Diskussion:Lineare Unabhängigkeit

Spaltenvektoren

Bitte keine unnötigen Spaltenvektoren verweden, denn dies ist ein Artikel der linearen Algebra (und wenn man einen Vektor mit einer Basis multipliziert, entsteht ein Zeilenvektor). Tom1200 23:30, 29. Apr 2005 (CEST)

Ist es nicht eine triviale Operation, bei Bedarf einen Vektor zu transponieren?! — Nol Aders 03:18, 20. Jul 2005 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:13, 25. Jun. 2012 (CEST)

Beispiele

Auch nachdem ich soeben Beispiel Nr. 5 angefügt habe, sind alle fünf Beispiele linear unabhängig — das scheint mir zumindest didaktisch fragwürdig. Von fünf oder sechs Beispielen zu Linearer Unabhängigkeit sollte mindestens eines linear abhängig sein — was meint Ihr?! — Nol Aders 03:18, 20. Jul 2005 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:21, 25. Jun. 2012 (CEST)

Austauschsatz

Ich finde es kritisch, dass sich der für die Lineare Algebra so wichtige Austauschsatz, nur als Randnotiz in Matroid findet. Man sollte ihn entweder hier mit Verweis erwähnen oder einen Hauptartikel daraus machen und ihn direkt verlinken, momentan habe ich ihn zu Matroid redirected.. --Cycyc 23:52, 25. Sep 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:21, 25. Jun. 2012 (CEST)

Basis = Menge???

Nachdem ich die Problematik bei Basis (Vektorraum) fand, stoße ich bei der Suche nach der Wurzel des Übels auf den Artikel Lineare Unabhängigkeit. Linear unabhängig sind nicht Mengen sondern indizierte Familien von Vektoren! Sonst wären erstaunlicherweise die Spaltenvektoren der quadratischen Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

linear unabhängig, die Zeilenvektoren jedoch nicht!--Hagman 18:58, 24. Mär. 2007 (CET)

Natürlich kann man aus jeder Menge auf triviale Weise eine Familie machen, aber zumindest im Kontext von Basen hat auch die Mengensichtweise ihre Berechtigung, weil z.B. die Basisdefinition über die kanonische Abbildung $K^{(B)}\to V$ ganz ohne Rückgriff auf die Indexmenge auskommt.

...außer bei der Definition von $K^{(B)}$--Hagman 15:26, 3. Mai 2007 (CEST)

$K^{(B)}$ ist der Raum der Funktionen $B\to K$ mit endlichem Träger. Wo war die Indexmenge?

Ist zwar Rabulistik, aber im Prinzip gilt Funktion "=" Familie und dadurch wird B zur Indexmenge.--Hagman 11:51, 7. Mai 2007 (CEST)

Das meinte ich mit "man kann aus jeder Menge eine Familie machen": man benötigt nicht noch eine Indexmenge, B selbst ist ausreichend. Der Unterschied ist in etwa derselbe wie zwischen geordneten und ungeordneten Basen. Meine Intuition würde mir sagen, dass ungeordnete Basen "besser" sind, weil die Ordnung eine für die meisten Zwecke irrelevante Wahl darstellt. (Für die Betrachtung der Menge aller Basen sind allerdings wieder geordnete Basen besser, weil sie keine nichttrivialen Automorphismen haben.)

Der Einwand von Hagman zielt nicht auf die Anordnung (auch Indexmengen brauchen nicht geordnet zu sein), sondern darauf, dass bei einer Familie ein Element mehrfach vorkommen kann. (Bei einer Basis selbstverständlich nicht.) --Digamma 20:23, 30. Jan. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:21, 25. Jun. 2012 (CEST)

Menge und Familie

Der Begriff „Menge“ im Einleitungssatz ist nicht einfach ungenauer als „Familie“, sondern falsch. Beispiel: Betrachten wir die Menge von R²-Vektoren

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

Ist die durch diese Menge induzierte Familie linear unabhängig? Ja!

Die Familie (hier als Tupel geschrieben)

$\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)$

ist dagegen linear abhängig. --Phst 21:31, 28. Apr. 2007 (CEST)

Genaugenommen handelt es sich bei deinem Beispiel oben aber um keine Menge, denn eine Menge enthält nur voneinander unterscheidbare Elemente. Insofern würde dieses Problem also nie auftreten. Ich bin aber deiner Meinung, dass der Begriff Menge hier nicht angebracht ist. --Drizzd 12:44, 29. Apr. 2007 (CEST)

Das Beispiel ist eine Menge, allerdings eine zweielementige - deshalb ja auch linear unabhängig. Würde man wirklich mit "Menge" arbeiten, müßte man in vielen Sätzen statt "Seien a und b linear unabhängig..." immer "Seien a und b verschieden und linear unabhängig...", ebenso statt "Falls a und b linear abhängig sind..." eher "Falls a und b entweder gleich oder linear abhängig sind...". Es wäre also die Menge $\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}\right\}$ genau dann linear unabhängig, wenn $t=1$! Ich hatte ursprünglich in der Einleitung aus "Menge" "Menge (genauer: Familie)" gemacht, da wir uns dort noch in der Abteilung für Laien befinden und Familie wohl noch mysteriöser wirkt als Menge. Aber da "fast richtig" auch nur falsch ist, ist die jetzige Version wohl besser - hoffentlich auch Laien-kompatibel--Hagman 10:08, 30. Apr. 2007 (CEST)

"Menge" ist weder ungenauer als "Familie" noch falsch, sondern einfach eine Variante der Definition, die in manchen Fällen besser, in anderen schlechter geeignet ist. --84.130.133.61 22:41, 21. Jul. 2016 (CEST)

Determinante

Gibt es nicht eine Möglichkeit lineare Unabhängigkeit mithilfe der Determinante zu überprüfen (zumindest gelegentlich)? Und wäre es nicht sinnvoll, diese Möglichkeit anzugeben? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Axel Wagner (Diskussion • Beiträge) 17:52, 7. Mai 2007)

Das ist nicht besonders erstaunlich und folgt direkt aus den Bemerkungen im Abschnitt Lineare Gleichungssysteme. --Drizzd 15:07, 1. Jun. 2007 (CEST)

Hmmm.... ja, wenn man dann den Punkt "Lösbarkeit" im Artiekl Lineare Gleichungssysteme durchliest, dann kann man da dann durchlesen, dass sich die Lösbarkeit dieser Systeme mit der Determinante bestimmten lässt... ;) Also ich denke einfach, dass es generell nicht unbedingt falsch ist, das dann noch einmal kurz zu erwähnen, ich selbst habe den Punkt vermisst, weil ich nur wusste, dass Determinanten irgendwie mit lu zusammenhängen, aber nicht direkt wie (und nachdem ichs dann wusste hats mir in der Klausur sehr geholfen ^^), aber setz mich dabei natürlich nicht über die allgemeine Meinung hinweg ;) --Axel Wagner 20:47, 1. Jun. 2007 (CEST)

siehe hierzu unteren Beitrag Rechenwege zur Prüfung auf L.U. als eigener Artikel-Abschnitt.

Positiv-lineare Unabhängigkeit

Unter Definition findet sich folgende Bemerkung:

Falls zusätzlich zu den Anforderungen für die lineare Unabhängigkeit für die Elemente $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ von $K$ die Bedingung $a_{1}\geq 0,a_{2}\geq 0,\dots ,a_{n}\geq 0$ erfüllt ist, dann spricht man von positiv-linearer Unabhängigkeit.

Müsste es nicht jeweils "lineare Abhängigkeit" statt Unabhängigkeit heißen? Denn wenn die Vektoren lin. unabhängig sind folgt ja $a_{1}=0,\dots ,a_{n}=0$ und somit wäre die zusätzliche Bedingung immer erfüllt. (nicht signierter Beitrag von 217.50.51.100 (Diskussion) 11:55, 1. Dez. 2007)

Berechtiger Einwand. Leider habe ich noch nie von positiv-linearer Unabhängigkeit gehört und kann auf die Schnelle auch nichts dazu in Google finden. Bemerkung löschen? --Drizzd 17:58, 1. Dez. 2007 (CET)

Für beliebige Körper ist die Bemerkung eh sinnlos, ich bin auch für Löschen. Gruß, Wasseralm 20:04, 5. Dez. 2007 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:21, 25. Jun. 2012 (CEST)

Von wegen Sek II.

Wie war das noch gleich mit der Parallelität von zwei V, bzw. der Geraden die von Ihnen Beschrieben werden, wenn diese linear unabhängig oder abhängig waren?

--92.227.134.8 20:57, 4. Sep. 2008 (CEST)

Was soll daran die Frage sein?

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:12, 25. Jun. 2012 (CEST)

Nullvektor und lineare Unabhängigkeit

Betrachte zwei (eindimensionale) Vektoren 0 und 5. Diese sind linear unabhänig, denn z.B. 10 * 0 + 0*5 = 0 ist eine nicht triviale Lösung.

Andererseits kann man 5 nicht als Vielfaches von 0 schreiben, umgekehrt hingegen trivialerweise schon. Damit müsste bei der "äquivalenten" Definition der Fall Nullvektor gesondert betrachtet werden, oder nicht?

80.144.156.157 11:38, 19. Jan. 2009 (CET)

Nein, ist nicht erforderlich (sie sind übrigens linear abhängig). Das ist genau der Punkt: 0 ist ein Vielfaches von fünf. --Tolentino 12:19, 19. Jan. 2009 (CET)

Das bezweifel ich auch nicht. Aber umgekehrt ist 5 kein Vielfaches von 0. Der Vektor 5 lässt sich nicht als Vielfaches von 0 darstellen!

Ich muss mich noch korrigieren: Ja, sie sind natürlich linear abhängig, das meinte ich (genau verkehrtherum behauptet). Trotzdem bleibt der Widerspruch: Der Vektor 5 lässt sich nicht als Vielfaches von 0 darstellen! Und deshalb muss der Sonderfall 0 ausgeschlossen werden. 80.144.156.157 18:22, 19. Jan. 2009 (CET)

Sorry, das steht da ja auch nicht. Änderung rückgängig gemacht. 80.144.156.157 18:28, 19. Jan. 2009 (CET)

Mal abgesehen von vorigem Holterdipolter:

1. Jede Vektormenge, die den Nullvektor enthält, ist automatisch linear abhängig;
2. Wie obiges Beispiel zeigt, folgt aus „linear abhängig“ nicht zwangsweise, dass sich dann jeder Vektor der Menge (im Beispiel die '5') aus den übrigen Vektoren linear kombinieren ließe; dies geht nur, wenn die Untermenge "Alle ohne den Nullvektor" auch linear abhängig ist.

--arilou 11:09, 7. Jun. 2011 (CEST) Und nochmal eine Selbstkorrektur: Wie man aus dem einleitenden Beispiel des Artikels sehen kann, kann auch eine linear abhängige Vektormenge ohne Nullvektor Vektoren enthalten, die sich nicht als Linearkombination der übrigen darstellen lassen... --arilou 11:22, 7. Jun. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. arilou (Diskussion) 09:21, 25. Jun. 2012 (CEST)

Rechenwege zur Prüfung auf L.U. als eigener Artikel-Abschnitt

Ja, das klingt alles ok. Zur "Lückenhaft"-Anmerkung und der Determinante: Ist es nicht einfach so, dass bei einer Dimension n jede Menge aus n Vektoren, die zu einer Matrix zusammengefasst werden, genau dann linear abhängig ist, wenn die Determinante Null ist? Da ist sogar Dein Fall mit dem Nullvektor schon zwanglos mit drin. Oder andersrum: Damit alle Vektoren linear unabhängig sind, muss die Determinante unbedingt von Null verschieden sein. Muss man das extra beweisen oder gehört das nicht zur Determinante oder dem Rang einer Matrix dazu? --PeterFrankfurt 01:24, 8. Jun. 2011 (CEST)

Die Frage war nicht, ob man das beweisen muss, sondern ob man die Aussage in diesen Artikel aufnehmen soll. -- Digamma 06:35, 8. Jun. 2011 (CEST)

In einem Artikel "Lineare Unabhängigkeit" würd' ich schon erwarten, das ein (oder mehrere) möglichst einfacher Weg beschrieben ist, wie man eine Menge von Vektoren prüft, ob sie l.u oder l.a. sind. Und wenn's sogar einen Weg gibt, der ohne Fallunterscheidungen/Varianten einfach eine einzige lange Formel ist, die dann =0 oder !=0 liefert, freut mich das als Programmierer ganz besonders *g* ...

Zwar kann man auch die Informationen aus den Abschnitten "Definition", "Charakterisierungen" und "Bedeutung" zusammenklauben und sich daraus selbst einen Weg zusammenstückeln, aber ein eigener Abschnitt "Ermitteln/Prüfen auf L.U." halte ich für durchaus sinnvoll.

--arilou 13:55, 8. Jun. 2011 (CEST)

Es ist nur so, dass das Kriterium mit der Determinante nur sehr eingeschränkt anwendbar ist, nämlich nur dann, wenn die Anzahl der betrachteten Vektoren gleich der Dimension des Raums ist. Außerdem natürlich nur dann, wenn die Vektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren gegeben sind, das heißt, wenn der Vektorraum der $K^{n}$ ist oder in dem Vektorraum Koordinaten eingeführt sind. Das Kriterium taugt zum Beispiel nicht, wenn man überprüfen möchte, ob vier Vektoren im $\mathbb {R} ^{5}$ linear unabhängig sind.

Der einfache Weg ist der mit Hilfe des linearen Gleichungssystems, dessen eindeutige Lösbarkeit man wohl eher mit dem Gauß-Algorithmus überprüft als durch Berechnung der Determinante der Koeffizientenmatrix. -- Digamma 20:06, 8. Jun. 2011 (CEST)

Ist das nicht doch dasselbe wie das Determinantenkriterium? Auch hier beim Gleichungssystem kannst du nur mit der Anzahl der Gleichungen arbeiten, die mit der Dimension des Raums übereinstimmt. Determinanten sind einer größeren Leserschaft natürlich weniger bekannt als Gleichungssysteme, so dass die WP:OmA für die Formulierung mit letzteren spricht, ich wollte aber bloß mal nach dem Prinzip fragen. --PeterFrankfurt 02:28, 9. Jun. 2011 (CEST)

Nein, die Definition der linearen Unabhängigkeit führt direkt auf ein Gleichungssystem mit sovielen Unbekannten wie Vektoren vorhanden sind und sovielen Gleichungen wie die Dimension des Raums beträgt. Für 4 Vektoren im $\mathbb {R} ^{5}$ erhält man also 5 Gleichungen mit 4 Unbekannten. -- Digamma 06:27, 9. Jun. 2011 (CEST)

Siehe hierzu dieser Edit. --arilou (Diskussion) 00:13, 23. Jul. 2012 (CEST)

Irgendwo sollte das Kriterium mit dem Rang (in korrekter Form) schon wieder eingebaut werden, aber im Abschnitt "Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften" sollte mMn nur Aussagen stehen, die nicht auf eine konkrete Koordinatendarstellung zurückgreifen. Ein eigener Abschnitt zur rechnerischen Überprüfung wäre wohl gar nicht schlecht. -- HilberTraum (Diskussion) 09:34, 23. Jul. 2012 (CEST)

Da es hier auch um "korrekte Form" geht, kann ich da nicht weiterhelfen, bin kein Mathematiker (nur ein -anwender *g*) ... --arilou (Diskussion) 08:57, 24. Jul. 2012 (CEST)

praktischer Nutzen, Sinn, Anwendungen aus der Welt, wofür braucht man das wirklich ?

exzessiv im Grundstudium durchgekaut, endlos benutzt und geübt, gefühlte Jahre meines Lebens damit verschwendet, nie verstanden wofür man das wirklich braucht und was das soll, nie wieder später gebraucht.

WOFÜR BRAUCHT MAN DAS ? Methoden als Selbstzweck sind sinnfrei. (nicht signierter Beitrag von 217.229.121.105 (Diskussion) 09:22, 24. Jun. 2012 (CEST))

Ich betrachte dieses Stammel-Kommentar mal als Frage: "Könnte man einen Abschnitt mit praktischen (Anwendungs-)Beispielen aus der realen Welt hinzufügen?"

Da seh' ich kein Problem, Anwendungs-Beispiele gibt's massenhaft.

Ansonsten kann ich nur sagen: L.A./L.U. läuft mir andauernd über den Weg, und ist in der Praxis gar nicht so einfach. Schon z.B. das simple Problem, "was soll '=0' genau bedeuten?" stellt sich da. In der Praxis sind zwei Geraden nie exakt in gleicher Richtung, immer nur "ungefähr gleich". Du must dann entscheiden, weiviel (Zehntel/Hundertstel) Grad Abweichung noch als "gleiche Richtung" gelten sollen. Und deine Entscheidung verteidigen können, wenn jemand sie anzweifelt.

--arilou (Diskussion) 09:09, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lineare Unabhängigkeit

Leider wurde auch hier nicht auf die Umständlichkeit des banalen und elementaren, aber nicht unbedingt klaren, Schulwissens verzichtet. Die gemachten Aussagen zur Existenz der linearen Unabhängigkeit sind daher schlichtweg logisch nichtssagend.

Die Frage lautet, ist ein gegebener Satz von Vektoren $\mathbf {v} _{1};\mathbf {v} _{2};\dotsb ;\mathbf {v} _{n}$, linear unabhängig? Irgendwelche Koeffizienten sind da nicht gegeben. Denn wenn alle $a_{i}=0$ ist die Summe trivialerweise immer gleich Null, egal ob die Vektoren linear unabhängig sind oder nicht. Ob dies auch zutrifft wenn nicht alle gleich Null sind, ist praktisch nicht überprüfbar, da man es mit unendlich vielen Möglichkeiten versuchen müsste. Da liegt die Unlogik, denn es stellt sich die Frage, wann trifft die Bedingung 'nur wenn alle $a_{i}=0$' denn zu?

In der linearen Beziehung:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\dotsb +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$

lässt sich jeder Vektor $\mathbf {v} _{j}$ als Summe seiner Projektionen auf die anderen Vektoren $\mathbf {v} _{i}$ beschreiben:

$\mathbf {v} _{j}=Summe(<\mathbf {v} _{j}\mathbf {v} _{i}>/v_{i}*\mathbf {v} _{i})$

Obige lineare Beziehung, als Bedingung für die lineare Unabhängigkeit, wird also zu:

$Summe[Summe(<\mathbf {v} _{j}\mathbf {v} _{i}>/v_{i}*\mathbf {v} _{i})]=\mathbf {0}$

> ********

Damit die Vektoren $\mathbf {v} _{1};\mathbf {v} _{2};\dotsb ;\mathbf {v} _{n}$ 'linear unabhängig' sind, genügt es also, dass das paarweise Skalarprodukt:

$<\mathbf {v} _{j}\mathbf {v} _{i}>=0$

> ********

Dem genügt z.Bsp. die Bedingung, dass die $\mathbf {v} _{1};\mathbf {v} _{2};\dotsb ;\mathbf {v} _{n}$, Spalten- und/oder Zeilenvektoren einer nichtunitären orthogonalen Matrix sind, mit Determinante verschieden von Null. Das heisst, der Satz von Vektoren $\mathbf {v} _{1};\mathbf {v} _{2};\dotsb ;\mathbf {v} _{n}$, lässt sich aus einer nichtunitären Drehung einer orthonormalen unitären Basis $\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\dotsb ;\mathbf {e} _{n}$, erzielen.

Dann braucht man keine 'Literatur' mehr zu betreiben, wie 'wenn alle Koeffizienten' oder ' wenn nicht alle', usw, denn das ist eh falsch, da der Nullvektor trivialerweise nicht dimensionsbildend ist. Da der Nullvektor trivialerweise nie ein Eigenvektor ist, kann auch kein sonstiger Vektor, linear von ihm abhängen. Wenn aber $a_{i}=0$ ist, erhält man als Trivialität den Nullvektor in obiger linearen Beziehung.

$\mathbf {0} *\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0}$

Dass eine Summe aus Nullvektoren den Nullvektor ergibt, ist dann ebenfalls eine nichtssagende Trivialität. Das, 'nur dann wenn alle gleich Null', ist in keiner mathematischen Beziehung festgehalten, bei der hier gebrauchten Definitionsweise von 'linear Unabhängig'. In der von mir gegebenen, schon.

In der hier gewählten Definitionsweise entsteht der Eindruck als hänge die lineare Unabhängigkeit von irgendwelchen zu wählenden skalaren Koeffizienten ab. Dem ist aber nicht so, diese hängt nur von den gegebenen Vektoren ab. (nicht signierter Beitrag von 217.84.75.134 (Diskussion) 14:32, 21. Jul 2012 (CEST))

Dein Kriterium ist zu stark. Z.B. sind die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$

linear unabhängig, aber keines der Skalarprodukte ist 0.

Deine Aussage

$\mathbf {v} _{j}=Summe(<\mathbf {v} _{j}\mathbf {v} _{i}>/v_{i}*\mathbf {v} _{i}),$

gemeint ist wahrscheinlich

$\mathbf {v} _{j}=\sum _{i\neq j}{\frac {\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{i}\rangle }{v_{i}}}\mathbf {v} _{i},$

ist falsch. Die Aussage stimmt nur dann, wenn die Vektoren $\mathbf {v} _{i}$ orthogonal sind --Digamma (Diskussion) 22:17, 21. Jul. 2012 (CEST)

Einleitung

In der Einleitung heißt es : "Die Vektoren $(1,2,{-3})$, $({-2},{-4},6)$ und $(1,1,1)$ sind wegen $2\cdot (1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0)$ ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Es ist natürlich vollkommen richtig, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind, die Begründung ist jedoch etwas irreführend. Dass der zweite Vektor eine Linearkombination des ersten ist, wird durch die Gleichung "$2\cdot (1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0)$" zwar richtig dargestellt, aber textuell nicht betont. Stattdessen liegt ein Fokus auf dem hinten angestellten Nebensatz "jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Dieser Nebensatz ist völlig unnötig und schafft einen hinderlichen Interpretationsraum für Lernende. Besser wäre doch, wenn es heißt: "jedoch ist hier nicht der dritte Vektor, sondern der zweite, als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Genau genommen ließe sich das Beispiel auch komplett streichen, denn alle Aussagen des ersten Beispiels aus der Einleitung treffen auch auf das zweite zu, wenn man die Reihenfolge der Vektoren $(1,2,{-3})$, $({-2},{-4},6)$, $(1,1,1)$ in $(1,2,{-3})$, $(1,1,1)$, $({-2},{-4},6)$ ändert. (nicht signierter Beitrag von Mayomoto (Diskussion | Beiträge) 13:29, 29. Aug. 2015 (CEST))

Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. Beim ersten Beispiel lässt sicher jeder der drei Vektoren als Linearkombination der andern beiden ausdrücken. Beim zweiten Beispiel ist das nicht der Fall, egal in welcher Reihenfolge die Vektoren stehen. --Digamma (Diskussion) 09:00, 2. Sep. 2015 (CEST)

Überarbeiten

Der Artikel ist ausschließlich im Fachchinesisch geschrieben. Die enthaltenen Beispiele stehen nicht in nachvollziehbaren Zusammenhang zu den Definitionen. Hier wären weiterführende Hinweise auf "einfachere" Quellen unabdingbar gewesen, fehlen aber ganz. Das heißt nicht, daß der Artikel damit ok wäre. Er ist einfach schlecht. Die Menschheit kann darauf verzichten, denn alles, was da steht, steht in einem guten Lehrbuch besser. --217.230.53.114 10:43, 12. Nov. 2015 (CET)

Ich stimme mal nur in dem Punkt über ein, dass Literaturangaben, sowohl Einsteiger- als auch weiterführende Literatur und evtl. ein paar Einzelnachweise der Definitionen fehlen. Der Artikel beschreibt das Konzept solide. Die Beispiele sind in Ordnung und die Vektorbildchen verdeutlichen das Thema ziemlich gut. lg --WissensDürster (Diskussion) 12:24, 12. Nov. 2015 (CET)

Na dann, frisch ans Werk, Nummer 217.230.53.114! --Logo 15:33, 12. Nov. 2015 (CET)

Wikipedia will auch nicht den Lehrbüchern Konkurrenz machen. Wikipedia ist kein Ersatz für ein Lehrbuch, sondern ein Nachschlagewerk. --Digamma (Diskussion) 20:03, 12. Nov. 2015 (CET)

Erstens stimmt das nicht, zweitens reicht es auch nicht für ein Nachschlagewerk. In einem Nachschlagewerk möchte man brauchbares finden. Wer das findet, was dort steht, ist auf einem Niveau, daß er es schon alles weiß oder weiß, wo er schneller fündig wird und nicht so viele Fehler drin sind, wie in der WP. Allen anderen nutzt das nicht, weil sie es nicht verstehen bzw. für sie wesentliche Informationen fehlen. Außerdem ist WP mehr als ein Nachschlagewerk und es geht durchaus in Richtung Lehrbuchersatz. Der welt- und realitätsfremde Anspruch der WP, Enzyklopädie zu sein, ändern daran rein gar nichts. Was du schreibst, ist also von A bis Z Unfug. Unterlasse das bitte künftig! --217.230.47.17 13:51, 16. Nov. 2015 (CET)

Ich entferne den Überarbeiten-Baustein wieder. Der Artikel ist auch meiner Auffassung nach in einem vertretbaren Zustand. Wer sich mit Mathematik befasst, muss eben bereit sein sich auch wirklich damit auseinander zu setzen und darf nicht - egal welche Quelle er nutzt - den Anspruch haben, den Text nach einmal überfliegen verstanden zu haben.--Christian1985 (Disk) 00:02, 21. Dez. 2015 (CET)

Überarbeiten 2: Abschnitt Bedeutung/LGS

Dieser Abschnitt ist eigentlich ersatzlos zu streichen.

Problem u. ÜA+

Zusammengefaßt bedeutet es: Um die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu überprüfen, muß man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems überprüfen. Da liegt einem dann schon auf der Zunge: "Vera... kann ich mich selbst!" Schaut man es sich näher an, ist das homogene Gleichungssystem identisch mit dem ursprünglichen, außer, daß die Spalte b durch eine komplette 0-Spalte ersetzt wurde. Das führt zu folgender Situation:

Fall 1: LGS hat keine Lösung. Beim "normalen" Verfahren nach Gauß: Rang der Matrix ist kleiner n, in der b-Spalte gibt es einen Eintrag ungleich "Null". Beim hier empfohlenen Verfahren wäre das System nicht eindeutig lösbar. Ob es allerdings unendlich viele Lösungen hat oder gar keine, weiß ich bei dem Verfahren nicht.

Fall 2: LGS hat Rang r = n. Nach den Regeln für Gauß: LGS ist eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Vektoren sind lin. unabh. => lösbar.

Fall 3: LGS hat r < n. Nach Gauß also nicht eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Ebenfalls nicht eindeutig lösbar. Ob es aber unendlich viele Lösungen gibt oder keine, weiß ich nicht, s.o.

Fazit: Das "normale" Entscheidungskriterium nach Gauß hilft mir weiter, abgesehen davon, daß sich der Arbeitsaufwand nicht verändert, die Aussagekraft aber schwindet.

Der Abschnitt steht unter "Bedeutung", d.h. die Bedeutung ergibt sich aus einem Vorteil gegenüber anderen Verfahren. Dieser Vorteil ist nicht vorhanden, also ist auch die Bedeutung nicht vorhanden.

Also: Löschen! Oder ganz anders formulieren, wobei ich nicht wüßte, wie da noch was zu retten wäre. --217.230.47.17 11:18, 16. Nov. 2015 (CET)

Wer nicht hören will muß fühlen

Habe den Abschnitt jetzt erstmal fast ersatzlos gestrichen. --217.230.47.17 13:45, 16. Nov. 2015 (CET)

Ich habe deine Bearbeitung gesichtet. Das heißt nicht, dass ich finde, dass man den Abschnitt löschen sollte, aber in der bisherigen Form war er nicht tragbar, weil er, wie du oben beschreibst, sich im Kreis gedreht hat. --Digamma (Diskussion) 17:24, 16. Nov. 2015 (CET)

Seh' ich genau wie Digamma. Aber:

Aha. Diese Person vertritt die Ansicht, dass auch Selbstverständlichkeiten in einen Artikel gehören.

D.h. ein (besserer) Abschnitt bzgl. der Beziehung zw. L.U./L.A. und Matrizen/Determinanten/... sollte wieder entstehen...

--arilou (Diskussion) 14:27, 19. Nov. 2015 (CET)

Na dann, frisch ans Werk, arilou! --91.10.118.229 17:45, 3. Dez. 2015 (CET)

Frage zum ersten Abschnitt

Zu Beginn des 3 Abschnitts heißt es: "Zum Beispiel sind im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \mathbb {R} ^{3}"

Unter den Bildern rechts heißt es jedoch: "Linear unabhängige Vektoren in ℝ3"

Sollte nicht in beiden Fällen das gleiche Wort verwendet werden? (nicht signierter Beitrag von 91.14.135.60 (Diskussion) 19:58, 4. Dez. 2016 (CET))

"Im", also mit Artikel, bezieht sich auf das Substantiv "Raum". Hingegen ist $\mathbb {R} ^{3}$ für sich alleine ein Name, dem üblicherweise kein Artikel vorangeht. Deshalb "im Raum $\mathbb {R} ^{3}$", aber "in $\mathbb {R} ^{3}$". --Digamma (Diskussion) 20:31, 4. Dez. 2016 (CET)

Kleinigkeit

"In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt." Der zweite Satz ist etwas unpräzise, denn die Familie bestehend nur aus dem Nullvektor ist linear abhängig und offensichtlich lässt sich 0 nicht als Linearkombination anderer Vektoren der Familie darstellen, da es keine anderen Vektoren in der Familie gibt. --FChopin (Diskussion) 17:58, 20. Apr. 2018 (CEST)

Der Nullvektor ist Linearkombination jeder Familie von Vektoren. Man muss nur alle Koeffizienten auf 0 setzen. Das geht auch bei 0 Koeffizienten. --79.217.51.30 23:19, 3. Feb. 2023 (CET)

Ungeschickte Definition

Zunächst wird die lineare Unabhängigkeit für eine allgemein Familie von Vektoren definiert. Das geht natürlich nur, wenn man schon weiß, was lineare Unabhängigkeit für eine endliche Teilmenge von Vektoren bedeutet. Das wird dann auch im nächsten Abschnitt "nachgeholt". Ich halte dieses Vorgehen didaktisch für ungeschickt. Nachvollziehbarer und vom Aufbau her logischer finde ich, wenn zunächst die Unabhängigkeit für eine endliche Teilmenge von Vektoren definiert wird und dann die Definition auf eine Familie von Vektoren ausgedehnt wird. So kenne ich es auch aus den Lehrbüchern, z. B. Fischer: Lineare Algebra oder Arens: Mathematik. Ich würde das ändern. Gibt es da Meinungen oder Einwände zu? --Mathze (Diskussion) 19:36, 9. Mär. 2023 (CET)

Man kann lineare Unabhängigkeit für allgemeine Familien auch definieren, ohne zu wissen, was lineare Unabhängigkeit für endliche Familie von Vektoren bedeutet: 0 ist nur auf triviale Weise Linearkombination der gegebenen Familie. Der Begriff der Linearkombination bringt schon mit, dass nur endlich viele Vektoren der Familie wirklich in die Summation eingehen. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:38, 10. Mär. 2023 (CET)

Ich unterstelle dem Artikel keine fachliche Falschheit. Ich halte die Reihenfolge nur für didaktisch ungeschickt, wie schon gesagt. Man sollte hier auch ein bisschen das Zielpublikum im Kopf haben. Der Begriff kommt auch in den Anwendungswissenschaften vor, also Ingenieurwesen, Wirtschaftswissenschaften etc. Und vielleicht verirrt sich hier auch mal ein motivierter Oberstufenschüler. Mathematiker oder Mathematikstudenten schauen vermutlich überwiegend eh nicht in Wikipedia nach. In der englischsprachigen Wikipedia wird übrigen auch zuerst lineare Unabhängigkeit für endlich viele Vektoren definiert, und dann kommt der allgemeine Fall. Ebenso in der Encyclopedia of Mathematics: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_independence. --Mathze (Diskussion) 15:23, 11. Mär. 2023 (CET)

Ich stimme dem zu, dass die gegenwärtige Definition didaktisch ungeschickt ist. Ich stimme dem nicht zu, dass die Lösung darin besteht, unnötige Fallunterscheidungen einzubauen. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:17, 12. Mär. 2023 (CET)

Ich glaube, Du hast mich falsch verstanden Ich schlage lediglich vor, die Reihenfolg der Sätze in der vorliegenden Definition umzudrehen. Anstatt

"Eine durch $I$ indizierte Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

Eine endliche Familie ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ von Vektoren aus $V$ heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig."

Mein Vorschlag (und der ist wirklich nicht originell, sondern genau das, was ich in all meinen Lehrbüchern gefunden habe):

"Eine endliche Familie ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ von Vektoren aus $V$ heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Eine durch $I$ indizierte Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist." --Mathze (Diskussion) 09:25, 12. Mär. 2023 (CET)

Ich habe das schon verstanden. Man hat damit aber zwei verschiedene Definitionen der linearen Unabhängigkeit. Einmal für den Fall einer endlichen Familie, und einmal für den Fall einer beliebigen Familie (welche sich auf erstere stützt). Definiert man direkt für beliebige Familien, ist der Fall endlicher Familien einfach als Spezialfall vorhanden, der nicht irgendwie etwas anderes ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:46, 14. Mär. 2023 (CET)

Man hat so oder so zwei Definitionen, eine für endliche Familien und eine für allgemeine Familien, wobei letztere sich auf erstere stützt. Logisch ist es anders auch gar nicht möglich: Die "direkte" Definition für beliebige Familien kommt gar nicht aus ohne die Definition für endliche Familien, da ansonsten das Definiens "wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist" im wahrsten Sinne des Wortes selbst undefiniert ist.

Man kann das nun locker sehen und sagen, "na ja, die Definition für endliche Mengen wird ja schon nachgeschoben, und zwar schon direkt im nächsten Satz", und das ist auch ein valides Argument. Ich halte es lediglich didaktisch sinnvoller, die "Zwischendefinition" zuerst zu bringen und habe dafür argumentiert. Wenn ich ein besseres Argument höre, die (unentbehrliche) Zwischendefinition nachzuschieben, ziehe ich gerne das Feld. Zu sagen, dass man damit eine unnötige Fallunterscheidung einbaue, ist meines Erachtens jedoch keins. --Mathze (Diskussion) 20:49, 14. Mär. 2023 (CET)

Die Definition für endliche Familien muss nicht nachgeschoben werden, denn die ist ja einfach schon getätigt, wenn man direkt für beliebige Familien definiert.

Du hast aber Recht, eine Fallunterscheidung wird nicht wirklich eingebaut. (Ich dachte kurz, man müsse, wenn man für eine beliebige Familie die lineare Unabhängigkeit beweisen will, zunächst feststellen, ob die Indexmenge endlich ist, oder nicht. Das trifft nicht zu, wäre aber ein erheblicher Nachteil gewesen. Man kann ja einfach immer für alle endlichen Teilfamilien beweisen, dass sie nach der Definition für endliche Familien linear unabhängig sind.)

Nichtsdestotrotz sehe ich nicht, wieso eine direkte Definition für beliebige Familien schwer zu verstehen sein soll. Und selbst wenn sie es ist, spricht ja nichts dagegen, zu erläutern, was die Definition im Fall endlicher Familien speziell bedeutet. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:56, 15. Mär. 2023 (CET)

Die Definition für beliebige Familien basiert auf der Definition für endliche Mengen. "Eine [...] Familie heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist." Mal angenommen, das wäre die ganze Definition, also ohne den folgenden Satz "Eine endliche Menge von Vektoren..." Wenn ich dann meinen Schülern sagen würde: Prüft mal bitte die lineare Unabhängigkeit von dieser oder jener Familie von Vektoren anhand der Definition, und sie hätten vorher noch nie von linearer Unabhängigkeit gehört, dann würden sie sagen: "Aber Herr P., um das zu prüfen müssen wir doch wissen, was es für eine endliche Familie heißt, linear unabhängig zu sein!" Nochmal anders: Bei einer expliziten Definition wird ein unbekannter Begriff auf bekannte Begriffe zurückgeführt. In dem Satz "Eine [...] Familie heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist." wird aber ein unbekannter Begriff (l. U. einer Familie von Vektoren) auf einen anderen unbekannten Begriff (l. U. einer endlichen Familie von Vektoren) zurückgeführt. Deshalb ist diese Definition nicht vollständig. Und deshalb muss man den Satz, was denn die l. U. einer endlichen Familie von Vektoren bedeutet, nachschieben. Dieser Begriff (l. U. einer endlichen Familie von Vektoren) wird dann auf als bekannt vorausgesetzte Begriffe (Linearkombination von Vektoren, Nullvektor, eindeutige Lösung) zurückgeführt. Damit wird die Definition vollständig. Dreht man die Sätze um, so wird jeweils sofort ein unbekannter Begriff auf bereits bekannte Begriffe zurückgeführt. Erster Satz: "Eine endliche Menge von Vektoren heißt l. u., wenn die einzige mögliche Darstellung..." Unbekannter Begriff: l. U. von endlichen Mengen, bekannte Begriffe: Linearkombination von Vektoren etc. Zweiter Satz: "Eine Familie heißt l. u., wenn jede endliche Teilmenge l. u. ist." Unbekannter Begriff: l. U. einer Familie. Bekannter Begriff (nun bekannt aufgrund des ersten Satzes): l. U. einer endlichen Menge von Vektoren.

Um zu beweisen, dass eine (ggf. unendliche) Familie l. u. ist, muss man den Nachweis erbringen, dass eine beliebige endliche Teilmenge der Familie l. u. ist. --Mathze (Diskussion) 23:44, 15. Mär. 2023 (CET)

Hier eine direkte Definition für beliebige Familien:

$F\colon I\to V$ heißt linear unabhängig, wenn für alle $a\colon I\to K$ mit $a^{-1}(K\setminus \{0\})$ endlich gilt: $\sum _{i\in a^{-1}(K\setminus \{0\})}a(i)\cdot F(i)=0\implies \forall i\in I.\,a(i)=0$.

Da "basiert" gar nichts auf einer Definition der linearen Unabhängigkeit für endliche Familien. Und für endliche $I$ kommt halt heraus, was du unnötigerweise separat definieren willst (was der Artikel ggw. auch tut). --Daniel5Ko (Diskussion) 02:01, 16. Mär. 2023 (CET)

Danke für diese Definition, ja, so kann man's machen. Du hast Recht, da basiert auch nichts auf der Definition der l. U. für endliche Familien. Allein, so wird es im Artikel nicht gemacht, und das aus gutem Grund. Man möchte ja nicht den Großteil der Leser verschrecken. Würde man im Artikel den Zusatz "Eine endliche Familie von Vektoren..." weglassen, wäre es eine unvollständige Definition. Daran ist nichts zu rütteln. Ich werde mein Argument für das Umstellen der Sätze nicht nochmal wiederholen (ich habe glaub ich noch nie so gekämpft für das Umstellen von zwei Sätzen), Du scheinst ja sachverständig zu sein, und deshalb bin ich mir sicher, dass wir beide sehen, dass es so, wie es jetzt ist, nicht optimal ist. Es hat schon seine Gründe, warum in so gut wie jedem Lehrbuch (ich habe nur eine Ausnahme gefunden) zuerst die l. U. von endlich vielen Vektoren definiert wird (und oft genug sogar ausschließlich diese). --Mathze (Diskussion) 14:40, 16. Mär. 2023 (CET)

Ich find's eben suboptimal, zwei verschiedene Sachverhalte namens "lineare Unabhängigkeit" zu definieren. Eine Definition genügt ja offensichtlich. Es spricht aber natürlich nichts dagegen, den Spezialfall endlicher Familien gesondert zu erläutern. Das kann man ggf. auch vor der Definition als "Wegweiser"/"Motivation" in Richtung der direkten allgemeinen Definition unterbringen.

Und noch ein Hinweis: Wikipedia soll ja kein Lehrbuch sein, sondern ein Nachschlagewerk. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:40, 16. Mär. 2023 (CET)

Richtig, Wikipedia soll ein Nachschlagewerk sein. Und man kann davon ausgehen, dass + 99 % der Leser nachschlagen wollen, was "linear unabhängig" für eine Menge v1,...,vn von Vektoren bedeutet, da man genau das primär für die Anwendungswissenschaften und im Studium braucht. Diese sollte man nicht als erstes mit dem Satz über die lineare Unabhängigkeit von Familien willkommen heißen (und erschlagen). Vermutlich haben sie den Begriff einer Familie von Vektoren noch nie gehört. Für den geneigten Leser kann man ja dann diese Definition auf allgemeine Familien ausweiten. Das ist übrigens auch die didaktisch verbreitete und sinnvolle Methode und auch in der Fachmathematik nicht unüblich. Deine Definition vermeidet eine Fallunterschiedung, aber ganz ehrlich, ich habe jetzt alle Lehrbücher und Lexika durchforstet, die ich habe, sie findet sich nirgendswo. Ich habe außerdem bei Wikipedia geschaut: Alle großen Sprachen definieren zunächst die lineare Unabhängigkeit für endlich viele Vektoren: Englisch, Französisch, Spanisch, Italienisch, Russisch, Chinesisch. --Mathze (Diskussion) 10:57, 17. Mär. 2023 (CET)

Ich gebe zu bedenken, dass der erste Satz der Einleitung schon eine perfekte Definition (nur halt in Prosa) ist. So schwer kann sie also nicht zu verstehen sein.

Der Rest ist dann halt nur die Frage, wie man das am besten formalisiert. Mein Vorschlag ist einfach eine direkte Übersetzung des ersten Satzes. Klar, es ist vielleicht doof, dass das wohl kaum ohne Summensymbol geht, aber wie gesagt, kann man ja irgendwelche Erläuterungen danebenstellen. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:51, 17. Mär. 2023 (CET)

Du kannst ja mal hier einen Vorschlag machen. Ich würde Dich nur bitten, das Zielpublikum im Blick zu haben (das dürfte zum Großteil aus MINT- und WiWi-Studenten und Praktikern bestehen). --Mathze (Diskussion) 00:47, 18. Mär. 2023 (CET)

Die Erklärung in der Einleitung halte ich übrigens aus mehreren Gründen für ungeschickt. Ich erwarte, dass Du beim Formalisieren auf erhebliche Probleme stoßen wirst (Wie soll man etwas vernünftig formalisieren, was nicht klar durchdacht ist?) --Mathze (Diskussion) 01:22, 18. Mär. 2023 (CET)

Was sind denn die Gründe? Aus meiner Sicht sagt der erste Satz alles richtig aus, das benötigt wird, ohne dabei sinnlos abzuschweifen. Eine Formalisierung habe ich ganz leicht angegeben, ohne auf irgendwelche Probleme zu stoßen. Du darfst dir gerne eine andere überlegen. Zum "Zielpublikum": Ich glaube, es ist besser, Konzepte zu vermitteln statt stupider Algorithmen, auch wenn man das Publikum für noch so dumm hält. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:06, 18. Mär. 2023 (CET)

Zunächst vorweg: "Ich glaube, es ist besser, Konzepte zu vermitteln statt stupider Algorithmen [...]." Da bin ich ganz Deiner Meinung. Es gibt doch mehr zu diskutieren, als ich zunächst dachte, und ich würde gerne auf all Deine Punkte eingehen. Jedoch zieht sich diese Diskussion schon eine Weile hin, und es ist ein bilateraler Dialog ohne weitere Anregungen und bisher auch ohne Ergebnis. Deshalb würde ich die Diskussion, mit Deiner Erlaubnis, erstmal auf Deine Benutzerseite (https://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Daniel5Ko/Zeug oder https://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Daniel5Ko) verlagern. Sollte da nichts bei rum kommen, könnten wir die Diskussion auch auf den Matheplaneten oder eine andere fachkundige Diskussionsseite tragen. Für Vorschläge bin im übrigens immer offen. --Mathze (Diskussion) 11:51, 18. Mär. 2023 (CET)

Ok. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:51, 23. Mär. 2023 (CET)