Diskussion:Nichtstandardanalysis

Die Nichtstandardanalysis wird als ein Forschungsgebiet der reinen Mathematik angesehen. In der angewandten Mathematik findet diese selten Verwendung, was mit dem nicht-konstruktiven Vorgehen und der fehlenden Anschaulichkeit zusammenhängen mag. wieso ist das rausgeflogen ? ... Hafenbar 23:33, 1. Okt 2004 (CEST)

---

"Im Unterschied zu deren Verwendung von "unendlich kleinen Größen" ist die Nichtstandardanalysis jedoch logisch einwandfrei und ohne Widersprüche." Hier entsteht leicht der Eindruck, die "normale" Anaylsis sei gemeint, ist das Absicht? Sebastian

Nein, es ist eher die Absicht, sich auf Newton und Leibniz zu beziehen :) Habs umformuliert. --SirJective 15:41, 2. Jun 2005 (CEST)

Ja, war so gemeint. IST-NSA ist übrigens nicht viel mehr "nicht-konstruktiv" als die Konstruktion der reellen Zahlen. Und eigentlich viel anschaulicher, da z.B. Stetigkeit direkt als "benachbarte Punkte haben benachbarte Werte" definiert werden kann, was der "Stiftdurchzieh-Definition" intuitiv näher kommt als epsilo-delta. Allerdings hat noch niemand eine Sprechweise gefunden, die sowohl korrekt als auch einfach und übersichtlich ist. S. die Stetigkeitsdefinition im Artikel mit der ständigen Erwähnung von standard-dies und standard-das als auch die letzten Paper von Edward Nelson (IST-NSA-Erfinder).--LutzL 18:31, 2. Jun 2005 (CEST)

Erweiterungskörper

Ist der Erweiterungskörper in der Nichtstandardanalysis anders definiert als in der Algebra? Ich denke das wird aus dem Text nicht ganz klar. Lässt sich der aus den reellen Zahlen erzeugte Erweiterungskörper etwas genauer beschreiben?--Umbuktu 00:10, 15. Okt. 2006 (CEST)

Kommt drauf an. Man kann IR[X] mit 0<X<r für jedes r>0 als nichteuklidische nicht-standard-Körpererweiterung definieren. Dessen algebraischer Abschluss sind die Puisseux-Reihen, was von Basu-Coste-Pollack-Roy in der reellen algebraischen Geometrie heftigst benutzt wird.

Die "echten" Nicht-standard-Erweiterungen erweitern die Axiomatik der Mengenlehre, sind also nicht algebraisch. Eigentlich werden dabei nichtmal neue Elemente hinzugefügt, sondern auf den bestehenden eine Eigenschaft namens "standard" definiert. Nach deren Axiomensystem können nicht-standard Elemente niemals auf Papier aufgeschrieben werden, es sei denn als Variable.

Oft reicht auch eine einzige unendlich große Zahl aus, man nimmt dann eine i-große natürliche Zahl N und definiert damit die oft besser (z.B. als gemeinsamer Nenner) verwendbare i-große Zahl Ω=N!. 10^-Ω hat dann eine i-große Anzahl von Nullen nach dem Komma, ist aber von Null verschieden.

--LutzL 08:12, 16. Okt. 2006 (CEST)

Schlechtes Beispiel

Im Allgemeinen geht man davon aus, dass $a\approx b$ durch $|a-b|<\epsilon$ definiert ist, von daher stellt das Beispiel nur eine Umformulierung dar - wenn man $\approx$ so definiert, ist das auch in Standardanalysis gülltig. --78.52.128.175 04:59, 10. Aug. 2009 (CEST)

Nein. Das ist in der "normalen" Analysis keine Definition. Denn was ist ε? $a\approx b$ in NSA bedeutet, dass die Differenz |a-b| kleiner als jede positive standard-reelle Zahl ist. Wenn $|a-b|<\epsilon$ für jedes positive ε, standard wie nichtstandard, gelten würde, dann wäre auch in der Robinson- wie der Nelson-NSA a=b. Jedoch, in der oben angegebenen algebraischen Variante gilt 0<X<ε für beliebige positive ε.--LutzL 11:01, 10. Aug. 2009 (CEST)

Ein waaaas?

Er verwendete dieses, um einen Satz aus der Funktionalanalysis zu zeigen, nämlich dass jeder polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings ist die Konstruktion nicht konstruktiv, sie benötigt Ultrafilter und das Auswahlaxiom.

Wer, der nicht Mathematiker ist, und es schon kennt, versteht denn das bitte? Undefiniert sind hier: Was ist…

• ein kompakter Operator?
• etwas polynomial kompaktes?
• etwas invariantes? (Bestimmt was ganz einfaches, wozu man natürlich kein normales Wort verwenden darf. Neiiin, dann könnte man ja nicht mehr arrogant abgehoben sein!)
• eine nichtkonstruktive Konstruktion?

Bedenkt, dass diese Seite für Leute gemacht ist, die noch nicht wissen was irgendwas von den Fachwörtern bedeutet. So lange sie für solche Leute nicht in einem durch lesbar ist, ohne über abertausende Fremdwörter zu stolpern — die auf ihren Seiten natürlich auch wieder mit anderen Fachwörtern „erklärt“ sind — hat die Seite ihren Zweck verfehlt. Oder wie man im Netz sagt: EPIC FAIL!

Achja: — 88.77.140.123 14:41, 21. Aug. 2009 (CEST)

Du übertreibst. Der Artikel könnte sicher ausführlicher sein, um ihn verständlicher zu machen (das gilt wohl für viele Artikel). Aber man kann einen Artikel über ein so spezielles Thema ganz sicher nicht durchgängig für jeden stolperfrei machen, selbst wenn man als untere Schranke für die Vorbildung etwa die Hochschulreife voraussetzt (noch weniger Gebildete wissen nicht mal was Analysis bedeutet und stolpern deswegen schon in der Einleitung). Ein Artikel sieht idealerweise so aus, dass das benötigte Vorwissen am Anfang am geringsten ist und dass Verweise auf die verwendeten Fachbegriffe gesetzt sind (in diesem Artikel fehlen einige). Ob eine solcher Verweis ein Stolperstein ist, hängt von der Vorbildung des Lesers ab. Für einen Mathematiker, der noch nicht weiß, worum es geht, kann der Artikel trotz deiner Suggestivfrage durchaus seinen Zweck erfüllen. Ich habe beim Lesen jedenfalls eine grobe Ahnung bekommen, was Abraham Robinson bewiesen hat. Damit ist die Menge der Leute, denen dieser Artikel nützt, nicht leer. Ein knapper Artikel ist besser als kein Artikel. Nebenbei: Die missglückte Formulierung nicht konstruktive Konstruktion habe ich geändert, bevor ich deinen Diskussionbeitrag gelesen habe.--Theowoll 17:31, 24. Aug. 2009 (CEST)

Die gleichen Axiome wie die Reellen Zahlen

Es kommt hier sehr drauf an, wie man die reellen Zahlen definiert. Wir haben in unserer AnalysisI-Vorlesung gesagt, R sei der (bis auf Isomorphie eindeutige) angeordnete Körper, in dem jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Das Archimedische Axiom ist bei diesem Ansatz kein Axiom, sondern ein Satz, den man beweisen kann. Von daher ist nicht ganz klar, was mit dem Satz "Hyperreelle Zahlen erfüllen die gleichen Axiome wie die reellen Zahlen mit Ausnahme des archimedischen Axioms." gemeint ist. Man könnte entweder konkretisieren, welche Axiome konkret gemeint sind (aber vielleicht führt das weit) oder man könnte so eine schwammige Aussage benutzen wie "die meisten Axiome" oder die "meisten Eigenschaften" oder sowas. Wer genaueres wissen will, kann dann ja unter Hyperreelle Zahl nachschauen. --Cosine 13:49, 3. Dez. 2009 (CET)

Danke für den Hinweis, da steht im Grunde etwas verklausuliert, dass die hyperreellen Zahlen dieselben Axiome wie die reellen erfüllen, nur aber eben andere. Auch Vollständigkeit ist für die hreellen Zahlen erstmal nicht definiert, da diese keinen metrischen Raum bilden. So ist dieser Abschnitt eher verwirrend, daher raus.--Frogfol (Diskussion) 18:06, 6. Nov. 2017 (CET)

zum Beispiel Stetigkeit

Was soll eine Stetigkeitsdefinition bringen, nach der nur Standardfunktionen stetig sein können, und auch das nur in Standardpunkten? Solche "Definitionen" sind mir zwar in der Literatur (vor allem bei Nelson) auch schon häufig aufgefallen, aber sie definiert Konzepte wie Stetigkeit, Differentierbarkeit, usw. nur für Standard-Entitäten. Besser fände ich die Formulierung als Satz: "Für Standardfunktionen ist diese Definition äquivalent zu...". Damit bleibt alles was nach der richtigen Definition stetig ist stetig, aber für Standardfunktionen gibt es eine einfachere Beschreibung. Alternative wäre nach Robinson/Anderson/Keisler verschiedene Konzepte zu definieren (x, S-x, *-x, ...) und dann zu sagen "Für Standardentitäten ist das äquivalent, für Nichtstandard- nicht.". -- ThoRunge 15:28, 5. Jul. 2010 (CEST)

Warum eigentlich nur "Modelle der ..."?

Warum schweigt sich der Artikel eigentlich über die axiomatischen Zugänge aus? Robinsons Modell-Konstruiererei ist für den Alltags-Mathematiker meiner Ansicht nach recht schwer nutzbar (um nicht zu sagen unbrauchbar), weil (streng genommen) am Anfang eines jeden Beweises ein entsprechend saturiertes *-Universum konstruiert werden müsste. Um diese ewige Modellbauerei zu umgehen nutzt man ja erweiterte Mengenlehren, z.B. IST oder HST. Sollten solche Mengenlehren nicht noch (ausführlicher) erwähnt werden? Oder wäre das Thema zu speziell für die wikipedia? (An Literatur mangelt es nicht, Relevanz wäre also denke ich nicht das Problem) --ThoRunge 08:27, 1. Dez. 2010 (CET)

Ahjo, bevor der Vorschlag kommt dass ich ja selber Hand anlegen kann: Ich kenne mich bisher leider in HST nicht so sonderlich aus, deshalb könnte ich nicht viel mehr als erwähnen, dass es das gibt, vielleicht die Axiome niederschreiben und bestenfalls noch einige elementare Unterschiede zu IST beschreiben. Aber schon bei Beispielen aus der Analysis hören meine HST-Kenntnisse auf. --ThoRunge 12:14, 1. Dez. 2010 (CET)

Ich denke, dies war der falsche Weg. Diese Ansätze, wenn sie überhaupt vorgestellt werden sollen, gehören in eigene Artikel (und dort müsste anständig verlinkt werden; Begriffe wie "wohlfundiert" ohne Link zu verwenden ist nicht Wiki-tauglich). Also: wer auch immer die Hrbacek'sche Mengenlehre für im Rahmen von Wiki darstellungswürdig hält, sollte dafür einen eigenen Artikel erstellen und dann hier einen kurzen Satz mit Link einbringen. Gleichzeitig könnten dann Unklarheiten beseitigt werden (Strukturisomorphismus!?). Falls niemand sich zuständig fühlt, werde ich einen "Stub-Artikel" anlegen und den Text dorthin verschieben. Mehr kann ich im Augenblick nicht machen, weil ich mich nie mit HST beschäftigt habe. Bei IST reicht es wohl, den vorhandenen Link deutlicher zu plazieren.

Ich denke auch, man sollte so formulieren, dass schon hier deutlich wird, es handelt sich Theorien der Teilmengen des Kontinuums handelt, nicht um "Mengenlehre" im allgemeinen Sinn.

Wenn man sich das ursprüngliche Werk von J.Keisler anschaut, das er als "first year college text" (wäre also etwa für unsere gymnasiale Oberstufe) konzipiert hat, dann stellt man fest, dass im Einleitungsband "Foundations of Infinitesimal Calculus", der als schnelle Information für Mathematiker und als Hintergrund-Information für Lehrer, die das Werk verwenden wollen, gedacht war, sehr schöne Axiome zu finden sind. Die "Robinson-Konstruiererei" oder andere Konstruktionen braucht man, wenn man zeigen will, dass sie konsistent sind (und natürlich waren sie rein historisch früher).

Ich werde einen entsprechenden Teil für den Artikel vorbereiten, falls nicht jemand anderes sich unbedingt daran versuchen will. Aber das kann ein paar Tage dauern.

--Mini-floh 13:56, 26. Jan. 2012 (CET)

Ungeklärte Bezeichnungen

Im Text stehen einige Ausdrücke, bei denen man allenfalls raten kann, was sie bedeuten, weil sie nicht explizit erklärt werden, z.B. "i-klein" oder "i-groß".--Slow Phil (Diskussion) 17:55, 14. Dez. 2012 (CET)

Änderungen zwecks Eindeutigkeit

Ich habe die Asterisken vor die Bezeichnungen gesetzt, wie es auch im Artikel über hyperreelle Zahlen üblich ist. Auch so ist z.B. die Verwechslung der hyperreellen Zahlen ${}^{\ast }\mathbb {R}$ und der sog. Einpunkt-Kompaktifizierung $\mathbb {R} ^{\ast }$ groß genug, sie müssen nicht noch beide dieselbe Bezeichnung tragen.--Slow Phil (Diskussion) 17:17, 18. Dez. 2012 (CET)

Begründer Laugwitz?

Im Artikel steht "Als Begründer der Nichtstandardanalysis gilt der Darmstädter Mathematiker Detlef Laugwitz mit seinem Mitarbeiter Curt Schmieden." -- hat jemand die Quelle dazu geprüft? Ich kenne als Begründer der Nichtstandard-Analysis Abraham Robinson. Auch die englische Wikipedia führt Robinson an (obwohl sein Buch offenbar später als die genannte Arbeit von Laugwitz und Schmieden erschien), und schreibt sogar: "It was a challenge to develop a consistent theory of analysis using infinitesimals and the first person to do this in a satisfactory way was Abraham Robinson." und weiter "In 1958 Curt Schmieden and Detlef Laugwitz published an Article [...] However, the ring [they] constructed [...] contains zero divisors and thus cannot be a field." Nullteiler sind aber eine ziemlich gravierende Einschränkung oder nicht?--2003:65:EC1A:D30B:B007:32BB:A8C9:C37C 16:13, 12. Dez. 2015 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich kenne das auch so. Als Quelle wird die Originalarbeit von Laugwitz und Schmieden angegeben, da wird kaum drinstehen "wir sind die Begründer der Nichtstandardanalysis". Ich nehms raus.--Frogfol (Diskussion) 17:23, 6. Nov. 2017 (CET)

Axiomatische Zugänge, Überarbeiten und Belege

Der Abschnitt wurde völlig belegfrei eingefügt. Der damalige Autor ist auch nicht mehr aktiv. Aber es gibt auch noch einige inhaltliche Probleme.

1. "In der HST (Hrbacek Set Theory) von Karel Hrbacek wird die modelltheoretische Vorstellung fast exakt übernommen." Das ist wohl falsch. Hier wird ein vollkommen anderer Ansatz gewählt, indem die Mengenlehre, also die Grundlage, verändert wird.
2. "z.B. gilt das Auswahlaxiom nur innerhalb dieser Mengen, nicht aber für Mengen, die in keiner dieser Klassen enthalten sind (externe Mengen)." Es gibt also die drei Klassen, und dann plötzlich noch externe Mengen? Diese werden hier nur implizit eingefügt.
3. Sprachlich ist das mathematisch nicht sauber, Objekte verbinden statt abbilden, "in diesem Hintergrund" ist auch nicht wirklich verständlich.

ME trägt der Abschnitt nicht zum Verständnis bei und verwirrt eher als dass er etwas erklärt.--Frogfol (Diskussion) 19:57, 6. Nov. 2017 (CET)

Literaturvorschlag und 1/2 broken link (?)

Im Einzelnachweis 1 funktioniert der Link „deren axiomatische Einführung“ von meinem Rechner aus z. Zt. nicht. Ist aber nicht schlimm, ist ja im ersten Link inbegriffen, und ein so schön dargestellter historischer Überblick schadet nicht.

Als weitere Literatur möchte ich vorschlagen eine Monographie des inzwischen emeritierten schweizerischen Mathematikers Sergio Albeverio, der in Bielefeld, Bochum und Bonn Lehrstühle hatte. Die Monographie beginnt als relativ grundständiges Lehrbuch der Non-Standard-Analysis und schreitet dann rasch fort bis zur stochastischen Analysis und sehr fortgeschrittenen Themen der mathematischen Physik. Die Seiten mit dem grundständigen Thema sind in Google Books frei verfügbar:

https://books.google.de/books?hl=en&lr=&id=M_5RB-YGjZsC&oi=fnd&pg=PP2&dq=%22+Nonstandard+Methods+in+Stochastic+Analysis+and+Mathematical+Physics%22&ots=eaaZNfWOVe&sig=IN3-HoUHgNpwbPI0q4R_iAtf07I&redir_esc=y#v=onepage&q=%22%20Nonstandard%20Methods%20in%20Stochastic%20Analysis%20and%20Mathematical%20Physics%22&f=false

Ich bitte um Kommentare: Sollte das auf die Artikel-Hauptseite? Oder ist das zu hard stuff? --Himbeerbläuling (Diskussion) 16:16, 14. Aug. 2020 (CEST)

Die Kapitel 2 & 3, die auch noch relativ grundständig sind, werden allerdings nur eingeschränkt angezeigt.--Himbeerbläuling (Diskussion) 16:46, 14. Aug. 2020 (CEST)

Hypernatürliche Zahlen fehlen

Es besteht ein Link von https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl zu https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis#Hrbacek%E2%80%99sche_Mengenlehre . Der Begriff fehlt hier. Genauer: Er ist nur erwähnt, aber nicht definiert. --Hutschi (Diskussion) 10:59, 20. Sep. 2023 (CEST)

Kostenloses Buch als PDF

Aus der Beschreibung:

Elementarrechnung: Ein Infinitesimalansatz

Online-Ausgabe. Copyright © 2000 von H. Jerome Keisler, überarbeitet im März 2024.

Dies ist ein Analysis-Lehrbuch für Studienanfänger, das auf den Infinitesimalrechnungen von Abraham Robinson aus dem Jahr 1960 basiert. Robinsons moderner Infinitesimalansatz stellt die intuitiven Ideen der Begründer der Analysis auf eine mathematisch fundierte Grundlage und ist für Anfänger leichter zu verstehen als die Infinitesimalrechnung gängigerer Ansatz über Epsilon- und Delta-Definitionen.

Die erste Auflage dieses Buches erschien 1976 und eine überarbeitete zweite Auflage erschien 1986, beide von Prindle, Weber & Schmidt. Als die zweite Auflage vergriffen war, wurde das Urheberrecht an mich als Autor zurückgegeben. Im September 2002 habe ich beschlossen, das Buch auf dieser Website kostenlos in elektronischer Form zur Verfügung zu stellen. Diese PDF-Dateien wurden aus der gedruckten zweiten Ausgabe erstellt und werden ständig mit geringfügigen Korrekturen überarbeitet.

Eine dritte Auflage dieses Buches wurde 2012 von Dover Publications, Inc. veröffentlicht, mit der Vereinbarung, dass diese Online-Version weiterhin frei verfügbar sein wird. Dadurch haben Sie die Wahl, diese kostenlose Version herunterzuladen oder das gedruckte Buch zu kaufen.

Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License lizenziert .

https://people.math.wisc.edu/~hkeisler/calc.html --Molekuelorbital (Diskussion) 19:48, 9. Mär. 2024 (CET)