Diskussion:Nullmenge

ich glaube, dass da etwas nicht genau formuliert wurde. nicht die summe der längen der intervalle sondern die summe über das maß der teilintervalle muß < epsilon sein

Der entsprechende Satz bezieht sich nun explizit auf das Lebesgue-Maß im R^p. Da ist das Maß eines Quaders genau das geometrische Volumen des Quaders = "Länge des Intervalls". --SirJective 14:07, 22. Mär 2005 (CET)

Jede abzählbare Menge ist eine Nullmenge

Ich glaube, dass die Aussage in dieser Form falsch ist. Korrekterweise müsste es wohl heißen: "Jede abzählbare Teilmenge des Rⁿ bzgl. des Lesbesgue-Maßes ist eine Nullmenge". Betrachte folgedes Beispiel: A := {0,1}, Ω := σ(A), P(x) = 0.5 für alle x aus A. Dann sind {0}, {1}, {0,1} alles abzählbare Mengen, aber P({0}) = P({1}) = 0.5 und P({0,1}) = 1.

Dein Einwand ist völlig berechtigt. Ändere es ruhig in diesem Sinne ab (s. WP:SM).--JFKCom 20:01, 29. Apr 2006 (CEST)

Die obige Behauptung entspricht nicht der Realität.

Nicht jede abzählbare Menge aus dem Bereich der reellen Zahlen ist notwendigerweise eine Nullmenge. Beispiel: Nehmen wir als abzählbare Menge die ganzen Zahlen zwischen Null und Unendlich, so ist es nicht möglich, sie mit endlich vielen Intervallen epsilon zu überdecken, und dann epsilon gegen Null gehen zu lassen. Dies ist erforderlich, damit im Grenzwert das Maß Null erhalten wird. Nehmen wir endlich viele epsilon, die die Zahlen von Null bis zu einer Zahl N überdecken, dann ist das Maß N*epsilon. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: 1. erst N gegen Unendlich gehen zu lassen, und dann epsilon gegen Null: Ergebnis: Das Maß ist unendlich. 2. erst epsilon gegen Null gehen zu lassen, dann N gegen Unendlich: Ergebnis: Das Maß ist Null. Durch die Kombination von N mit epsilon in der Form epsilon = a / N, mit einer beliebigen positiven Zahl a erhält man im Grenzübergang: Das Maß ist a. Damit ist für diese Menge das Maß unbestimmbar.

• Weitere Untersuchungen zeigen, dass nur beschränkte unendlich abzählbare Mengen mit einer abzählbaren Anzahl von Häufungspunkten sich mit endlich vielen Intervallen epsilon überdecken lassen, deren Summe bei Epsilon gegen Null auch gegen Null geht.: also Nullmengen sind.*

Diese Betrachtung gehoert natürlich auch in den Abschnitt: Überdeckungen von Nullmengen.(--92.58.21.54 15:22, 25. Feb. 2013 (CET))

Die Betrachtung ist aber falsch. $\mathbb {Z}$ ist wie jede abzählbare Teilmenge eine Nullmenge in $\mathbb {R}$ (bzgl. des Lebesgue-Maßes). Dies folgt einfach aus der σ-Additivität. --Chricho ¹ ² ³ 15:43, 25. Feb. 2013 (CET)

???(--Dok21fie (Diskussion) 17:37, 4. Mär. 2013 (CET))

Siehe hier, was σ-Additivität ist. Das Lebesgue-Maß ist wie jedes Maß σ-additiv. Und da jede der Mengen $\left\{z\right\}$ für $z\in \mathbb {Z}$ Maß 0 hat, ist das Maß von $\mathbb {Z}$ gleich der Summe all dieser Maße gleich 0. Bist du die IP 92.58.21.54? In ihrem Widerlegungsversuch geht sie davon aus, dass es dafür, dass es sich um eine Nullmenge handelt, eine notwendige Bedingung wäre, dass man für jedes $\epsilon$ solche endlichen (oder gleichmäßigen) Überdeckungen findet. Das ist jedoch falsch (wie soeben gezeigt). Genau weiß ich nicht, wo da die Verwechslung vorliegt und was sie genau meint, vermutlich bezog sie sich auf einen bestimmten Satz, bei der sie die Aussage nicht richtig gelesen hat. --Chricho ¹ ² ³ 17:49, 4. Mär. 2013 (CET)

Vielleicht sind Jordan-Nullmengen gemeint? Die werden mit endlichen Überdeckungen definiert, allerdings so weit ich weiß nur für beschränkte Mengen, darum klappt das nicht für die natürlichen Zahlen. -- HilberTraum (Diskussion) 12:55, 5. Mär. 2013 (CET)

Leere Menge

Die leere Menge \varnothing bildet eine Nullmenge in jedem Maßraum, in dem wenigstens eine Menge mit endlichem Maß existiert.

Laut Maßraum ist die leere Menge für jedes Maß eine Nullmenge, per definitionem.--Digamma 21:54, 14. Dez. 2006 (CET)

Weiterleitung

Hat das einen Sinn das ich von http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fast_%C3%BCberall&redirect=no Hier her komme?

Ich denke ja: Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer Nullmenge gilt, sagt man, dass sie fast überall gilt. --Digamma 17:26, 16. Jan. 2008 (CET)

Definition zu eng?

Die Definition einer Nullmenge ist offenbar von Autor zu Autor verschieden.

Die Definition im Artikel stimmt mit Forster(1) ueberein.

Eine weitere Definition:

Nullmengen sind alle die Mengen, die Teilmenge einer Menge mit Maß Null sind.

Der Unterschied besteht darin, dass diese Teilmengen nicht zur Sigma-Algebra zu gehören brauchen, weshalb ihnen nicht sinnvoll ein Maß zugeordnet werden kann -- die Definitionen stimmen überein im Fall eines vollständigen Maßes. (vgl. vollst. Masse (2)). Derart definiert werden Nullmengen z.B. bei Werner(3).

(1) Otto Forster - Analysis 3, 4. Auflage 2007, Vieweg, S. 66

(2) Ehrhard Behrends - Maß- und Integrationstheorie, 1987, Springer, S.29

(3) Dirk Werner - Einführung in die höhere Analysis, 1. Auflage, 2006, Springer, S. 242

84.191.246.108 20:45, 29. Feb. 2008 (CET)

Deswegen ist momentan der Artikel nicht richtig. Denn nichtmessbare Teilmengen von Nullmengen erfüllen (im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ mit einem Maß μ)

Eine Menge $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist Nullmenge bezüglich μ, wenn für alle ε > 0 gilt: Es existiert eine offene Überdeckung von M mit höchstens abzählbar unendlich vielen Quadern, und die Summe der Maße dieser Quader ist kleiner als ε,

und sind keine Nullmengen nach der Definition des Artikels. Am klügsten wäre es, beide Definitionen zu erwähnen und auf den Unterschied hinzuweisen.

--Erzbischof 15:04, 6. Mär. 2008 (CET)

Ich hak mich hier mal ein: Man sollte wohl den Maßtheoretischen Begriff vom Begriff Jordan-Nullmenge abgrenzen und vielleicht was über Riemann- und Lebesgue-Integral sagen. -- R. Möws 03:35, 9. Mär. 2008 (CET)

Einleitungssatz

Wie kann man am Besten im Einleitungssatz verpacken, dass man sich nicht für beliebige Mengen interessiert, sondern für Mengen, die Elemente einer Sigmaalgebra sind? Einfach meßbar hinzuschreiben wäre wohl die eleganteste Lösung, aber da bräuchte es eine passendes Lemma dahinter. Die den Hinweis auf die Borel-messbaren Mengen hab ich rausgenommen, weil es ja durchaus nicht-borelsche Nullmengen gibt. (Ist die Cantormenge nicht sogar eine?) Der Zusammenhang zwischen Borelschen und Lebesgueschen Nullmengen sowie der Vervollständigung von Maßen erscheint mir in diesem Artikel sinnvoll.-- R. Möws 03:35, 9. Mär. 2008 (CET)

Die Cantormenge ist Borelsch. Zur Konstruktion nimmst du ja nur abzaehlbar oft abzaehlbar viele "Drittelintervalle" heraus -- das kann man also als abzaehlbaren Schnitt mit den Komplementen darstellen. 84.191.236.4 15:39, 21. Mär. 2008 (CET)

Synonym leere Menge

Oliver Deiser benutzt das in seinem Buch noch, und zitiert dort auch Hausdorff von 1914 der es ihm gleich tut bzw. vice versa. Vllt. könnte man anstatt gleich auf: "das ist was ganz anderes" mal die Ähnlichkeiten beschreiben bzw. auch vor dem historischen Kontext, war es also mal ein direktes Synonym? Grüße --WissensDürster 18:27, 2. Aug. 2009 (CEST)

Schön, auch der Brockhaus führt unter Nullmenge neben seiner korrekten die Variante als Synonym für leere Menge. Nun ist der Brockhaus allerdings kein mathematisches Fach- oder Lehrbuch - im Gegensatz zu, ich vermute, jenem von Deiser, auf das du dich hier beziehst (vermutl. seine "Einführung in die Mengenlehre"). Dessen Beweggründe leuchten mir nicht ein, vermutlich eine simple Idiosynkrasie, auf die man hier wohl kaum eingehen braucht. Es mag im populäreren oder elementareren Rahmen ja von mir aus hin und wieder so verwendet werden, das macht es aber weder besser, noch richtig. Die Nullmenge ist nicht gleich der leeren Menge noch hätten - in meinen Augen - beide etwas Nennenswertes miteinander zu tun. Also abgesehen davon, dass sie im unbedachten Sprachgebrauch ab und an verwechselt werden, worauf aber indirekt bereits Bezug genommen wird, als man hier deutlich und, ich finde, verständlich differenziert.

Was indes die Praxis (u.a.) Felix Hausdorffs angeht, nur zur Erklärung: Das heute verwendete Zeichen für die leere Menge - $\varnothing$ oder $\emptyset$ - wurde erst von André Weil eingeführt! Bis dahin, also auch zu Hausdorffs Zeiten, verwendete man stattdessen schlicht die Null ("0") als Symbol für die leere Menge. Womit nachvollziebar wird, weshalb man damals in dieser Hinsicht etwas inkonsequent verfuhr und wahlweise von "leerer Menge" und "Nullmenge" sprach, um ein und dasselbe zu bezeichnen. -- Zero Thrust 00:47, 23. Apr. 2010 (CEST)

Überdeckung von Nullmengen

Das kann doch im Allgemeinen nicht richtig sein, die Überdeckung muss ja irgendwie beschränkt sein, sonst wäre nach dieser alternativen Definition jede Menge Nullmenge, insofern endliche Mengen Nullmengen bezüglich des Maßes sind (denn jede Menge wird von den Mengen, die jeweils eines ihrer Elemente enthalten, überdeckt). Die Überdeckung muss wohl eingeschränkt werden, etwa im ℝⁿ, dass es eine abzählbare Überdeckung ist. Könnte man sich das mit der Überdeckung nicht sparen, und einfach sagen, dass auch jede Teilmenge einer Nullmenge hinzugenommen wird? Das dürfte doch das gemeinte sein, oder nicht? --Chricho ¹ 23:25, 18. Sep. 2011 (CEST)

Du beziehst dich wohl auf den Satz „Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge noch solche Mengen hinzu, die von Mengen mit Maß 0 überdeckt werden, aber nicht notwendigerweise Element der σ-Algebra sind und denen deswegen selbst aber eventuell kein Maß zugeordnet ist.“ Das ist mindestens missverständlich formuliert. Ich vermute in der Tat ebenfalls, dass es hier lediglich darum geht, auch die Teilmengen von (zur Sigma-Algebra gehörigen) Nullmengen als Nullmengen zu bezeichnen. In Maßtheorie#Vervollständigung bezeichnen „wir“ solche Mengen übrigens nicht als Null- sondern als vernachlässigbare Mengen – die allerdings in der Vervollständigung zu Nullmengen werden.--Hagman 23:55, 18. Sep. 2011 (CEST)

Ja, das meinte ich. Deckt sich auch mit dem, was oben unter „Definition zu eng?“ steht. Im Falle der Borel-σ-Algebra über ℝⁿ passte das mit der Überdeckung jedenfalls, sofern man nur abzählbare wählt, zur Vervollständigung, wie sie beim Lebesgue-Maß geschieht, und die Vervollständigung war ja auch vorher verlinkt. So in Ordnung? Ist das „vernachlässigbar“ denn ein halbwegs gängiger Begriff? --Chricho ¹ 01:09, 19. Sep. 2011 (CEST)

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Pseudo-riemannsch vs. riemannsch

Im Text steht:

Im Fall von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten sind diese Lebesgue-Nullmengen identisch mit den Nullmengen bezüglich des Riemann-Lebesgueschen Volumenmaßes.

Funktioniert das tatsächlich mit pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten? Braucht man für ein Riemannsches Volumenmaß nicht eine echte Riemannsche Metrik? --Digamma (Diskussion) 19:12, 20. Nov. 2015 (CET)

Man nimmt die Wurzel des Betrags der Determinante von g als Dichte, die ist immer positiv. Der Satz von Satz von Radon-Nikodým regelt den Rest. --Chricho ¹ ² ³ 20:34, 20. Nov. 2015 (CET)

Danke, das klingt plausibel. --Digamma (Diskussion) 22:15, 20. Nov. 2015 (CET)

Also man kann es ja für riemannschen und pseudo-riemannschen Fall bzgl. derselben Orientierung betrachten und dann ist der Unterschied tatsächlich nur Multiplikation mit einer Dichte. --Chricho ¹ ² ³ 13:53, 21. Nov. 2015 (CET)

Ich merke gerade, dass ich mich sehr missverständlich ausgedrückt hatte und eigentlich etwas anderes gemeint habe, als das, was du beantwortet hast. Die Frage zielt nämlich darauf, ob eine nicht positiv definite pseudo-riemannsche Metrik überhaupt eine Volumenform definiert. --Digamma (Diskussion) 19:36, 22. Nov. 2015 (CET)

Untermannigfaltigkeiten und Hausdorff-Maß

Ich bin der, der den Abschnitt Differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingefügt hat. In diesem Zusammenhang schließt sich mir noch eine Frage an, die ich bisher noch nicht klären konnte. Ich vermute stark, dass im Fall von Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ die hier beschriebenen Nullmengen mit den entsprechenden Nullmengen bezüglich des Hausdorff-Maßes der entsprechenden Dimension übereinstimmen. Das wäre noch eine schöne Ergänzung, aber ich konnte bisher keine Quelle dazu finden. Weiß jemand mehr? Danke schonmal! --DufterKunde (Diskussion) 16:17, 21. Nov. 2015 (CET)

Die Einschränkung des Hausdorff-Maßes auf die Untermannigfaltigkeit stimmt auf jeden Fall mit dem Riemannschen Volumenmaß bezüglich der induzierten Metrik überein. --Digamma (Diskussion) 19:40, 22. Nov. 2015 (CET)

Dass es so einen Zusammenhang gibt, ist mir intuitiv auch klar. Aber ich habe weder einen Beweis dafür im Kopf, noch eine Quelle, auf die man sich berufen könnte, parat. Und gilt das ganz ohne Einschränkung? Also bereits für $C^{1}$ und beliebige Dimensionen für den umgebenden Raum sowie für die Untermannigfaltigkeit? Oder gibt es Einschränkungen bezüglich Regularität und Dimensionen? Auch für nicht orientierbare Untermannigfaltigkeiten, Mannigfaltigkeiten mit Rand, …? --DufterKunde (Diskussion) 00:04, 23. Nov. 2015 (CET)

Auf die Schnelle finde ich nur die "area formula" in Federer, Geometric Measure Theory, Theorem 3.2.3:

Suppose $f\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ is Lipschitzian with $m\leq n$.

(1) If $A$ ist an ${\mathcal {L}}^{m}$ measurable set, then

$\int _{A}J_{m}f(x)d{\mathcal {L}}^{m}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}N(f|A,y)\,d{\mathcal {H}}^{m}y$.

Wenn $f$ eine Einbettung ist, dann ist die linke Seite gleich dem riemannschen Flächeninhalt des Bildes von $A$, die rechte Seite dessen Hausdorffmaß. "$N(f|A,y)$" bezeichnet die Anzahl der in $A$ liegenden Urbilder von $y$ unter der Abbildung $f$, im Fall einer Einbettung ist das die charakteristische Funktion des Bilds von $A$. --Digamma (Diskussion) 19:03, 23. Nov. 2015 (CET)