Diskussion:Maß (Mathematik)

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Klasse!

Wollte nur schonmal ein Lob aussprechen, das sieht toll und überfällig aus, was hier entsteht! --Chricho ¹ ² ³ 21:36, 26. Dez. 2012 (CET)

Danke!!! Ist nur viel mehr Arbeit als ich anfangs dachte, aber jetzt nimmt's langsam Form an ... -- HilberTraum (Diskussion) 21:48, 26. Dez. 2012 (CET)

Wow, große Klasse, dickes Lob! Wenn nur ein Bruchteil der mathematischen Artikel so gut geschrieben wäre. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:31, 28. Dez. 2012 (CET)

Oh, so viel Lob, ja is denn heut noch Weihnachten? Vielen Dank! Jetzt müsste man als nächstes mal schauen, was man mit Maßtheorie am besten macht und insgesamt das ganze Umfeld ein bisschen aufräumen ... -- HilberTraum (Diskussion) 22:13, 28. Dez. 2012 (CET)

Auch von mir ein „Frohes Messen“ - schön! --Erzbischof 11:25, 29. Dez. 2012 (CET)

Dann hob i ma jetz oiso a Maß verdient! Bei uns in Bayern sind ja sonst die beiden höchsten Stufen eines Lobs nur „basst scho!“ und „ned schlecht!“. Danke. -- HilberTraum (Diskussion) 13:32, 29. Dez. 2012 (CET)

Kann mich dem Lob nur anschließen, wirklich toller Artikel! Aber er hätte ruhig ein bisschen früher kommen können. ;) Als ich mich vor einigen Monaten für meine Abschlussarbeit in die Maßtheorie eingearbeitet habe, musste ich mir diese Infos noch überall zusammensuchen. :D -- 82.119.29.173 00:37, 10. Jan. 2013 (CET)

Danke! Wenn ich das mit deiner Abschlussarbeit vorher gewusst hätte, dann hätte ich den Artikel natürlich früher geschrieben. :) -- HilberTraum (Diskussion) 09:59, 10. Jan. 2013 (CET)

Sehr gut, aber eine Anmerkung

Erstmal muss ich sagen, dass dieser Artikel sehr gut geschrieben ist. Allerdings ist er ein wenig inkonsequent, was messbare Funktionen angeht. An mehreren Stellen wird der Begriff der messbaren Menge verwendet ohne irgendwo zu definieren, wann eine Menge tatsächlich messbar ist.

Für einen Vektorverband (geordneter Vektorraum) verstehen wir unter dem System der ${\mathcal {X}}$-messbaren Funktionen das kleinste Funktionensystem ${\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$ von numerischen Funktionen $\varphi :X\to {\overline {\mathbb {R} }}$, das drei Eigenschaften erfüllt:

• ${\mathcal {X}}\subset {\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$
• Für $\varphi ,\psi \in {\mathcal {M}}({\mathcal {X}}),\ \lambda \in \mathbb {R}$ sind auch $\lambda \varphi \in {\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$ und (falls definiert) $\varphi +\psi \in {\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$
• Für $(\varphi _{n})\subset {\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$ ist $\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }\varphi _{n}:=\sup\{\varphi _{n}:n\in \mathbb {N} \}\in {\mathcal {M}}({\mathcal {X}})$

Das "falls definiert" bezieht sich auf den Sonderfall $\infty +(-\infty )$, der nicht definiert ist. (nicht signierter Beitrag von 77.179.32.76 (Diskussion) 07:20, 24. Mai 2014 (CEST))

Danke für das Lob! Zum Begriff der messbaren Menge habe ich bei der Definition noch einen Satz ergänzt. Bei deiner Definition bin ich etwas skeptisch. Wer ist „wir“, das heißt, wo ist diese Definition nachzulesen? Was soll dabei ein Vektorverband sein und warum? Vor allem werden hier aber nur numerische Funktionen erfasst. Gerade z. B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wo Abbildungen zwischen beliebigen Ereignisräumen betrachtet werden, wäre das viel zu speziell. -- HilberTraum (Diskussion) 08:14, 24. Mai 2014 (CEST)

Maßtheorie nach Daniell-Stone

Es fehlt m.E. ein Hinweis auf den alternativen funktionalanalytischen Zugang zur Maßtheorie der von Daniell 1917 begründet worden ist. Anstelle des Messens von Inhalten stellt man das Integrieren (als positives lineares Funktional) an den Anfang und entwickelt durch einen Fortsetzungsprozess die Integrationstheorie. Dass beide Zugänge letztlich äquivalent sind, liefert der Satz von Daniell-Stone. Standard-Literatur: Bauer: Maß- und Integrationstheorie (Satz von Daniell-Stone), K. Floret: Maß- und Integrationstheorie. In letzterem Buch wird die Daniell' sche Integrationstheorie entwickelt. S. auch Dinculeanu: Integration on locally compact spaces, Pedersen: Analysis Now (er nennt das Radon-Integrale). Auch Bourbaki verwendet diesen Zugang zur Integrationstheorie. Die Literaturliste zeigt (hoffentlich), dass es sich nicht etwa um eine obskure Variante handelt.

PS: siehe etwa den Artikel zum Daniell Integral in der englischen Wikipedia (leider nicht übersetzt) [1] -- (nicht signierter Beitrag von MaLeZig (Diskussion | Beiträge) 12:49, 31. Jul 2014 (CEST))

Hallo! Ja, das Daniell-Integral ist mir ein Begriff und sicher nicht „obskur“ (wenn auch wohl etwas „aus der Mode“?). Die Frage ist allerdings, was davon gerade in diesen Artikel gehört. Das besondere an diesem Zugang ist ja, dass er erstmal ganz ohne Maße auskommt und es gibt ja auch noch den Artikel Maßtheorie. Die Integrationstheorie habe ich hier bewusst knapp gehalten, damit der Fokus auf das Thema Maße nicht verlorengeht. Was man aber sicher noch einbauen könnte: Wenn man bereits einen Integralbegriff ohne Maß zur Verfügung hat, dann bekommt man durch $\mu (A):=\int \chi _{A}$ ein Maß. Zum Beispiel wird ja auch in einigen älteren Analysis-Lehrbüchern (ältere Auflagen von Forster, Königsberger) das Lebesgue-Integral zuerst ohne Maßtheorie definiert und damit anschließend das Lebesgue-Maß. Grüße -- HilberTraum (d, m) 13:53, 31. Jul. 2014 (CEST)

+1 Das gehört nicht in diesen Artikel, sondern in Artikel zur Maß- und Integrationstheorie. Oder besser noch: Wir machen einen besseren Artikel zum Satz von Riesz-Markov, der ja besagt, dass die beiden Ansätze im lokal-kompakten Fall im Wesentlichen äquivalent sind (wobei im nicht-sigma-kompakten Fall unterschiedliche Varianten je nach Wahl der σ-Algebra oder der Regularitätsbedingungen möglich sind). Siehe dazu auch die QS. --Chricho ¹ ² ³ 00:14, 2. Aug. 2014 (CEST)

Lebesgue-Stieltjes-Maße

In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im d-dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße

kann so nicht stimmen, denn Stieltjes ist bereits 1894 verstorben, also sieben Jahre vor Einführung des Lebesgue-Maßes.—Hoegiro (Diskussion) 22:32, 23. Okt. 2020 (CEST)

Lienarkombination von Maßen

Der Satz „Für eine Familie $(\mu _{i})_{i\in I}$ von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten $(\alpha _{i})_{i\in I}$ wird durch $\textstyle \mu =\sum _{i\in I}\alpha _{i}\mu _{i}$ wieder ein Maß definiert.“ verwendet $\sum _{i\in I}$ für beliebige Indexmengen. Dies scheint mir für überabzählbare Indexmengen undefiniert zu sein und letztlich nur mit einem Integralbegriff formulierbar zu sein.--Sigma^2 (Diskussion) 11:22, 10. Sep. 2024 (CEST)