles Linearen gut aufgehoben. Jokannes 17:30, 25. Feb 2006 (CET)

Ursprünglich dürfte das wohl "Geraden (= "Linien") erhaltend" bedeutet haben, aber heute nennt man das affin und fordert für Linearität zusätzlich, dass der Koordinatenursprung festbleibt. Meinst Du das?--Gunther 17:38, 25. Feb 2006 (CET)

Alle Aufgaben der linearen Algebra haben die Eigenschaft der Linearität gemein, d.h. sie reduzieren das Problem auf die Lösung linearer statt nichtlinearer Gleichungen. Könnte man es so in den Artikel schreiben? Jokannes 19:01, 25. Feb 2006 (CET)

So würde ich es nicht ganz sagen, in der linearen Algebra gibt es durchaus auch nichtlineare Problemstellungen, z.B. im Kontext von Bilinearformen bzw. quadratischen Formen. Die Reduktion von Problemen auf lineare Gleichungen ist nicht Teil der linearen Algebra, ich weiß nicht, was man dazu überhaupt allgemein sagen könnte. Auf jeden Fall stellt die lineare Algebra mit ihrer Begrifflichkeit aber die Voraussetzungen bereit, um überhaupt von Linearität sprechen zu können.--Gunther 19:15, 25. Feb 2006 (CET)

Die einfache Antwort darauf findet man in jedem Lehrbuch über LA: Die lineare Struktur der Vektorraum-Addition bzw. der Skalarmultiplation muss respierkt werden: A(x+y)=A(x)+A(y) und A(c*x)=c*A(x) (nicht signierter Beitrag von Greenlight (Diskussion | Beiträge) 21:44, 13. Mai 2023 (CEST))

Fehler?

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra#Vektoren_und_Matrizen dort steht: "Dabei werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m2,3=2 ist das Element in der 3. Spalte der 2. Zeile." Ist das nicht genau umgekehrt? D.h. das Element in der 3. Zeile und 2. Spalte?

http://de.wikipedia.org/wiki/Spalte dort steht: "in der linearen Algebra die vertikalen Einträge einer Matrix (Mathematik)"

Nein, normalerweise ist der erste Index der Zeilen- und der zweite Index der Spaltenindex. --Philipendula 14:15, 10. Nov. 2007 (CET)

Rechtschreibung

Meines Erachtens muss es "lineare Algebra" (kleingeschrieben) heißen und nicht "Lineare Algebra". Es handelt sich nicht um einen Eigennamen, sondern nur um eine zusammengesetzte Bezeichnung. --Digamma 22:22, 17. Dez. 2011 (CET)

Der Fall ist meiner Ansicht nach nicht klar. Der Duden führt zwar unter "linear" auch das Beispiel "lineare Algebra", aber beispielsweise das Buch "Lineare Algebra" von Bosch aus dem Jahr 2006 schreibt den Begriff groß, also schreibt "Lineare Algebra". Gerade in solchen Fällen wie bei der Groß- und Kleinschreibung von Fachbegriffen ist auch der Duden nicht der Weisheit letzter Schluss. Ich schlage vor an der Schreibweise nichts zu ändern, so lange in einem Artikel die Schreibweise konsistent ist. --Christian1985 (Diskussion) 16:02, 21. Dez. 2011 (CET)

Struktur des Artikels

Ich finde die Strukturierung des Artikels nicht wirklich nachvollziehbar, z.B.: Lineare Gleichungssysteme und Analytische Geometrie bilden die Motivation und Anwendungen für die Lineare Algebra, warum also nicht unter einen Abschnitt Motivation, Wichtige Sätze... unterbrechen den Artikel und wären vielleicht weiter hinten besser aufgehoben, vielleicht sollte im Hauptteil zunächst die Kategorie eingeführt werden, also Vektorräume und lineare Abbildungen, und dann der Teil, der Koordinaten verwendet, also die Matrizentheorie, gebündelt werden. Einen präzisen Vorschlag habe ich nicht, ich finde die Struktur nur im Moment sehr undurchsichtig.--SigmaB (Diskussion) 11:44, 22. Okt. 2015 (CEST)

Typo in der Einleitung?

Da heisst es: "Ähnlich wie in anderen Teilgebieten der Mathematik, sind die strukturerhaltende Abbildungen[...]"

Müsste es hier nicht "[...], sind die strukturerhaltende_n_ Abbildungen[...]" heissen? (nicht signierter Beitrag von 2A00:E67:3C1:8:D4E8:DDFC:1919:D9 (Diskussion) 17:52, 4. Dez. 2023 (CET))

Ja. Ich habe es verbessert. Danke für den Hinweis. --Digamma (Diskussion) 21:49, 4. Dez. 2023 (CET)

Zusammenhang zwischen Lemma v. Zorn und Existenz von Vektorraumbasen

Im Abschnitt Wichtige Sätze und Ergebnisse wird einleitend behauptet, dass jeder Vektorraum eine Basis besitze. Das ist aber nur genau dann wahr, wenn man annimmt, dass das Auswahlaxiom gilt. In ZF ohne C gibt es Vektorräume ohne Basis, z. B. die reellen Zahlen als VR über den rationalen Zahlen. Diesem Umstand wird im Artikel Basis (Vektorraum) ausführlich Rechnung getragen, wo ein Existenzbeweis über das zum Auswahlaxiom äquivalente Lemma von Zorn geführt wird, aber vielleicht sollte man dieses Detail auch hier kurz erwähnen. --77.87.224.103 18:25, 7. Dez. 2023 (CET)

"Das ist aber nur genau dann wahr, wenn man annimmt, dass das Auswahlaxiom gilt." Das tut man aber auch im Allgemeinen. Und das fällt hier nur deshalb auf, weil man das Auswahlaxiom in Form des Zornschen Lemmas verwendet. Würde man das Auswahlaxiom direkt verwenden, würde das den meisten Mathematikern nicht auffallen.

Das soll aber nicht heißen, dass man das nicht erwähnen soll. --Digamma (Diskussion) 18:36, 7. Dez. 2023 (CET)