Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess/Archiv

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Stationarität

Ist der OU-Prozess nur schwach stationär? Meiner Meinung nach ist starke Stationarität gegeben. Und hängt Stationarität vom Anfangswert eines Prozesses ab? Von Stationarität im engeren Sinne kann man eigentlich grundsätzlich sprechen, wenn der Anfangswert aus der stationären Verteilung gezogen wird. Aber wenn ich mich an die Vorlesung von Zeitreihenanalyse erinnere, ist die Frage mit dem Anfangswert wohl eher ein philosophisches Problem, so dass ich den OU-Prozess als stark stationär bezeichnen würde. Das Gleiche gilt natürlich auch für Wurzel-Diffusionsprozesse. Ich habe bei Stationarität auch gelesen, das MA-Prozesse, jedoch nicht AR-Prozesse stationär sein sollen. Warum sind AR-Prozesse nicht stationär? --Smeyen Disk 10:36, 21. Dez 2005 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von --Sigma^2 (Diskussion) 11:19, 3. Sep. 2023 (CEST), Inzwischen berücksichtigt

Verwaistes Bild

Bei den verwaisten Bildern gefunden, falls noch benötigt. --Gruß Crux 16:32, 28. Mai 2006 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:20, 3. Sep. 2023 (CEST)

Deterministisch?

Im Artikel heißt es, dass der Integrand deterministisch ist. Ich bin jedoch der Meinung, dass aufgrund vom dWs dieser stochastisch ist. Was ist eure Meinung?

Das ist falsch! Der Integrator ist stochastisch, aber der Integrant ist deterministisch (nicht signierter Beitrag von 78.52.195.64 (Diskussion | Beiträge) 20:40, 26. Mai 2009 (CEST))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:23, 3. Sep. 2023 (CEST)

Grafik - R-Code falsch?

Mir scheint, dass sich im R-Code ein Fehler eingeschlichen hat, In der 6. Zeile des Codes bei der Definition des OU Prozesses: oup[i+1]=oup[i] + theta*(mu-oup[i])*(to-from)/steps+sigma*rnorm(n=1,mean=0,sd=sqrt(sigma^2*(to-from)/steps))

Hier ist ein "sigma" zuviel, entweder "...+sigma*rnorm(n=1,mean=0,sd=sqrt((to-from)/steps))" oder "...+rnorm(n=1,mean=0,sd=sqrt(sigma^2*(to-from)/steps))"

So zeigt das Bild einen OU Prozess mit den Parametern, theta = 1, mu = 1,2 und sigma = 0.09. (nicht signierter Beitrag von 84.179.138.234 (Diskussion) 21:34, 10. Jul 2014 (CEST))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von --Sigma^2 (Diskussion) 11:59, 3. Sep. 2023 (CEST), Bezieht sich auf ältere Fassung. Artikel enthält keinen R-Code.

Stationärer Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

Die Darstellung ist bezüglich des stationären Ornstein-Uhlenbeck-Prozess unvollständig, da sich dieser nicht als ein Spezialfall der Formeln für nichtstochastischen Startwert $X_{0}=a$ ergibt.

Der OU-Prozess mit stochastischen Startwert $X_{0}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})$ ist

$X_{t}=X_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\mathrm {d} W_{s}$.

Die bedingte Erwartungswertfunktion ist

$\mathrm {E} [X_{t}|X_{0}]=X_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})$,

die unbedingte Erwartungswertfunktion ist

$\mathrm {E} [X_{t}]=\mu _{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})$.

Auch wenn die bedingte Autokovarianz $\mathrm {Cov} [X_{s},X_{t}|X_{0}]$ nicht von $X_{0}$ abhängt, so hängt doch die unbedingte Autokovarianz $\mathrm {Cov} [X_{s},X_{t}]$ von $\sigma _{0}^{2}$ ab. Dies ergibt sich in diesem Fall aus der bekannten Zerlegung

$\mathrm {Cov} [X_{s},X_{t}]=\mathrm {E} [\mathrm {Cov} [X_{s},X_{t}|X_{0}]]+\mathrm {Cov} [\mathrm {E} [X_{s}|X_{0}],\mathrm {E} [X_{t}|X_{0}]]\;.$

Der OU-Prozess mit stochastischem Startwert$X_{0}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})$ hat die unbedingte Kovarianzfunktion

$\mathrm {Cov} [X_{s},X_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,\left(e^{-\theta |s-t|}-e^{-\theta (s+t)}\right)+\sigma _{0}^{2}e^{-\theta (s+t)}$

Im Fall $(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})=(\mu ,\sigma ^{2}/\theta )$ ergibt sich ein stationärer OU-Prozess.--Sigma^2 (Diskussion) 23:10, 2. Sep. 2023 (CEST)

Inzwischen eingearbeitet. --Sigma^2 (Diskussion) 11:31, 3. Sep. 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:59, 3. Sep. 2023 (CEST)