Diskussion:Navier-Stokes-Gleichungen/Archiv/2008

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[[Diskussion:Navier-Stokes-Gleichungen/Archiv/2008#Thema 1]]

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allgemeinste Form?

Ist die vorliegende "allgemeinste Form" tatsächlich eine solche? Ich habe die Navier-Stokes Gleichungen gestern mal für Newton Fluide mit inhomogener, zeitabhängiger Dichte und inhomogener dynamischer Viskosität aus der allgemeinen Bilanzgleichung hergeleitet. Und das sieht schon noch leicht anders aus. Möglicherweise fehlt mir auch einfach ein Ansatz um weiter zu vereinfachen... aber z.B. kann ich die Vereinfachung mit dem Laplace Operator nicht machen, da die dynamische Viskosität je einfach nach dem Ort abgeleitet wird, also eher: $({\vec {\nabla }}\eta {\vec {\nabla }}){\vec {v}}$ statt $\eta \Delta {\vec {v}}$. Auch bei mir muss die Einschränkung gemacht werden, dass das Ergebnis nur für Newton-Fluide gilt, also schon mal nicht mehr völlig allgemeingültig ist.\\ Außerdem fände ich es gut, wenn $\lambda$ mal geklärt werden würde, ob hier oder in einem seperaten Artikel. Ich habe nämlich keine Ahnung, was damit gemeint ist.

Suchst du den Term $(\lambda +\eta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )$? --P. Birken 20:24, 6. Mär. 2008 (CET)

Nope, ich meine das $\eta$ grundsätzlich inhomogen sein kann (z.B bei hohen Temperaturgradienten) und dann einfach räumlich differenziert werden muss. Der von mir zitierte part steht dort anstelle $\eta \Delta {\vec {v}}$, der Teil den Du ansprichst heißt bei mir:

${\frac {1}{3}}{\vec {\nabla }}\eta ({\vec {\nabla }}{\vec {v}})$, wobei $\lambda =-{\frac {2}{3}}\eta$ schon eingearbeitet ist. Die Terme für die Spannungen habe ich aus "Oertel: numerische Strömungsmechanik". Der Rest ist straight forward Rechnung. Wie gesagt: ich kann mich verrechnet haben, bin aber eigentlich ziemlich sicher, dass es richtig ist.

Mal 'ne andere Frage: Du hast oben was geschrieben von "inkompressible NSE bei variabler Dichte." Kannst Du das nochmal kurz erläutern? Worin unterscheidet sie sich von der kompressiblen Gleichung?--StrayDog 20:54, 6. Mär. 2008 (CET)

Ah, verstehe. Mh, dann weiß ich nicht, muss ich nochmal genau gucken. Neuschreiben der Einleitung steht bei mir irgendwie schon ewig auf dem Zettel :-(

Der Unterschied ist zunächste, dass die Strömung inkompressibel gilt, also $\nabla \cdot v=0$. Das bedeutet aber nicht, dass die Dichte Null ist. Während nun die Dichte in sehr vielen praxisrelevanten inkompressiblen Strömungen konstant ist, womit man bei den inkompressiblen NS-Gleichungen landet, gibt es auch inkompressible (Luft bei Mach 0) wo das nicht der Fall sein muss und man die Dichte im Modell drinlassen sollte. --P. Birken 21:03, 6. Mär. 2008 (CET)

Also ich denke zum Verständnis der NSE ist wahrscheinlich die Erklärung einer allgeimeinen Bilanzgleichung unerläßlich. In nem Monat hab ich wieder Zeit. Mal sehen, was ich da machen kann.

Das die Dichte nicht 0 ist schon klar. Aber $\nabla \cdot v=0$ (hab die Syntax bei Dir korrigiert), gilt doch nur dann, wenn $\rho$ weder orts- noch zeitabhängig ist, oder?

Nur damit ich Dich richtig verstehe: Du meinst $\rho ({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {v}}{\vec {\nabla }}){\vec {v}}=\rho {\vec {f}}-{\vec {\nabla }}p+\eta \Delta {\vec {v}}$ gilt für inkompressible medien, die einen Dichtegradienten aufweisen... mir ist halt nicht ganz klar wie der $(\lambda +\eta ){\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}{\vec {v}})$ teil wegdiskutiert wird. Oder anders: wie leitest Du her, dass gilt ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}{\rho {\vec {v}}}=0\,\Rightarrow {\vec {\nabla }}({\vec {v}})=0$, obwohl $\rho$ im Fall variabler Dichte ja zumindest einen Gradienten aufweist.

oder meinst Du nur: die Dichteschwankungen im Medium sind gering, daher kann mit der inkompressiblen Gleichung gerechnet werden, aber um trotzdem ein Dichtefeld nutzen zu können bleibt es vor der Gleichung stehen, statt dadurch zu teilen?

Der Anwendungsfall den Du beschreibst ist mir übrigens klar und für mich gerade relevant (freie Konvektion)... und Danke fürs Erklären! StrayDog 17:20, 7. Mär. 2008 (CET)

Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes ist eben nicht äquivalent mit Dichte konstant, sondern mit Dichte konstant entlang Teilchenbahnen. --P. Birken 19:18, 7. Mär. 2008 (CET)

Also ich bin mir nicht ganz sicher, dass ich das verstehe... also: die Dichte ist konstant entlang einer Stromröhre, dann gilt in der Stromröhre ${\vec {\nabla }}{\vec {v}}=0$ und daraus kann man auf das gesamte Strömungsfeld schließen. Aber das ist doch bei temperaturinduzierter Konvektion gerade nicht der Fall...der Punkt ist mir wohl noch nicht ganz klar --StrayDog 11:46, 8. Mär. 2008 (CET)

Ja, in Deinem Problem ist die Strömung durch die zusätzliche Hitzequelle nicht inkompressibel. Bitte entschuldige, dass ich nur so eine kurze Antwort gebe, aber das hier ist kein Hilfeforum, sondern es geht darum, die inhaltliche Verbesserung des Artikels zu diskutieren. Für den Rest empfehle ich http://cfd-online.com/Forum/. --P. Birken 13:23, 8. Mär. 2008 (CET)

Sorry, hab es wohl etwas misbraucht. Ich hätte auch nicht weiter gefragt, wenn daTroll nicht gerade ein solches Beispiel oben genannt hätte. Die Frage ist jetzt, ob er unrecht hatte, oder wir beide was übersehen. Ich tippe eher auf letzteres, da in handelsüblicher CFD-Software der Fall Berechnung der Dichte mit inkompressiblem idealen Gas durchaus vertreten ist. Eben gerade auch für Konvektionsprobleme, die durch Dichteausdehnung aufgrund von Temperaturunterschieden resultieren. Vielleicht versuchen wir mal das unabhängig zu klären. Könnte auch für den Artikel hier interssant sein, da es viele technische Anwendungsfälle erheblich vereinfacht. Den kompressiblen Fall braucht man dann nur noch bei sehr hohen Drücken / Machzahlen.

BTW: ich finde die Darstellung der kompressiblen Gleichung zu kryptisch für ein Lexikon. Die Anschaulichkeit leidet ziemlich darunter. Und ich bin mir auch nicht ganz sicher ob die Energiegleichung und die Kontigleichung mit da rein gehören. Sind eigentlich seperate Gleichungen, die eben mit den NSEs ein geschlossenes Gleichungssystem ergeben.

So, hoffe das war wieder nah genug on topic :) --StrayDog 14:05, 8. Mär. 2008 (CET)

Benutzer:DaTroll bin ich. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind auf keinen Fall nur die Impulsgleichung, diese ist nur der Kern. Was Temperaturunterschiede angeht, so können inkompressible Strömungen Temperaturunterschiede aufweisen (Temperatur ist ja eine Funktion des Drucks), aber wenn Du eine Hitzequelle q hast, dann ist $\nabla v=q\neq 0$. Ähnliches gilt bei Randbedingungen, über die Hitze reinkommt. Ist das alles nicht so wild, nimmt man üblicherweise die Boussinesq-Approximation, ansonsten in der Regel echt kompressible Gleichungen. --P. Birken 16:24, 8. Mär. 2008 (CET)

Inkonsistenz und andere Dinge

Ich habe eben leichte Modifikationen durchgeführt, wobei die Korrektur im Abschnitt "Inkompressible ..." einen Fehler korrigiert. Ich fand auch heraus:

• Die Gleichung in der Einleitung ist Bilanz der Impulsdichte mit Kräften bezogen auf das Einheitsvolumen. Die inkompressible Gleichung bezieht sich auf die Einheitsmasse. Aus Konsistenzgründen schlage ich vor durch Multiplikation der letzteren mit \rho anzupassen.
• Der gesamte und sehr lange Absatz zur kompressiblen N.-S. Gl. ist nur eine Wiederholung der Einleitung mit komponentenweise Formulierung der Vektoren. Die Energiebilanz kann(!) daher in koordinateninvarianter Weise in die Einleitung mit 'rein (muss aber nicht), aber der gesamte Absatz kann ohne jeden Informationsverlust mühelos gestrichen werden. --WolKouk 09:38, 10. Jul. 2008 (CEST)

Den Fehler habe ich wieder rückkorrigiert: div v=0 ist die Definition von Inkompressibilität und folgt nicht etwa daraus. Die inkompressiblen sind in der in der Mathematik üblichen Schreibweise, die auch in vielen Strömungslehrbüchern verwendet wird, das sollte man denke ich beibehalten. Was den Absatz zu den kompressiblen angeht, so steht da doch erheblich mehr als in der Einleitung. Was allerdings tatsächlich fehlt, ist ein Absatz zur Herleitung der Gleichungen. --P. Birken 19:59, 10. Jul. 2008 (CEST)

Was ist Deine Quelle als Definition? Meine ist das Standard Lehrbuch zur Hydrodynamik, das auf inkompressible Flüssigkeit zitiert ist. Die Herleitung nach div v = 0 steht auf Kontinuitätsgleichung. --Wolfgang 08:55, 11. Jul. 2008 (CEST)

Mit der Herleitung hast Du doch die Quelle? Dass eine Strömung konstante Dichte entlang Teilchenbahnen hat ist äquivalent mit div v=0. --P. Birken 09:05, 11. Jul. 2008 (CEST)

Die mathematische Äquivalenz kehrt NICHT die Rangfolge von Definition und Folgerung hieraus um. Daher erwarte ich für eine physikalisch korrekte Formulierung die Quelle für DEINE Definition (div v = 0). --Wolfgang 09:30, 11. Jul. 2008 (CEST)

Hier geht es um eine mathematische Gleichung, von der vermutet wird, dass sie eine bestimmte Physik beschreibt. Eine Quelle fuer div v=0 findest Du nach meiner Einschaetzung in beliebigen Buechern, ich habe beispielsweise eben im Lions nachgeschaut. Wenn Sachen aequivalent sind, dann sind sie aequivalent und beides kann als Definition verwendet werden. --P. Birken 12:31, 11. Jul. 2008 (CEST)

Die Definition von "inkompressibel" ist doch ganz einfach konstante Dichte des Fluidums in allen Punkten zu allen Zeiten. Inkompressibel bedeutet ganz einfach, dass man etwas nicht komprimieren kann, also die Dichte nicht erhöhen kann. Damit mit folgt dann aus der Massenerhaltung $\rho _{t}+\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=0$ wegen $\rho _{t}=0$ und $\rho =\operatorname {const}$ die Divergenzfreiheit $\operatorname {div} ({\vec {v}})=0$. Umgekehrt betrachte man ein KOMPRESSIBLES Fluidum in Ruhe (soll es geben, einfach eines in einen Behälter geben und abwarten), dann gilt offensichtlich $\operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ wegen ${\vec {v}}=0$. Also kann man aus $\operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ nicht auf die Inkompressibilität eines Fluidums schliessen. Die "Definitionen" sind also nicht äquivalent.--

Nope, das ist eben nicht die Definition von inkompressibel. --P. Birken 19:42, 31. Jul. 2008 (CEST)

Geometrisch ist es doch so, dass die Bedingung, besser Nebenbedingung $\operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ Volumenerhaltung jedes Fluidelements und des Gesamtvolumens erzwingt (Satz von Gauss), egal welche Gleichung das Geschwindigkeitsfeld noch erfüllt. Wenn man also ein Glas inkompressibles Wasser simuliert und erhöht den Luftdruck, so bleibt das Volumen des Wassers erhalten, Masse sowieso, also folgt aus $\operatorname {div} ({\vec {v}})=0$ die Inkompressibilität im Sinne der (makroskopischen) Konstanz der Dichte, da Masse und Volumen konstant bleiben. Makroskopisch bedingt die Divergenzfreiheit die Erhaltung der Dichte als Quotient von Masse durch Volumen. Also hat Herr Birken recht. Inkompressibel ist äquivalent mit Divergenzfreiheiheit. Nun kann es ja mikroskopisch Dichteunterschiede geben, die man nicht wegbekommt....Teilchengemisch (Öl in Wasser, Temperaturunterschiede, die sich im betrachteten Zeitraum nicht ausgleichen) und wie diese (Dichteunterschiede) sich zeitlich verändern müßte uns dann ja wieder Navier, Stokes und letztendlich Newton sagen. Man sollte in dem Artikel hier vielleicht die Nichtlinearität der Navier-Stokes-Gleichung betonen. Das nächste Stück der Teilchenbahn muß ja erst noch berechnet werden, dann folgen die Teilchen dem nächsten Stück der Bahn. Und wenn man dann richtig rechnet, erhält man dann erst Dichteerhaltung entlang auch der Teilchenbahnen. Die Forderung "Dichteerhaltung entlang der Teilchenbahn" würde ja auch das inkompressible Navier-Stokes-Gleichungssystem irgendwie überbestimmt machen. Also kurz: Dichteerhaltung entlang der Teilchenbahn ist eine Folgerung aus Navier-Stokes und der Divergenzfreiheit von ${\vec {v}}$. Zusatz, es macht im allgemeinen (nur numerisch lösbaren) Fall, ausser in den exakt analytischen durchrechenbaren Fällen keinen Sinn global von "den Teilchenbahnen", die irgendwelche Eigenschaften haben oder haben sollen, zu sprechen, da man sie ja nur stückweise bis zum jetzigen durchgerechneten Zeitpunkt kennt.

Ich hab mal einen Link zur nunmehr korrekten Definition von Inkompressibilität gelegt und sag zu obigem von Anonymous Folgendes: Definitionen sind Namensgebungen wie Willi oder Otto. Sie entziehen sich formal der Sinnhaftigkeit, sollten aber in der Physik schon einen Sinn machen. Die Definition von Inkompressibilität erfüllt dies. Unabhängig hiervon ist es grundsätzlich in der Hydrodynamik gleichbedeutend und in der Praxis auch exakt(!) gleich schwierig, das Verhalten einer Flüssigkeit als Funktion der unabhängigen Variablen Ort und Zeit oder Teilchen und Zeit zu formulieren. Hier ist Teilchen nicht mit Molekül zu verwechseln sondern ein Ensemble im Sinne der statistischen Physik. --Wolfgang 12:56, 3. Aug. 2008 (CEST)

Die Definition in dem Link ist auch meine von "Inkompressibilität". Und deswegen habe ich ja meinen Text oben darüber geschrieben. Ich verwechsle hier gar nichts, das machen schon andere. Und das Teilchen sich von Molekül unterscheidet, das muß dann aber ausgeführt werden. Und Definitionen sind keineswegs nur Namensnennungen.....später dazu mehr.

Lassen wir das mit der Definition mal so stehen. Das Problem des einleitenden Satzes ist jedoch, dass in jetziger Fassung Volumen- und damit Dichteänderung z.B. thermischen Ursprungs ein Fluid kompressibel macht. Dies ist falsch. Inkompressibel ist ein Fluid nur dann, wenn seine Dichte invariant gegen Druckänderungen sind. Aber what shalls, wie die Briten sagen... --Wolfgang 14:10, 11. Jul. 2008 (CEST)

Das erklaert allerdings unsere unterschiedliche Ansicht: ich beschaeftige mich seit einigen Jahren mit Stroemungen kleiner Mach-Zahl, bei denen die Kompressibilitaet thermische Ursache hat. Die Divergenz waere dort also verschwindend klein ohne thermische Einfluesse, ist dann aber aufgrund dessen stark von Null verschieden. Und das wird in aller mir bekannten Literatur als kompressible Stroemung bezeichnet. --P. Birken 14:32, 11. Jul. 2008 (CEST)

Stimmt, das erklärt einiges. Ich hab daher nochmal den Batchelor aufgeschlagen und fand zu meinem Erstaunen nach der strikten Definition zu Inkompressibilität etwas in Deinem Sinne. Ich hab die Definition auf Inkompressibles Fluid daher deutlich aufgeweicht und denke, diese Seite hier ist damit ok. --Wolfgang 16:01, 11. Jul. 2008 (CEST)