Diskussion:Orthogonale Abbildung

Hilbertraumbasis

Ich glaube, du meinst eine Orthonormalbasis (vollständiges Orthonormalsystem). Der Artikel Hilbertraumbasis beschreibt etwas Allgemeineres. Gruß, --Digamma (Diskussion) 20:54, 13. Apr. 2014 (CEST)

Ja, ich meinte Hilbertbasis, danke für den Hinweis. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:04, 13. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 13:03, 15. Apr. 2014 (CEST)

Isometrie

Braucht man wirklich die Linearität der Abbildung, um zu zeigen, dass jede normerhaltende Abbildung das Skalarprodukt erhält? Das sollte doch direkt aus der Polarisationsformel folgen. --Digamma (Diskussion) 13:33, 14. Apr. 2014 (CEST)

Über die Polarisationsformel bekommt man doch nur das Skalarprodukt selbst und noch nicht die Erhaltung des Skalarprodukts, oder? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:31, 14. Apr. 2014 (CEST)

Die Idee ist: Die Norm definiert das Skalarprodukt. Wenn die Abbildung die Norm erhält muss sie auch das Skalarprodukt erhalten. Ich kriege den Beweis allerdings gerade auch nicht hin. Die Aussage steht zum Beispiel in diesem Skript (S. 7), in diesem und in diesem (S. 40, Proposition 1.5.6). Die Beweise sind allerdings alle nicht ausführlich genug. --Digamma (Diskussion) 15:16, 14. Apr. 2014 (CEST)

Die ersten beiden Skripte haben Affinität als Voraussetzung. In dem letzten Skript wird statt der Linearität $f(0)=0$ gefordert, dann klappt es offenbar auch. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:40, 14. Apr. 2014 (CEST)

Nein, in allen drei Skripten wird nur vorausgesetzt, dass die Abbildung abstandserhaltend ist. Daraus wird dann gefolgert, dass sie affin, bzw., wenn der Nullpunkt festgehalten wird, linear ist.

Es könnte allerdings sein, dass "abstandserhaltend" stärker ist als "normerhaltend", denn es beinhaltet auch $\|T(u)-T(v)\|=\|u-v\|$. Allerdings gilt auch die Aussage, dass jede Abbildung, die die Skalarproduktnorm erhält und den Nullpunkt fest lässt, linear ist. --Digamma (Diskussion) 15:50, 14. Apr. 2014 (CEST)

Wie soll man denn von $\|T(u)-T(v)\|=\|u-v\|$ auf $\|T(u)\|=\|u\|$ schließen, ohne die Linearität von $T$ zu benutzen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:58, 14. Apr. 2014 (CEST)

Mit meinem letzten Satz habe ich mich wohl vertan. Mit "stärker" meinte ich unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $T(0)=0$ ist. Ich war - wohl irrtümlich - der Meinung, dass jede normerhaltende Abbildung auch Abstände erhält. Eigentlich geht es mir um die Aussagen im Artikel Isometrie, dass jede Isometrie eines euklidischen Punktraums eine affine Isometrie ist und dass jede Isometrie eines euklidischen Vektorraums, die die Null auf die Null abbildet, eine lineare Isometrie und damit eine orthogonale Abbildung ist. --Digamma (Diskussion) 16:19, 14. Apr. 2014 (CEST)

So? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:23, 14. Apr. 2014 (CEST)

(BK) Ich habe nochmals nachgedacht: Aus "normerhaltend" folgt nicht die Linearität. Einfaches Gegenbeispiel: Die Norm selbst. Ohne Linearität ist Normerhaltung eine wenig sinnvolle Bedingung: Im Prinzip kann jeder Vektor unabhängig von allen anderen auf einen Vektor der gleichen Norm aber einer beliebigen Richtung abgebildet werden.

Wenn man Linearität voraussetzt, dann ist "normerhaltend" äquivalent zu "abstandserhaltend". Ohne Linearität vorauszusetzen: Aus "abstandserhaltend" (=isometrisch) und "Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet" folgt Orthogonalität und damit auch Linearität und Normerhaltung. --Digamma (Diskussion) 19:24, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ja, so ist es gut. Ich habe mal ergänzt "Aufgrund der Normerhaltung und der Linearität". --Digamma (Diskussion) 19:36, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ja, danke. Ich habe jetzt auch noch die entsprechende Begründung ergänzt (übrigens meinte ich oben nicht "Affinität" sondern "Abstandserhaltung" als Voraussetzung). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:57, 14. Apr. 2014 (CEST)

Super, danke. Gruß, --Digamma (Diskussion) 20:55, 14. Apr. 2014 (CEST)

Weißt du zufällig wie das im komplexen Fall ist? Aus der Polarisationsformel bekommt man da erstmal nur die Gleichheit der Realteile:

$2\operatorname {Re} \langle f(u),f(v)\rangle =\|f(u)\|^{2}+\|f(v)\|^{2}-\|f(u)-f(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}=2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle$

Für die Gleichheit der Imaginärteile bräuchte man analog:

$2\operatorname {Im} \langle f(u),f(v)\rangle =\|f(u)\|^{2}+\|f(v)\|^{2}-\|f(u)-if(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-iv\|^{2}=2\operatorname {Im} \langle u,v\rangle$

und da fehlt nur der Teil $\|f(u)-if(v)\|=\|u-iv\|$. Bekommt man den auch ohne Annahme der Linerarität hin? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:41, 15. Apr. 2014 (CEST)

Ich vermute mal: nein. Ich vermute, dass man nur reelle Linearität bekommt, aber nicht komplexe. Einfaches Gegenbeispiel: Die Abbildung $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$, $z\mapsto {\bar {z}}$, ist eine Isometrie aber nicht komplex linear. Allgemeiner: Nimm $\mathbb {C} ^{n}$ als reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{2n}$. Dann ist die vom komplexen Skalarprodukt induzierte Norm gleich der vom reellen Skalarprodukt induzierten. Jede orthogonale Abbildung des $\mathbb {R} ^{2n}$ ist also isometrisch, im Allgemeinen aber nicht komplex linear. --Digamma (Diskussion) 23:35, 15. Apr. 2014 (CEST)

Ok, dann bin ich beruhigt. Irgendwann muss ich mal einen Artikel Liste der Unterschiede zwischen euklidischen und unitären Räumen schreiben :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:03, 16. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 18:52, 16. Apr. 2014 (CEST)

Bezeichnungen im Abschnitt "Linearität"

Ich stolpere über $T(au)$. Könnte man die Skalare r und s oder s und t nennen? Oder griechische Buchstaben verwenden? Spricht etwas dagegen? a und b werden sehr oft auch für Vektoren verwendet. --Digamma (Diskussion) 19:40, 14. Apr. 2014 (CEST)

Bei s und t kollidiert t mit T. Bei r und s bekommt man $T(ru)$, wäre das weniger stolperanfällig? An sich finde ich die Regel, dass Skalare vom Anfang des Alphabets und Vektoren vom Ende genommen werden, gar nicht so schlecht. Ansonsten könnte ich auch v und w statt u und v anbieten, wobei man dann vielleicht besser V und W auch umbenennt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:08, 14. Apr. 2014 (CEST)

Oder man nimmt f statt T, dann hat man $f(au)$. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:44, 15. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe mich nun für f bei orthogonalen Abbildungen und T bei orthogonalen Operatoren entschieden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:28, 15. Apr. 2014 (CEST)

Gefällt mir gut. --Digamma (Diskussion) 13:02, 15. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 18:52, 16. Apr. 2014 (CEST)

Linearität

Aus Orthogonalität folgt nicht Linearität. Die Translation ist orthogonal, da skalarprodukterhaltend, aber sicher nicht linear.--77.12.66.86 15:42, 28. Nov. 2015 (CET)

Eine Translation ist nicht skalarprodukterhaltend. Eine Translation um den Vektor ${\vec {v}}\neq 0$ bildet zum Beispiel den Nullvektor ${\vec {0}}$ auf den Vektor ${\vec {v}}$ ab. Das Skalaprodukt des Nullvektors mit sich selbst ist 0. Das Skalarprodukt von ${\vec {v}}$ mit sich selbst ist aber ungleich 0. --Digamma (Diskussion) 20:47, 28. Nov. 2015 (CET)