Diskussion:Normaler Raum

Konvergenz

Hoi!

Ich glaube eine Konvergenz induziert eine Topolopie wie folgt: Eine Menge $U$ heißt offen, wenn für alle $x\in U$ und jede Folde $x_{n}$ mit $x_{n}\rightarrow x$ gilt, dass $x_{n}\in U$ für fast alle $n$.

Gruß Jens

Wie wäre es mit: Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie mit jeder konvergenten Folge auch ihren Grenzwert enthält?--Gunther 12:39, 8. Aug 2005 (CEST)

Nur für den Fall, dass sich jemand auf diese Diskussionsseite verirrt: Beide oben genannten Aussagen sind falsch! Vielleicht können wir diese Diskussionsseite archivieren.--FerdiBf (Diskussion) 20:27, 28. Feb. 2013 (CET)

Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten metrischen Räumen.

Im Text steht der Satz "Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten metrischen Räumen ist niemals normal." Warum ist das so? (Quelle oder Begründung). Warum ist $\mathbb {N} ^{\mathbb {R} }$ nicht normal?--FerdiBf (Diskussion) 20:41, 28. Feb. 2013 (CET)

@FerdiBf: Der von dir genannte Fall ist Beispiel Nr. 103 in Counterexamples in Topology. Dort ist es bewiesen. $\mathbb {N}$ lässt sich in jeden nicht-kompakten Hausdorffraum $X$ injektiv stetig abbilden, sodass man noch zu den $n$ offene Umgebungen $U_{n}$ hat, die jeweis kein $m\neq n$ enthalten. Ferner fordern wir, dass $U_{0}$ und $U_{1}$ disjunkt sind (möglich per Hausdorff-Eigenschaft). Die Konstruktion eines Gegenbeispiels lässt sich auf $X^{\mathbb {R} }$ übertragen, wobei man statt des $n\in \mathbb {N}$ an geeigneter Stelle $U_{n}$ betrachtet. Dann hat man zwei disjunkte abgeschlossene Mengen $P_{0},P_{1}$. Würden diese sich durch offene Mengen trennen lassen, würden sich diese auf $\mathbb {N} ^{\mathbb {R} }$ zurückziehen lassen und dort genau die abgeschlossenen Mengen trennen, von denen das Buch zeigt, dass sie sich nicht trennen lassen.

Ich schreib mal noch die $P_{i}$ hin, sie sind:

$P_{i}=X^{\mathbb {R} }\setminus \bigcup _{\alpha \neq \beta ,n\neq i}(\pi _{\alpha }^{-1}(U_{n})\cap \pi _{\beta }^{-1}(U_{n}))$ --Chricho ¹ ² ³ 18:50, 21. Aug. 2016 (CEST)

Zerlegung der Eins

Mit dem derzeitigen Wiki-Eintrag zur "Zerlegung der Eins" bin ich nicht recht glücklich, aber immerhin wird dort auch die lokal endliche Variante erwähnt. Mit Bezug auf diesen Eintrag zur "Zerlegung der Eins" in seiner allgemeinen Form ist die Bemerkung im Eintrag zur Normalität "Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins" zwar völlig korrekt, aber langweilig - in diesem Sinne gestattet JEDER topologische Raum eine "Zerlegung der Eins": schlicht indem man eine einelementiger Indexmenge und dann nur die Eins-Funktion hernimmt.

Worum es bei "Zerlegung der Eins" geht, ist freilich eine etwas weiter reichende Eigenschaft: zu jeder offenen Überdeckung gibt es eine Familie von reellwertigen (stetigen, bzw. soundsooft differenzierbaren) Funktionen, deren jede einen Träger hat, der in einem Überdeckungselement enthalten ist.

Und das gilt nicht mehr für alle T_4 Räume.(nicht signierter Beitrag von Marvinius (Diskussion | Beiträge) 03:52, 21. Aug. 2016 (CEST))

Für jede lokal endliche offene Überdeckung gibt es in einem normalen Raum eine Zerlegung der Eins. Und man sieht auch sogleich, dass das die normalen Räume charakterisiert. Habe ergänzt umseitig. --Chricho ¹ ² ³ 18:12, 21. Aug. 2016 (CEST)

Zur Motivation

Hier wurde ein Absatz Motivation eingefügt, der leider die nachfolgende Definition nicht direkt motiviert. Der Fortsetzungssatz von Tietze, dessen Bestehen ja äquivalent zur Normalität ist, kann natürlich motivierend eingesetzt werden, aber dann sollte daraus kurz die Trennungeeigenschaft begründet werden, was ja leicht zu bewerkstelligen wäre. Alles andere, lineare Algebra, Dualräume, vollständige Hausdorffräume, vollständig reguläre Räume, Kolomogorov-Räume, lokalkompakte Räume, hält nur den Leser auf, der eigentlich nur wissen will, was ein normaler Raum ist. Ein enzyklopädischer Artikel sollte so schnellt wie möglich zum Kern kommen. Eine motivierenden Anfangsabsatz halte ich nur dann für sinnvoll, wenn eine Definition höchst unanschaulich oder ohne Motivation nicht eingeordnet werden kann. Das liegt hier nicht vor. Eine nahezu gleichwertige Motivation durch das Lemme von Urysohn, das NICHT zur Normalität äquivalent ist, halte ich sogar für verwirrend. Mein Vorschlag wäre, diesen Motivierenden Absatz wieder zu entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 16:33, 19. Nov. 2019 (CET)