Diskussion:Liste numerischer Verfahren

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus der linearen Algebra und hat aus meiner Sicht in der Liste der numerischen Verfahren nichts zu suchen. - fatherofjm

Erledigt. --Stefan Birkner 22:25, 9. Jan. 2007 (CET)

Das sehe ich anders: Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein klassisches numerisches Verfahren. Dass es auch in der reinen Mathematik Verwendung findet, tut dem doch keinen Abbruch. --P. Birken 11:46, 10. Jan. 2007 (CET)

Hallo Stefan. Ich versuche, Dich anders zu überzeugen: Numerische Verfahren sind im allgemeinen Näherungsverfahren, um insbesondere solche mathematische Probleme zu lösen , die sich ansonsten nicht geschlossen lösen lassen würden. Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist dagegen kein Näherungsverfahren, sondern konstruiert ein Orthonormalsystem. Mir ist jedenfalls kein Lehrbuch der Numerik bekannt, das das GS-Verfahren als numerisches Verfahren enthält. In jedem Lehrbuch der linearen Algebra wird es aber behandelt. Ich lass mich aber gerne durch ein Gegenbeispiel überzeugen.

Ich bin nicht Stefan :-) Numerische Verfahren sind nicht a priori Naeherungsverfahren. Es sind Verfahren zur Loesung von (kontinuierlichen) mathematischen Problemen. Jedes Lehrbuch der numerischen Mathematik enthaelt sehr weit vorne das gausssche Eliminationsverfahren und jedes Lehrbuch zur numerischen linearen Algebra enthaelt das Gram-Schmidt-Verfahren und zahlreiche Lehrbuecher zur numerischen Mathematik ebenfalls, eben weil es ein grundlegender Algorithmus ist. Unterschreiben kannst Du uebrigens mit ~~~~. Dein Grundgedanke, etwas sei lineare Algebra und koenne deswegen nicht Numerik sein, ist uebrigens grundfalsch. Mathematik ist kein Sammelsurium getrennter Bereiche, insbesondere ist die Numerik nicht abgekoppelt von der reinen Mathematik. --P. Birken 14:12, 10. Jan. 2007 (CET)

Hallo P.Birken,

mein Grundgedanke ist nicht, wie Du fälschlicherweise interpretierst, dass die einzelnen Teilgebiete der Mathematik mengentheoretisch gesehen disjunkt sind. Mathematiker müssen immer das Ganze im Blick haben. Meine Aussage war und ist, Gram-Schmidt ist kein Verfahren der Numerik. Andere Mathematikerkollegen sehen das genauso. Und die allgemeine WIKIPEDIA Definition sagt eigentlich auch nichts anderes. Alle Numerik-Standardwerke (Stoer-Bulirsch, Deuflhard Hairer, Schwarz, Engeln-Müllges, Stummel/Hainer, Werner, Meinardus-Merz, Reimer uvm.) enthalten Gram Schmidt nicht als numerisches Verfahren.

Ich darf zur Verdeutlichung auch den Wikipedia Eintrag Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren zitieren: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Wechseln zu: Navigation, Suche Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra, mit dem man in einem endlichdimensionalen Prähilbertraum zu einem System linear unabhängiger Vektoren ein Orthogonalsystem berechnen kann, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man die Basisvektoren des Prähilbertraums als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer sind die Gram-Schmidt-Verfahren nicht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Daher sind für numerische Zwecke Verfahren, wie die QR-Zerlegung, die auf der Householdertransformation oder Givens-Rotation basieren, besser geeignet.

Kann ein Verfahren ein numerisches Verfahren sein, das für die numerische Berechnung durch einen Computer ungeeignet ist, weil die Orthogonalitätseigenschaft verloren geht?

Können wir uns als Mathematikerkollegen darauf verständigen, das es sich um ein bewährtes mathematisches Verfahren handelt, mit dem man zum Beispiel die in der Numerik sehr wichtigen Orthogonalpolynome (z.B. Legendre Polynome) konstruieren kann? Ich bin gespannt auf Deine Antwort --Fatherofjm 21:35, 10. Jan. 2007 (CET)

Ich kann eigentlich bzgl. der Literatur nur wiederholen was ich oben geschrieben habe: es steht in jedem Buch zur numerischen linearen Algebra drin. Das ist auch nicht verwunderlich, denn es ist ein grundlegender Algorithmus der numerischen linearen Algebra. Es ist auch keine sinnvolle Definition, Verfahren, die schlecht sind, plötzlich nicht mehr als numerische Verfahren gelten zu lassen. Du machst oben schon wieder den Fehler den ich vorher angekreidet habe: Du sagst, es könne kein numerisches Verfahren sein, weil es schon ein Verfahren der linearen Algebra sei. Das eine schliesst das andere nicht aus. Das Gram-Schidt-Verfahren ist ein algorithmisches Verfahren, um ein kontinuierliches mathematisches Problem zu lösen. Damit ist es ein numerisches Verfahren. --P. Birken 22:27, 10. Jan. 2007 (CET)

ein paar Gedanken dazu

• Literaturquelle: (nur aus der Erinnerung ich denke da stehts drin) Andreas Meister, Numerik linearer Gleichungssysteme
• Es sollte imho eher zu den linearen Gleichungssystemen sortiert werden.
• Mangels praktischer Bedeutung(daher wird es denn vermutlich nicht in den "Numerik" Büchern die alles behandeln stehn) könnte man auch darauf verzichten.
• Die Aussage: "Für die numerische Berechnung durch einen Computer sind die Gram-Schmidt-Verfahren nicht geeignet." ist imho so nicht ganz richtig. Es gibt Varianten die diese Fehlerakkumulation vermeiden.

Grüße --Mathemaduenn 23:17, 10. Jan. 2007 (CET)

Hallo Dr. P. Birken,

Du dichtest mir Aussagen an, die ich an keiner Stelle mache. Sicherlich mache ich Fehler wie jeder andere Mensch auch. Gegenfrage: Machst Du vielleicht einen Fehler, wenn Du mir nicht gemachte Aussagen unterschiebst? Ich habe zu keinem Zeitpunkt gesagt, es kann kein numerisches Verfahren sein, weil es schon ein Verfahren der linearen Algebra ist. Diese Unterstellung ist nicht richtig. Ich sage, das Verfahren zählt eigentlich nicht zu den Verfahren der Numerik. Diese Aussage wird von vielen Mathematikerkollegen, die ich aufgrund der anregenden Diskussion gesprochen habe, geteilt. Ebenfalls habe ich keine Definition gemacht, ich zitiere lediglich den WIKIPEDIA Hauptartikel. Du musst ihn ändern, wenn er nicht zutrifft und wenn er Deiner Argumentation widerspricht. Offensichtlich ist die Meinung des Fachbereiches Mathematik der Universität Kassel die allein gültige Meinung in dieser Frage und alle anderen Meinungen sind falsch. --Fatherofjm 08:56, 11. Jan. 2007 (CET)

Hallo mathemaduenn,

danke, dass Du mir zumindest in gewisser Weise Recht gibst, dass es an der Stelle falsch plaziert ist. Aber Vermutungen anzustellen, warum etwas nicht in den Standardwerken der Numerik steht, ist aus meiner Sicht sehr gewagt. Gehört das Buch von Meister (Universität Kassel) übrigens schon zu den Standardwerken der Numerik?--Fatherofjm 09:02, 11. Jan. 2007 (CET)

Hallo, Sicher gehört "Golub/van Loan, Matrix Computations", wo es auch drinsteht, zu den Standardwerken der numerischen linearen Algebra. Das mit der praktischen Bedeutung nehme ich aber tatsächlich zurück. viele Grüße --Mathemaduenn 09:51, 11. Jan. 2007 (CET)

Eines Deiner Hauptargumente ist ja, dass in der Wikipedia steht: "Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra". Daraus folgerst Du, dass es kein numerisches Verfahren sein kann. Es kann sein, dass ich dich da falsch verstanden habe, wirklich wichtig ist das allerdings nicht. Wikipedia-Artikel enthalten übrigens häufig Ungenauigkeiten, wobei es sich für mich übrigens auch wie gesagt einfahc nicht aussschliesst, dass etwas in verschiedenen Bereichen betrachtet wird. Das Buch von Meister ist in der Tat mittlerweile in Deutschland ein Standardwerk. Es steht Dir aber frei, beliebige andere Literatur zur numerischen linearen Algebra zu konsultieren. Nur dass ein Begriff nicht in einem Grundlagenbuch zu Numerik (wie die von Dir zitierten) nicht drinsteht, heißt ja auch noch lange nicht, dass es nicht zur Numerik gehört. Mir ist etwa kein Grundlagenbuch bekannt, dass Finite-Volumen-Verfahren behandelt. Ansonsten hat Mathemduenn Recht: in abgewandelter Form wird das Gram-Schmidt-Verfahren durchaus benutzt und das Arnoldi-Verfahren ist letztlich Gram-Schmidt für Krylow-Unterräume. Ansonsten möchte ich Dich bitten, Ad hominem-Argumente zu unterlassen. --P. Birken 16:03, 11. Jan. 2007 (CET)

Nochmals zur Klarstellung: Du unterstellst mir wieder eine falsche Schlussfolgerung und eine falsche Denkweise. Darf ich in Erinnerung bringen: Ausgangspunkt war meine persönliche Meinung (die muss in einer Diskussion erlaubt sein), das für mich (und auch für viele Kollegen) Gram-Schmidt (ob Orthogonal oder Orthonormalverfahren) nicht zu den numerischen Verfahren (im engeren Sinne) zählt. Das ist der erste Satz in dieser Diskussion, nicht mehr und nicht weniger. Ich folgere nichts aus dem Wikipedia Artikel, sondern ich fühle mich in meiner Meinung durch ihn nur bestätigt und habe ihn lediglich zur Unterstützung meiner Argumentation zitiert.

Ich verwende die Begriffe Numerik und numerische Verfahren, so wie ich ihn gelernt habe mit den erwähnten Standardwerken. Den Begriff Numerische lineare Algebra gab es zu meiner Hochschulzeit explizit noch nicht, sondern nur Numerik. Du setzt, wie mir auffällt, in Deinen Argumentationen in den allermeisten Fällen diese beiden Begriffe gleich. Früher gab es eine schärfere Abgrenzung zwischen den mathematischen Disziplinen, heute verwischen diese Grenzen immer mehr (was meiner Meinung auch richtig ist). Es gab auch damals (vor 14 Jahren) eine Schnittmenge Numerik/Lineare Algebra, nur für uns gehörte das GS Verfahren nicht zu den numerischen Verfahren. Numerische Verfahren wurden auf einem Rechner implementiert, um Probleme aus diversen Teilgebieten der Mathematik, die einer geschlossenen Lösung im allgemeinen nicht zugänglich waren, näherungsweise zu lösen. Das brauchte man jedoch bei Gram Schmidt nicht. Man konnte aus den gegebenen Vektoren ein ON System exakt berechnen. Es kam somit niemand auf den Gedanken, dieses Verfahren als ein numerisches Verfahren zu bezeichnen. Wenn ich Dich/Euch richtig verstehe, habt ihr inzwischen mit der numerischen linearen Algebra eine wesentlich stärkere Verzahnung von Numerik und linearer Algebra geschaffen. Von daher muss Eure Schnittmenge natürlich viel größer sein. Und dies impliziert aus Eurer Sicht dann die Zugehörigkeit des Verfahrens zu der wesentlich größeren Menge. Ich hoffe, Du bist jetzt besser in der Lage, zumindest Verständnis für meine Meinung aufzubringen so wie ich es für Deine Sicht der Dinge tue. Wir schauen aus verschiedenen Blickrichtungen auf die Situation. Ich denke, dafür ist diese Diskussion doch da. Und nur so bringen wir die Mathematik voran. Ich denke, das ist doch unser Hauptanliegen, oder?

Eine ad hominem Argumentation habe ich aus meiner Sicht nicht verwendet. Wenn doch, dies war nicht meine Absicht und wird von mir auch nicht wieder vorkommen. Da bitte ich Dich um Entschuldigung.

Beim Thema Grundlagenbuch fällt mir nur folgendes ein, ich weiss nicht , ob Du es kennst und ob es für Dich als Grundlagenbuch zählt? Es gibt ein Springer Lehrbuch "Numerik im Maschinenbau" von Schäfer aus dem Jahr 1999? Dort werden Finite Volumen Verfahren meines Wissens explizit behandelt. --Fatherofjm 21:58, 11. Jan. 2007 (CET)

Deine Bemerkung zu Kassel war völlig unangemessen und ad hominem. Numerische lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Numerik und ich setze diese keinesfalls gleich, aber Teilmenge ist Teilmenge. Es beschäftigt sich mit numerischen Verfahren, die Probleme der linearen Algebar lösen. Das Gram-Schmidt-Verfahren ist eines davon. Bücher über numerische lineare Algebra sind Bücher über numerische lineare Algebra und keine Einführungen in Numerik. Numerik ist wie oben schon gesagt nicht auf Näherungsverfahren beschränkt. Alles in allem beruht diese Diskussion darauf, dass Dir die Begriffe nicht ausreichend bekannt sind und Du deswegen meine Argumente nicht nachvollziehen konntest. Das empfinde ich ehrlich gesagt als ziemlich ärgerlich. Aber zumindest wäre diese Diskussion damit ja beendet :-) --P. Birken 23:23, 11. Jan. 2007 (CET)

Zur Ergänzung noch den entsprechenden link für eine weitere Möglichkeit der Benutzung. QR-Zerlegung Grüße --Mathemaduenn 08:44, 12. Jan. 2007 (CET)

Wer auf andere mit dem Finger zeigt und Ihnen mangelnde Kenntnis der Begriffe unterstellt, sollte immer daran denken, dass drei Finger auf einen selber zeigen. So etwas ist ad hominem Argumentation und mehr als unangebracht.

Nullstellensuche?

Wieso ist denn bei der letzten Ergänzung die Nullstellensuche und MKQ wieder rausgeflogen, obwohl beide im Kommentar extra erwähnt wurden? War da was falsch dran? --PeterFrankfurt 01:02, 22. Aug. 2007 (CEST)

Ich finde es schwierig das Gradientenverfahren als Nullstellensuche zu sehen, bzw. bildet es keinen Mehrwert in dieser Liste. Die Erwähnung der MKQ hat für mich hier wenig Informationsgehalt. Interessant wäre doch eher welche Verfahren das sind. Ohne diese Information bildet es mMn auch keinen Mehrwert. GRüße --Mathemaduenn 12:44, 22. Aug. 2007 (CEST)

Nullstelle: Zähl doch einfach mal, wie oft der Begriff Nullstelle in diesem Unterkapitel vorkommt: sechs Mal. Das stützt doch die sowieso bestehende Identität zwischen (nichtlinearer) Gleichungslösung und Nullstellensuche. Die MKQ habe ich hier weniger als eigene Lösungsmethode angeführt, sondern als Werkzeug, das intern von einigen der angeführten Verfahren benutzt wird, ohne dass das dort groß thematisiert wird, deswegen fand ich das hier einen günstigen Ort, das nachzuholen. (Das ist nebenbei auch mein Problem - allerdings kein allzu ernstes -, das ich mit dem Hauptartikel MKQ habe: Dass das dort als eigene Methode herausgestellt wird, wo es in meinen Augen doch eher ein untergeordnetes Werkzeug ist und nur bei den wenigen linearisierbaren Ansätzen direkt zu Lösungen führen kann.) --PeterFrankfurt 22:32, 22. Aug. 2007 (CEST)

@P.Birken: Nirgends wurde behauptet, auch nicht in der vorgeschlagenen Formulierung, dass Nullstellensuche der "einzige" Ansatz sei. Aber wie den Formulierungen eines beträchtlichen Teils (nämlich 6 Stück) der aufgeführten Verfahren zu entnehmen ist, handelt es sich bei ihnen um spezielle Formen der Nullstellensuche (im n-Dimensionalen). Und dann gebietet es doch die Vollständigkeit, die Nullstellensuche selbst auch zu verlinken, alldieweil dort auch durchaus korrekte, allgemeine Betrachtungen vorgestellt werden. - Mit der MKQ habe ich weniger Probleme, die wollte ich lediglich zur Vervollständigung und Erläuterung interner Mechanismen ergänzen. --PeterFrankfurt 22:58, 26. Aug. 2007 (CEST)