Diskussion:Orthogonale Gruppe

Die Gruppe Spin

Das ist alles schön erklärt, aber als Bezeichnung für die universelle Überlagerung der sollte besser Spin statt Sp gewählt werden. Damit man es nicht mit der Spur einer Matrix verwechselt, die deshalb als Spur() bezeichnet werden sollte, und vor allem nicht mit der symplektischen Gruppe, für die Sp reserviert werden sollte. Einen Satz sollte man auch zur Exponentialfunktion sagen: Welche der orthogonalen Gruppen sind exponentiell, in dem Sinne, daß jedes Element der Zusammenhangskomponente in der Form exp(.) dargestellt werden kann. Im allgemeinen erzeugen solche Elemente nur die Zusammenhangskomponente. (nicht signierter Beitrag von 130.133.155.70 (Diskussion) 17:39, 1. Okt. 2012 (CEST))

Sei mutig. Du kannst selbst die entsprechenden Änderungen und Ergänzungen einbringen. --Digamma (Diskussion) 21:33, 1. Okt. 2012 (CEST)

PS: "Spin" statt "Sp" habe ich geändert. --Digamma (Diskussion) 21:37, 1. Okt. 2012 (CEST)

PPS:Wenn ich mich nicht täusche, dann sind zusammenhängende kompakte Lie-Gruppen immer "exponentiell". Auf kompakten Lie-Gruppen existiert immer eine bi-invariante riemannsche Metrik. Für solche Metriken stimmt die Lie-Exponential-Abbildung mit der Riemannschen Exponential-Abbildung auf dem Tangentialraum der Eins überein. Nach dem Satz von Hopf-Rinow ist diese surjektiv auf die Zusammenhangskomponente der Eins.

Die komplette Aussage habe ich so nicht gefunden, aber das mit der bi-invarianten Metrik steht in Gallot, Hulin, Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer 1990, Abschnitt 2.90. Der Satz von Hopf-Rinow steht im selben Buch unter 2.103. --Digamma (Diskussion) 21:50, 1. Okt. 2012 (CEST)

Die Gruppe die SO(3) überlager muss Spin(3) sein nicht Spin(1). (nicht signierter Beitrag von 2A02:8109:8140:2BD0:506:59EB:E022:D5C5 (Diskussion | Beiträge) 15:54, 28. Sep. 2016 (CEST))

Danke für den Hinweis. Ursache des Fehlers ist wohl, dass da ursprünglich "Sp(1)" stand. Mit Sp(n) ist die kompakte symplektische Gruppe gemeint. Der Vorredner weiter oben hat das aber als "Spin" gelesen. Deshalb steht da jetzt "Spin(1)". Hintergrund ist, das "Sp(1)" und "Spin(3)" übereinstimmen. Ich bin nun unschlüssig, ob ich das falsche "Spin(1)" in "Spin(3)" ändern soll, oder zurück auf das ursprüngliche "Sp(1)". --Digamma (Diskussion) 19:23, 28. Sep. 2016 (CEST)

Habe das damals anscheinend vergessen. Nun geändert in "Spin(3)". --Digamma (Diskussion) 21:45, 16. Jul. 2018 (CEST)

Endliche Untergruppen der SO(3)

Wenn ich den Artikel Drehgruppe recht verstehe, ist der Zusatz voll fehl am Platz. Er wird dort für die volle $n$-dimensionale Drehgruppe $\mathop {\mathrm {SO} } (n)$ reserviert. (Auch weil die Spiegelungen nicht dabei sind, die eine Drehgruppe zur Symmetriegruppe machen, sollte das Adjektiv »voll« weggenommen werden.) --Nomen4Omen (Diskussion) 11:43, 19. Mär. 2013 (CET)

Ferner ist der Schrifttyp $\mathbb {T}$, $\mathbb {O}$ und $\mathbb {I}$ üblicherweise für Körper reserviert. Für Gruppen, die durchaus internationale Namen haben, hat sich noch kein Schrifttyp durchgesetzt. Statt $\mathbb {T}$ finde ich aber ${\mathsf {T}}$ oder T besser. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:58, 19. Mär. 2013 (CET)

Man müsste schauen, was in der angegebenen Literatur steht. --Digamma (Diskussion) 17:44, 19. Mär. 2013 (CET)

Die Bezeichnungen $\mathbb {T}$, $\mathbb {O}$ und $\mathbb {I}$ folgen Knörrer,, S. 45ff. voll will sagen: Nimm alle Drehungen des R3, die den betreffenden Körper in sich überführen. --Boobarkee (Diskussion) 18:48, 19. Mär. 2013 (CET)

OK, der Blackboard Bold Schrifttyp ist dann also gebongt.

Dass voll so gemeint ist, habe ich vermutet. Es ist aber IMHO unüblich, einer Menge generell das Adjektiv voll voranzustellen. Insbesondere wenn

1. die Drehgruppe eines 3-Körpers ohnehin so definiert ist,
2. im Artikel Drehgruppe der Zusatz voll ausdrücklich den großen und unendlichen $n$-dimensionalen Drehgruppen $\mathop {\mathrm {SO} } (n)$ (die dann auch Lie-Gruppen sind) zur Unterscheidung von den endlichen gegeben wird. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:15, 20. Mär. 2013 (CET)

Beidesmal hat voll dieselbe Bedeutung: nimm wirklich alle Transformationen der gewünschten Eigenschaft. Eine google-Suche nach volle transformationsgruppe führte mich gleich beim ersten Treffer zu einem Beleg: [1] Hier im Symbolverzeichnis (S. 53) wird ganz allg. von der "vollen Transformationsgruppe einer Menge M" genau im hier verwendeten Sinn gesprochen --- unabhängig davon, ob die Gruppe kontinuierlich oder diskret ist. Der nächste Treffer liefert einen weiteren Beleg: [2], Def. 3. auf S. 7. --Boobarkee (Diskussion) 13:45, 20. Mär. 2013 (CET)

O(n) und SO(n) Teilmenge der Einheitskugel

Bzgl. der Standardnorm haben diese Matrizen trivialerweise die Norm ${\sqrt {n}}$, d.h. nur für n = 1 eine Teilmenge der Einheitskugel. Hier meint man wohl die Operatornorm, was netterweise zu erwähnen wäre. (nicht signierter Beitrag von 141.30.71.88 (Diskussion) 13:39, 28. Apr. 2015 (CEST))

Für Matrizen gibt es keine „Standardnorm“, ich nehme an, du beziehst dich hier auf die Frobeniusnorm. Es gibt übrigens auch nicht „die Operatornorm“ einer Matrix, vermutlich meinst du die Spektralnorm. Ansonsten hast du recht: wenn man von der Einheitskugel im Matrizenraum spricht, sollte man die verwendete Matrixnorm immer mit angeben. Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:22, 28. Apr. 2015 (CEST)

Wobei es für die topologischen Eigenschaften - hier die Kompaktheit - keine Rolle spielt, welche Norm man wählt, da auf einem endlichdimensionalen Vektorraum alle Normen äquivalent sind. --Digamma (Diskussion) 17:00, 28. Apr. 2015 (CEST)

Schon klar, nur darf man dann nicht von der Einheitskugel sprechen, sondern muss von einer allgemeinen Normkugel ausgehen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:05, 28. Apr. 2015 (CEST)