Diskussion:Logarithmische Normalverteilung

Einkommensverteilung

Meiner Meinung nach ist die Teilbegründung, warum Einkommen lognormalverteilt seien, falsch. Es wird behauptet, durch prozentuale Einkommenserhöhungen, 'bleiben kleine Einkommen unten, während die großen nach oben wegdriften'. Dies erweckt den Eindruck, dass z.B. aus einer ursprünglich symmetrischen Verteilung durch eine prozentuale Eröhung eine linkssteile (rechtsschiefe) Verteilung entsteht. Das ist aber falsch. Die Schiefe der Verteilung ändert sich nicht, lediglich die Varianz (Streuung) vergrößert sich. Auch die Schiefe einer schon rechtsschiefen Verteilung, wie der Lognormalverteilung bleibt erhalten! Skotarzik 15:08, 1. Jun 2006 (CEST)

Eine schöne Grafik wäre angesagt!--Philipendula 00:55, 20. Mai 2004 (CEST)

Einkommen

Ich fürchte, Einkommen sind eher Pareto-verteilt. -- Weialawaga 21:51, 20. Mai 2004 (CEST)

Ich wette (falls ich verliere, mache ich freiwillig die Dreiecksverteilung), es gibt auch Einkommensverteilungen, die lognormalverteilt sind. Man kann halt das Prinzip der multiplikativen Struktur damit am anschaulichsten erklären, weil jeder weiß, dass Lohnerhöhungen prozentual gerechnet werden.--Philipendula 22:37, 20. Mai 2004 (CEST)

Der Plural überrascht mich: Einkommensverteilung verstehe ich als Singular, nämlich als die Verteilung in dem einen Kollektiv, für das immer noch das allermeiste statistische Material produziert wird, als da wäre die Bevölkerung eines Landes. Prozentuale Fortschreibung scheint mir eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung: sie wäre auch mit einer Log-Dreiecks-Verteilung kompatibel.

Mit dem Plural meinte ich Verteilungen in verschiedenen Ländern. Denk Dir halt ein besseres Beispiel aus. --Philipendula 23:38, 20. Mai 2004 (CEST)

Das ist natürlich ungleich schwieriger, als nur zu kritisieren ... ;-) Weialawaga 23:45, 20. Mai 2004 (CEST)

Ach!! Selber ;-) --Philipendula 23:48, 20. Mai 2004 (CEST)

Die prozentuale Erhöhung erscheint mir weniger plausibel als der Umstand, daß niedriger bezahlte Jobs einfach die Hauptmasse darstellen, super bezahlte Jobs mit steigender Dotierung immer seltener werden, aber - siehe modernes Managerunwesen - nach oben nahezu offen geworden sind. Man sollte in diesem Zusammenhang die Provisionen aus dem Mannesmann-Transfer tunlichst gar nicht erwähnen.

Gleichzeitig sind Jobs mit weniger Einkommen als 0,00 nicht häufig, daher hält bislang die Nullgrenze. Alles in allem ein heißer Tip für linkssteile, unimodulare Verteilungen und eine Erklärung, die sich nicht den Widerspruch gefallen lassen muß, daß besonders die Politik häufig Niedriglohnbezieher bei Steueränderungen begünstigt und Bezieher hoher Einkommen tendenziell "benachteilgt".

Welcher Verteilung Einkommen folgen, kann letztlich niemand mit Gewissheit sagen. Fest steht nur, daß die ganz geringen Einkommen selten sind, eher kleine Einkommen die Hauptmasse darstellen und die Großverdiener mit wachsendem Einkommen immer seltener werden. Dies führt zu einem Kurvenverlauf einer eingipfeligen Verteilung mit dem häufigsten Wert bei den eher kleinen Einkommen. Sowohl die Pareto-Verteilung als auch die Lognormalverteilung haben in den meisten Fällen eine solche Form. Einmal wird die Pareto-Verteilung besser "passen", ein andermal die Lognormalverteilung. Es gibt m.W. keine Methode, mit welcher bewiesen werden könnte, daß irgendeine empirische Häufigkeitstabelle irgendeiner theoretischen Verteilung folgt. Man testet vielmehr die sogenannte "Goodness-of-Fit" (Paßgenauigkeit) unter der Hypothese, daß eine bestimmte Verteilung vorliegt, und wenn der Test nicht signifikant ist, sagt man, alle Abweichungen seien durch Zufall erklärbar und man verwerfe deshalb die Hypothese nicht. Solange man sagen muss, man könne mit einer Annahme leben, ist man von einem Beweis weit entfernt. Nachdem ich mir gerade angesehen habe, was Philipendula auf dem Gebiet der mathematischen Statistik für Wikipedia leistet(e), ist mir, als hätte ich jetzt Wasser in die Donau gegossen... 27.2.2005 21:06 80.120.159.102

Nun, ich überlege schon dauernd, ob von mir erwartet wurde, auf die obigen Erläuterungen zu antworten :). Die Interpretation der Einkommensverteilung als "prozentuale Entwicklung" ist halt ein volkwirtschaftlicher Modellansatz, der die Einkommensverteilung als dynamisches System begreift. Dagegen ist die Erkenntnis über die aktuelle Verteilung eher eine Momentaufnahme, die auf eine ursächliche Analyse verzichtet. Beide Ansätze sind wohl erwägenswert, je nach Geschmack und Intention. Ich hätte ja mal gern die Hypothese über die Lognormalverteilung von Einkommen getestet (man sieht weiter oben, dass es da Differenzen in der Auffassung gegeben hat), habe aber keine Daten dazu (resp. bin zu faul, welche an Land zu ziehen). Zum allgemeinen Vorgehen bei Hypothesentests habe ich nicht viel beigetragen, diese Wiese war schon abgegrast. Allerdings könnte das Gebiet mal eine Straffung und Systematisierung vertragen. Gruß--Philipendula 21:21, 27. Feb 2005 (CET)

Ja, bei den Tests von Hypothesen überschätzt man oft die Aussagekraft der Tests. Da sollte mehr Wissenschaftstheorie vorab vermittelt werden (Sir K.Popper z.B.). Dann die Fehler erster und zweiter Art ... ein Riesenchaos in diversen Köpfen. Oder die komparative Teststärke von Tests: Nicht falsch, aber zur möglichst vorsichtigen Verwendung bestimmt. Zur Einkommensverteilung: Not sufficient data available :-)  : Ich habe leider auch keine Daten drüber, vielleicht das Statistische Bundesamt oder eine andere Statistikzentrale ? 28.2.05 00:21 Gruß 80.120.159.102

Bildunterschrift der Dichtefunktion

Unter dem Bild der Dichtefunktion steht $\mu =0$ was meiner Meinung nach nicht stimmen kann. Die Verteilung beginnt ja erst bei 0. Wie so schön im Srtikel steht: der Mittelwert ist der Schwerpunkt. Der Schwerpunkt liegt doch aber sicher nicht bei 0, oder irr ich mich jetzt da komplett?

Das ist alles hier etwas unschön definiert, der Schwerpunkt ist bereits logarithmiert $\mu =0$ bedeutet letztendlich, daß der Schwerpunkt bei 1 liegt. Das ist zugegebenermaßen ziemlich verwirrend und macht den Artikel für Laien recht unbrauchbar. Ich arbeite durchaus oft mit logarithmischen Normalverteilungen, aber diese Definition ist mir bislang nicht untergekommen. --Jogy 15:12, 5. Okt 2006 (CEST)

Stelle mir gerade die gleiche Frage: Wenn ich µ=0 setze, wie in der Bildunterschrift des Graphen der Dichtefunktionen angegeben, erhalte ich aber nicht die dargestellten Kurven? Sind die nicht mit µ=1 berechnet worden? Oder schmeiße ich gerade was durcheinander? Danke für eine Erklärung. Gruß, Kas. 12.09.2007

Ok - Meinungen zählen nicht in der Mathematik. $\mu =0$ ist richtig und sollte wieder unter den Graphen - wer es anzweifelt sollte die Graphen selbst erzeugen und nicht vermuten ...

Die Verwirrung kommt wohl daher, dass $\mu$ und $\sigma ^{2}$ Mittelwert und Varianz von $\ln(X)$ sind, aber eben nicht Erwartungswert und Varianz der Log-Normalverteilung selbst. Vielleicht kann jemand dass bei der Beschreibung der Parameter hervorheben. -- 79.255.152.85 12:42, 4. Aug. 2012 (CEST)

Die Verwirrung kommt vielleicht auch daher, dass die Beschriftung der Axen fehlt. Auf der x-Achse ist offensichtlich ln(x) und nicht x dargestellt. (nicht signierter Beitrag von 193.175.53.21 (Diskussion) 16:29, 15. Dez. 2015 (CET))

Nein, auf der x-Achse ist schon x dargestellt. Das sieht man an den gleichmäßigen Abstanden, außerdem wären dann doch die Dichten gaußsche Glockenkurven. -- HilberTraum (d, m) 17:19, 15. Dez. 2015 (CET)

Das stimmt natürlich, sorry - mein Fehler. Die Erklärung von Jogy sagt schon alles. \mu ist hier eben nicht der Mittelwert der Lognormalverteilung, dass ist wirklich irreführend.

Bildunterschrift der Dichtefunktion

µ=1 wäre richtig! Sollte unbedingt geändert werden! Gruß Ronald 25.07.08

µ=0 ist richtig! µ entspricht nicht dem Mittelwert der Lognormalverteilung!

Dichtefunktion einheitenbehafteter Größen

In der Formel der Dichtefunktion tritt der Term $\ln(x)-\mu$ auf. Wie muss dieser Term verstanden werden, wenn x eine einheitenbehaftete Größe ist? Eine andere Definition der logarithmischen Normalverteilung verwendet den Ausdruck $\ln(x)-\ln(\mu )=\ln(x/\mu )$, der auch für einheitenbehaftete Größen definiert ist. --146.107.3.4 13:30, 20. Aug. 2008 (CEST)

Im Übrigen sind in der Grafik Dichtefunktion der Lognormalverteilung Graphen meiner Definition gezeichnet. Die Maxima liegen für kleine sigma bei my und nicht bei exp(my). --146.107.3.4 12:53, 22. Aug. 2008 (CEST)

Im Nenner der Dichtefunktion steht ein x neben dem sigma. Das x gehört dort aber nicht hin, also ohne x, nur sigma. (nicht signierter Beitrag von 213.146.112.18 (Diskussion) 10:07, 9. Dez. 2011 (CET))

Beziehung zur Normalverteilung

In diesem Abschnitt wird in der dortigen Gleichung etwas mit ...E... und mit ....Var... bezeichnet. Ich denke gemeint ist der Erwartungswert und die Varianz. Jetzt wäre es vielleicht noch nett, wenn man ein Argument für die beiden Operatoren findet! Vermutlich bezieht sich der Erwartungswert und die Varianz auf Y; weiß es leider nicht besser, da ich die Formel nicht kenne.

mue für bestimmten Erwartungswert

Die Formel zum Berechnen von mue für einen bestimmten Erwartungswert scheint falsch zu sein. In der Matlabdoku ist angegeben: $\mu =\ln(E^{2}/sqrt(Var+E^{2})$. Mit der Formel erhalte ich auch den richtigen Erwartungswert, mit der jetzigen Formel im Wikipedia ($\mu =\ln(E)-\sigma ^{2}/2$) nicht. Kann man das ändern? 21.11.2008

Da bin ich auch gerade drüber gestolpert. Aber es ist schon korrekt im Artikel ist mit $\sigma$ nicht die gewünschte Varianz gemeint, sondern der Parameter aus der Verteilung man muss also erst die Parameter in die Gleichung für $\sigma$ eingeben und dann daraus $\mu$ berechnen. Mit den in der Matlabdoku gegebenen Formal kann man $\mu$ direkt aus den Parametern errechnen. Da die hier angegebene Form zu Verwirrung führt sollte man das tatsächlich ändern -- 141.2.247.194 14:53, 24. Mär. 2009 (CET)

Anwendungen und Einkommen...

Im Artikel steht: "Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund ist, dass es einfach viel weniger bestdotierte Positionen gibt, die Hauptmasse sind Jobs mit mehr oder weniger geringem Einkommen [...]"

Das ist sehr irreführend. A priori ist es doch so, dass Einkommen immer einen Wert größer Null haben. Daher können diese garnicht normal-verteilt sein, da die Normalverteilung auch negative Werte annimmt, insbesondere auch beliebig kleine. Deshalb ist diese relativ ungeeignet. Ganz allgemein benutzt man die Lognormalverteilung, wenn man es mit Verteilungen zu tun hat, welche nur nicht-negative Werte annehmen. Außerdem benutzt man ja Normalverteilungen immer dann, wenn man es mit ein sehr großen Zahl von zufällig verteilten Werten zu tuen hat, siehe auch Zentraler Grenzwertsatz. --87.78.71.183 00:46, 28. Sep. 2009 (CEST)

Verteilungsfunktion

In der Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung kommt plötzlich ein t vor und es wird nach dt integriert. Müsste es nicht auch x und dx heissen, wie bei der Dichtefunktion? (nicht signierter Beitrag von 77.57.165.186 (Diskussion) 21:51, 20. Jan. 2011 (CET))

Operativ funktionierend?

Was heißt denn "operativ funktionierend" auf Deutsch? (nicht signierter Beitrag von 92.224.157.59 (Diskussion) 14:04, 21. Dez. 2013 (CET))

Quelle Zweidimensionale Log-Normalverteilung

Gibt es für die bivariante Log-Normalverteilung auch eine Quelle? Insbesondere kommt in der Formel des transformierten Korrelationskoeffizienten der Parameter N vor, der in diesem Zusammenhang nicht beschrieben wird. Würde mcih interessieren was das ist... (nicht signierter Beitrag von 129.217.187.71 (Diskussion) 13:17, 5. Aug. 2015 (CEST))

Hm, das ist dort $\rho _{N}$ also $\rho$ mit Index $N$. Damit könnte die Korrelation von $\log X$ und $\log Y$ gemeint sein. Eine Quelle wäre wirklich toll. -- HilberTraum (d, m) 18:12, 5. Aug. 2015 (CEST)

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Im Artikel steht: "In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Schadensanzahl häufig mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert, die der Poisson-Verteilung, der Negativ-Binomialverteilung oder der logarithmischen Verteilung genügen." Folgt man dem Link zum Artikel über die logarithmische Verteilung, so steht dort: "Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt." Dies ist irreführend. Falls die logarithmische Verteilung genannt wird, um auf den Zusammenhang zwischen zusammengesetzter Poisson-Verteilung, logarithmischer Verteilung und negativer Binomial-Verteilung hinzuweisen, sollte dies meiner Meinung nach anders dargestellt werden. (nicht signierter Beitrag von Diamond-Warrior (Diskussion | Beiträge) 20:51, 12. Okt. 2016 (CEST))

Ja, hier geht’s ja eh nur um die Log-Normalverteilung. Ich hab’s einfach mal rausgenommen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:28, 12. Okt. 2016 (CEST)

Parametrierung der Dichtefunktion

Wäre es nicht von Interesse die Dichtefunktion direkt in Abhängigkeit von Erwartungswert und Varianz zu parametrieren?

${\begin{aligned}f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{2}\ln \left(1-{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\mu }}{\sqrt {1-{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1-{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right)}}\right)\end{aligned}}$

mit

${\begin{aligned}\mu &=\mathrm {E} \{X\}=\int _{0}^{\infty }f(x)xdx\\\sigma ^{2}&=\mathrm {Var} \{X\}=\int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}dx\end{aligned}}$

--Funkmich008 (Diskussion) 14:21, 7. Feb. 2022 (CET)

Erzeugung

"Wenn <math>X</math> log-normalverteilt ist, dann ist auch <math>Y = a X</math> log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern <math>\ln(a)+\mu</math> und <math>\sigma</math> respektive <math>a\mu^*</math> und <math> \sigma^*</math>."

Kann man das auch verständlich ausdrücken? --159.168.7.147 15:08, 10. Apr. 2024 (CEST)