Diskussion:Matrix (Mathematik)/Archiv/1

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[[Diskussion:Matrix (Mathematik)/Archiv/1#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Matrix_(Mathematik)/Archiv/1#Thema_1

blockdiagonal

Kann jemand Blockdiagonalität erklären? Ich nämlich nicht und hätte es gesucht und hier nicht gefunden...

Danke und Rotfront!

Tobias

Antwortversuch: Eine Diagonalmatrix (DM) ist ein Spezialfall einer Blockdiagonalmatrix (BDM). Bei einer DM stehen außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen, Beispiel:

 ( 3 0 0)
 ( 0 1 0)
 ( 0 0 5).

Bei einer BDM stehen auch außerhalb der Hauptdiagonoalen Einträge ungleich 0, aber in Blöcken um die HD, Beispiel:

 ( -2  5  0  0  0  0)
 (  3 11  0  0  0  0)
 (  0  0  4  0  0  0)
 (  0  0  0  0  0  0)
 (  0  0  0  0 -1  2)
 (  0  0  0  0  0  3)

ist eine BDM mit zwei 2x2-Blöcken (links oben und rechts unten) und zwei 1x1-Blöcken (4 und 0). Bei Anwendung der Blockmatrix wirken die einzelnen Blöcke unabhängig voneinander. Z.B. kann man das lineare Gleichungssystem, das durch die Matrix meines Beispiels gegeben ist, in vier voneinander unabhängige Gleichungssysteme aufteilen. Lohnt es sich, das zu ergänzen (mit typographisch "schöneren" Matrizen)?

Gruß von KleinKlio (16. 9. 06) --KleinKlio (nicht signierter Beitrag von KleinKlio (Diskussion | Beiträge) 20:37, 16. Sep. 2006 (CEST))

Projektionsmatrizen

^^könnte "man" noch reinschreiben. Würd ich auch machen wenn ich sie verstehn würde. phillip

Ich habe das eben kurz ergänzt. Evtl. könnte man noch ein Beispiel anführen, was ich bei Gelegenheit sonst noch machen werde. Unter Projektion (Mathematik) findet man jedoch schon ein Beispiel zum Thema --Ravensoft 00:13, 25. Jul 2005 (CEST)

Gleichungen umformen

abschnitt eingefuegt

Ich war so frei, noch einen Abschnitt über das Umformen von Matrix-Gleichungen einzufügen.--Philipendula 22:42, 18. Mai 2004 (CEST)

Mhmh, ich fürchte das ist mißlungen: Matrixgleichungen kann man eben nicht einfach so wie algebraische Gleichungen umformen. Eine Matrix ist ja immer eine lineare Abbildung. Umformungen verändern diese und die interessante Frage ist deswegen: welche Umformungen erhalten welche Eigenschaften der linearen Abbildung. Multiplikation mit invertierbaren Matrizen erhalten die Lösungsmenge. Multiplikation mit orthogonalen Matrizen erhalten die 2-Norm. Eine andere Fragestellung macht IMHO keinen Sinn. Klar kann ich statt A=B, A+X=B+X betrachten. Nur welche mathematische Aussage hat das? --DaTroll 22:53, 18. Mai 2004 (CEST)

Also das finde ich nicht. Es heißt ja, IM PRINZIP umgeformt. A=B, A+X=B+X beleuchtet lediglich, dass auch Matrix-Gleichungen wie algebraische Gleichungen erweitert werden können. Dass man durch Multiplikation den Rang ändern kann etc. stört nicht, das ist ja bei der Matrizenmultiplikation "systemimmanent". Solange man die Rechenregeln einhält, ist das Ergebnis nicht problematisch. Ich dachte, es sei eine gute Idee, auch das Verfahren beim Umformen von Gleichungen anzugeben, weil zwar viele Menschen mit Matrizen rechnen können, aber keine Matrixgleichungen bearbeiten können, beispielsweise bei multivariaten Verfahren wie Multipler Regression, Diskriminanzanalyse etc. --Philipendula 09:08, 19. Mai 2004 (CEST)

Wie wäre es denn mit Termumformung als Überschrift?--Philipendula 09:17, 19. Mai 2004 (CEST)

Ich gebe zu, mein Wissen in Statistik ist marginal. Könntest Du noch einen Nebensatz einfügen, indem klar gemacht wird, in welchem Kontext solche Umformungen Sinn machen? Ansonsten: Umformung von Matrix-Gleichungen ist schon OK, damit ist ja klar, dass es nicht um lineare Gleichungssysteme geht. --DaTroll 11:25, 19. Mai 2004 (CEST)

Ich habe mir diesbezüglich eine Bemerkung abgerungen. Ich arbeite noch ein Beispiel aus.--Philipendula 19:30, 19. Mai 2004 (CEST)

Beispiel ist erweitert. Nach welchen Mysterien wird eigentlich eine Formel in TeX mal groß und mal klein (=Fließtext) geschrieben???--Philipendula 20:55, 19. Mai 2004 (CEST)

Du kannst bei einigen LaTeX-Makros eine "ahnliche Form verwenden: \frac{}{} f"ur normale Br"uche und \tfrac{}{} f"ur Br"uche, die im Fliesstext auftauchen sollen. Dazu ben"otigt man aber AMS-TeX. Zweites Problem kann sein: $Formel$ produziert eine Formel im Fliesstext. Hierbei sollte man (wenn vorhanden) \tfrac usw. verwenden. Mit $$Formel$$ kommst du ein einen `echten'-MatheModus, bei dem die Formeln `ordentliche' Schriftgr"osse haben. Gleiches gilt dann f"ur Umgebungen wie align --Argol

Darum geht es hier nicht, das funktioniert hier alles nicht, genausowenig wie \displaystyle & co. Es wird hier kein TeX, sondern ein TeX-ähnliches, deutlich weniger mächtiges System verwendet, vgl. Wikipedia:TeX.--Gunther 00:07, 17. Sep 2005 (CEST)

Das liegt wohl am \cdot in der großgeschriebenen Formel. Die anderen Sachen kriegt er halt noch im normalen HTML hin, dieses mathematisch Symbole muss als Bild reinkopiert werden. --DaTroll 19:23, 20. Mai 2004 (CEST)

Sagt mal, wir reden hier ja von Umformungen, die "erlaubt" sind um Matrixgleichungen zu lösen. Dann darf ich doch nur solche Matrizen ranmultiplizieren, die vollen Rang haben, oder sehe ich das falsch? Ansonsten hätte man ja so was Ähnliches wie die Multiplikation mit 0 bei den skalaren Gleichungen. --Prometeus 14:37, 9. Apr 2005 (CEST)

Umformen von Matrixgleichungen

Ich finde, dass dieser Abschnitt ersatzlos entfernt werden sollte. Sowas gehoert meiner Meinung nach zu Wikibooks oder zu den entspr. Artikeln, wie Multiple Regression oder zu irgendeinem noch allgemeineren Thema. Haize 17:25, 10. Okt 2005 (CEST)

Ich fands eigentlich mal ein bisschen interessant, auch was praxisorientiertes drinzuhaben. --Philipendula 20:47, 10. Okt 2005 (CEST)

Allerdings ist das Thema "Matrix" schoen recht komplex, da sollte man sich schon aufs Notwendige beschraenken, d.h. hoechstens ein themenbezogenes Beispiel pro Satz/Definition/etc... Haize 00:38, 12. Okt 2005 (CEST)

... *Schultern zuck* Meinetwegen --Philipendula 11:52, 12. Okt 2005 (CEST)

Okee, dann mach ich mich mal ran :) Haize 15:48, 12. Okt 2005 (CEST)

Umformen von Matrizengleichungen

Im Abschnitt Umformen von Matrizengleichungen muss $A$ quadratisch sein, damit die Inverse überhaupt existiert. Ich habe das korrigiert, frage mich aber, ob dieser Abschnitt (außer dem Verweis auf Multivariate Verfahren) noch etwas enthält, das nicht schon im Abschnitt über die inverse Matrix steht. --HeikoTheissen 08:37, 2. Nov 2005 (CET)

Aufspalten des Artikels

Hi, ich wollte mal fragen was ihr davon halten würdet wenn der Artikel über Matrizen in mehrere Unterartikel gegliedert würde? Persönlich finde ich ihn in dieser Form etwas unübersichtlich, aber bevor ich den Artikel hier in 10 Unterartikel zerstückele wollte ich mal fragen ob irgendwer einen guten Grund kennt dies nicht zu tun... --Regnaron 21:15, 2. Aug 2004 (CEST)

Ja, jede Menge Gründe: Das beugt Parallelentwicklungen vor, es macht das Bearbeiten leichter, das Ausdrucken und es erleichtert den Überblick. Ich gebe Dir Recht, daß der Artikel nicht so toll ist. Das ist allerdings ein Zeichen dafür, daß er prinzipiell überarbeitet werden sollte. Auf meiner Todo-Liste steht seit Ewigkeiten, die Sachen bei der inversen Matrix zum mit den elementaren Zeilenumforungen zu Gauß-Verfahren zu packen (auch ein Artikel der aufgemöbelt werden muss). Viele Gruesse --DaTroll 22:43, 2. Aug 2004 (CEST)

Hm, ok, mit dem Ausdrucken gebe ich dir durchaus recht. Aber wieso beugt es Parallelentwicklungen vor? Ich denke eher dass der Artikel in seiner aktuellen Form Parallelentwicklungen sogar begünstigt. Wenn ich zum Beispiel einen Artikel über die Inverse Matrix schreiben will, dann sehe ich auf den ersten Blick nur dass es schon einen Artikel über Matrizen allgemein gibt. Hieraus ist IMHO nicht sofort ersichtlich dass dort auch Inverse Matrizen abgehandelt werden. Hier würde ich nun evtl einen Artikel zu inversen Matrizen schreiben in dem guten Glauben dass dieser noch nicht abgehandelt wurde. Und die Sache mit dem Überblick: Ich dachte hier eher daran den Artikel Matrix selbst zu einer Art Übersichtsartikel zu machen mit einer Linkliste und kurzer beschreibung was man mit einer Matrix alles machen kann. Hier denke ich nicht dass der Überlick leiden würde, da das ganze ja nun statt direkt in der Seite zu stehen halt einen Link entfernt wäre... --Regnaron 08:30, 3. Aug 2004 (CEST)

OK, Inverse Matrix koennte man auslagern. Trotzdem bleibt die Frage: wozu? Du sagst, dass das mehr Ueberblick schafft und dass der jetzige unuebersichtlich ist. Ich sage: Ja, der jetzige ist unuebersichtlich, aber Aufsplitten ist nur in Ausnahmefaellen sinnvoll. Das Inhaltsverzeichnis erlaubt einen guten Ueberblick. Das Problem ist eher, dass der Artikel an sich halt sehr holprig, unvollstaendig und maessig strukturiert ist. Aufsplitten macht das nicht besser. Viele Gruesse --DaTroll 11:20, 3. Aug 2004 (CEST)

Wozu ich die Inverse Matrix zum Beispiel auslagern will und warum ich denke dass dies mehr Übersichtlichkeit bringt? Hier geht es mir insbesondere um die Links welche auf den Artikel Matrix zeigen: Wenn jemand etwas von einer Matrixinversion schreibt und dann dabei auf den Artikel Matrix direkt linkt, dann wird derjenige welcher dem Link gefolgt ist erst einmal mit einer Menge an Informationen überrannt welche für ihn in diesem Moment erst einmal unwichtig sind. Ok, mag sein dass sich dies mit einer besseren Struktur beheben ließe. Aber hier muss ich zumindest für mich sagen dass ich es schwer finde große Artikel (welche nun schon einmal gewachsen sind) neu (übersichtlicher) zu strukturieren. (Kann natürlich sein dass es nur mir so geht ;)) Aufsplitten würde es in dem Sinne besser machen dass man dabei halt sich mehr auf die einzelnen - dann kleinen - Subartikel konzentrieren könnte und diese verbessern könnte statt vor einem monolithischen Bauwerk zu stehen wo man gar nicht weiß wo man nun überhaupt ansetzen soll :) Aber ok, dann hoffe ich einfach mal dass es doch einen Wikipedianer gibt welcher doch auch an große Artikel Hand anlegen kann :) --Regnaron 12:27, 3. Aug 2004 (CEST)

Ja, das mit dem Strukturieren ist schwierig. Aber machbar :-) Was das verlinken angeht, so kann man direkt auf ein Unterkapitel in einem Artikel verlinken mittels Inverse Matrix. Viele Gruesse --DaTroll 13:47, 3. Aug 2004 (CEST)

Adjungierte Matrix

Schaut doch bitte mal Adjungierte Matrixan. Hier fehlen doch die Submatrizen oder? --Philipendula 22:39, 14. Dez 2004 (CET)

Was meinst Du mit Submatrizen? Die Definition sieht fuer mich OK aus. Viele Gruesse --DaTroll 10:49, 15. Dez 2004 (CET)

So, ich kann jetzt in Bibliothek gehen und mich schlau machen (dauert 30 - 60 Minuten) oder mich mal aufs Geradewohl blamieren. Ich wähle die phlegmatische Variante und blamiere mich potentiell lieber: Nach meinen Informationen berechnet man eine Inverse, indem man die adjungierte Matrix von A durch deren Determinante teilt. So weit so gut. Ich war es immer gewohnt, dass die Elemente dieser Adjunkten aus den Determinanten der Untermatrizen bestanden. Im Bronstein wird darauf hingewiesen, dass man diese Adjunkte nicht mit der Adjunkten einer komplexen Matrix verwechseln darf. Was aber hier offensichtlich passiert ist. Surfen in der Wikipedia ergab, dass "meine" Adjunkte allerdings in der Wikipedia als Komplementäre Matrix bezeichnet wird, weil man sich angeblich so geeinigt hat (wer eigentlich?). Also müsste dann bei der Inversen die komplementäre Matrix verwendet werden, oder? Bzw. kann man da überhaupt die konjugiert-komplexe Adjunkte gebrauchen?

Es sollten mal alle Matrix-Derivate wie komplementäre Matrix, adjungierte Matrix usw. systematisch erfasst und vielleicht als Linkblock (auch, wenn sie schon im Text verlinkt sind) zusammengefasst werden, dass man einen Überblick hat, was es da alles gibt. --Philipendula 12:12, 15. Dez 2004 (CET)

Ah, jetzt verstehe ich. Also Fischer, Lineare Algebra definiert die adjungierte einer linearen Abbildung F als diejenige Abbildung $F^{*}$, fuer die $(F(v),w)=(v,F^{*}(w))$ gilt. In Matrixschreibweise ist das halt genau die transponierte fuer ein reelles Skalarprodukt bzw. die komplex konjugierte fuer ein komplexes Skalarprodukt. Mackens/Voss, Mathematik I fuer Studierende der Ingenieurwissenschaft, nennen die komplex konjugierte einer Matrix die adjungierte. Beiden kennen keine adjunkte, bzw. Fischer nennt das was Du meinst die komplementaere Matrix.

Bronstein/Semendjajew kennt wiederum die adjungierte Matrix nicht, dafuer die adjunkte mit der von Dir angegebenen Definition. Wir sollten wohl wirklich noch ein paar andere Buecher befragen. Viele Gruesse --DaTroll 13:01, 15. Dez 2004 (CET)

Wie man das Biest nennt, ist nicht so sehr dramatisch. Mein Problem ist, dass man "Deine" adjungierte Matrix meiner Meinung nach nicht für die Berechnung der Inversen brauchen kann. Die komplementäre Matrix aber schon. Adjunkte ist übrigens eine Kurzform für eine adjungierte Matrix, allerdings wohl nur für "meine" ;). Mein Bronstein kennt übrigens beide adjungierte Matrizen, man muss aber unter Adjunkte nachschaun (*g*: Eigentlich gäbe diese Diskussion eine gute Grundlage für einen Kameliopedia-Artikel). Viele Grüße --Philipendula 13:36, 15. Dez 2004 (CET)

Genau, "meine" adjungierte hat nichts mit der Inversen zu tun. Ich denke, man sollte beim Abschnitt adjungierte Matrix einfach schreiben, dass manchmal auch die komplementaere Matrix adjungierte genannt wird. Waer das OK? Und was passiert, wenn man ein Kamel adjungiert? Vertauschen sich dann die Hoecker? Sind Kamele also selbstadjungiert? --DaTroll 13:45, 15. Dez 2004 (CET)

Das ist eine gute Frage. Ich glaube aber eher, dass sie sich beim Konjugieren umdrehen. Siehe Kamelboot, nicht zu verwechseln mit Camel-Boot! Ansonsten mein OK. --Philipendula 14:04, 15. Dez 2004 (CET)

Habs mal gemacht, so langsam gefaellt mir der Artikel. Viele Gruesse --DaTroll 14:19, 15. Dez 2004 (CET)

Du bist mir gerade mit dem Korrigieren meines Unsinns zuvorgekommen. Ich hatte Bürobesuch. Danke --Philipendula 16:06, 15. Dez 2004 (CET)

Schon OK. Wir sind ja auch nicht hauptamtlich bei der Wikipedia ;-) --DaTroll 16:10, 15. Dez 2004 (CET)

Sorry, falls ich die Diskussion wieder aufnehme. Im Bronstein ist die Adjunkte die mit dem entsprechenden Vorzeichen versehene Unterdeterminante (siehe auch Minor). Aus den Adjunkten ist dann die Komplementäre Matrix, die Bronstein adjungierte Matrix nennt, aufgebaut. Ich schlage vor, in der Bemerkung, die komplementäre Matrix werde auch als Adjunkte bezeichnet, Adjunkte durch adjungierte Matrix zu ersetzen, und Adjunkte unter dem Stichwort Minor oder komplementäre Matrix zu erwähnen. Denn nach der bisherigen Diskussion scheint Adjunkte nur bei Bronstein vorzukommen, ist dort aber eben keine Kurzform für adjungierte Matrix. --WikiSammler 04:29, 10. Jun 2005 (CEST)

Ich sehe da auch keine Schwierigkeiten. Der Begriff "adjunkt" wird mit mehreren Bedeutungen verwendet (und sollte daher auch aus meiner Sicht vermieden werden), aber die adjungierte Matrix ist die Matrix, die hier komplementaer genannt wird (im Bronstein, im "dtv-Atlas der Mathematik", an der TU-Berlin und nicht zuletzt in der englischen Wikipedia (adjugate))... Gibt es Literatur, auf welche ihr euch beruft, wenn ihr meint, dass eine Adjungierte eine tranponierte, komplexe Matrix mit konjugierten Eintraegen bezeichnet?

Ich habe mal Google für "adjungierte Matrix" angeworfen (A = transponiert-konjugiert, B = komplementär):

• (A) http://www.tu-harburg.de/mat/LEHRE/glossar/a.html
• (B) http://library.thinkquest.org/28509/Deutsch/Determinant.htm
• (B) http://www.math.tu-berlin.de/~hennings/tutorium_7.pdf
• (A) http://www-user.tu-chemnitz.de/~peju/skripte/physik/algebra/Alg-V2.ps
• (A) http://www.math.uni-sb.de/~ag-schulze/la2/linalgskript_14.pdf
• (A) http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/12.html?1037949212
• (B) http://www.mlap.de/lehre/vorlesungen_ws02/regelungstechnikII/_files/Formelsammlung.pdf
• (A) http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/node111.html

Es scheint also beides verbreitet zu sein.--Gunther 5. Jul 2005 19:54 (CEST)

Meine Literatur habe ich ja oben angegeben (Fischer + Mackens/Voss), die beide A benutzen. Passt ja auch zu Deinem ersten Link :-) Wie siehts mit anderen LA-Büchern aus? --DaTroll 6. Jul 2005 21:51 (CEST)

Brauchen wir wirklich eine weitergehende Statistik? Es wird beides verwendet, also müssen wir beides erwähnen.--Gunther 6. Jul 2005 21:59 (CEST)

OK, sind alle mit der jetzigen Form zufrieden? --DaTroll 6. Jul 2005 22:20 (CEST)

Hallo zusammen! laut Fetzer Fränkel Mathematik 1

Adjungierte Matrix oder kurz Adjungierte: A=(aik) sei eine (n,n)-Matrix und Aik=((-1)^(i+k))|Uik| die Adjunkte zum Element aik. Dann heißt die (n,n)-Matrix B=(((-1)^(i+k))|Uik|)^T=(Aik)^T

--212.56.240.46 13:11, 10. Jan 2006 (CET)

Wieso diese Änderung. Also in Adjungierte Matrix steht das genau so. Also entweder es wird beides geändert oder mein Edit wird hier dringelassen. So wie hier die Adjungierten Matrizen definiert wurden scheint mir das der Fall zu sein. Kann ja sein, dass du eine andere Matrix als die Adjungierte im Kopf hast. -- JonnyJD 15:16, 2. Jun. 2007 (CEST)

Wenn ich mich nicht irre, ist die adjungte Matrix die transponierte Matrix der Unterdeterminanten. Hier sind aber die Derminanten dasjenige, welche, nicht die Transponierung allein. --Philipendula 16:33, 2. Jun. 2007 (CEST)

Hab die andere Auffassung gemeint, wie auch in Adjungierte Matrix erwähnt. --Philipendula 16:35, 2. Jun. 2007 (CEST)

Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix lässt sich berechnen, aber ich weiß nicht wie. vielleicht kann jemand, der sichj damit auskennt, dazu etwas beitragen.

Beim Kern einer Matrix A (ker A) handelt es sich um die Lösung des homogenen Systems A*x = 0. Mit anderen Worten: Bei einer Abbildung ist der Kern (auch Urbild genannt) die Menge der Punkte die auf den Ursprung abgebildet werden. Bei einer Rotation um den Ursprung ist der Kern also nur der Ursprung selbst. Bei einer Projektion auf eine Ebene durch den Ursprung ist der Kern jene Gerade durch den Ursprung, die senkrecht zur Projektionsebene steht. Ich werde bei Gelegenheit mal etwas dazu schreiben. --Ravensoft 23:28, 24. Jul 2005 (CEST)

Ganz praktisch wendet man Gauß an; man kann dann die "hinteren" Variablen frei wählen und erhält Gleichungen für die "vorderen".--Gunther 23:40, 24. Jul 2005 (CEST)

Eine Bemerkung dazu: Matrizen haben einen Nullraum, Abbildungen einen Kern. Das Urbild einer Menge M unter einer Abbildung F:X->Y ist ganz allgemein die Menge aller x aus X für die F(x) in M liegt. -- Guido Kanschat 23:19, 31. Okt 2005 (CET)

mittlerweile (2007) existiert ja ein abschnitt zum kern. allerdings ist der imho stark ueberarbeitungsbeduerftig. es gibt auch einen artikel Kern (Mathematik). wenn eine anleitung zum berechnen gegeben werden soll, dann imho dort. im hiesigen matrix-artikel sollten imho nur die zusammenhaenge an sich erwaehnt werden, in etwa so wie im abschnitt "inverse matrix". -- seth 01:56, 13. Jan. 2008 (CET)

Also der Abschnitt kanns wirklich nicht sein. Der ist unverständlich und gliedert sich nicht in den Rest des Artikels ein. Ich nehme den mal wieder raus. --P. Birken 07:38, 15. Jan. 2008 (CET)

Struktur des Abschnitts "2 Spezielle Matrizen"

Unter diesem Abschnitt sind Begriffe durcheinandergewürfelt, die meines Erachtens zwei völlig verschiedene Qualitäten haben:

1. Matrizen mit einer bestimmten Eigenschaft. Hierzu gehören symmetrisch, schiefsymmetrisch, orthogonal, hermitesch oder selbstadjungiert, unitär (und nicht aufgeführt: quadratisch, positiv definit, regulär, singulär, ...). Die entsprechenden Definitionen oder Erklärungen lauten meist "Eine Matrix A heisst xxxxx, falls ..." die Matrix eben die betreffende Eigenschaft hat.

2. Matrizen, die durch das Ausführen einer bestimmten Operation aus einer gegebenen Matrix entstehen, also eigentlich Matrix-wertige Funktionen von Matrizen. Hierzu gehören transponierte, adjungierte, komplementäre (und nicht aufgeführt: inverse, ...). Die entsprechenden Definitionen oder Erklärungen lauten meist "Die xxxxx einer Matrix ist ..." oder "Die xxxxx einer Matrix wird berechnet, indem man ..." die gegebene Matrix eben der betreffenden Operation unterwirft.

Noch einmal ein ganz anderer Fall ist der der Hesse-Matrix; von dieser Art wüsste ich auch noch ein paar, z.B. die Jacobi-Matrix, die Hilbert-Matrix, usw. — Was machen wir? Ich finde den Artikel so jedenfalls noch verbesserungsbedürftig!

— Nol Aders 21:53, 11. Jul 2005 (CEST) — revidiert Nol Aders 04:57, 12. Jul 2005 (CEST)

Auch die Eigenschaften von Matrizen könnte man noch gut danach untergliedern, ob es um Matrizen für lineare Abbildungen oder für Bilinearformen geht; man sollte auch statt der Formeln etwas zur Bedeutung der Begriffe sagen. Auch der Rechenteil am Anfang ist mMn nicht besonders gelungen.--Gunther 22:07, 11. Jul 2005 (CEST)

Noch ein Kriterium, das sich hier anbietet: solche Eigenschaften von und Operationen auf Matrizen, die nur für quadratische Matrizen sinnvoll oder überhaupt definiert sind, und solche, die auch für allgemeine (d.h. beliebige) Matrizen sinnvoll und definiert sind. — Nol Aders 04:57, 12. Jul 2005 (CEST)

Unter "Spezielle Matrizen" würde ich auch z.B. (obere und untere) Dreiecksmatrix, Bandmatrix und Tridiagonalmatrix suchen. — Nol Aders 05:06, 12. Jul 2005 (CEST)

Auch noch mein Senf dazu: Auf jeden Fall sollte das aufgespalten werden. Zunächst denke ich, Matrixeigenschaften (Symmetrie, etc.). Braucht man wirklich ein Rechenbeispiel zu schiefsymmetrischen Matrizen? Schaut Euch mal die englische Version an, da ist das sehr knapp gehalten und verweist auf die Spezialseiten. Auch sollte man Eigenschaften reeller mit analogen Eigenschaften komplexer Matrizen (z. B. orthogonal/unitär) zusammenfassen. Gibt es nennenswerte Eigenschaften nichtquadratischer Matrizen?

Ein zweiter Punkt könnten Matrizen spezieller Struktur sein. Hier wird es aber schon heikler, weil Bandmatrix ein rein numerischer Begriff ist, der die Speicherstruktur beschreibt, w@ahrend Dreiecksmatrizen einen Unterring bilden, also auch mathematisch eine Struktur erzeugen.

Schließlich fände ich eine Rubrik mit einer Auflistung von Hilbert-, Töplitz-, Hesse-, Jacobimatrix etc. mit Links durchaus sinnvoll. -- Guido Kanschat 23:32, 31. Okt 2005 (CET)

(Neue?!) Struktur des ganzen Artikels

Ich denke, eine wichtige Leitlinie beim Aufbau der neuen Struktur für diesen Artikel bzw. seine(n) Nachfolger sollte die Algebra sein: Matrizen bilden einen Ring über einem Körper von Skalaren. Die Körperstruktur der Skalare wird spätestens dann gebraucht, wenn wir Matrizen invertieren oder mit ihnen geometrische Abbildungen darstellen wollen — ein Ring für die Skalare (wie es jetzt im Artikel steht) genügt nicht. Dann kann man

1. gemeinsame Definitionen und Eigenschaften aller Matrizen (über beliebigen Skalarenkörpern) darstellen, inklusive gewisse Spezialfälle wie vielleicht quadratische, evtl. auch schon symmetrische Matrizen
2. Definitionen und Eigenschaften von Matrizen über bestimmten speziellen Skalarenkörpern, z.B. Q, R, C, usw. — Nol Aders 00:53, 13. Jul 2005 (CEST)

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Es gibt Fälle, wo es wichtig ist „nur“ einen Ring zu haben. Ganzzahlige Matrizen, Matrizen mit Polynom-- oder Laurent--Polynom--Einträgen, oder Matrizen mit sonstigen Funktionen als Komponenten. Beim Invertieren ist nur wichtig, dass die Determinante eine Einheit des Rings ist, d.h. im Ring invertierbar. Ganzzahlig also +1 oder -1, für Laurent--Polynome ein Monom, für stetige Funktionen nirgendwo verschwindend.

Trotzdem ist eine Überarbeitung aus vielen, auch hier stehenden Gründen, angebracht. Ein zusätzlicher: Es steht noch nirgends, was denn eine Matrix nun wirklich ist, d.h. aus mathematischer Sicht. Es steht nur da, wie man sich eine Matrix vorstellen sollte. „Rechteckiges Schema“ ist nicht wirklich mahtematisch exakt.--LutzL 08:09, 13. Jul 2005 (CEST)

Was ist an rechteckiges Schema mit Zahlen drin nicht exakt? Ist umgangssprachlich, aber präziser wirds nicht gehen. --DaTroll 08:37, 13. Jul 2005 (CEST)

Lineare Abbildungen bilden nach meinem Verständnis einen Vektorraum in bzw. auf einen anderen Vektorraum ab; ein Vektorraum ist über einem Körper der Skalare definiert, ein Schiefkörper würde vielleicht auch reichen (?), aber spätestens wenn wir Winkelmessung machen wollen, benötigen wir doch die Division, oder? Ich verstehe zu wenig von Algebra, um nachvollziehen zu können, warum bei den angeführten Beispielen die Skalare nur einen Ring bilden (müssen/dürfen), der kein Körper ist. — Nol Aders 19:07, 14. Jul 2005 (CEST)

Man kann auch endlich erzeugte Moduln untereinander abbilden und zur Beschreibung dieser Abbildung Matrizen mit Ringelementen als Einträgen verwenden. Das ist in der Algebra wichtig. Ein Körper ist auch ein Ring. Manchmal braucht es in der Mathematik die geringstmöglichen Voraussetzungen.--LutzL 07:36, 15. Jul 2005 (CEST)

Eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen $V_{1}\to V_{2}$ mit Basen $B_{1},B_{2}$ wird durch eine Abbildung $B_{1}\times B_{2}\to K$ beschrieben, erst wenn man Ordnungen wählt, wird daraus $\{1,\ldots ,\dim V_{1}\}\times \{1,\ldots ,\dim V_{2}\}$. Zumindest das sollte im Artikel stehen.--Gunther 10:49, 13. Jul 2005 (CEST)

Einfacher, statt Basen einfach zwei endliche Mengen I, J, im üblichen Spezialfall I={1,...,m}, J={1,...,n}. Eine Matrix ist dann, in Verallgemeinerung des Begriffs endliche Folge, eine doppelt indizierte endliche Folge, also eine Abbildung A:IxJ->R. Mit eine zweiten Matrix B:JxK-:R kann das Produkt C=AB:IxK->R definiert werden als $C(i,k)=\sum _{j\in J}A(i,j)B(j,k)$. Mit konvergenzsichernden Bedingungen könnten die Indexmengen auch unendlich sein, womit wir z.B. beim Heisenbergkalkül der Matrixquantenmechanik wären, für welche Hilbert den Begriff des Hilbertraums schuf.--LutzL 11:28, 13. Jul 2005 (CEST)

Das ist für mich beides keine Definition einer Matrix: lineare Abbildungen sind auch mit gewählter Basis und gewählten Koordinaten immer noch lineare Abbildungen. Sie lassen sich kompakt schreiben mit Hilfe eines rechteckigen Zahlenschemas, nämlich der Matrix. Ich kann diese Definition aufblähen mit Indexmengen etc. es bleibt aber ein rechteckiges Zahlenschema. Fischer, Lineare Algebra S. 18 macht es übrigens genau so :-) --DaTroll 18:13, 13. Jul 2005 (CEST)

In Umkehrung zu Gunther unten: Lineare Abbildungen sind eigenständige Objekte, zu ihrer Definition braucht es keiner Matrix, im unendlichdimensionalen Fall gibt es auch keine Beziehungen zu Matrizen. Außerdem werden auch zu Bilinearformen Matrizen assoziiert. Und die formale Definition entspricht genau dem, was in den weiteren Ausführungen benutzt wird: Einem Indexpaar wird eine Zahl bzw. ein Ringelement zugeordnet.--LutzL 09:16, 14. Jul 2005 (CEST)

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Matrizen sind eigenständige Objekte, die unabhängig von Abbildungen existieren und eine formale Definition verdient haben.--Gunther 18:34, 13. Jul 2005 (CEST)

Ja, das habe ich doch gesagt :-) Deswegen wieder die Frage von oben: was ist an "Rechteckiges Zahlenschema" nicht formal? --DaTroll 18:38, 13. Jul 2005 (CEST)

Die Übersetzung in eine mengentheoretisch-logische Formel ist nicht offensichtlich.--Gunther 19:01, 13. Jul 2005 (CEST)

Die Wahl besteht ja zwischen folgenden Definitionen: Eine Matrix ist eine Abbildung $A:\{1,...,n\}\times \{1,...,m\}\to \mathbb {K}$ oder: eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema $(A)_{ij}$, die Elemente werden mit $A_{i}j$ bezeichnet, wobei i der Zeilen und j der Spaltenindex ist. Ich halte die erste für unverständlich und überflüssig und die letzte für sauber, brauchbar und verständlich. --DaTroll 08:53, 15. Jul 2005 (CEST)

Wenn Du Dir anschaust wie endliche Folge (Mathematik) definiert ist, so wirst Du nicht eine Zeile von Werten (wo eigentlich?), sondern eine Abbildung {1,...,n}->M in irgendeine Menge finden. Die Definition für $A=(A_{i,j})_{i=1,...,m;j=1,...,n}$ ist genau die angegebene Abbildung. Was hast Du gegen exakte mathematische Definitionen? Es sagt doch keiner, dass das rechteckige Schema verschwinden soll, nur ist es eben keine mathematische Definition. Analog, Stetigkeit würdest Du (hoffentlich) nicht auf "Graph ohne Absetzen durchzeichnen" reduzieren wollen, nur weil die eps-delta-Definition so unanschaulich ist.--LutzL 09:12, 15. Jul 2005 (CEST)

Man kann natürlich sagen, dass die zweite Definition implizit die erste enthält, aber:

• Da es um relativ elementare Dinge geht, sollte eine leicht formalisierbare Definition nicht fehlen.
• Für allgemeine endlichdimensionale Vektorräume mit Basis ist das rechteckige Zahlenschema verwirrend, weil es die Wahl einer Numerierung der Basis erfordert.
• Die rechteckige Anordnung ist eine Veranschaulichung, nicht Teil der mathematischen Struktur.

--Gunther 09:18, 15. Jul 2005 (CEST)

@LutzL: Selbstverständlich ist es eine mathematische Definition. Und wo ist der Fehler? Zeig ihn mir, anstatt es mit pathologisch falschen Definitionen von Stetigkeit zu vergleichen. Ich kann nur widerholen: Fischer, Lineare Algebra macht es genauso, siehe auch [1]. @Gunther: Ich brauche doch für eine Matrix immer eine Nummerierung der Basis, sonst kann ich den Zusammenhang zur konkreten linearen Abbildung nicht formulieren. Was die mathematische Struktur angeht, so steckt auch in der Abbildung wie ich sie oben genannt habe keine drin. Ich kann übrigens durchaus damit leben, beide Definitionen anzugeben, nicht jedoch damit, dass so getan wird, dass "meine" keine ist. --DaTroll 12:49, 16. Jul 2005 (CEST)

• Ich brauche keine Numerierung der Basis. Sind $V,V'$ Vektorräume über $K$ mit Basen $B,B'$ und $A\colon B\times B'\to K$ eine "Matrix", so ist die entsprechende lineare Abbildung gegeben durch

$\sum _{b\in B}\lambda _{b}b\mapsto \sum _{b'\in B'}{\Big (}\sum _{b\in B}\lambda _{b}a(b,b'){\Big )}\cdot b'.$

Umgekehrt kann man die Matrix zu einer linearen Abbildung $f\colon V\to V'$ durch

$f(b)=\sum _{b'\in B'}a(b,b')b'$

finden.

• Unter einer "mathematischen Definition" verstehe ich etwas, das auf offensichtliche oder bekannte Weise in der formalen Sprache von z.B. ZFC ausgedrückt werden kann. Solange diese Übersetzung nicht klar ist, kann ich "rechteckiges Zahlenschema" nur als Veranschaulichung ansehen, nicht als Definition. Dass Fischer den Erstsemestern zuliebe auf diesen Grad an Exaktheit verzichtet, möge man ihm nachsehen.

--Gunther 13:30, 16. Jul 2005 (CEST)

Mhmh, hier scheiden sich glaube ich etwas die Geister. Für mich ist eine mathematische Definition etwas, was ein Stück Mathematik definiert. Wie nah ich mit der Definition an ZFC bin, ist für mich da kein Kriterium. Solange die ZFC-Darstellung möglich ist, ist es Mathematik. Die Auswahl der Definition sollte vielmehr nach praktischen Kriterien erfolgen, beispielsweise Verständlichkeit, einfache Verallgemeinerungsmöglichkeiten oder technische Vorteile.

Das mit der Basisnummerierung ist ein Punkt. Allerdings wirkt es für mich auch auf den zweiten Blick noch etwas komisch: wenn ich mit der linearen Abbildung oder der Matrix rechnen will, muss ich irgendwann eh eine Entscheidung treffen, welches Basiselement ich als erstes anfassen will. Vielleicht bin ich auch zu sehr Numeriker, aber definiert irgendjemand eine Matrix in einer entsprechenden Weise? --DaTroll 12:18, 17. Jul 2005 (CEST)

Ich sage nicht, dass die Definition formal sein muss, aber es muss klar sein, wie man sie formalisieren könnte. Für die Matrizen schaue ich mal nach, es gibt nun einmal wenig gute Texte zur LA.--Gunther 12:24, 17. Jul 2005 (CEST)

Was spricht eigentlich gegen die Definition einer $(m\times n)$-Matrix als Objekt der Menge $(K^{m})^{n}$? Dafür dürfte doch auch sprechen, dass $(m\times n)$-Matrizen durchaus gelegentlich als Vektoren aus dem $K^{m\cdot n}$ betrachtet werden.

(Der $(K^{m})^{n}$ ist doch als $K$-Vektorraum zu $K^{m\cdot n}$ isomorph, oder täusche ich mich?)

Mfg --PlayDead 02:45, 25. Jul. 2008 (CEST)

Matrizenmultiplikation

Ist der Part nicht das Gegenteil von dem, was der Artikel bei dem Beispiel anführt?

 Um zwei Matrizen zu multiplizieren müssen die Einträge einem Ring entstammen und
 die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen.
 Ist nun $A$ eine $l\times m$-Matrix und $B$ eine
 $m\times n$-Matrix dann ist $A\cdot B$ eine $l\times n$-Matrix.

Laut dem Artikel müsste man annehmen, dass bei der Multiplikation der Matrizen $A$ & $B$ eine quadratische Matrix $C$ entstehen müsse. Und die Ergebnis-Matrix in dem Beispiel ist tatsächlich quadratisch, aber "anders" qadratisch, denn sie ist (im Beispiel) $m\times m$ Felder groß.

Was ist denn nun richtig?

--84.130.246.69 16:20, 1. Mai 2006 (CEST) (warui(at)warui(dot)de)

Also ich habe mir den Artikel zwar nicht durchgelesen, dass heißt ich weiß nicht auf welche Weiße es dort erkärt wurde, aber allgemein gilt: A ist eine m*l Matrix und B eine l*k Matrix, dann ist für AB=C, C eine m*k Matrix

Also so, wie es im Artikel steht, ist es richtig. -- Philipendula 21:00, 16. Apr. 2008 (CEST)

"Adjunkte zum Platz ν, μ"

In einem meiner Skripte steht:

Z ist eine Matrix, dann ist |Z|_νμ die Adjunkte zum Platz ν, μ.

Weiß jemand, was mit der Adjunkten gemeint ist? Sie steht im Zusammenhang mit der Cramerschen Regel, so vermute ich. Danke, --Abdull 16:41, 14. Aug 2005 (CEST)

Hi, das ist ein Eintrag aus dem, was hier komplementäre Matrix genannt wird. Genauer die Determinante der Matrix, die man durch "Streichen" der ν-ten Zeile und μ-ten Spalte erhält. Evtl. kommt noch ein Vorzeichen (-1) ^ν+μ dazu. Adjunkt bzw. adjungiert (beides lat.(?) für "zugeordnet") ist genau so ein "Unwort" in der Mathematik wie "generisch" oder "kanonisch". Man kann die Bedeutung aus dem Kontext raten, aber man sollte immer nach der Definition des Autoren suchen.--LutzL 10:54, 22. Aug 2005 (CEST)

Hm, bei "generisch" möchte ich das bestreiten ("gültig für einen offenen dichten Teil" oder "gültig im generischen Punkt").--Gunther 11:07, 22. Aug 2005 (CEST)

notation

† oder # ?

Die Wikipedia scheint derzeit zum Thema komplementäre Matrix nicht einheitlich zu sein. In dem Artikel Minor (Mathematik) heißt die komplementäre Matrix A^#, im Artikel Matrix (Mathematik) wiederum A^†. Es wäre schön, die bevorzugte Schreibweise zu vereinheitlichen.

Danke, --Abdull 17:55, 14. Aug 2005 (CEST)

Eckige oder runde Klammern?

Meiner Ansicht nach haen sich inzwischen eckige Klammern weitgehend für Matrizen und vektoren durchgesetzt. Eckige Klammern geben auch die richtige visuelle unterstützung dafür das eine Matrix ein Rechteck aus Zahlen ist. Ich ändere das mal. --janlo 10:12, 19. Mai 2006 (CEST)

Meiner Meinung nach sind runde Klammern immer noch der Standard. Alle Lehrbücher, die ich kenne und alle aktuellen wissenschaftlichen Publikation in der Mathematik und Informatik benutzen runde Klammern. Daher plädiere ich auch hier für runde Klammern --V4len 12:19, 19. Mai 2006 (CEST)

Meine Erfahrung und eine kleine Stichprobe unter meine Büchern spricht gegen die These, dass sich eckige Klammern weitgehend durchgesetzt haben. Ich habe die Änderung deshalb wieder rückgängig gemacht. --Stefan Birkner 12:22, 19. Mai 2006 (CEST)

Ihr habt recht, sie als Standard zu bezeichnen war leicht übertrieben. Ich habe inzwischen Artikel gesehen (Fachartikel und bei Wikipedia), wo beide Formen vorkamen. Meistens wurde wenn es kompliziertere und größere Sachen waren auf die Eckigen übergegangen. Ich würde mal behaupten, das eckig 'moderner' ist, wegen oben genanter Analogie zum Rechteck. Bevor ich geändert hatte hate ich auf der Englischen Wikipedia auch die eckigen gesehen und fand das besser. Weil es ja den inhalt nicht betrifft und beides verständlich ist, hab ich auf die Diskussion vorab verzichtet, sorry Squizz. Letztlich ist es denke ich eine Geschmacksfrage. --janlo 18:00, 19. Mai 2006 (CEST)

Trotz allem ist der Hinweis auf eckige Klammern interessant und ich habe ihn in den Artikel eingebaut. --Stefan Birkner 18:12, 19. Mai 2006 (CEST)

Find ich auch ganz gut. Dann kann man es in anderen Artikeln machen wie man meint und hier hat mans Erklärt wie es ist. --janlo 20:22, 22. Mai 2006 (CEST)

Finde dass man bei runden Klammern bleiben sollte. Die eckigen kommen wahrscheinlich durch Programme wie MatLab in den Gebrauch.

Die Englische WP hat inzwischen auf eckige gewechselt und will scheint das als Standard duchziehen zu wollen. --janlo 14:08, 28. Nov. 2007 (CET)

Ich bevorzuge rechteckige, weil sie platzsparend sind. --Philipendula 16:05, 28. Nov. 2007 (CET)

die diskussion hier laeuft zweigleisig. die fragen lauten: 1. was ist da draussen wirklichkeit und soll entsprechend hier beschrieben werden? 2. welche notation soll die wikipedia verwenden?
das erste problem loest der artikel imho bereits sehr gut durch neutrale formulierung, die afaik auch recht gut die wirklichkeit wiedergibt. dort wird naemlich beides haeufig verwendet. und da beide notationen keine wesentlichen vor- oder nachteile haben, sollten wir die zweite frage nicht pauschal s/w beantworten, sondern einfach beides zulassen. das gibt sonst bloss wieder sinnlose diskussionen der runden und der eckigen befuerworter bzw. fuehrt zu vielen mehrwertlosen aenderungen. bei anderen mathematischen, nicht-normierten notationen (z.b. skalarprodukt, vektorenschreibweise, x vs. \mathrm x (fuer x aus {d,e,i}), ...) handhaben wir es ja bereits ebenso flexibel, <wowereit />. falls es zur zweiten frage dennoch diskussionsbedarf geben sollte, ist das mathe-portal imho die bessere anlaufstelle. -- seth 01:02, 29. Nov. 2007 (CET)

Überschneidungen mit Lineare Algebra

Die Abschnitte Matrix (Mathematik)#Zusammenhang mit linearen Abbildungen und Lineare Algebra#Zusammenhang mit linearen Abbildungen überschneiden sich ziemlich. Sollte man da was zusammenfassen? --HeikoTheissen 19:02, 6. Okt 2005 (CEST)

Vor allem bin ich der Meinung, dass Lineare Algebra eher eine Übersicht geben sollte und sich Matrix (Mathematik) mit den technischen Details befassen sollte und nicht umgekehrt.--Gunther 19:06, 6. Okt 2005 (CEST)

Also den Abschnitt Lineare Algebra#Zusammenhang mit linearen Abbildungen löschen und ggf. in den Abschnitt Matrix (Mathematik)#Zusammenhang mit linearen Abbildungen einarbeiten? --HeikoTheissen 08:25, 7. Okt 2005 (CEST)

Nein, ganz löschen würde ich das nicht, weil das einer der Kernpunkte der linearen Algebra ist. Aber halt etwas weniger ausschweifend. --DaTroll 08:35, 7. Okt 2005 (CEST)

Erledigt. --HeikoTheissen 18:34, 7. Okt 2005 (CEST)

Zusammenhang mit linearen Abbildungen

Der Abschnitt setzt zu Beginn nur einen Ring $K$ voraus und redet dann von linearen Abbildungen, die aber nur für einen Körper $K$ definiert sind. Auch der erwähnte Spaltenvektorraum ist über einem Ring nicht ausdrücklich definiert. --HeikoTheissen 14:17, 10. Okt 2005 (CEST)

Der Abschnitt setzt zu Beginn sogar nur eine Menge vor raus, auf der keine einzige Verknüpfung definiert sein muss. --Jiri Kraus 14:52, 26. Okt 2005 (CEST)

An Jiri Kraus: Deine Antwort verstehe ich nicht; auf welchen Abschnitt beziehst Du dich? An HeikoTheissen: Wenn Du vom derzeitigen Stand des Artikels linearen Abbildungen ausgehst, hast Du ja recht. Der muß einfach noch angepaßt werden, denn auch in Moduln über Ringen, die nicht Körper sind, weiß man genau, welche Abbildungen man linear nennen will: Eben genau diejenigen, die additiv und homogen sind. Es gehen in diesem allgemeineren Kontext lediglich einige schöne Eigenschaften hops, die man aus der klassischen linearen Algebra in Vektorräumen gewohnt ist.--JFKCom 20:07, 26. Okt 2005 (CEST)

Inverse Matrix

Hier ist auch noch ziemlich viel Ballast, der bei den Wikibooks besser aufgehoben waere. Vor allem das Beispiel bei 5.1... Solche Loesungsmethoden gehoeren in den Artikel Gausssches Eliminationsverfahren, welcher bzgl. der Verwendung von Matrizen sicherlich Verbesserungsbedarf hat... Haize 17:30, 10. Okt 2005 (CEST)

Ich stimme Dir ja inhaltlich zu, finde es aber nicht gut, in einem Artikel Inhalte zu löschen, und sie dann nicht in den anderen reinzutun, in den ein Textabschnitt besser reinpasst. --DaTroll 18:50, 10. Okt 2005 (CEST)

Naja das Problem ist einfach, dass diese Inhalte nicht im geringsten allgemein formuliert sind. Man kann z.B. diesen Textabschnitt 5.1 nicht kopieren, sondern muss ihn ueberhaupt erst "schreiben"... Haize 00:58, 11. Okt 2005 (CEST)

Das 9x9-LGS ist definitiv entbehrlich; wie man die Inverse mit Gauß berechnet, kann man ja in invertierbare Matrix o.ä. angeben, aber hier ist das falsch. Die explizite Formel ist insofern sinnvoll, als sie zeigt, dass Matrizen mit invertierbarer Determinante invertierbar sind.--Gunther 01:07, 11. Okt 2005 (CEST)

@Haize: Also wirklich ueberfluessig ist das 9*9-Beispiel. Das Beispiel zum Gauss finde ich dagegen sogar hier irgendwie sinnvoll, weil das ein schoener Zugang zum Rang einer Matrix und zur Loesbarkeitstheorie von linearen Gleichungssystemen ist. --DaTroll 10:21, 11. Okt 2005 (CEST)

Naja, da stimm ich dir irgendwo zu... Dann mach ich mich mal ran, dass 9x9-Beispiel wegzumachen...Ist die Frage, was mit dem Rest ist. Sieht IMHO nicht wirklich schoen aus. 68.158.186.29 00:24, 12. Okt 2005 (CEST)

Elemente einer Matrix

In seiner Artikelbearbeitung vom 4.10.2005 behauptet Mitarbeiter <Gunther>:

'es gibt auch sinnvolle Matrizen, deren Einträge nicht aus einem Ring stammen´

Da ich seit ueber 20 Jahren Arbeit an der Uni noch nie eine solche gesehen habe, kann ich mir das kaum vorstellen und haette gerne ein konkretes Beispiel von so einer Matrix gesehen. Wie sollen denn Matrizen sinnvoll addiert und multipliziert werden, wenn ihre Elemente nicht aus Ringen stammen? Welches der Ringaxiome soll da wegfallen?

Last not least, sollte fuer ein besseres Leserverstaendnis schon irgendwie zum Ausdruck kommen, dass bei (mindestens) 99% aller Anwendungen die Matrizen Elemente aus Ringen haben.

Goswin

Ohne genau zu wissen, was Gunther im Sinn hatte, so bestehen doch die meisten Matrizen einfach aus Zahlen. Die direkte Erwaehnung von Ringen in der Einleitung ist deswegen IMHO unnoetig kompliziert und sollte aus Gruenden der Verstaendlichkeit erst spaeter konkretisiert werden. --DaTroll 09:44, 24. Okt 2005 (CEST)

"Blockmatrizen": Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume. Dann lassen sich Endomorphismen von $V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}$ als $n\times n$-Matrizen $(a_{ij})$ mit $a_{ij}\in \operatorname {Hom} (V_{j},V_{i})$ beschreiben, und das sind für $i\neq j$ keine Ringe.--Gunther 10:26, 24. Okt 2005 (CEST)

Intervallmatrizen: Die Komponenten der Matrix sind hier reelle Intervalle (Anwendung z.B. in der Computeralgebra). Addition und Multiplikation sind von $\mathbb {R}$ übertragbar, aber an Stelle des Distributivgesetzes gelten nur das Subdistributivgesetz und das Semidistributivgesetz. Die Intervallmatrizen sind ein Spezialfall der Mengenmatrizen, die in den Komponenten irgendwelche Teilmenge von $\mathbb {R}$ stehen haben.

Termmatrizen: Die Komponenten der Matrix sind hier algebraische Terme, die z.B. rationale Zahlen, Klammernpaare, freie und/oder gebundene Variablen, Operatoren $+,-,\cdot ,/\ldots$ enthalten. Addition und Multiplikation von Termen geschieht durch Hintereinanderschreiben mit dem Operator (und eventuelles Zufügen von Klammern); Beispiel: $t_{1}=x^{2}+1,\;t_{2}=a,\;t_{1}\cdot t_{2}=(x^{2}+1)\cdot a$. Jedes Computeralgebrasystem operiert alltäglich mit solchen Termmatrizen. Zusätzlich gibt es natürlich noch einen Vereinfachungsoperator (oder eigentlich sehr viele unterschiedliche davon), der Terme in äquivalente kürzere überführen kann. So funktioniert die exakte Arithmetik in der Computeralgebra, wie sie jedes (halbwegs taugliche) Computeralgebrasystem benutzt.--JFKCom 22:44, 24. Okt 2005 (CEST)

weblinks

weiterer Link?

Hallo, ich habe gerade einen online-Matrizenrechner (Grundrechenarten) in PHP fertig geschrieben und wollte hier mal anfragen ob man ihn nicht unter dem Artikel verlinken könnte - vielleicht hilft das ja dem ein oder anderem der über Wikipedia hinaus sich mit Matrizen beschäftigen möchte bzw. mit ihnen rechnen muss. Bisher ist ja leider noch kein Rechner verlinkt ...

Hier der Link: .../matrix.php

MfG Jörg

Wirkt auf mich nicht so richtig überzeugend. "Symmetrisch" ist ein Fachausdruck, und mir ist nicht klar, was ich mir unter der Division im Kontext von Matrizen vorstellen soll, insbesondere dann, wenn sie nicht quadratisch sind.--Gunther 22:21, 5. Nov 2005 (CET)

Begriff wurde korrigiert. p.s.: vielleicht sollte man, wenn meiner nicht ausreicht einen anderen Rechner draufstellen (bzw. Link zu einem Rechner). Zumindest ich hab das vermißt als ich das erste mal mich hier über Matrizen informiert habe ... MfG Jörg

matrix cookbook

spricht was dagegen, den weblink http://matrixcookbook.com/ aufzunehmen? -- 141.3.74.36 11:48, 21. Jun. 2007 (CEST)

Andersrum: Was spricht dafuer? --P. Birken 12:21, 21. Jun. 2007 (CEST)

es ist ne schoene, kompakte (nicht im mathematischen sinne, hihi) uebersicht ueber eigenschaften von matrizen und den umgang mit ihnen, die ueber das hinausgeht, was im wiki-matrix-artikel erzaehlt wird. und es geht teilweise auch ueber das hinaus, was in den anderen wiki-artikeln zum thema matrix erzaehlt wird. allerdings werden dort (und das wuerde vielleicht gegen den link sprechen) keine beweise oder grossartige erklaerungen gegeben. kurz: es ist eine art matrix-formelsammlung. duerfen formelsammlungen verlinkt werden? -- 141.3.74.36 19:39, 21. Jun. 2007 (CEST)

und jetzt? heisst "keine antwort", dass du bisher keine zeit hattest, noch mal zu antworten oder dass du immer noch nicht einverstanden bist? -- 141.3.74.36 18:15, 26. Jun. 2007 (CEST)

Sorry für die späte Antwort, aber Weblinks sind nicht besonders hoch auf meiner Prioritätenliste. Ansonsten: Ja, sieht gut aus, ist ne wertvolle Ressource. --P. Birken 22:29, 26. Jun. 2007 (CEST) P.S.: Melde dich doch mal an!

ok, werd's aufnehmen. ich bin die ip-adresse. ich hab jedoch mein passwort nicht im kopf, um meiner beobachtungsliste fernzubleiben. sonst mach ich hier viel zu viel. ;-) -- seth 23:59, 26. Jun. 2007 (CEST)

Hmpf. --P. Birken 09:38, 27. Jun. 2007 (CEST)

hmpf? -- 141.3.74.36 13:45, 27. Jun. 2007 (CEST)

Webapplets

Warum wurden meine Links zu 2 Java-Webapplets gelöscht? Ich finde sie sehr nütlich. Außerdem finde ich Stefans Begründung, die Darstellung auf seinem (!) Rechner sei fehlerhaft nicht ausreichend.

Wenn die Darstellung auf meinem Rechner fehlerhaft ist, ist sie wahrscheinlich auch auf anderen Rechnern fehlerhaft. Unter welchen Konfiguration hast du dein Programm schon getestet? --Stefan Birkner 14:52, 12. Apr. 2007 (CEST)

Die Programme sind nicht von mir, sondern vom Schulministerium NRW. Mit Firefox 2 und Java SE 6 unter Windows XP SP2 lassen sie sich problemlos darstellen. --Volton 00:17, 15. Apr. 2007 (CEST)

Nur Lauffähigkeit unter Windows ist einfach zuwenig. Ganz abgesehen von inhaltlichen Aspekten. --Stefan Birkner 01:36, 15. Apr. 2007 (CEST)

Stimmt, schließt 3% Linuxnutzer aus, wie diskriminierend. Postet doch den Link wenigstens nochmal hier auf der Diskussionsseite. --F GX 12:49, 21. Jul. 2008 (CEST)

Alternative Definition

In der alternativen Definition steht: Seien $K$ eine Menge und $m,n\geq 1$ natürliche Zahlen. Jede Abbildung $A:\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}\to K$ heißt Matrix. Das mit der Menge sollte man genauer spezifizieren. Schließlich bildet z.B. eine mxn-Matrix eine nxr-Matrix auf eine mxr-Matrix ab (beim Rechtsdranmultiplizieren). Wie soll man sich das sonst vorstellen, wenn man nun eine Menge K={1} hat und n=4, m=4 sind?! --Haize 14:08, 23. Dez 2005 (CET)

Das sollte eigentlich nicht "alternative" sondern "mathematisch formale" Definition sein. Die grafische Vorschrift zum Hinschreiben einer Matrix auf Papier ist keine mathematische Definition, dazu gibt es schon eine ausführliche Diskussion weiter oben. Die Werte der Abbildung A(i,j) werden bei Matrizen in "alter" Schreibweise nach unten gesetzt, die "A_i,j" sind dann einfach die Komponenten der Matrix. Oder andersherum: Die Zuordnung Indexpaar zu Komponente ist genau diese Abbildung. Für die Matrixmultiplikation muss K natürlich entsprechende Operationen mitbringen, minimal dafür ist ein Monoid, üblich sind kommutative Ringe (z.B. Polynome), allgemein gebräuchlich Zahlen, d.h. $K=\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\ oder\ \mathbb {C}$--LutzL 14:17, 23. Dez 2005 (CET)

Spieltheorie-Anwendung

Das Anwendungsbeispiel aus der Spieltheorie halte ich in diesem Artikel für deplaziert; bzgl. Matrizen demonstriert es nur das Hinschreiben von 3x3-Matrizen aus einer "Textaufgabe". M.E. gehört dieses Beispiel besser nach Optimierungstheorie oder eben Spieltheorie selbst.--JFKCom 23:55, 5. Jan 2006 (CET)

Das sehe ich genauso. Die Frage ist sogar, ob man die Extremalstellen noch rausnimmt. Aber vielleicht reicht ein einfaches umformulieren, damit es nicht mehr den linearen Abbildungen gegenüber gleichberechtigt aussieht. --DaTroll 11:21, 6. Jan 2006 (CET)

Ich habe die Abschnitte nach Matrix (Mathematik)/Weitere Anwendungen ausgelagert. --HeikoTheissen 11:44, 20. Jan 2006 (CET)

Idempotente Matrix

Hatte die idempotente Matrix eingefügt und gerade hocherfreut festgestellt, dass es schon die Projektionsmatrix gibt. Allerdings fände ich den Begriff idempotent etwas allgemeingültiger, passend zu quadratisch, symmetrisch usw. Ist denn defintionsgemäß jede idempotente Matrix eine Projektionsmatrix? --Philipendula 12:15, 6. Jan 2006 (CET)

Projektionsmatrix: P^2 x=Px. Also sind alle idempotenten Matrizen Projektionen. Siehe auch Idempotenz. --DaTroll 12:22, 6. Jan 2006 (CET)

Steht denn schon irgendwo der Zusammenhang zwischen idempotenten Endomorphismen und Zerlegungen als direkte Summe (d.h. jede Projektion erfolgt entlang eines Unterraumes)?--Gunther 12:35, 6. Jan 2006 (CET)

Ja, unter Projektion (Mathematik). --DaTroll 12:38, 6. Jan 2006 (CET)

Ups, sollte ich eigentlich wissen :-) --Gunther 12:38, 6. Jan 2006 (CET)

:-) --DaTroll 12:39, 6. Jan 2006 (CET)

Eine Matrix ausrechnen

Hallo zusammen,

ich bin nicht einer, der gerne Mathematik studieren würde. Ich hab eben grad es geschafft, Mathematik "einfach" zu finden. Ich habe einen Vorschlag, wie wäre es - kann sein dass es schon da ist - wenn man einfach auch mit einem Beispiel eine Matrix und deren Funktion löst. Bzw. mit einer Matrix eine Funktion löst. In diesem Artikel steht nämlich die verschiedenen Matrixen und wie man sie addiert, subbtrahiert und potenziert. Aber was wenn man nur eine Matrix hat und man will eine Lösung damit herleiten. Wir nutzen gerade Matrixen statt Gleichungssystem für Ganzrationale Funktionen.

Danke, falls der Artikel diesen Bereich schon beschreibt, seht diesen Diskussionsbeitrag als unnötig an.

mfg

magigstar

Ich weiss leider nicht, was Du eigentlich meinst. Moeglicherweise suchst Du den Artikel Lineares Gleichungssystem? --P. Birken 12:45, 30. Mai 2006 (CEST)

Schau mal in die Version [2] unter den Gliederungspunkt Umformen von Matrizengleichungen. Vielleicht ist da was für dich dabei. --Philipendula 13:56, 30. Mai 2006 (CEST)

Ja genau das meine ich, dankeschön. Also mithilfe einer Matrix löse ich ja sozusagen dann ein Lineares Gleichungssystem. Ich wusste nicht, dass ich das unter Lineares Gleichungssystem zu finden wäre sondern allgemein unter Matrix mfg magigstar

? --Philipendula 18:23, 30. Mai 2006 (CEST)

Ein weiterer Artikel kann dazu vielleicht helfen, und zwar folgender, der über den Gaußsches Eliminationsverfahren. Ich hab ihn mir nicht genau durchgelesen, werde ich noch, aber da steht genauestes, wie eine Matrix (oder auch ein lineares Gleichungssystem lösen kann)

mfg

magigstar

Änderung vom 8. September 2006

Ich habe den Satz

Die Verwendung eines Spaltenvektors hat den Vorteil, dass man diesen direkt mit einer passenden Matrix multiplizieren kann.

entfernt, da ich darin keinen tieferen Sinn erkennen kann. --Squizzz 07:19, 8. Sep 2006 (CEST)

Ich denke, der war nur unglücklich formuliert und sollte bedeuten:

Die Verwendung eines Spaltenvektors hat den Vorteil, dass das Anwenden einer linearen Abbildung auf einen Vektor der Multiplikation mit der repräsentierenden Matrix von links entspricht, was optisch besser wirkt als die spiegelbildliche Variante mit Zeilenvektoren.--JFKCom 21:38, 16. Nov. 2006 (CET)

Assoziativität der Matrixmultiplikation

Der Artikel behauptet, die Matrixmultiplikation sei immer assoziativ. Fehlt da nicht eine passende Bedingung zu den Dimensionen? So funktioniert, wenn $A$ eine 2x4 Matrix, $B$ eine 4x4 Matrix und $C$ eine 4x1 Matrix ist, zwar die Multiplikation $A(BC)$ nicht aber die Multiplikation $(AB)C$ da die Dimensionen von $A$ und $B$ nicht zueinander verträglich sind.

ABC ist nur definiert, wenn AB und BC definiert sind. Eine nicht definierte Multiplikation ist natuerlich nicht assoziativ, muss aber auch nicht betrachtet werden. Das von Dir genannte Beispiel ist so eins: keine Matrixmultiplikation, da nicht definiert, natuerlich auch nicht assoziativ. --P. Birken 17:01, 16. Nov. 2006 (CET)

Ich bin ja chronisch unzuverlässig, was $m\times n$ und $n\times m$ angeht, aber wenn ich mich nicht täusche, existieren im angegebenen Beispiel alle Produkte.--Gunther 17:34, 16. Nov. 2006 (CET)

Hiermit gebe ich mein Vordiplom zurück. --P. Birken 18:42, 16. Nov. 2006 (CET)

Wirst ja kaum noch Verwendung dafür haben... Deine Änderung verstehe ich trotzdem nicht. Wann immer die Matrizen mit der einen Klammerung zusammenpassen, passen sie auch mit der anderen Klammerung, und die beiden Produkte sind gleich.--Gunther 18:45, 16. Nov. 2006 (CET)

Ich weiß irgendwie gar nicht mehr was ich sagen soll. Ich glaub ich editier heute nicht mehr. Oder vielleicht noch sowas wie Addition, das geht hoffentlich noch mit ausgeschaltetem Hirn. --P. Birken 18:57, 16. Nov. 2006 (CET)

Limes einer Matrix

sollte nicht vielleicht auch der Limes einer Matrix erwähnt werden?

Also was in der Form : $\lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}=...$

--89.59.195.111 17:56, 11. Dez. 2006 (CET)

Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix zum Körper $\mathbb {R}$, so ist $A^{k}$ ein Element des $n^{2}$-dimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraums. Die Grenzwerte dort sind ja hinreichend besprochen worden. Wenn man also den Grenzwert besprechen möchte, sollte man direkt mit einer allgemeinen Definition anfangen und dann $A^{k}$ und $\exp(A)$ als Spezialfälle behandeln. Nur $A^{k}$ zu besprechen, finde ich etwas wenig. --V4len 00:22, 12. Dez. 2006 (CET)

Wurzel

Nun, da man eine Matrix Potenzieren kann: was ist mit ihrer Wurzel? Gibt es dafür irgendein Verfahren?

Man kann es für eine symmetrische Matrix angeben: Man nennt die Wurzel aus einer Matrix A $A^{\frac {1}{2}}$ und sie wird mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren ermittelt. --Philipendula 10:38, 1. Feb. 2007 (CET)

Die Wurzel $W$ einer Matrix $A$ ist aber mit Vorsicht zu behandeln, da sie nicht immer als Matrix verstanden wird, die die Gleichheit $W\cdot W=A$ erfüllt. Teilweise versteht man darunter auch die Matrix, die die Gleichheit $W\cdot W^{T}=A$ erfüllt... --V4len 14:53, 2. Feb. 2007 (CET)

...eine Matrix, die ..., denn all die erwähnten Wurzelbegriffe sind nicht eindeutig, bei Matrizen sind noch weitere Varianten neben dem einfachen Vorzeichenwechsel möglich. Eindeutig geht nur für symmetrische Matrizen in der Nähe der Einheitsmatrix, wenn als Wurzel eine symmetrische Matrix in der Nähe der Einheitsmatrix verlangt wird. Dann kann man die Binomialreihe der Wurzelfuntkion verwenden.--LutzL 16:35, 2. Feb. 2007 (CET)

Ja, das hatte ich jetzt unterschlagen. So erfüllen alle orthognale Matrizen $A\in O(n)$ die Gleichheit $A\cdot A^{T}=E_{n}$, wobei $E_{n}$ die Einheitsmatrix ist. Das Problem, auf das ich hinweisen wollte, ist, dass nicht nur die Lösung der quadratischen Gleichung nicht eindeutig ist. Die Nichteindeutigkeit gilt schon für die quadratische Gleichung selber ;) --V4len 16:17, 4. Feb. 2007 (CET)

Hmm, also wie jetzt: Gibt es für gegebenes A irgendeine Möglichkeit, ein W (irgendeins) zu finden, sodass W*W=A gilt? Wenn nicht: weiß mans nicht oder geht es bewiesenermaßen nicht? Ich denke, solche Sachen sollten in den Artikel, oder?

Falls du das konkret brauchst: Bei einer symmetrischen Matrix A, deren Eigenwerte sämtlich positiv sind, kannst du $A^{q}$, (q ganzrational) errechnen als $\Gamma \cdot \Lambda ^{q}\cdot \Gamma ^{T}$, wobei $\Gamma$ die Matrix der Eigenvektoren und $\Lambda ^{q}$ die Diagonalmatrix der mit q potenzierten Eigenwerte, $\lambda _{i}^{q}$, von A darstellt. Es lässt sich jede symmetrische, mindestens positiv semidefinite Matrix in das Produkt zerlegen: $A=B\cdot B^{T}$. Das ist alles, was ich momentan so aus Kopf wiedergeben kann. Wenn, sollte das vielleicht eher in den Artikel Symmetrische Matrix. --Philipendula 12:26, 11. Feb. 2007 (CET)

Ich brauch das nicht konkret, aber vielen Dank trotzdem für Deine Ausführungen. Ich habe mich nur immer gewundert, warum man so ein Gesumms um Eigenwerte etc macht, aber Dinge wie die "klassischen" Operationen so stiefmütterlich behandelt. Gerade bei der Planung von Abläufen (Netzwerke, Erreichbarkeit etc.) durch Adjazenzmatrizen wären Wurzeln gute Möglichkeiten, um sie zu vereinfachen (z.B. gibt mir das Quadrieren einer Adjazenzmatrix die Punkte, die ich in zwei Schritten erreiche. Umgekehrt könnte man durch Wurzelziehen Knoten herausrechnen, wenn die Wege nicht möglichst kurz sein sollen). Dazu müsste man aber Wurzeln aus beliebigen Matrizen ziehen können, und möglichst viele Nullen drin haben. Marathi 17:49, 11. Feb. 2007 (CET)

Quadratwurzel#Quadratwurzeln aus Matrizen

Geschichte?

Bei Vektor ist wenigstens kurz vermerkt, dass Graßmann Vektoren als erster aufgeschrieben, verwendet, wie auch immer, hat. Aber wer hat die ersten Matrizen multipliziert, etc.? Auch Graßmann? Wenn nicht muss es eigentlich kurz danach gewesen sein. - AlterVista 22:07, 20. Mär. 2007 (CET)

Matrizen gab es schon vor 2000 Jahren bei den Chinesen, wie man in der engl. wiki nachlesen kann. Vielleicht kann man ja hier einen ähnlichen Absatz einfügen. --Tommy137 23:55, 12. Okt. 2007 (CEST)

Distributivität

Im Artikel wird die Distributivität von Matrizen überhaupt nicht genannt. Auch wenn aus den genannten Eigenschaften die Distributivität folgt, wäre es gut, das explizit aufzuführen.

$(A+B)C=AC+BC;\quad A,B,C:m\times n$

--BuschJaeger 17:24, 15. Jun. 2007 (CEST)

Ist die Distributivität von Matritzen inzwischen im Artikel? Konnte sie auf die schnelle nicht finden von daher denke ich mal nicht! Da diese information nicht grade uninteressant ist finde ich sollte es in den Artikel.

SpeedDisaster 15:14, 18. Sep. 2007 (CEST)

Distributivität habe ich inzwischen eingefügt. --Tolentino 13:55, 10. Okt. 2007 (CEST)

Sind Spaltenvektoren Vektoren?

Ich habe den Satz

(Das ist eine abgekürzte, ungenaue Sprechweise, denn eine einspaltige oder einzeilige Matrix kann nur eine Darstellung eines Vektors sein, abhängig vom Koordinatensystem – im Gegensatz zum Vektor selbst.)

gelöscht.

Begründung: Erstens bilden die einspaltigen bzw. die einzeiligen Matrizen sehr wohl einen Vektorraum (wie auch die m × n-Matrizen. Zweitens betrachtet man oft den "Koordinatenvektorraum" K^n, dessen Elemente n-Tupel sind, die sich sehr leicht direkt mit Spalten- bzw. Zeilenvektoren identifizieren lassen. --Digamma 00:36, 11. Nov. 2007 (CET)

Im Artikel steht: "Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix." Danach sollte noch stehen: Eine Matrix, bei der sich die Anzahl der Zeilen von der Anzahl der Spalten unterscheidet, heißt rechtwinklige Matrik. Eine rechtwinklige Matrix kann im Extremfall nur eine Zeile oder nur eine Spalte haben. Ein Sonderfall der quadratischen Matrix ist die diagonale Matrix, bei der alle Zahlen außerhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind. (einige Beispielbilder wären sehr anschaulich). --91.61.24.51 23:08, 21. Jun. 2008 (CEST)

Von einer rechtwinkligen Matrix habe ich nicht gehört, übrigens auch nicht von einer rechteckigen Matrix. Die Diagonalmatrix ist etwas anderes und hat an dem Punkt nichts zu suchen. --P. Birken 18:42, 22. Jun. 2008 (CEST)

Sprachliches

Oh hallo! Ich hab bei "Einselement" einen Bindestrich reingeklemmt, um die Lesbarkeit zu erhöhen (ich musste dreimal hinschauen um mich davon zu überzeugen, dass das kein Tippfehler von "Einzelelement" ist). Sollte jemand damit Schwierigkeiten haben, schlage ich konsequenterweise die Verwendung von "neutrales Element" vor, wie diese Weiterleitung zeigt: http://de.wikipedia.org/wiki/Einselement

143.50.152.76 13:50, 2. Dez. 2008 (CET)

Spezielle Matrizen

Sollte man in diesem Kapitel vielleicht noch ein paar mehr Typen aufführen, wie Matrizen in Diagonalform (die nur in wenigen Parallelen zur Hauptdiagonalen belegt sind), dünn belegte Matrizen, Dreiecksform usw. Und dabei auch erwähnen, dass es für solche besonderen Eigenschaften auch besondere Rechenverfahren zur Lösung von Gl-Systemen gibt? (nicht signierter Beitrag von PeterFrankfurt (Diskussion | Beiträge) 03:18, 5. Feb. 2009 (CET))