Diskussion:Mittelwertsatz der Integralrechnung

Haben wir hier nicht einen Zirkelschluss zwischen dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und dem Fundamentalsatz der Analysis?

Sollte man den Beweis nicht lieber über die Integralabschätzung und den Zwischenwertsatz führen?

Diese Abhandlung des Mittelwertsatzes ist ein Witz. In einem guten Nachschlagewerk, sollten zumindest der 1.- der Erweiterte- und der 2.Mittelwertsatz drin stehen.

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So, ich habe mal den alten Artikel gelöscht und die Aussage des MWS'es sowie einen einfachen Beweis dahingemacht, der ohne den Hauptsatz auskommt. Dies aus mehreren Gründen:

1.) Zirkelschluss: Der Beweis von vorher benutzte den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der aber für seinen Beweis widerum den Mittelwertsatz benutzt. Einen Beweis des Hauptsatzes ohne MWS kenne ich leider nicht(wär mal eine interessante Frage, ob es sowas gibt), einen Beweis des MWS ohne Hauptsatz aber schon.

Den Hauptsatz kann man ganz einfach nur mit der Stetigkeit des Integranden beweisen. Siehe W. Walter, Analysis I, Springer '85, S. 260. (nicht signierter Beitrag von 80.187.96.76 (Diskussion) 21:32, 10. Sep. 2010 (CEST))

2.) merkwürdige Aussage des Satzes: Das was vorher dort stand, war "Das Integral über das Intervall I einer überall in I stetigen Funktion f dividiert durch die „Ausdehnung“ von I ist gleich dem Mittelwert von f über I, und f nimmt an mindestens einer Stelle τ in I diesen Mittelwert an."

Dazu ist folgendes zu sagen:

- Die Aussage über den Mittelwert ist keineswegs Aussage des Mittelwertsatzes. Vielmehr ist der Mittelwert von f als das Integral von f über I dividiert durch die "Ausdehnung" von I /definiert/(siehe hierzu auch: Mittelwert).

- sonst ist es auch nicht wirklich der Mittelwertsatz, sondern vielmehr ein Spezialfall des nun dargestellten Satzes für g=1

3.)(vielleicht etwas pedantisch) Das Intervall I ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Folglich sind alle Integrale mit I unten dran strenggenommen als Maß- bzw. Lebesgue-Integrale zu verstehen. Ich kenne den Mittelwertsatz der Integralrechnung aber eigentlich nur als einen Satz über Riemann-Integrale.

Natürlich soll dies eine vorläufige Version sein, wollte nur schonmal den Satz und einen Beweis dazu beitragen. Die funktionstheoretischen Überlegungen finde ich zwar interessant, weiß aber nicht, ob sie wirklich hierhin gehören. Ob man den MWS auch auf $\mathbb {C}$ ausweiten kann, weiß ich leider auch nicht wirklich......wenn sich da jemand sicher ist, einfach ersetzen! --Mohrfrosch 18:41, 23. Jun 2006 (CEST)

Der Mittelwertsatz sollte unabhängig von dem Maß sein, das du benutzt. Lebesgue geht auch. Wo sollte das beim Beweis stören? Wer ohne Glaube ist, werfe das erste Gegenbeispiel... (nicht signierter Beitrag von 91.16.68.98 (Diskussion | Beiträge) 07:02, 17. Apr. 2010 (CEST))

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g>=0 ist etwas verwirrend. Es sollte stehen, dass g() im Interwall [a,b] keinen Vorzeichenwechsel haben darf.

g>=0 schränkt zu stark ein.

Antwort: Mit der Homogenität des Vorzeichens von g hast Du absolut Recht, aber g>=0 ist keine Einschränkung, denn man kann ein eventuelles Vorzeichen hervorragend in f verstecken, ohne dass sich an den Voraussetzungen etwas verändert.

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Ich habe die fehlenden Mittelwertsätze hinzugefügt. Manu MM

Voraussetzungen an g zu stark

Da steht, dass f,g beide stetig sein müssen. Das ist eine viel zu starke Voraussetzung an g, denn g muss lediglich integrierbar sein. Sieht man im beweiß ja auch, dass die stetigkeit von g egal ist. (nicht signierter Beitrag von 84.58.39.156 (Diskussion | Beiträge) 18:40, 7. Jun. 2009 (CEST))

Danke für den Hinweis, ich habe das mal korrigiert. --P. Birken 19:04, 7. Jun. 2009 (CEST)

g<=0 oder g>=0, kann denn g diese Voraussetzung verletzen?

Oder ist damit gemeint das g nie die Null schneidet; sondern Null maximal Sattelpunkt ist? (nicht signierter Beitrag von 85.179.199.63 (Diskussion | Beiträge) 12:45, 16. Sep. 2009 (CEST))

g ist eine Funktion, die entweder nur nichtnegative oder nichtpositive Werte haben kann. Sprich: Das letzte genannte, modulo Details. --P. Birken 19:18, 16. Sep. 2009 (CEST)

Beweis unsinnig

Also wenn ich den "Beweis" ansehe, so können wir ja getrost die Bedingung herausnehmen, dass g keinen Vorzeichenwechsel haben darf. Wird ja nicht benutzt :-) Das geht so aber nicht. Vielleicht kann mir ja mal einer die Funktion (nennen wir sie mal h(x)) nennen, auf die ihr den Mittelwertsatz anwenden wollt.

Bitte löscht den Beweis und ersetzt ihn durch einen richtigeren. Ich weiss im Moment keinen Beweis. Wenn einer einen findet, gebt mir einen Tipp... (nicht signierter Beitrag von 91.16.127.99 (Diskussion | Beiträge) 10:15, 15. Apr. 2010 (CEST))

Außer dass g implizit als nichtnegativ vorausgesetzt war, ist nichts am Beweis auszusetzen. Und der Zwischenwertsatz wird auf f angewendet, wie es ja dann auch als Formel dasteht. Inf und Sup sind auch tatsächlich Min und Max nach dem Satz von Weierstrass, so dass auch das i.O. geht.--LutzL 11:08, 15. Apr. 2010 (CEST)

Ach ja. Ok die Anwendung des Zwischenwertsatzes ist offensichtlich. Kann man leicht sehen, dass aus dem fehlenden Vorzeichenwechsel von g die folgende Abschätzung folgt? Hier scheint eine erweiterte Monotonie benutzt zu werden, deren Beweis ich mir erst mal zusammenbasteln müsste. Sollte über eine Betrachtung der Grenzwerte Riemannscher Summen gehen, aber einen direkten einfachen Beweis sehe ich nicht auf Anhieb.

$k\int \limits _{a}^{b}{g(x)dx}\leq \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}\leq K\int \limits _{a}^{b}{g(x)dx}.$ (nicht signierter Beitrag von 91.16.127.99 (Diskussion | Beiträge) 14:04, 15. Apr. 2010 (CEST))

$g(x)>0\implies f(x_{*})\,g(x)=k\,g(x)\leq f(x)\,g(x)\leq K\,g(x)=f(x^{*})\,g(x)$ --LutzL 15:01, 15. Apr. 2010 (CEST)

Lutz, du bist ein Held, Vielen Dank. Mann, habe ich auf dem Schlauch gestanden. Du glaubst nicht, wie lange ich schon über so einem ähnlichen Problem gebrütet habe. Also, die Ungleichung gilt nur unter g >= 0, weil sie sich bei einem Vorzeichenwechsel umdrehen würde... ich glaube jetzt hab ichs, du kannst ja gucken, ob man Teile des Dialogs wieder hier löschen sollte... (nicht signierter Beitrag von 91.16.127.99 (Diskussion | Beiträge) 19:44, 15. Apr. 2010 (CEST))

Übrigens, ein Gegenbeispiel für g mit Vorzeichenwechsel wäre $[a,b]=[-1,1]$ und $f(x)=g(x)=x$. Ich habe das einmal eingebunden. --V4len (Diskussion) 08:09, 22. Jan. 2014 (CET)

Voraussetzung an f auch zu stark?

Guten Tag miteinander. Kann man nicht anhand des Beweises sehen, dass f nur alle Werte zwischen dem Infimum von f auf [a,b] und dem Supremum von f auf [a,b] annehmen, also nicht stetig sein muss (sondern integrierbar)? (nicht signierter Beitrag von Talitha 42 (Diskussion | Beiträge) 11:32, 3. Jul 2015 (CEST))

Umformulierung des Beweises

(1) Wenn f in [a,b] stetig ist, dann hat die Funktion nicht nur Minimum und Supremum, sondern auch Minimum und Maximum. Der Text ist entsprechend umformuliert.

Die Aussage "Man kann sogar zeigen, dass $\xi$ im Innern des Intervalls $(a,b)$ gefunden werden kann." ist eine unbewiesene Behauptung, weswegen ich sie entfernte.

Wenn diese Behauptung mit durch die Betrachtung von Infimum und Supremum bewiesen werden kann, kann das gerne jemand unternehmen, die Aussage wieder einfügen (und mit hinreichend strenger Logik beweisen).

(2) Ansonsten übernahm ich die dankenswerterweise vorgelegte Logik und formulierte sie etwas "geduldiger" ( = expliziter) aus.

--Psychironiker (Diskussion) 15:01, 14. Okt. 2017 (CEST)

Beweis des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung

Hallo, das ist der Abschnitt am Ende des Artikels mit einer zusätzlichen Gleichung, die die Gleichheit der Terme schrittweise veranschaulichen soll, wobei sukzessive die darunter erwähnten Sätze zur Anwendung kommen...

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ Funktionen, $f$ monoton und $g$ stetig. Dann existiert ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$\int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }{g(x)dx}+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}{g(x)dx}$.

"Beweis":

$f(a)\int \limits _{a}^{\xi }{g(x)dx}+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}{g(x)dx}=f(a)G(\xi )-f(a)G(a)+f(b)G(b)-f(b)G(\xi )=[f(x)G(x)]_{a}^{b}-G(\xi )\int \limits _{a}^{b}{f'(x)dx}=[f(x)G(x)]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}{f'(x)G(x)dx}=\int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$

, wobei $G'(x)=g(x)$ sei.

Im Fall, dass $f$ sogar stetig differenzierbar ist, kann man $\xi \in (a,b)$ wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

--Vege Tarier (Diskussion) 06:06, 28. Jan. 2018 (CET)

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Integrale

Ich habe mal eine Verallgemeinerung des Satzes auf mehrdimensionale Integrale hinzugefügt, da ich mir dieser mal im Beweis eines Satzes untergekommen ist. Ich hab jetzt spontan keine Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Integrale gefunden und mir die Formulierung und den Beweis selbst ausgedacht. Die Voraussetzungen habe ich so gewählt, dass sie ausreichen sollten, um einen ähnlichen Beweis wie im eindimensionalen Fall zu ermöglichen. Eventuell kann man diese auch noch leicht abschwächen. Vielleicht kennt ja jemand eine Quelle, in der es diese oder eine ähnliche Verallgemeinerung gibt, um das sauber zu belegen. --MathPhy42 (Diskussion) 20:45, 24. Mai 2024 (CEST)