Diskussion:Lokalisierung (Algebra)

Aus dem alten Artikel "Quotientenring":

Die Aufnahme zusätzlicher Einheiten zu einem nichtkommutativen Ring ist möglich; die Voraussetzung, die in diesem Fall der Nichtnullteilereigenschaft entspricht (Öre-Bedingung), ist jedoch ziemlich kompliziert.

Kopiert von --Gunther 12:35, 14. Mär 2005 (CET)

Keine Lokalisierung sondern (allgemeine) Quotientenringe

Was in diesem Artikel "Lokalisierung" genannt wird hat sehr wenig mit der tatsächlichen Lokalisierung zu tun! Lediglich die Lokalisierung nach einem Primideal heißt tatsächlich Lokalisierung, weil der dabei entstehende Quotientenring ein (quasi)lokaler Ring ist. Alles andere beschreibt weitestgehend die Bildung von Quotientenringen. Das bedarf einer gründlichen Überarbeitung und Richtigstellung! --RP 12:59, 04. Mär 2008

Quotientenring ist eine veraltete Bezeichnung, Lokalisierung bezeichnet den allgemeinen Fall (z.B. Bosch, Algebra).--80.136.143.92 16:30, 4. Mär. 2008 (CET)

Was heisst hier eigentlich "veraltet"? Lokalisierung hat eine ganz bestimmte Bedeutung heisst aus gutem Grund so. Die Bildung von (allgemeinen) Quotientenringen ist allgemeiner als Lokalisierung, denn bei der Lokalisierung erhält man immer einen (quasi)lokalen Ring (wenn man sich der Einfachheit auf Ringe beschränkt), Quotientenringe sind aber im allgemeinen nicht (quasi)lokal. Hier werden zwei verschiedene Begriffe vermischt und dass es Autoren gibt, die das nicht unterscheiden wollen oder können ist kein Grund, deren schlampige Begriffsvermischung zu übernehmen und damit auch noch zu fördern! --RP 19:44, 04. Mär 2008

Weil du Fettschrift verwendest, hast du Recht und nicht ein anerkannter Algebraiker wie Siegfried Bosch? Spiel alleine weiter.--80.136.128.237 12:19, 5. Mär. 2008 (CET)

Bosch ist kein unfehlbarer Algebra-Papst. Ich habe nicht Recht, weil ich Fettschrift verwende, sondern weil sich dies in Standardwerken findet wie

P.M. Cohn: Algebra, Vol. 2

G. Eisenreich: Lexikon der Algebra

Th.W. Hungerford: Algebra

F. Kasch: Moduln und Ringe

M.D. Larsen/P.J. McCarthy: Multiplicative Theory of Ideals

S. MacLane/G. Birkhoff: Algebra

D.G. Northcott: Lessons on rings, modules and multiplicities

Auch in

N. Bourbaki: Commutative Algebra

(der bei Wikipedia so hoch gehalten wird) und anderen findet sich der Begriff "Lokalisierung" (engl.: "localization") als Überschrift und bezieht sich auf lokale Bruchringe, die dort ausdrücklich so genannt werden. Und bevor du hier das Märchen anstimmst, das alles wäre längst veraltet: Neuere Bücher in denen genau das Selbe steht sind

M. Artin: Algebra, Birkhäuser 1993

M. Brodmann: Algebraische Geometrie, Birkhäuser 1989

R. Brüske/F. Ischebeck/F. Vogel: Kommutative Algebra, BI 1989

J.C. Jantzen/J. Schwermer: Algebra, Springer 2006

E. Kunz: Algebra, Vieweg 1991

S. Lang: Algebra, rev. 3^rd ed., (Addison-Wesley 1993) Springer 2002

F. Lorenz: Einführung in die Algebra I, Spektrum 1996

G. Scheja/U. Storch:: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, B.G. Teubner 1988

J.-P. Serre: Local Algebra, Springer 2000

R.Y.. Sharp: Steps in Commutative Algebra, Cambridge Univ. Press 1990

und das sind längst nicht alle. So allein stehe ich mit meiner Meinung wohl doch nicht. --RP 17:16, 07. Mär 2008

Sowohl Bourbaki als auch Lang behandeln unter der Überschrift "localization" den allgemeinen Fall, der Spezialfall heißt "local ring at p". Die Mühe, die weiteren angeblichen Referenzen zu überprüfen, habe ich mir erspart. Moderne Standardwerke zur kommutativen Algebra sind Matsumura und Eisenbud, beide bezeichnen das allgemeine Konzept explizit als localiz(s)ation.--80.136.154.52 16:24, 10. Mär. 2008 (CET)

Du kannst wohl nicht lesen: Lang definiert in der Springer-Auflage von 2002 (wie alle anderen oben Genannten ausser Bourbaki) "localization", und zwar genau so wie ich es sage! Du solltest nicht nur oberflächlich die ersten allgemeinen Sachen unter der Überschrift lesen, sondern dir das mal richtig durchlesen. Bourbaki habe ich bereits erklärt und was ich dazu sage stimmt mit Serre überein, der sich in dem von mir genannten Buch ausdrücklich auf Bourbaki bezieht, und als Mitautor von Bourbaki wird er das ja wohl besser wissen als irgend jemand sonst! Dass du dich auf ein paar wenige Autoren beschränken und das nicht nachprüfen willst, zeigt, dass es dir an Argumenten fehlt. Die wenigen Bücher, auf die du dich berufst, sind nicht das Maß für die Algebraiker der Welt. Ausserdem kommt es nicht darauf an, ob es auch andere Autoren gibt, die den allgemeinen Fall auch als "Lokalisierung" bezeichnen: Dass der Artikel so nicht stehen gelassen werden kann ergibt sich allein schon aus der Tatsache, dass es seit Jahrzehnten zwei unterschiedliche Begriffe sind, die man hier vermischt. --RP 18:07, 10. Mär 2008

Die Lang-Auflage auf meinem Regal definiert nur "local ring at p". Spaßeshalber habe ich noch bei Cohn, Basic Algebra, nachgelesen, nach Corollary 10.3.3 schreibt er: "This result shows that the localization of a local ring need not be local", im Index steht auch bei R_S "localization". Dass ich überhaupt etwas gesagt habe, liegt vor allem daran, dass "Quotientenring" in meinem Wortschatz als Synonym für Restklassenring verankert ist, und ich denke, dass das in der Tat eine Entwicklung der letzten Jahre ist, nämlich dass Quotienten von Objekten nach Äquivalenzrelationen wichtiger sind als Quotienten von Elementen. Leider kann die deutsche Sprache den Unterschied zwischen "quotient ring" und "ring of quotients" nicht wiedergeben, da bleibt nur "Bruchring".--80.136.154.52 23:07, 10. Mär. 2008 (CET)

Okay, es tut mir leid, ich habe mich bezüglich Lang ausnahmsweise vertan, das mit dem nicht lesen können nehme ich zurück und bitte um Entschuldigung. Allerdings definiert Lang, wie Bourbaki und (fast) all die anderen von mir Genannten, den allgemeinen Fall als "quotientring of $A$ by $S$, also known as the ring of fractions of $A$ by $S$", von "localization" ist da keine Rede. Im Buch von Cohn (Algebra, Vol. 2) heißt es zum allgemeinen Fall: "This ring $R_{S}$ is called the ring of fractions with dominators in $S$.", und bezüglich einem Primideal ${\mathfrak {P}}$: "This ring $R_{\mathfrak {P}}$ is also called the local ring of $R$ at ${\mathfrak {P}}$, and the process of forming $R_{\mathfrak {P}}$ is called localization." Bei den anderen genannten Autoren ist meist die Rede davon, dass man bei $R_{\mathfrak {P}}$ von "Lokalisierung"/"localization" spricht oder dass man dies so nennt bzw. so definiert. Man nennt auch noch eine Eigenschaft "lokal"/"locally" (siehe z.B. bei Serre, Bourbaki oder besonders bei Larsen/McCarthy), wenn für jedes Primideal $R_{\mathfrak {P}}$ der lokalisierte Ring $R_{\mathfrak {P}}$ diese Eigenschaft hat (meistens ist dies bereits gegeben, wenn dies für alle maximalem Ideale gilt). Oft kann man aus einer lokalen Eigenschaft auch auf eine globale Eigenschaft des ursprünglichen Ringes schließen ("Lokal-Global-Prinzip"), was in der Idealtheorie von nicht unerheblicher Bedeutung ist.

Es wäre tatsächlich am sinnvollsten von "Bruchring" zu sprechen, zumal dies von deutschsprachigen Autoren auch öfter gemacht wird. Ich schlage vor, den Artikel in "Bruchring" unzubenennen und auch im Artikel an Stelle von "Lokalisierung" - natürlich ausser der Lokalisierung nach einem Primideal, die als solche als Unterabschnitt behandelt werden sollte - von "Bruchring" zu sprechen. Ausserdem müsste ein deutlicher Hinweis enthalten sein, dass es auch Autoren gibt, die an Stelle von "Bruchring" allgemein von "Lokalisierung" sprechen. Ebenso sollte eine Weiterleitung von "Lokalisierung" auf diese Seite angelegt werden. Damit müssten eigentlich alle leben können.

Ach ja, es wäre sinnvoll (weil allgemeiner), wenn bei der Bildung von Brüchen die Äquivalenzrelation so definiert wird wie bei der Bildung von Brüchen von einem kommutativen Monoid (N. Bourbaki: Algebra I, Chapter I., § 2.4): Dann funktioniert das nämlich auch schon für kommutative Halbringe (mit kommutativer Addition und Multiplikation), da keine Subtraktion nötig ist. --RP 13:08, 11. Mär 2008

Die Mehrdeutigkeit zieht sich durch die ganze Theorie: "Lokal" bei Eigenschaften bezieht sich in der algebraischen Geometrie häufig auf eine offene Überdeckung, nicht auf die lokalen Ringe, z.B. ist "lokal endlicher Typ" nicht als Bedingung an die lokalen Ringe formulierbar. Andererseits impliziert "lokal faktoriell" nicht, dass es eine offene Überdeckung durch Spektren faktorieller Ringe gibt (Beispiel: elliptische Kurven).--80.136.137.70 14:59, 11. Mär. 2008 (CET)

Diese Mehrdeutigkeit liegt wohl daran, dass bei der algebraischen Geometrie verschiedene Teilgebiete der Mathematik zusammen kommen wie hier die Topologie und die Algebra. "Lokal" ist hier als algebraischer Begriff zu verstehen und bedeutet, dass ein bestimmter Ring (oder allgemeiner ein entsprechendes Idealsystem einer allgebraischen Struktur) eine gewisse Eigenschaft hat, wenn er lokal ist. "Lokal" in der Topologie wiederum bedeutet in der Regel, dass ein Topologischer Raum eine gewisse Eigenschaft hat, wenn er diese Eigenschaft in einer Umgebung eines jeden Punktes besitzt. Man sollte daher die verwendeten Begriffe immer klar und eindeutig definieren, dann dürfte es damit auch keine Probleme geben. --RP 17:35, 12. Mär 2008

Ich habe die o. g. Liste neuerer Bücher nochmal stichprobenartig überprüft. Artin behandelt nur die Lokalisierung am Primideal und die Bildung des Quotientenkörpers, Brodmann nur die Lokalisierung am Primideal. Beide Werke sind also als Referenz ungeeignet. Zu Lang wurde schon gesagt, dass er den allgemeinen Fall unter der Überschrift Localization behandelt. Dasselbe trifft auf Serre zu. Wie bereits erwähnt bezeichnen auch die neueren Standardwerke von Eisenbud und Bosch den allgemeinen Fall als Lokalisierung. Dasselbe gilt für den englischen und den französischen Artikel. Dort fand auch überhaupt keine Diskussion statt. Man kann ja darauf hinweisen, dass ältere Autoren den Begriff nur für den Spezialfall verwenden. Wenn es keine Einwände gibt, werde ich den Überarbeitungsbaustein also entfernen. --Zwinker 17:28, 7. Sep. 2009 (CEST)

Da muss ich widersprechen: Zum einen hast du deine Überprüfung wohl nicht nicht sehr sorgfältig betrieben, denn Brodmann behandelt sehr wohl den allgemeinen Fall, nämlich einen Abschnitt vorher, bevor er zu lokalen Ringen und damit die Lokalisierung als Spezialfall der allgemeinen "Nenneraufnahme", wie er das nennt, kommt. Als Beispiel für eine "Nenneraufnahme" behandelt er als Beispiel u.a. den klassischen Fall der Bildung des Quotientenkörpers von einem Integritätsbereich/-ring. Die Namen "Integritätsbereich"/"Integritätsring" und "Quotientenkörper" sind übrigens angelehnt an $\mathbb {Z}$ (nämlich "integer" von lateinisch "ganz") und $\mathbb {Q}$ ("quotient" von lateinisch "Wieviel" = "Bruch"), lokal ist da gar nichts. Artin nennt die Bildung eines Quotientenkörpers auch nicht "Lokalisierung". Zu Lang und Serre: Es ist nicht die Überschrift, sondern die Definition entscheidend, denn wenn z.B. in einem Geografiebuch jemand unter der Überschrift "Deutschland" erst allgemein etwas über Europa schreibt – von dem Deutschland bekanntlich ein Teil ist – ehe er zu Deutschland kommt, käme ja auch niemand auf die Idee, Europa als "Deutschland" und Europäer allgemein als "Deutsche" zu bezeichnen! Das wäre eine unsinnige Verallgemeinerung und mit der Lokalisierung ist das hier auch so. Bosch und Eisenbud sehe ich nicht unbedingt als Standardwerke, sondern als Bücher unter vielen – aber das kann man natürlich auch anders sehen. Was den englischen und den französischen Artikel betrifft, so sind die nicht unbedingt Maßstäbe für Qualität und dass dort keine Diskussion stattfand, ist entsprechend nichtssagend. Zur dürftigen französischen Seite gab es nie eine Frage geschweige denn eine Diskussion, und auf der englischen Diskussionsseite wurde auch keine einzige Diskussion geführt, obwohl Fragen aufgeworfen wurden, u.a. unter "Dyadic and etymology" vom 18. Januar 2007 die Frage: "Concerning etymology, does the word come from turning rings into local rings?" – keine Antwort, die richtige Antwort wäre: "Yes", so heißt nämlich nur die Quotientenbildung nach Primidealen, so dass die dabei entstehenden Quotientenringe immer lokal sind.

Tatsache bleibt, dass die Bezeichnung "Lokalisierung" für allgemeine Quotientenringe, also auch solche die nicht unbedingt lokal sind, keine sinnvolle Verallgemeinerung dieses Begriffes ist. Wenn es trotzdem Autoren gibt, die unüberlegt aus Unwissenheit über die begrifflichen Unterschiede und allgemeinen Zusammenhänge und/oder aus Mangel an der nötigen Sorgfalt diese Verallgemeinerung in ihren Büchern machen, dann muss man dem bei Wikipedia deshalb nicht folgen und solche – grob gesagt – schlammpige Bezeichnungsweisen auch noch fördern und etablieren! Es gibt auch so schon genug mißverständliche Bezeichnungen, deshalb muss man dem nicht auch noch Vorschub leisten und noch mehr Verwirrung stiften. Es ist nicht einzusehen, warum man verschiedene Begriffe verwischen soll um sich so die Möglichkeit einer Differenzierung zu nehmen, die in der Idealtheorie seit Jahrzehnten üblicher Standard ist! --RP/RPI 12:49, 9. Sep. 2009 (CEST)

Ich finde die Begriffswahl auch nicht sinnvoll. Aber deine oder meine Meinung sind nunmal nicht enzyklopädisch relevant. Es gibt viele Beispiele unsinnvoller Begriffswahlen in der Mathematik. Es ist nicht die Aufgabe der Wikipedia sich (passiv) gegen deren Etablierung einzusetzen. Desweiteren bezweifle ich sehr, dass genannte Autoren sich nicht bewusst waren, dass das Ergebnis einer Lokalisierung nicht lokal zu sein braucht. --Zwinker 17:27, 9. Sep. 2009 (CEST)

Und nochmal zur Literatur: Es ist richtig, dass Lang und Serre nicht den Ring als "Lokalisierung von R an S" bezeichnet, wie dies hier im Artikel der Fall ist. Sie beschreiben allerdings das allgemeine Verfahren unter der Überschrift Lokalisierung. Danach ist die Lokalisierung am Primideal eins von mehreren Beispielen und wird dort auch nicht explizit "Lokalisierung" genannt. Dein Beispiel hinkt also deutlich.

Zum englischen Artikel: Du hast natürlich Recht, dass die englische Wikipedia keinen Wahrheitsanspruch besitzt und auch nicht unbedingt eine verlässliche Quelle ist. Aber der Artikel existiert seit 6 Jahren, wurde von vielen verschiedenen Autoren bearbeitet und wird (in letzter Zeit) etwa 700 mal pro Monat aufgerufen. Ich finde, dass das schon zeigt, dass auch diese Definition von Lokalisierung nicht ungeläufig ist und in dieser Form in einem Artikel stehen darf. --Zwinker 18:17, 9. Sep. 2009 (CEST)

Es ist irrelevant, ob die Autoren sich das bewusst waren oder nicht, sie verstoßen gegen einen seit Jahrzehnten üblichen Standard. Die Frage ist also, ob man dem alten, noch lang nicht veralteten Standard folgt oder einer keines Wegs allgemein anerkannten neuen Strömung. Ich plädiere dafür, sich hier an den noch immer gebräuchlichen Standard zu halten und nicht an diese unsinnige Strömung. Es gibt keinen rationalen Grund, es anders herum zu machen.

Der Begriff der Lokalisierung ist natürlich nicht ungeläufig, aber gerade dann sollte man ihn in der sinnvolleren Art definieren und die andere Variante im Artikel entsprechend erwähnen: das hatte ich oben schon mal vorgeschlagen (11. März 2008)! Ich habe dort auch Lang wörtlich zitiert, dass er den allgemeinen Fall gerade nicht "localization" nennt, sondern ausdrücklich "quotientring" bzw. "ring of fractions". Nur weil Lang sich nicht klar ausdrückt, was er mit "localization" meint, darf man nicht einfach nach gut dünken unsinnig pauschalieren. Noch einmal: Eine Überschrift ist keine Definition, wenn also (ich habe gerade kein anders passendes Buch zur Hand) Heuser in seinem Funktionalanalysis-Buch im Kapitel "Normierte Räume" im ersten Abschnitt metrische Räume behandelt, dann sind metrische Räume deshalb nicht gleichbedeutend mit normierten Räumen, die erst drei Abschnitte später eingeführt werden! So ist das auch bei Lang: zuerst führt er das allgemeine Prinzip der Quotientenbildung ein, um dann später zum Höhepunkt des Kapitels/Abschnitts den wichtigsten, zentralen Sonderfall der Lokalisierung zu behandeln, der dem Kapitel/Abschnitt wegen seiner Wichtigkeit den Namen ab. Auch Serres Gebrauch von "locally" entspricht dem von mir verteidigten Standard (siehe oben). --RPI 19:58, 9. Sep. 2009 (CEST)

Ich meinte, dass es nicht ungeläufig ist, den Begriff Lokalisierung für den allgemeinen Fall zu verwenden. Noch einmal: WIR entscheiden überhaupt nicht, was sinnvoll definiert ist und was nicht. Jedenfalls bleibt es dabei, dass kein Konsens darüber herrscht, ob der Artikel in Ordnung ist. Daher lasse ich den Baustein und schlage vor, die Diskussion erstmal zu beenden. --Zwinker 20:29, 9. Sep. 2009 (CEST)

Überarbeitung der Definition

Ich habe die Definition überarbeitet. Die kategorientheoretische Definition habe ich nicht entfernt, wohl aber die Bemerkung, dass dies die übliche Definition sei; in der mir bekannten Literatur ist das zum Glück auch nicht der Fall. Selbst im Rowen-Ring Theory I, der auch Lokalisierung in nicht-kommutativen Ringen behandelt, wird mittels Äquivalenzrelationen gearbeitet. Ferner habe ich meine Lieblingsquellen für kommutative Algebra, in denen Lokalisierung behandelt wird, hinzugefügt. Lokalisierung in nicht-kommutativen Ringen verdient meiner Meinung nach einen eigenen Artikel. Wenn sich hier kein Widerspruch regt, werde ich demnächst den Qualitätsbaustein entfernen. --FerdiBf 20:41, 21. Okt. 2009 (CEST)

Ich kann mich da nur wiederholen: Der allgemeine Begriff ist der der Quotientenbildung (die Verallgemeinerung der Bildung des Quotientenkörpers $\mathbb {Q}$ der rationalen/gebrochenen Zahlen aus dem Intergritätsring/„Ganzheits“ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen) und die Lokalisierung ist nur ein Spezialfall von dieser (siehe Diskussion oben). Abgesehen davon sollte die Defintion möglichst allgemein sein, so dass man zwar den nichtkommutativen Fall aussen vor lassen sollte, aber man kann (und sollte) die Quotientenbildung ja auch schon für kommutative (multiplikative) Monoide definieren und dann für Halbringe bzw. Ringe mit 1 spezialisieren. Es ginge auch noch allgemeiner, denn die 1 braucht man eigentlich nur um sicherzustellen, dass die Nennermenge $S\neq \emptyset$ ist.

Die Kategorientheorie ist (nicht nur mir) nicht so gut bekannt und auf einer höheren Abstraktionsstufe als die übliche Algebra, es ist daher zweckmäßiger (weil für Leser einfacher zu verstehen), sich auf eine Bemerkung zur Kategorientheorie zu beschränken und die übliche algebraische Defintion zu wählen. Es macht nämlich keinen Sinn, wenn ein Leser sich erst großartig in Kategorientheorie einlesen muss, wenn er diesen Artikel hier verstehen will. --RPI 17:30, 26. Okt. 2009 (CET)

Obige Diskussion scheint mir ziemlich festgefahren und letztendlich eine solche um Worte zu sein, weshalb ich diese eigentlich auch nicht fortführen möchte. Manche Begriffe machen halt eine Entwicklung durch oder werden in der Literatur uneinheitlich behandelt. Ob reguläre Räume Hausdorffsch sind oder nicht, hängt auch vom Autor ab, ebenso ob C*-Agebren reell sein dürfen oder nicht oder ob der Grad des Nullpolynoms -1, -unendlich und überhaupt nicht definiert ist. Gerade der Begriff der Lokalisierung hat eine bewegte Geschichte hinter sich. Die von Krull eingeführten Stellenringe wurden wohl als local ring bzw. anneau local übersetzt und kehrten als lokale Ringe ins Deutsche zurück. In der Tat wurden die lokalen Ringe in den Anwendungen durch Lokalisierung, das heißt durch Nenneraufnahme der Elemente aus dem Komplement eines Primideals, gewonnen, und dieser Prozess wurde anschließend weiter verallgemeinert. Es ist zumindest unstrittig, dass einige Autoren den Begriff der Lokalisierung so weit wie im Artikel fassen. Genauso unstrittig ist, dass andere Autoren das aufgrund der intendierten Anwendungen enger sehen. Das sollte unbedingt mit in den Artikel aufgenommen werden, um den Leser auf mögliche Begriffsprobleme hinzuweisen und so gegen Missverständinisse zu schützen. Dazu drängt sich der Abschnitt Wortherkunft nahezu auf. Wenn ich dazu komme, werde ich das demnächst tun.

Zur Kategorientheorie: Ich habe den Artikel so geändert, dass der Leser eigentlich rasch auf die algebraisch übliche Definition stoßen sollte. Das ist wohl ganz in Deinem Sinne. Zur Existenz der initialen Objekte muss man diese Konstruktion sowieso durchführen. Meinetwegen können wir die Kategorientheorie hier ganz entfernen und nur als Unterabschnitt weiter hinten erwähnen.

Lokalisierung und Monoide? Ich kenne zwar nur Anwendungen dieses Namens aus der Ringtheorie, aber wenn es da passende Verallgemeinerungen gibt, und die kann ich mir zumindest vorstellen (siehe Grothendieckgruppe), so schlage ich einen neuen Abschnitt für diese Verallgemeinerungen vor.

Es gibt nichts Gutes, außer man tut es.--FerdiBf 20:58, 26. Okt. 2009 (CET)

Das Problem ist, dass ich das (und anderes) ständig vor mir herschiebe, weil viel anderes nach Überarbeitung „schreien“ und ich eigentlich auch nicht die Zeit dafür habe. Demnächst, wenn es sich ergibt, werde ich das mal in Angriff nehmen.

Zur Quotientenbildung bei Halbgruppen:

Ist $(S,\cdot )$ eine multiplikative, nichttriviale kommutative Halbgruppe (enthält mehr als ein Element) und $(U,\cdot )$ eine Unterhalbgruppe von $(S,\cdot )$ (insbesondere ist dann $U\neq \emptyset$), die kein absorbierendes Element $0\in S$ enthält ($(S,\cdot )$ könnte ja ein solches enthalten), so definiert man folgende Äquivalenzrelation auf $S\times U\colon$

$(s,u)\cong (t,v)\;:\!\iff \exists w\in U\colon \,s\cdot v\cdot w=t\cdot u\cdot w$   für alle $(s,u),(t,v)\in S\times U.$

Die Äquivalenzklasse, die $(s,u)\in S\times U$ enthält, bezeichnet man wie üblich mit ${\frac {s}{u}}$ und $U^{-1}S:=\left.\left\{{\frac {s}{u}}\,\right|(s,u)\in S\times U\right\}.$ Mit der durch

${\frac {s}{u}}\cdot {\frac {t}{v}}:={\frac {s\cdot t}{u\cdot v}}$   für alle ${\frac {s}{u}},{\frac {t}{v}}\in U^{-1}S$

gegebenen Verknüpfung $\cdot$ auf $U^{-1}S$ ist dann $(U^{-1}S,\cdot )$ die entsprechende Quotientenhalbgruppe (mit einem absorbierenden Element $0\in U$ würde diese trivial, deshalb wurde das oben ausgeschlossen).

Im Fall eines Halbrings oder Rings $(R,+,\cdot )$ macht man genau das gleiche mit der multiplikativen Halbgruppe $(R,\cdot )$ und definiert noch zusätzlich wie üblich durch

${\frac {s}{u}}+{\frac {t}{v}}:={\frac {sv+tu}{uv}}$   für alle ${\frac {s}{u}},{\frac {t}{v}}\in U^{-1}R$

eine Addition und erhält einen entsprechenden Quotientenhalbring bzw. -ring $(U^{-1}R,+,\cdot ).$ --RPI 18:35, 27. Okt. 2009 (CET)

Umbau

Ich habe den Artikel jetzt endlich umgebaut. Die algebraische Konstruktion steht nun an erster Stelle, dann erst kommt die kategorientheoretische. In der Einleitung steht, dass es hier um kommutative Ringe geht (da gehören die Moduln irgendwie dazu, denn sie stellen ein wichtiges Hilfsmitel in der Ringtheorie dar). Im Siehe auch gibt es einen Verweis auf die Ore-Bedingungen für nicht-kommutative Ringe. Ferner gibt es einen Verweis auf die Grothedieck-Gruppe, was eine analoge Konstruktion für kommutative Halbgruppen ist. Die in frühreren Diskussionen angesprochenen Monoide gehören wohl eher dorthin. Ich habe diesen Umbau einfach deshalb ohne weitere Diskussion vorgenommen, weil diese seit über einem Jahr schläft. Sollte sie wieder aufwachen, würde ich das sehr begrüßen. Kommt in der nächsten Woche kein Widerspruch, werde ich den Ü-Baustein entfernen --FerdiBf 11:58, 9. Jan. 2011 (CET)

Wieso wird nur die Lokalisierung eines kommutativen Rings mit 1 nach einem maximalen Ideal erwähnt, obwohl das so auch schon nach einem Primideal geht? Die Maximalität des Primideals wird dabei nicht benötigt, ist also nur ein Spezialfall. --RPI 02:07, 10. Jan. 2011 (CET)

Die Grothedieck-Gruppe ist außerdem nicht so ganz die analoge Konstruktion für kommutative Halbgruppen, denn bei der Lokalisierung wird in der Regel nicht auf dem kartesischen Produkt der Halbgruppe mit sich selbst eine Äquivalenzrelation definiert, sondern auf dem kartesischen Produkt der Halbgruppe mit einer echten Unterhalbgruppe, und das Ergebnis muss keine Gruppe sein, weil nicht jedes Element der Lokalisierung invertierbar ist. Denn seien $U\subseteq S$ wie oben gegeben mit $U\neq S$, dann gibt es ein $s\in S$ für das gilt: $s\notin U$. Also gibt es kein Inverses für ${\frac {s}{u}}\in U^{-1}S$ mit $u\in U$, weil $\left({\frac {s}{u}}\right)^{-1}={\frac {u}{s}}=[(u,s)]$ nicht definiert ist wegen $(u,s)\notin S\times U$. $S$ darf außerdem eine Null (absorbierendes Element) und Nullteiler enthalten. --RPI 18:37, 10. Jan. 2011 (CET)

Aber ist es nicht so, dass die Grothendieck-Gruppe ein Spezialfall der Konstruktion für Halbgruppen ist, indem man jedes Element invertieren will? Da das wohl so ist, gehören die von Dir angeregten Verallgemeinerungen dahin oder, je nach Umfang, sogar in einen eigenen Artikel. Die Lokalisierung für kommutative Ringe verdient wegen ihrer Wichtigkeit in der algebraischen Geometrie sicher einen eigenen Artikel. Schließlich habe ich, wie von Dir angeregt, den Abschnitt Lokalisierung nach einem maximalen Ideal auf Primideale umgeschrieben. Meiner Meinung nach sollte nun alles gut sein. --FerdiBf 20:32, 10. Jan. 2011 (CET)

Ja, die Grothendieck-Gruppe ein Spezialfall. Ein eigener Artikel zur Lokalisierung von Halbgruppen wäre eine Alternative. Weil ich aber in absehbarer Zeit leider immer noch nicht dazu kommen werde, kann man das erst einmal so lassen. Die Bezeichnung „Lokalisierung“ an Stelle von „Quotientenbildung“ finde ich zwar nach wie vor nicht glücklich, aber egal. – Schön, dass du dir die Mühe der Überarbeitung gemacht hast. --RPI 21:43, 11. Jan. 2011 (CET)

Lokalisierung ist ein durchaus nicht unüblicher Begriff für den Inhalt des Artikels, Quotientenbildung kann doch eher mit der Bildung des Quotientringes nach einem Ideal verwechselt werden. Es freut mich, dass wir einen Kompromiss gefunden haben. Der Ü-Baustein wird gleich von mir entfernt.--FerdiBf 22:01, 11. Jan. 2011 (CET)

Lokaler Ring

Gegenwaertig steht im Artikel, dass (nur) bei der Lokalisierung an einem maximalen Ideal ein lokaler Ring entsteht. Die Lokalisierung an jedem Primideal ist jedoch ein lokaler Ring. Ich entferne den Satz erst mal, dann kann man sich noch immer ueberlegen, wo mana m besten erwaehnen sollte, dass ein lokaler Ring entsteht.

-- 141.20.6.76 16:09, 6. Okt. 2011 (CEST)

Ring $\mathbb {Z} _{(2)}$

Könnte bitte jemand diesen Ring $\mathbb {Z} _{(2)}$ aller rationalen Zahlen mit ungeradem Nenner etwas näher ausführen. Danke. (nicht signierter Beitrag von 2.247.251.81 (Diskussion) 17:42, 24. Jan. 2022 (CET))