Diskussion:Numerische Mathematik

Änderungsvorschlag

Eventuell sollte die Unterscheidung nicht explizite Verfahren vs. Näherung sein, sondern direkte Verfahren vs. Näherung. Sonst kommen womöglich einige mit der Unterscheidung explizite vs. implizite Euler-Verfahren, Runge-Kutta etc. durcheinander.
(Der vorstehende Beitrag wurde am 9.5.2005, 19:32 [MESZ] abgesendet.)

Guter Punkt, ich habe das direkt mal umgesetzt. Viele Gruesse --DaTroll 19:39, 9. Mai 2005 (CEST)

Ist hier auch der Ort, ein paar technische grundlegende Einzelheiten der endlichen Arithmetik zu beschreiben, z.B. dass die Addition nicht assoziativ ist wegen Auslöschung &c., oder sollte das ein separater Artikel sein? -- Nol Aders 20:41, 5. Jun 2005 (CEST)

Meiner Meinung nach Nicht. Man sollte das in einem Satz abhandeln, den Rest in eigenen Artikeln. Was hier noch fehlt ist sowas wie Stabilität und etwas zu Computermodellen. --DaTroll 22:10, 5. Jun 2005 (CEST)

Ich fände es gut, wenn jemand etwas zum Thema Fehler beim numerischen Rechnen schreiben könnte. Ist ja schließlich ein zentrales Problem der Numerik und wird nur unzureichend erwähnt. Gehört aber wahrscheinlich auf eine eigene Seite, oder? --JoergBoerg 11:57, 22. Okt 2005 (CEST)

Ich weiß nicht genau worauf Du hinaus wilst? Sowohl Fehleranalyse wird angeschnitten, also auch der Aspekt der Approximation, was ja immer bedeutet, das Fehler auftauchen? --DaTroll 19:51, 22. Okt 2005 (CEST)

Es wäre nützlich auch auf die alte Streitfrage angewandte Mathematik <-> reine Mathematik einzugehen.
- Läßt sich reine von angewandter M. abgrenzen?
- Gehört Numerische Mathematik zu reiner oder angewandter Mathematik?
M.E. wäre es weit verfehlt z.B. numerische Methoden zur Berechnung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, Borweinsche Reihen (Peter Borwein) und überhaupt numerische Zahlentheorie der angewandten Mathematik zuzurechnen. --Skraemer 01:32, 19. Feb 2006.

Rein oder angewandt ist eine Frage des Blickpunktes des Mathematikers. Ich kenne genug Numeriker, die nicht angewandt sind, auch wenn dies sicherlich die Ausnahme ist. --DaTroll 12:42, 19. Feb 2006 (CET)

Es gibt eine ausgeprägte Meinungsverschiedenheit zwischen Mathematikern. Vielleicht sind andere Begrifflichkeiten sinnvoll: Vertreter der exakten Mathematik <-> Vertreter der inherent mit Ungenauigkeit behafteten Mathematik. Vielleicht fehlt auch der Hinweis, das die Numerik dort wichtig wird, wo die Beweise der exakten Mathematik sich als unvollständig erwiesen haben. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 03:55, 22. Okt. 2015 (CEST))

Numerik ist nicht beschränkt auf kontinuierliche math. Probleme

Es ist Unsinn zu behaupten, Numerik beschäftige sich nur mit kontinuierlichen mathematischen Problemen. Gegenbeispiele findet man z.B. in der numerischen linearen Algebra und in der ganzzahligen Optimierung. Das Wort 'kontinuierlich' könnte von der englischen Bezeichnungsweise 'Numerical Analysis' herrühren. Bei der Analysis macht die Eigenschaft 'kontinuierlich' Sinn. Wenn P. Birken behauptet, die alte Definition sei üblich (Quelle?), so stelle ich die Definition von H. Rutishauser gegenüber: Numerische Mathematik befasst sich damit, für mathematisch formulierte Probleme einen rechnerischen Lösungsweg zu finden. Rezitiert nach Schwarz, Köckler Numerische Mathematik. --Bertrus 13:20, 4. Jan. 2007 (CET)

Auch numerische lineare Algebra beschaeftigt sich nicht mit ganzzahligen Problemen, sondern mit linearen Gleichungssystemen ueber R, manchmal ueber C und damit mit kontinuierlichen Problemen. Die ganzzahlige Optimierung wird ueblicherweise eher in der theoretischen Informatik betrachtet, wobei dies in der Tat ein Randfall ist. Siehe dazu auch das einflussreiche Essay von Nick Trefethen, [1]. --P. Birken 13:33, 4. Jan. 2007 (CET)

Ich wundere mich, dass Sie einen solchen Standpunkt einnehmen. Was ist e.g. an der LR-Zerlegung, einem numerischen Standardverfahren, kontinuierlich? So weit ich weiss, arbeiten Sie ja u.a. an der numerischen Lösung von Gleichungssystemen. Was ist daran als 'kontinuierlich' zu bezeichnen? Was für einen Sinn macht der Ausdruck 'kontinuierlich' bei Krylow-Unterräumen? --Bertrus 13:46, 4. Jan. 2007 (CET)

Vielleicht liegt hier ein falsches Verstaendnis von Kontinuum vor? Kontinuierlich heisst: mit reellen oder komplexen Zahlen. Und ein lineares Gleichungssystem ueber den reellen oder komplexen Zahlen ist ein kontinuierliches Problem. --P. Birken 13:58, 4. Jan. 2007 (CET)

Nun gibt es auch numerische Verfahren auf dem Körper der rationalen Zahlen (Q), wie eben die LR-Zerlegung. Q ist sicherlich in keinster Weise als kontinuierlich zu bezeichnen, erst recht nicht im Sinne von Kontinuum. Damit ist die Behauptung widerlegt.

Im Übrigen könnte manch ein Benutzer die Wortwahl von P. Birken (schlicht falsch und Problem nicht verstanden, Numerik ist insbesondere keine Computeralgebra) als überheblich ansehen und evtl. persönlich nehmen. Ich habe zu keiner Zeit etwas von Computeralgebra in die Diskussion gebracht, und wir wollen hier sachlich bleiben. --Bertrus 14:56, 4. Jan. 2007 (CET)

Ich wollte mit meinem Ton sicherlich nicht beleidigen. Es aergert mich aber, wenn falsche Dinge in Artikel geschrieben werden oder wenn Aenderungen vorgenommen werden, obwohl die Begriffe gar nicht klar sind. Dass die LR-Zerlegung ueber Q arbeitet (was ja auch nur in der Praxis heutiger Computer richtig ist), hat mit dem Thema nichts zu tun: es ist trotz allem ein Verfahren zur Loesung eines kontinuerlichen Problems. --P. Birken 14:59, 4. Jan. 2007 (CET)

Die LR-Zerlegung funktioniert in Theorie und Praxis über jedem Körper, also insbesondere über Q.--Bertrus 15:11, 4. Jan. 2007 (CET)

Also Du behauptest, dass in der numerischen Mathematik lineare Gleichungssysteme ueber Q betrachtet werden? --P. Birken 15:16, 4. Jan. 2007 (CET)

Die LR-Zerlegung setzt nur eine Körper-Struktur voraus (Addition, Multiplikation und insbesondere Existenz des additiv und multiplikativ Inversen).--15:33, 4. Jan. 2007 (CET)

Darum geht es nicht und das war auch nicht die Frage. Klar kann ich einen Algorithmus, der fuer R funktioniert, auch fuer Q oder F2 verwenden. Ich bin gespannt, wie die Gutachter meines naechsten Artikels reagieren, wenn ich mit $Ax=b,A\in \mathbb {Q} ^{n\times n}$ ankomme. In diesem Sinne, von meiner Seite aus EOD. --P. Birken 15:37, 4. Jan. 2007 (CET)

Das ist ein sonderbares Argument. Denn eines ist klar, es war nicht die Frage, wie die Gutachter Ihres nächsten Artikels auf dies oder das reagieren. Es kann durchaus Sinn machen sich auf Teilmengen von Q zu beschränken. Denken Sie an die Finanzmathematik, wo man von Seiten des Gesetzgebers eine bestimmte Arithmetik vorgeschrieben bekommt. Mir reicht's, auch von meiner Seite EOD. --Bertrus 15:58, 4. Jan. 2007 (CET)

Vorsicht, manch ein Benutzer sieht in solchen Äußerungen die Behauptung ihrerseits, dass ihm die Begriffe nicht klar sind. Sie könnten irren. Halten Sie sich doch bitte mit so etwas zurück. --Bertrus 15:33, 4. Jan. 2007 (CET)

Entschuldigung: Numerik erklären mit Begründungen aus der Zahlentheorie? Es gibt unterschiedliche Ansätze in der Zahlentheorie und der Nummerik. Die Numerik befasst sich insbesonders und stark mit einer Auffassung der Zahlenräume als /nicht kontinuierliche/ beschreibbar. Anders als die "exakte" Mathematik versucht die Numerik Beweise nicht auf kontinuierlichen, exakten, Zahlen zu Beweisen sondern lediglich innerhalb einer Toleranz/Abweichung/Fehler. "Nicht exakt aber beliebig genau" ist der Leitspruch der Numerik Anschaulich: wenn ich eine Länge von einem Tisch(ein Objekt), gehe ich zunächst davon aus, dass der Tisch kontinuierlich verläuft. Dennoch nutze ich einen Meterstab, der als kleinste Einheit einen Millimeter hat. Durch die Messung mit dem Meterstab, spielt es keine Rolle mehr ob der Tisch tatsächlich kontinuierlich verläuft oder unkontinuierlich. Wir Messen nicht in R sondern mit dem Meterstab, der diskret(!) ist. Lücken aufweist. Die Berechnung mit solchen Zahlen muss wiederum nicht mit einer kontinuierlichen Funktion stattfinden - sie kann mit einer beliebigen(unstetig, teilweise undefiniert...) stattfinden, solange sie das Rechenergebnis sicher im Rahmen der Toleranz trifft. Die Nummerik berechnet niemals in einem kontinuierlich definiertem R. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 03:22, 22. Okt. 2015 (CEST))

Ich möchte es nochmal anders erklären: Das Problem: "Fläche eines Quadrates eine Seitenlänge in R berechnen." Dieses Problem betrachte ich als solches noch nicht als Aufgabe der Numerik. Wenn ich allerdings eine weitere Bedingung einführe: "Fläche eines Quadrates eine Seitenlänge in R berechnen. Das Ergebnis in Dezimalzahlen auf 2 Nachkommastellen genau angeben." Dann wird es zu einer Aufgabe der Numerik. Natürlich werden wir in R schreiben als hätten wir es mit einem kontinuierlichen R zu tun. Faktisch wurde der Zahlenbereich aber durch die Zusatzbedingung in einen diskreten nämlich (gleichmächtig) N überführt. Erst diese neue Problemstellung und entscheidend. jetzt diskrete Problemstellung macht es zu einem Problem der Numerik im Gegensatz zum ursprünglichen kontinuierlichen Problem.
Eine solche Zusatzbedingung gibt es m.W. immer bei der Numerik: irgendeine Toleranz, ein Fehler, ein Rahmen in dem Ergebnisse liegen müssen. Wir schreiben dennoch in R - obwohl es eingeschränkt wurde und nicht mehr kontinuierlich ist. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 05:14, 22. Okt. 2015 (CEST))

Überblick

Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der folgenden Gründe: [...] die Lösungsdarstellung [...] liegt in einer Form vor, in der Rechenfehler sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen Potenzreihen).
Klingt komisch, Rechenfehler machen sich immer bemerkbar - ich denke hier ist, vorallem durch den bezug zu den potenzreihen, eher der Approximationsfehler gemeint. Aber ich bin nicht sicher genug um die aenderung zu committen deshalb schreib ichs erstmal hier hinein. (nicht signierter Beitrag von 80.136.189.15 (Diskussion | Beiträge) 07:24, 10. Jul 2009 (CEST))

Natürlich ist auch der Approximationsfehler gemeint, da man abschneiden muss. Viele Potenzreihen konvergieren sehr langsam. Dazu kommen alternierende Potenzreihen bei denen es häufig zu Auslöschung kommt. --P. Birken 18:55, 10. Jul. 2009 (CEST)

Unterschieden werden zwei Typen von Verfahren: Einmal direkte, die nach endlicher Zeit bei unendlicher Rechnergenauigkeit die exakte Lösung eines Problems liefern

Wie soll das möglich sein, daß ein Rechner unendlich genau rechnet? Würde ein Rechner tatsächlich unendlich genau rechnen, so dürfte er nur bei solchen Rechenoperationen zu einem (theoretisch) unendlich genauen Ergebnis kommen, die nach endlich vielen Rechenschritten zu einem endgültigen Ergebnis kommen. Bei Rechenoperationen, die tatsächlich unendlich viele Rechenschritte umfassen (beispielsweise die Berechnung von unendlich vielen Stellen der Kreiszahl Pi), kann ein Rechner in endlicher Zeit überhaupt kein endgültiges Ergebnis abliefern.--Wikilaser (Diskussion) 12:44, 20. Okt. 2016 (CEST)

Damit ist einfach nur das normale „mathematische“ Rechnen mit reellen oder komplexen Zahlen gemeint. Dazu kann man sich zwar auch eine Art abstrakter Rechner vorstellen, der ohne Fehler rechnet, aber nötig oder hilfreich ist das mMn Meinung nach für das Verständnis nicht. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:02, 20. Okt. 2016 (CEST)

Ich habe die Stelle jetzt mal ein bisschen umformuliert. -- HilberTraum (d, m) 18:12, 22. Okt. 2016 (CEST)

Optimierung als Teilgebiet der Numerik

Ist das tatsächlich so? Es stimmt, dass Optimierungsprobleme in der Praxis oft numerisch gelöst werden, aber nach der Logik wäre doch auch Analysis ein Teilgebiet der Numerik, weil analytische Probleme in der Praxis selbstverständlich auch numerisch gelöst werden... Meinungen dazu? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:21, 30. Apr. 2014 (CEST)

Zustimmung: Siehe z. B. hier (65 und 90) oder diese Buchtitel. Der ganze Abschnitt „Teilgebiete“ ist ziemlich willkürlich und seltsam … -- HilberTraum (Diskussion) 10:05, 1. Mai 2014 (CEST)

Diese Diskussion kann m.E. nicht entschieden werden. Tatsächlich kann Optimierung in vielen Gebieten auftauchen. Die Numerik hat aber einen deutlichen Schwerpunkt bei der Optimierung. Endlich ist fast alles, was die Numerik betreibt in einer Art Optimierung. Wir versuchen zu einem Problem das "richtigste" Ergebnis zu finden. Vor allem müssen wir beweisen, dass ein Verfahren, das nicht unbedingt das tatsächliche Model nachbilden muss, "richtiger", genauer, stabiler ist oder gleichwertig aber leichter berechenbar. Das hat schon viel mit Optimierung zu tun. Bei vielen Verfahren der Numerik ist die Optimierungen eindeutig. Alles was auf Least Squares beruht ist z.B. Optimierung(die kleinste Abweichung), das ganze Gebiet Finite Elemente lässt sich auf Optimierung zurückführen usw. Numerik findet Ergebnisse zumindest mit starkem Schwerpunkt durch Optimierung. Was die Numerik ganz besonders von anderen Disziplinen unterscheidet, ist, das Beweise auf Optimierung beruhen - das ist in anderen Disziplinen eher verpönt. Wir beweisen in der Numerik, dass etwas ausreichend genau und richtig ist - also das Ergebnis optimal erreicht(die kleinste Abweichung). Andere Disziplinen suchen nach einem exakten Verfahren.

Harald Lesch nimmt die Berechnung von kosmischen Vorgängen anhand der Lampe seines Fahrrads als Beispiel. So etwas zu machen wäre in allen anderen Disziplinen der Mathematik verpönt weil es keinen direkten Zusammenhang zwischen der Fahrradlampe und dem kosmischen Vorgang gibt. Das eine hat mit dem anderen nicht direkt zu tun. In der Numerik hingegen ist es eine interessante Fragestellung: liefert die einfache Berechnung entlang Eigenschaften der Fahrradlampe ein brauchbares Ergebnis für den kosmischen Vorgang, das vielleicht sogar besser ist als entlang des unsäglich komplizierten tatsächlichen physikalischen Models? Welche Berechnung liefert bessere Ergebnisse? Wie kann das Bewiesen werden? Genau diese Fragestellung ist sehr wahrscheinlich eine Optimierungsaufgabe: Wo ist die kleinste Abweichung? So etwas macht nur die Numerik. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 13:29, 22. Okt. 2015 (CEST))

Oder nochmal anders um auf den Punkt mit der Analysis einzugehen. Wenn ein Problem der Analysis über eine Optimierung statt exakt gelöst wird, wird das Verfahren wahrscheinlich nicht der Analysis sondern der Numerik zugeschrieben. Auch wenn die Problemstellung sich in der Analysis findet. Oder andersherum ist die Analysis kein Teilgebiet der Numerik, weil sie sich der Optimierung bedient und dadurch Fehler umgeht, die durch die menschliche Unfassbarkeit des Infinitesimal kleinen Elements bzw. der Unedlickeit(en) entstehen. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 14:52, 22. Okt. 2015 (CEST))

Historischer Anfang bei den Ägyptern

Historisch würde ich nicht bei den Griechen sondern deutlich bei den Ägyptern anfangen. Die ägyptische Mathematik war numerisch. Beliebig genau aber nicht exakte(den "Rest hat Gott gestohlen") Berechnungen auf Grundlage von Reihenentwicklungen. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 03:55, 22. Okt. 2015 (CEST))

Gaußschen Eliminationsverfahern ist für sich selbst nicht der Numerik zuzuordnen

Das Verfahren selber ist zunächst kein rein numerisches Verfahren(Oder bitte belegen seit wann das ausserhalb der Numerik nicht mehr verwendet wird...) Das Verfahren wird erst dann zu einem Thema der Numerik, wenn es um Stabilität oder Abweichungen, Fehler bei der Berechnung geht. Z.b. Wie ordne ich die Parameter an, dass das Verfahren bessere Ergebnisse liefert, welche Operatoren verwende ich in welcher Reihenfolge. Wie sieht ein Sortieralgorithmus aus, der endlich die typische Treppenform ergibt. Betrachten, ob eine Matrix definit ist usw. Das alles sind ohne Zweifel numerische Fragen. Das Verfahren spielt sicher in der Numerik eine wichtige Rolle. Allerdings ist Verfahren selber ohne die zusätzlichen Fragestellungen m.E. aber noch nicht numerisch. (nicht signierter Beitrag von 88.68.3.31 (Diskussion) 12:18, 22. Okt. 2015 (CEST))

Änderungen seit September 2022

Ich habe die Änderungen seite September 2022 rueckgängig gemacht. Kaum ein Satz der dort geschrieben war, ist sprachlich oder inhaltlich OK. Dort wird Begriffsbildung betrieben (Eulersches Streckenzugverfahren), es gibt keine konsistente Notation, die Begriffe gehen total durcheinander. Der Abschnitt zu Iteration und Rekursion ist konfus und passt nicht zur Allgemeinheit des Themas. Der Abschnitt zu Differentialgleichungen illustriert nicht was numerische Mathematik ist und ist voll von Ungenauigkeiten und fragwuerdigen Sätzen. Zusammengefasst: Es trägt nichts zum Artikel bei. --P. Birken (Diskussion) 17:12, 4. Mai 2023 (CEST)