Diskussion:Navier-Stokes-Gleichungen/Archiv/2005

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[[Diskussion:Navier-Stokes-Gleichungen/Archiv/2005#Thema 1]]

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Bier, Limo und Sprudel

Sind Bier, Limo und Sprudel eigentlich geschickte Beispiele. Immerhin treten da diverse Phasengrenzen auf und damit Oberflaechenspannungen etc. Die NaSt-Gleichungen reichen folglich nicht aus um das System zu beschreiben. Sollte man nicht lieber auf diese Beispiele verzichten? --Duesi 13:34, 29. Apr 2005 (CEST)

Limo und Spruder hat eben so ein Scherzkeks eingebaut. Bier kann man dann auch direkt rausnehmen. Viele Gruesse --DaTroll 13:42, 29. Apr 2005 (CEST)

Für jede Phase gelten die Navier-Stokes Gleichungen selbsverständlich. nur die Stoffgrößen sind unterschiedlich. An den Phasengrenzen müssen entsprechende Randbedingungen angenommen werden.--rstahl 17:37, 05.07.2005

An den Phasengrenzen muessen keine Randbedingungen sondern Sprungbedingungen angenommen werden. Ort und Zahlenwert von Randbedingungen werden vor einer Berechnung fest vorgegeben. Bei Sprungbedingungen an Phasengrenzen ist (vor allem der Ort an dem sie auftreten) abhaengig von der Loesung selber, d.h. vom Ort an dem sich bspw. gerade eine Blase befindet. Die Oberflaechenspannung ist obendrein abhängig von der Oberflaechenkruemmung. Entsprechend ist auch der Wert des Drucksprunges an der Oberflaeche ein Teil der Loesung und keine vorgegebene Randbedingung.--Duesi 5. Jul 2005 17:50 (CEST)

Ich denke das ist eher eine Spitzfindigkeit. Selbstverständlich ist die Oberfläche für jede Phase eine Randbedingung für den Zustand des eingeschlossenen Fluids. Randbedingungen müssen desweiteren keineswegs statisch sein, sondern können, ja müssen sich bei Mehrphasenströmungen, bezogen auf die Interaktion der einzelnen Phasen, sogar, zeitlich ändern.--rstahl 12:46, 06.07.2005

Ich denke das ist eher keine Spitzfindigkeit. Natuerlich koennen sich Randbedingungen ueber der Zeit aendern. Das ist keine Frage. Sie sind jedoch stets ein Teil der Aufgabenstellung und nicht wie Spruenge an Phasengrenzflaechen ein Teil der Loesung.

Beispiele:

* Die Geschwindigkeit an einem Einstrom ist typischerweise eine Randbedingung, da sie fest oder zeitabhaengig vorgegeben wird.

* Der Drucksprung an einer Blase wird durch Sprungbedingungen berechnet. Es gibt eine entsprechende Gleichung mit der der Sprung an der Phasengrenzflaeche berechnet wird, aber sein Wert ist Teil der Loesung.

* Die Volumenkonzentration an einem Ausstroemrand ist weder das eine noch das andere. Dieser Wert wird typischerweise weder vorgegeben (keine Randbedingungen) noch existieren auf der Flaeche Spruenge zwischen zwei Phasen. Davon unberuehrt bleibt natuerlich das sich Phasengrenzflaechen auch auf Raender des Rechengebietes stossen koennen.

--Duesi 6. Jul 2005 18:03 (CEST)

Randbedingungen können, meine ich, doch Teil der Lösung sein. Man stelle sich hier Fliud-Struktur-Wechselwirkungen, z. B. das Flattern von Tragflügeln, vor. Am Anfang ist die Tragflügeloberfläche eine Randbedingung für das umgebende Fluid. In einem iterativen Prozeß wird sich der Tragflügel aufgrund aerodynamischer Kräfte Verformen. Der verformte Tragflügel ist dann ein Teil der instationären Lösung, aber immer noch Randbedingung für die Fluidphase mit erheblichen Rückwirkungen auf das Fluid. Ganz ähnlich verhält es sich auch bei der Betrachtung von z.B. Luftbläschen in einem Wasservolumen. Hier treten permanente Rückwirkungen auf. Die Lufbläschen werden durch hydrodynamische Kräfte verformt. Durch die Verformung ändert sich die "hydrodynamische Last" was sich wirderum auf die Bewegung der Bläschen auswirkt, und so fort.--rstahl 09:30, 07.07.2005

Wird die Berechnung des Fluid-Struktur-Systems in nur einem Code und mit nur einer gekoppelten Rechnung durchgeführt handelt es sich um Sprungbedingungen, da die Lage der Wand etc. nicht fest vorgegeben wird. Handelt es sich jedoch um zwei Codes die Daten austauschen handelt es sich bei jeder Iterationsrechnung um neue fest vorgegebene Randbedingungen. --Duesi 8. Jul 2005 11:22 (CEST)

Frage zum nabla operator

wie ist denn in der Gleichung das (u*nabla)u zu verstehen ? finde leider keine Rechenregel dafür.. wär nett wenn mir das jemand in dieser disskussion erklären könnte.

(u*nabla)u bezeichnet die konvektiven Beschleunigungen in den Navier-Stokes Gleichungen. Auf der linken Seite steht allgemein die Änderung des Geschwindigkeitsfeldes. Diese Änderung setzt sich zusammen aus einer zeitlichen und einer konvektiven Änderung. Die Konvektion wird durch (u* beschrieben, das Fluid wird also mit der Geschwindigkeit u bewegt. Die Änderung beschreibt der Gradient nabla)u, der die erste Ableitung von u nach den Koordinatenrichtungen angibt. --- rstahl 19.07.2005 12:50

u*nabla ist das Skalarprodukt von u mit dem Nabla-Operator. Das Ergebnis ist ein skalarer Operator, der komponentenweise auf u angewandt wird, das Endergebnis ist also ein Vektor. --DaTroll 20:53, 19. Jul 2005 (CEST)

Ist dann $(u\cdot \nabla )=(\nabla \cdot u)$ also $(u\cdot \nabla )=div\ u$ ? DerGrosse 08:59, 20. Jul 2005 (CEST)

Nein, weil die Ableitungsoperatoren ja am Ende auf den Vektor u nochmal angewandt werden, der Ausdruck ist also nicht kommutativ. --DaTroll 09:20, 20. Jul 2005 (CEST)

Also eher $(u\cdot \nabla )\cdot u={\begin{pmatrix}u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\\u_{1}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\\\ldots \end{pmatrix}}$? --DerGrosse 11:07, 20. Jul 2005 (CEST)

Wenn ich mal weiter denke ergibt sich für mich folgendes:

$(u\cdot \nabla )\cdot u=\left(u_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\\u_{1}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\\u_{1}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}$

und

$(\nabla u)\cdot u=(\operatorname {jacobian} \ u)\cdot u={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\\u_{1}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\\u_{1}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}$

was dann heißen würde$(u\cdot \nabla )\cdot u=(\nabla u)\cdot u=(\operatorname {jacobian} \ u)\cdot u$

Wenn das jetzt stimmt habe ich diese Notation mit (u*nabla)*u endlich kapiert :-) --DerGrosse 11:23, 21. Jul 2005 (CEST)

Das erste was Du geschrieben hast ist richtig (noch am 20.), das zweite nicht, da der Gradient von u nicht die Jacobi-Matrix mal u ist. --DaTroll 18:22, 21. Jul 2005 (CEST)

Ja, ok, vielleicht hätte ich, um klar zu machen was ich meine, es eher so schreiben sollen:$(u\cdot \nabla )\cdot {\hat {u}}=(\nabla {\hat {u}})\cdot u=(\operatorname {jacobian} {\hat {u}})\cdot u$. Vielleicht hilft das aber auch nicht. Jedenfalls ergibt die letzte Gleichung vom 21.Junli sich einfach wenn die ersten beiden Gleichungen des gleichen Tages betrachtet werden. Man sieht, dass das Ergebnis das gleiche ist also müssen auch die ersten Terme der beiden Gleichungen gleich sein. Natürlich gilt nicht: $(u\cdot \nabla )=(\nabla u)$

Vielleicht sollte man noch einen Hinweis auf die Boussinesq-Approximation machen - das ist wohl der häufigste Ansatz, um Auftriebsphänomene bei den inkompressiblen NSE + Eneergiegleichung zu modellieren. --Balthasar scaurus 09:43, 1. Sep 2005 (CEST)

Ja, unbedingt. Die Boussinesq-Approximation verdient sogar einen eigenen Artikel. --DaTroll 09:03, 5. Sep 2005 (CEST)

Frage zur Korrektheit

Die Navier-Stokes-Gleichung unterscheidet sich bekanntlich von der Euler-Gleichung durch die viskosen Reibungsterme. Hierdurch ist das Problem des d'Alembert'schen Paradoxons gelöst. Der zweite Term kann auch mal verschwinden. Der erste Term verschwindet zwar nie, enthält aber den Laplace-Operator, der bekanntlich für einen Potentialterm steht. Dies ist ein Widerspruch in sich, denn entweder ist es ein Dissipationsterm oder ein Potentialterm.

Es gilt zwar:

$\Delta {\vec {u}}=\nabla \times \nabla {\vec {u}}=rotrot{\vec {u}}=divgrad{\vec {u}}$

Da aber:

$grad{\vec {u}}=D$ D... Deformationstensor.

Hier ist also doch eine Potentialsichtweise möglich, die den Widerspruch offenlegt.

Weiters ist festzuhalten, daß nachgerade dieser Term aus der Forderung

$ds=0$

abgeleitet wurde, also bei einer isentropen Strömung. Wie kann aber eine isentrope Strömung dissipativ sein?

Weiters ist festzuhalten, daß bei der numerischen Simulation der von Karman'schen Wirbelstraße mit Hilfe der direkten Simulation der Navier-Stokes-Gleichungen entweder gar keine Wirbel angefacht werden oder diese gar nicht mehr nach l >> L abflauen. Könnte es sein, daß dieser Effekt gar kein Effekt der Numerik ist, sondern einfach durch die mangelnde Korrektheit dieser Gleichung bedingt ist? --Leptokurtosis999

Da ich nicht genau verstehe, was Du eigentlich willst: mit dem Artikel hat diese Nachfrage aber konkret erstmal nichts zu tun doer? --DaTroll 09:07, 5. Sep 2005 (CEST)

Natürlich hat dies mit dem Artikel zu tun: Wenn keine Lösung zu einer DGL existiert, mag dies eine gewisse Einschränkung sein, wenn aber die physikalische Korrektheit der DGL nicht 100% klar ist, dann ist die Einschränkung doch von viel fundamentalerer Natur. Dies sollte dann im Artikel auch erwähnt werden. Wikipedia hat immerhin dadurch, daß es von sehr vielen anderen Sites zitiert wird, eine gewisse Verantwortung.

Daher stelle ich hier zur Disposition:

Sollte die DGL:

$\rho \left({\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\eta \Delta \mathbf {u} +(\lambda +\eta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )$.

hier zum Spezialfall für

$ds=0$

erklärt werden und die verallgemeinerte Navier-Stokes-Gleichung mit

$\tau$\nonparallel $D$

und

$D_{kl}={\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}$

also

$\tau _{ij}=C_{ijkl}D_{kl}$

somit

$\rho \left({\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\nabla (CD)$.

Die untere Gleichung ist der wohlbekannte "Impulssatz der Kontinuumsmechanik". --Leptokurtosis999

Die erste Gleichung im Artikel sind nicht die allgemeinen Navier-Stokes-gleichungen, diese werden im Abschnitt "kompressible Navier-Stokes-Gleichungen" behandelt. Ansonsten sind mir die Variablen die Du benutzt unbekannt, vielleicht erklärst Du sie erstmal, damit man versteht, worum es überhaupt geht? --DaTroll 19:25, 5. Sep 2005 (CEST)

Sorry; ich dachte, die Variablen-Notation wäre geläufig.

$D_{kl},\tau _{ij}$ sind Tensoren der Stufe 2. Mit $\tau$.... Schubspannungstensor und $D$..... Deformationstensor

$C_{ijkl}$ ist der Viskositätstensor der Stufe 4. Worauf ich hinaus will sollte doch klar sein: Der Ansatz $ds=0$ ist physikalisch nicht unbedingt korrekt. Somit gilt im allgemeinen Fall:

$C_{ijkl}\neq \eta I_{ijkl}$

mit $C_{ijkl}$....Viskositätstensor $\eta$..... Viskositätsskalar $I_{ijkl}$....Einheitstensor --Leptokurtosis999

Und ds? Mir ist übrigens immer noch nicht klar, was das konkret mit dem Artikel zu tun hat. Du scheinst ja argumentieren zu wollen, dass die Navier-Stokes-Gleichungen an sich in irgendeiner Weise falsch sind. Ansonsten bitte Deine Beiträge mit ~~~~ unterschreiben. --DaTroll 09:13, 7. Sep 2005 (CEST)

Nun s ist die intensive Größe der Enthropie. Die Vorraussetzung

$ds=0$

ist eine sehr weitgehende Einschränkung, so daß dann der Ansatz:

$C_{ijkl}=\eta I_{ijkl}$

auch eine so fundamentale Einschränkung ist, daß hier nicht mehr von einer allgemeinen Gleichung gesprochen werden kann, sondern eben um den Spezialfall der isenthropen Newton'sch viskosen Strömung. Aber eine isenthrop-viskose Strömung ist ein Widerspruch in sich selbst--Leptokurtosis999

OK, es gibt also keinen Bezug zum Artikel. Konkret dazu: ja, wenn man einen isenthropen Ansatz macht, kriegt man isenthrope Gleichungen. --DaTroll 19:25, 7. Sep 2005 (CEST)

Helmholtzscher Wirbelsatz

Ich sehe nicht wie der Term ${\frac {1}{2}}\nabla (\|\mathbf {u} \|)^{2}$ nach dem helmholtzschen Wirbelsatz verschwinden soll. --DaTroll 16:46, 13. Okt 2005 (CEST) Das habe ich gerade duch das anbringen des Korrenkten Minus-Zeichens (statt Plus) in der Konvektionsformel gelöst oder ? Einfach jetzt mal durchrechnen mit $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})$