Diskussion:Luzifer-Rätsel

Allgemeine Fragen

Eine Enzyklopädie gibt Antworten, keine Räsel! Wenn das Rätsel mathematisch relevant ist, sollten z.B. folgende Fragen beantwortet werden:

• Wer hat sich das ausgedacht?
• Wann?
• Warum heißt es Luzifer-Rätsel?

Vielleicht wegen Offenbarung 13:4?--84.72.48.142 17:50, 18. Mär. 2013 (CET)

• Welchen mathematischen Bereich betrifft es?
• Was macht das Räsel enzyklopädisch relevanter als andere mathematische Knobeleien?
• Wie ist die Lösung/Lösungsansatz? Eine Erklärung dazu?

Danke für die Aufklärung. --elya 08:17, 21. Jan 2005 (CET)

Hat sich jemand schon einmal gedanken gemacht, wie viele/welche Lösungen es gibt, wenn man den Zahlenbereich von 1 bis 100 auf vielleicht 1 bis 200 oder gar auf die ganzen natürlichen Zahlen vergrößert? 84.159.242.116 22:05, 6. Aug 2006 (CEST)

Die berechtigte Frage ist durch den inzwischen hinzugefügten Abschnitt Verallgemeinerungen beantwortet.--B. M., CH-Riehen (Diskussion) 11:59, 28. Sep. 2014 (CEST)

+net viele wenn mA nach dem gleichem schema weitermachen würde weüden mehr als 10 glaubisch rauskommen

Fehler im Artikel

Die angegebene Lösung scheint so nicht korrekt bzw. vollständig zu sein. Im zweiten Schritt (Euler: "Das war mir klar") wird geschlussfolgert, dass s wegen der Goldbachschen Vermutung (die im fraglichen Bereich definitiv gilt) keinesfalls gerade sein könnte. Allerdings wird dabei nicht beachtet, dass für die Darstellung von s als Summe zweier ungerader Primzahlen ggf. eine Primzahl > 100 unbedingt benötigt werden könnte (was natürlich hier nicht geht). Es könnte also auch sein, dass eine gerade Zahl hier nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, weil eine Zahl außerhalb des Definitionsbereiches läge. Die betroffenen Zahlen sind (mit der jeweils Darstellung als Summer der kleinstmöglichen Primzahlen):

• 174 = 101 + 73
• 182 = 103 + 79
• 184 = 101 + 83
• 188 = 109 + 79
• 190 = 101 + 89
• 192 = 103 + 89
• 196 = 107 + 89
• 198 = 101 + 97

Würde man zusätzlich fordern, dass die beiden ausgedachten Zahlen notwendigerweise verschieden sein müssen, dann wären auch betroffen:

• 166 = 107 + 59 (da 83 + 83 nicht gelten würde)
• 178 = 107 + 71 (da 89 + 89 nicht gelten würde)
• 194 = 127 + 67 (da 97 + 97 nicht gelten würde)

Man müsste nun für obige Zahlen zusätzlich untersuchen, ob alle Zerlegungen in Summanden und Betrachtung als Faktoren des Gauß bekannten Produktes dazu führen, dass zwischen den beiden Faktoren kein Austausch von Primfaktoren möglich ist, weil dann ein Faktor größer 100 werden würde - d. h. ob Gauß's Produkt hier stets eindeutig zerlegbar ist, weil es nur eine Aufteilung der Primfaktoren davon gibt, so dass man zwei Faktoren < 100 erhält (und somit Gauß bei Nennung des Produktes die Sache sofort klar ist).

Entweder man macht es nun per Brute-Force, indem man nachweist, dass jedes der in Frage kommenden Produkte eine eindeutige Aufteilung der Primfaktoren auf die beiden Faktoren hat oder man braucht halt irgendein gutes Argument (alles was mir einfällt, wird aber ebenfalls relativ kompliziert).

Also liebe Mathematiker, mal bitte drüberschauen und überlegen, wie man hier eine wasserdichte Lösung hinbekommen kann bzw. mir bitte den Fehler in meinen Betrachtungen zeigen.--217.235.43.190 10:11, 7. Mär. 2007 (CET)

Habe die Reihenfolge der Argumente geändert. Jetzt wird Goldbach nur noch für s<55 benutzt.--Hagman 17:08, 7. Mär. 2007 (CET)

Clever gelöst - so klappt es (die einfachste Lösung fällt einem selbst natürlich nie ein).--217.235.43.190 17:26, 7. Mär. 2007 (CET)

Mit der Goldbach-Zerlegung habe ich auch ein Problem: Klar kann man die gerade Summe in zwei Primzahlen zerlegen - aber eben auch in andere zwei Summanden. Warum scheiden z.B. s=12 aus? In der Primfaktor-Zerlegung hätte Gauß bei Kenntnis des Produktes von 35 natürlich gleich die Lösung a=5 und b=7 erkannt. Aber auch das Produkt 20 führt über a=2 und b=10 zur Summe s=12 und das Produkt 20 bleibt über die Primzahlzerlegung 20=2*2*5 "im Rennen" nach der ersten Überlegung von Gauß. Wo ist nur mein Denkfehler? drmschulze1 31.7.2010, 20.05 Uhr

Unterschreibe doch einfach mit --~~~~ und füge Ergänzungsfragen nach Monaten(!) nicht irgendwo mittendrin ein, dann kann man die Übersicht leichter behalten. Zur Frage: Wenn Die Sumem 12 ist, dann kann es sein, dass a=2 und b=10 ist, dass also Euler mit dem Produkt p=20 konfrontiert gewesen wäre und folglich das Rätsel nicht hätte lösen können. Es kann aber auch sein, dass a=5, b=7 und Euler das Produkt p=35 gesehen hätte, in welchem Fall er das Rätsel hätte lösen können. Folglich hätte Gauss vor Eulers Aussage nur sagen können: Kann sein, dass Euler die Zahlen erschließen kann, kann aber auch nicht sein. Gauß hätte sich also nicht sicher sein können, dass Euler die Zahlen nicht kennt. Die tatsächlich von Euler geäußerte Feststellung "Ich kenne die Zahlen nicht", hätte er also nicht mit "Das war mir klar" beantworten können. Also schließen wir, dass Gauß nicht mit s=12 konfrontiert wurde.--Hagman 18:18, 1. Aug. 2010 (CEST)

"s = p + 2, wobei p Primzahl ist (und p < 50): Diese Zahlen erlauben die Zerlegung in die Primzahlen 2 und p." Diese Zeile ist auch falsch. Wähle s = 45 = 3*3*5. Keine 2 unter den Primfaktoren. Was heißt hier eine Zerlegung in die Primzahlen 2 und p? Eine Primfaktorzerlegung? Das kann doch nicht sein, oder?

S ist die Summe! Also s = p + 2 und m = s * 2. Und das wäre eindeutig. In deinem Bsp.: s = 45 = 43 + 2 gillt m = 43 * 2 = 86. Und das kann nicht anders zerlegt werden.

Aber ich hätt auch gern ein Problem. Was ist denn mit: 17 = 1 + 16? 1 * 16 = 2 * 8 = 4 * 4. Aber 10 und 8 sind als Summe nicht möglich. Wär das nicht auch ne Lösung? --Babelfisch42 drüber reden?!? 03:25, 14. Okt. 2007 (CEST)

Die 1 ist explizit ausgeschlossen worden (zwischen 1 und 100 heißt: 2,3,...,99).--Hagman 21:59, 15. Okt. 2007 (CEST)

Das ist mißverständlich. "Zwischen 1 und 100" kann auch heißen {1,...,100}. Zumindest würden viele Leute das so interpretieren. Da es für das Rätsel wesentlich ist, würde ich es genauer formulieren, sonst fällt man nämlich beim Lösungsversuch rein, und das ist schade. 80.218.54.83 14:06, 2. Dez. 2007 (CET)

Warum darf kein Primfaktor größer als 50 sein? Oder ist das Rätsel falsch gestellt und a+b muss auch kleiner 100 und a*b<100 gelten? --f_huer01 18:07, 15. Mai 2010 (CEST)

Wäre ein Primfaktor > 50, so müsste dieser Primfaktor sogar die eine der beiden Zahlen sein und die andere das Produkt geteilt durch diesen Primfaktor. Siehe Abschnitt Lösung, Gauß erste Antwort, Punkt 2. für eine ausführliche Begründung.--Hagman 01:50, 16. Mai 2010 (CEST)

Und doch: In der Aufgabenformulierung fehlt jeglicher- jeglicher! - Hinweis darauf, dass alle 4 Zahlen und nicht nur die 2 zu erratenden Zahlen unter 100 sein müssen. Andamoka (Diskussion) 21:14, 29. Jul. 2017 (CEST)

Ich ziehe meinen obigen Diskussionsbeitrag zurück, habe jetzt verstanden und zur Erhöhung der Verständlichkeit zwei Wörter im Artikel hinzugefügt. Andamoka (Diskussion) 21:24, 10. Aug. 2017 (CEST)

Primzahlenzerlegung

Der erste Schritt ist unvollständig angegeben :

Man kann z.B. auch die 8 als Produkt ausschliessen, weil die Primzahlenzerlegng 3 gleiche Primzahlen 2,2,2 ergibt. Drei gleiche Primzahlen lassen sich aber nur in ein eindeutiges Faktorenpaar zusammenfassen; hier 2*4 = 8.

Also : Wenn die Primzahlenzerlegung 3 gleiche Primzahlen ergibt, wird auch diese Zahl ausgeschlossen.

Das ganze muß noch verallgemeinert werden : Es sind alle Produkte zu streichen, aus deren Primzahlenzerlegung sich mit der Bedingung, dass jeder Faktor < 100 ist, nur 1 eindeutiges Faktorenpaare bilden läßt.

Beispiel : 242 Primzahlenzerlegung : 2,11,11 Einzig mögliches Faktorenpaar : 11*22

Hubert Baumgarten

Das ist aber unkritisch, da all diese Möglichkeiten durch spätere Beweisschritte ohnehin ausgeschlossen werden. Die Aussage, dass m mindestens drei Primfaktoren hat, die alle kleiner als 50 sind, bleibt wahr. (Hauptsache, die letztlich gefundene Lösung (4,13) fällt in kein solches Schema)--Hagman 01:56, 16. Mai 2010 (CEST)

Eine andere Lösung der letzten beiden Schritte

Der Weg zur eindeutigen Lösung durch Gauß

Bis zur Eingrenzung der möglichen Summen auf die Menge S = {11,13,...53} kann ich die Lösung nachvollziehen (Dank an Hagman). Warum aber kommt Gauß dann NUR über die beiden danach genannten Spezialfälle auf seine eindeutige Lösung? Ich habe mir den Rest des Lösungswegs anders hergeleitet - vielleicht etwas verständlicher für Nicht-Mathematiker.

Nach Eingrenzung der möglichen Summen auf die genannte Menge S = {11,13,...53} ist klar, dass das Gauß bekannte Produkt a*b so aussehen muss, dass die Summe s=a+b in der Lösungsmenge S liegt. Von diesen Produkten scheiden dann alle aus, bei denen mindestens eine weitere Produktzerlegung a' * b' mit a' * b' = a*b existiert, deren Faktorsumme a'+b' ebenfalls in S liegt (aber ungleich s ist). Wäre dies der Fall, so würde Euler nicht auch sagen können, dass er die Zahlen a und b kennt.

Es bleiben also für Gauß zunächst diejenigen Produkte m=a*b übrig, bei denen in genau einem Fall die Faktorsumme s=a+b in S liegt. Nun ist Euler am Zug. Er kann nur dann feststellen, dass er die Zahlen a und b kennt, wenn sich in nur einem Fall eine zulässige Summe aus der Menge S so als s=a+b bilden lässt, dass genau diese Summe s sich nicht auch auf anderem Weg als s= a' + b' bilden lässt, mit der Eigenschaft, dass a' * b' gleich einem der möglichen Produkte a*b ist.

Zur Verdeutlichung: Nehmen wir an, die Summe sei 11, erstes Element von S. Dann könnte Gauß die Produkte 18=9*2, 24=8*3, 28=7*4 und 30=6*5 kennen. Die Summe 11 hat damit aber eine Zerlegung 6+5, deren Produkt 30 sich ein zweites Mal in Faktoren 30=15*2 zerlegen lässt, deren Faktorsumme 15+2=17 ebenfalls in S liegt. Damit kann 11 nicht die gesuchte Summe sein.

Auch mit den anderen Summen (außer der zur Lösung gehörenden Summe s=17) verhält es sich so. s=23 kann über 23=2+21 zum Produkt 42=2*21 führen, dessen anderen Produktdarstellung 42=3*14 ebenfalls eine Summe s=17=3+14, die in S liegt. Auch s=23 scheidet damit aus. Bei s=29 führt über 29=15+14 zum Produkt 210=15*14, bei dem zwei andere Produktdarstellungen 210=30*7 und 210=35*6 Faktorsummen 30+7=37 und 35+6=41 aufeisen, die ebenfalls in S liegen.

Bei der zur Lösung gehörenden Summe s=17 ist die Sache dann eindeutig. 17 hat hat genau eine Summendarstellung a=13 und b=4, deren Produkt 52 sich nicht in andere Produkte zerlegen lässt, deren Faktorsummen auch in S liegen. Einzige andere Produktdarstellung ist 52=2*26, und dabei liegt s=26+2=28 nicht in S. Alle anderen Summendarstellungen von 17 (also 15+2, 14+3, 12+5, 11+6, 10+7, 9+8) führen zu Produkten (30, 42, 60, 66, 70, 72), die eine zweite Produktzerlegung mit Faktorsummen in S haben.

Damit kann die Lösung nur 13 und 4 sein.

Diese Lösung ist mathematisch sicher nicht so hochwertig wie der Ansatz über die beiden Spezialfälle. Wenn dazu noch jemand eine auch für mich verständliche Erläuterung hätte, würde ich mich freuen. --Drmschulze1 16:15, 6. Aug. 2010 (CEST)

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Wenn man die zwei Zahlen a und b, mit 2 <= a,b <= 99 sucht, dann kann man durch die Information, dass das Produkt beider Zahlen nicht eindeutig ist, die möglichen Kombinationen auf 1068 Stück eingrenzen.

Weis man zusätzlich noch, dass sich die Summe beider Zahlen nicht so in zwei Zahlen c und d, mit 2 <= c,d <= 99, zerlegen lässt, sodass das Produkt c*d eindeutige Rückschlüsse auf die Faktoren c und d zulässt, so kommen nur noch die Zahlen 4, 5, 11, 17, 23, 27 und 29 in Frage. Da 4 und 5 zu einer eindeutigen Lösung geführt hätten, kann man diese Summen ausschließen. Übrig blieben also die Summen S = {11, 17, 23, 27, 29}

Wenn man nun alle Paare bei den Produkten löscht, deren Summe nicht in S ist, so bleiben für Gauß folgende übrig: {18: [(2, 9)], 24: [(3, 8)], 28: [(4, 7)], 30: [(2, 15), (5, 6)], 42: [(2, 21), (3, 14)], 50: [(2, 25)], 52: [(4, 13)], 54: [(2, 27)], 60: [(3, 20), (5, 12)], 66: [(6, 11)], 70: [(7, 10)], 72: [(3, 24), (8, 9)], 76: [(4, 19)], 78: [(3, 26)], 90: [(5, 18)], 92: [(4, 23)], 100: [(4, 25)], 102: [(6, 17)], 110: [(5, 22)], 112: [(7, 16)], 120: [(5, 24), (8, 15)], 126: [(6, 21), (9, 14)], 130: [(10, 13)], 132: [(11, 12)], 138: [(6, 23)], 140: [(7, 20)], 152: [(8, 19)], 154: [(7, 22)], 162: [(9, 18)], 168: [(8, 21)], 170: [(10, 17)], 176: [(11, 16)], 180: [(9, 20), (12, 15)], 182: [(13, 14)], 190: [(10, 19)], 198: [(11, 18)], 204: [(12, 17)], 208: [(13, 16)], 210: [(14, 15)]}

Gauß hat, laut dem Artikel, das Produkt 42. Wie kann er (2,21) ausschließen? --MartinThoma 22:06, 10. Mai 2011 (CEST)

Ich hab mich verlesen, es ist ja 52.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --MartinThoma 22:17, 10. Mai 2011 (CEST)

Eindeutige Lösung

Hi,

ich habe gerade mit einem selbst geschriebenem Python-Script versucht auf diese Lösung (4, 13) zu kommen. Allerdings gibt es bei mir mehr Möglichkeiten. Hier habe ich die einzelnen Schritte aufgelistet:

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“
	Eliminiere alle Produkte, die auf ein eindeutiges (a,b) schließen 
	lassen würden:
		1068 Kombinationen verbleiben
Euler: „Das war mir klar.“
	Welche Summen lassen sich nicht in irgendeine Summe zweier Zahlen 
	2 <= a, b <= 99 zerlegen, sodass das Produkt a*b eindeutig auf a und b
	Rückschlüsse zulassen würde?:
		[4, 5, 11, 17, 23, 27, 29]
	Welche dieser Summen s = a + b mit 2<=a,b<=99 würden nicht eindeutige Rückschlüsse auf a und b zulassen?
		set([11, 17, 23, 27, 29])
	Wie viele Produkte kommen noch in Frage?
		39 mögliche Produkte mit insgesamt 146 Kombinationen verbleiben.
	Lösche alle Paare, deren Summen nicht mehr möglich sind:
		39 mögliche Produkte mit insgesamt 46 Kombinationen verbleiben.
Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“
	Alle Produkte löschen, die auf mehr als eine Art erstellt werden können:
	Es bleiben 32 Produkte mit insgesamt 32 Kombinationen übrig:
		{18: [(2, 9)], 24: [(3, 8)], 28: [(4, 7)], 50: [(2, 25)], 52: [(4, 13)], 54: [(2, 27)], 66: [(6, 11)], 70: [(7, 10)], 76: [(4, 19)], 78: [(3, 26)], 90: [(5, 18)], 92: [(4, 23)], 100: [(4, 25)], 102: [(6, 17)], 110: [(5, 22)], 112: [(7, 16)], 130: [(10, 13)], 132: [(11, 12)], 138: [(6, 23)], 140: [(7, 20)], 152: [(8, 19)], 154: [(7, 22)], 162: [(9, 18)], 168: [(8, 21)], 170: [(10, 17)], 176: [(11, 16)], 182: [(13, 14)], 190: [(10, 19)], 198: [(11, 18)], 204: [(12, 17)], 208: [(13, 16)], 210: [(14, 15)]}
Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“
	Verbliebene Summen: set([11, 17, 23, 27, 29])
	27	:[(2, 25), (4, 23), (5, 22), (7, 20), (8, 19), (9, 18), (10, 17), (11, 16), (13, 14)]
	17	:[(4, 13), (6, 11), (7, 10)]
	11	:[(2, 9), (3, 8), (4, 7)]
	29	:[(2, 27), (3, 26), (4, 25), (6, 23), (7, 22), (8, 21), (10, 19), (11, 18), (12, 17), (13, 16), (14, 15)]
	23	:[(4, 19), (5, 18), (6, 17), (7, 16), (10, 13), (11, 12)]

Wo habe ich den Fehler gemacht? Gibt es eine Quelle, die besagt, dass die Lösung eindeutig ist? --MartinThoma 15:33, 20. Mai 2011 (CEST)

Hi Martin,

hier eine Antwort mit 1 Jahr Verspätung

Ich bin auch der Meinung, dass es mehrere Lösungen für das Problem gibt. Mir ist sowieso nie klar geworden, wesshalb in der Lösung für die Summe 29 nur 13+16 und 17+12 diskutiert werden. Ich habe das ganze mal für die Summe 29 durchgerechnet.

29 :[(2, 27), (4, 25), (6, 23), (7, 22), (8, 21), (12, 17), (13, 16)]

Diese Fallen bei mir allerdings raus:

(3, 26) wegen der Möglichen Summe 41

(10, 19) wegen der Möglichen Summe 97

(11, 18) wegen der Möglichen Summe 101

(14,15) wegen der Möglichen Summen 37 und 41

Ok, alles mit Papier + Taschenrechner daher evtl. nicht Fehlerfrei. Es scheint dein Ergebnis aber prinzipiell zu bestätigen.

Nach nochmaliger Überlegeung finde ich die Anwendung von Aussage 4 nicht nachvollziehbar. Es gibt ja mehrere Möglichkeiten selbst bei a + b = 17 könnte ja auch a = 6 und b = 11 sein.

6 + 11 = 17 6 * 11 = 66 = 2 * 3 * 11 Ergibt mögliche Summen 2 + 33 = 35; 3 + 22 = 25; 6 + 11 = 17 35 und 25 haben eindeutige Lösungen fallen also durch Satz 2 heraus. 141.4.208.26 12:16, 6. Sep. 2012 (CEST) 141.4.208.26 16:18, 5. Sep. 2012 (CEST)

Fehler im Artikel "Luzifer-Rätsel": Es gibt mindestens eine weitere Lösung, die auf anderem Weg erreicht werden kann!

Hallo Wikipedia,

auf folgendem Weg ist noch mindestens eine weitere Lösung für das "Luzifer-Rätsel" zu finden, die aus Sicht von Gauß und Euler eindeutig ist:

Man führe alle möglichen Produkte auf, die sich aus 2 Zahlen zwischen 2 und 99 ergeben können (z.B. in einer Matrix); unter den Produktzahlen führe man die Summen der Faktoren auf. Es ist zu erkennen, dass alle Produkte, die sich aus 2 Zahlen >89 ergeben, einzigartig sind, d.h. nur jeweils ein Mal vorkommen. Wäre Gauß eines dieser Produkte genannt worden, hätte er die beiden gesuchten Zahlen sofort daran errechnen können. Da er das nicht hat, scheiden diese und alle anderen möglichen Produkte aus, die nur ein Mal vorkommen. Folglich können sie aus der Matrix gestrichen werden.

Das erste Produkt, das mehr als ein Mal vorkommt (von den großen nach kleineren Zahlen hin betrachtet), lautet 7920 = 88*90 = 80*99. Die Summen ergeben 178 bzw. 179. Da nach der überarbeiteten Matrix die möglichen Summen 178 und 179 nur jeweils ein Mal vorkommen, hätte Euler, wäre ihm einer der Summen genannt worden, die beiden gesuchten Zahlen sofort ableiten können. Da er das nicht hat, scheidet 7920 als Produkt aus. Desgleichen gilt für 7644 = 91*84 = 98*78 mit den Summen 175 bzw. 176 sowie 7200 = 90*80 = 96*75 mit den Summen 170 bzw. 171.

Bei 6840 = 90*76 = 95*72 mit den Summen 166 bzw. 167 sieht der Fall nun anders aus. Denn die Summe 167 kommt nur ein Mal vor, während 166 zwei Mal vorkommt. Angenommen, 6840 wurde Gauß als Produkt genannt, so hätte er nicht zwischen 90*76 und 95*72 unterscheiden können. Nehmen wir nun weiter an, Euler wäre die Summe 166 genannt worden. Nach Ausstreichung aller Produkte, die nur ein Mal vorkommen, verbleiben nur zwei mögliche Kombinationen, die Summe zu erzeugen: 90+76 und 96+70. Deren Produkte 6840 bzw. 6720 kommen jeweils 2 Mal vor 90*76 und 95*72 bzw. 84*80 und 96*70. Folglich kann Euler 1. nicht wissen, welche Zahlen gesucht sind und 2. schlussfolgern, dass auch Gauss es nicht kann. Entsprechend äußert er sich. Nachdem Euler sich derart geäußert hat, weiß Gauß, dass Euler nicht 167 genannt bekommen haben kann, denn diese Summe wäre ja nur ein Mal vorhanden. Also muss 166 die Euler genannte Summe sein, demzufolge 90 und 76 die gesuchten Zahlen sein müssen. Nachdem Euler erfährt, dass Gauss die Zahlen anhand von Schlussfolgerungen ermitteln konnte, kann er ableiten, dass Gauss nicht 6720 gesagt bekommen haben konnte. Denn die zweite Kombination für ein Produkt 84*80 = 6720 führt zur Summe 164, für die es wiederum eine weitere Möglichkeit gibt, nämlich 92*72 = 6624. Damit hätte Gauss keine Entscheidungsmöglichkeit gehabt, die Zahlen abzuleiten. Nur bei dem Produkt 6840 hat Gauss eine mögliche Summe (nämlich 167) ausschließen können und somit die gesuchten Zahlen bestimmen können. Somit weiß Euler sie nun auch.

Demnach stellen die Zahlen 90 und 76 ein weiteres Lösungspaar für die Ausgangszahlen dar. Es wurde bislang nicht geprüft, ob es noch weitere Zahlenpaare gibt; allerdings erscheint es nicht direkt unwahrscheinlich.

Doch die Existenz einer weiteren Lösung hat zur Folge, dass die Erläuterung des Artikels und die Beweisführung, es könne nur eine einzige Lösung geben, nicht korrekt sein kann.

Ich bitte um Diskussion, Danke!

VG Marcomusikprojekt. (15:13, 27. Sep. 2011 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Euler: „Das war mir klar.“

Da Euler schon wusste, dass Gauss die beiden Zahlen nicht kannte, impliziert, dass seine Summe nicht in 2 Primzahlen zerlegt werden kann. Und damit muss seine Summe ungerade sein! (nicht signierter Beitrag von Renee Sulaweyo (Diskussion | Beiträge) 19:33, 6. Apr. 2012 (CEST))

Es gibt weitere Lösungen. zB: 2+27=29 2*27=54 (nicht signierter Beitrag von 141.4.208.26 (Diskussion) 16:27, 5. Sep. 2012 (CEST))

Eben nicht, da Euler im letzten Satz erklärt, dass er die Lösungen jetzt auch kennt. Da 29 auch als 25+4 darstellbar ist entfällt also die Summe 29. Gruß -Kiesch (Diskussion) 00:33, 20. Apr. 2015 (CEST)

Verallgemeinerungen

Das Problem der Zwei Zahlen ist eine schöne und einfache (nicht: leichte) Programmieraufgabe für den gymnasialen Informatikunterricht.

Je nach Aufgabenstellung ist als Lösungsbereich min ≤ a ≤ b ≤ max oder min ≤ a < b ≤ max vorgegeben. In beiden Fällen führt folgender Algorithmus zur Lösung (a,b):

1. Ein Produkt p heisse möglich, wenn p = a⋅b im Lösungsbereich wenigstens zwei Lösungen hat.
2. Eine Summe s heisse möglich, wenn alle Produkte a⋅b mit a + b = s möglich sind.
3. Ein mögliches Produkt p heisse lösend, wenn von allen Summen a + b mit a⋅b = p genau eine möglich ist.
4. Eine mögliche Summe s heisse lösend, wenn von allen Produkten a⋅b mit a + b = s genau eines lösend ist.
5. Wenn a⋅b ein lösendes Produkt ist und a + b eine lösende Summe, dann ist (a,b) eine Lösung.

Dasselbe für den Fall a ≤ b als Programm, der leichten Lesbarkeit wegen in Python formuliert:
(Die Werte für min und max sind im Programm zuzuweisen oder als Programmparameter einzulesen und zuzuweisen.)

f = [0] * (max*max+1)

for a in range(min,max+1):

for b in range(a,max+1):

f[a*b] += 1

s = [1] * (2*max+1)

for a in range(min,max+1):

for b in range(a,max+1):

if s[a+b] and f[a*b] < 2:

s[a+b] = 0

p = [0] * (len(f))

for a in range(min,max+1):

for b in range(a,max+1):

if f[a*b] > 1 and s[a+b]:

p[a*b] += 1

k = [0] * (2*max+1)

for a in range(min,max+1):

for b in range(a,max+1):

if s[a+b] and p[a*b] == 1:

k[a+b] += 1

print("Lösung(en):")

for a in range(min,max+1):

for b in range(a,max+1):

if p[a*b] == 1 and k[a+b] == 1:

print((a, b))

Allgemein bekannt ist lediglich der (leider oft unter einem albernen Namen zitierte) Spezialfall 2 ≤ a ≤ b ≤ 100.

Für die drei Spezialfälle min = 1 und max ∈ {22, 23, 24} gilt:
Unter den Nebenbedingungen 1 ≤ a ≤ b ≤ max ist die Lösung (1, 4); ersetzt man die mittlere Ungleichung durch die strikte Variante a < b, so ist (1, 6) die Lösung.

Allgemeiner :
Gilt für die Bereichsgrenzen 1 ≤ min ≤ 6, min < max ≤ 6000, dann hat das Problem in folgenden Fällen eine eindeutige Lösung:

min ≤ a ≤ b ≤ max			min ≤ a < b ≤ max
min	max	(a,b)	min	max	(a,b)
1	10 ... 13, 22 ... 24	(1,4)	1	22 ... 37	(1,6)
2	62 ... 865	(4,13)	2	62 ... 1680	(4,13)
3	94 ... 957	(13,16)	3	121 ... 5040	(13,16)

Das Problem lässt sich auch für mehr als zwei Zahlen formulieren und mit obigem Algorithmus – nach entsprechender Anpassung – lösen:
Kennen Peter das Produkt a⋅b⋅c und Simon die Summe a + b + c, so hat die Aufgabe bei unverändertem Dialog zwischen Peter und Simon und unter den Randbedingungen 1 ≤ a < b < c ≤ 1000 – um nur ein Beispiel anzuführen – die eindeutige Lösung (a, b, c) = (1, 4, 13).

--B. M., CH-Riehen (Diskussion) 08:51, 1. Sep. 2013 (CEST)

Diese Verallgemeinerung fällt meiner Meinung nach unter WP:Theoriefindung und originäre Forschung. Oder wurde eine solche Verallgemeinerung in der Fachliteratur diskutiert und läßt sich die verallgemeinerte Fragestellung durch Fachliteratur belegen?

Ich habe die Änderung im Artikel daher rückgängig gemacht. Wenn sich ein Beleg für eine wissenschaftliche Behandlung der Verallgemeinerung finden läßt, kann es ja wieder ergänzt werden. Bis dahin können interessierte Leser dies auf dieser Diskussionsseite nachlesen. .gs8 (Diskussion) 18:55, 7. Okt. 2014 (CEST)

Rätselformulierung

Die Formulierung des Rätsels ist nicht konsistent, denn es wird nicht angegeben, ob Gauß und Euler zusammen die jeweiligen Angaben über die beiden Zahlen erhalten und damit beide die konkrete Summe und das konkrete Produkt wissen oder ob sie isoliert voneinader die Zahlen erhalten und nur wissen, dass der eine eine Summe und der andere ein Produkt weiß, aber nicht die konkreten Zahlen. Der letzte Fall nehme ich an trifft zu, jedoch sorgt es anfänglich für Verwirrung. Verbesserungsvorschlag inmitten der Formulierung: "Er nennt Gauß das Produkt und Euler die Summe der beiden Zahlen jeweils isoliert voneinander, jedoch ist jedem der beiden bewusst, dass der eine das Produkt und der andere eben die Summe der Zahlen weiß;"--Retorte (Diskussion) 00:00, 31. Mär. 2014 (CEST)

Weiter ist in der Frage nicht angegeben, daß es sich um zwei Primzahlen handeln soll.

a) es wären keine zwei Mathematiker nötig, wären beide Zahlen (wenigstens) einem von ihnen bekannt
b) daß Primzahlen hier besonders zu berücksichtigen sind, ergibt sich aus dem Problem. (Wäre, beispielsweise, das Produkt 72, so ergäben sich als mögliche Summen 17, 18, 22, 27 und 38.) Der Dialog zeigt auf, daß das Produkt keines ist, das aus genau zwei Primzahlen besteht. Denn sonst wäre die Summe für einen Lösungsversuch unnötig. Usw. usf. (nicht signierter Beitrag von 93.229.106.129 (Diskussion) 22:27, 22. Jan. 2021 (CET))

Euler, der Lügner?

„Gauß: ‚Ich kenne die beiden Zahlen nicht.‘
Euler: ‚Das war mir klar.‘“ Woher hätte Euler denn, beispielsweise schon vorher gewußt, daß das Produkt nicht {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 39, 41, 43, 47,…} (und damit die Summe {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 24, 26, 28, 30, 33, 38, 40, 42, 44, 48,…} gewesen) wäre? Sicher, die Summe kannte er bei dieser Diskussion (und damit, bezüglich der Produkte, die eine oder andere Einschränkung). Aber bis nach der Aussage von Gauß konnte ihm Gaußens’ Kenntnisstand bestenfalls eine (wenn z. T. auch – gut – begründete) Spekulation darstellen!

Auch wenn „alle Griechen lügen“, bedeutet das ja nicht, daß das Gegenteil vom Gesagten Wahrheit wäre! Da habt’ Ihr’s, Ihr Mathematiker! 😝 (nicht signierter Beitrag von 93.229.106.129 (Diskussion) 19:42, 30. Nov. 2020 (CET))

Wird doch in Tabelle 1 erklärt. Jede mögliche Zerlegung der Euler genannten Summe 17 in Summanden ergibt ein Produkt, das verschiedene Zerlegungen in Faktoren zulässt. Er weiß also, dass Gauß die Zahlen allein mit dem ihm bekannten Produkt nicht bestimmen kann. --Redrobsche (Diskussion) 19:39, 3. Mai 2021 (CEST)