Diskussion:Orthoptische Kurve

Herleitung der orthoptischen Kurve einer Ellipse

(1) Ich ersetzte die vorgefundene Herleitung der Tangentengleichung aus der "etwas ungewöhnlichen Parameterdarstellung

${\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R}$"

durch eine (wie ich hoffe) sehr viel einfachere und allgemeiner verständliche unter Verwendung der Polare. Weder das "Termungetüm" noch die Einführung einer Vektorschreibweise erscheinen erforderlich. Die neu eingeführten Umformungen sind elementar und können mit allgemein zugänglichen Instrumenten wie etwa wolframalpha leicht geprüft werden.

(2) Vorgefunden:

"Geht eine Tangente durch einen Punkt $(x_{0},y_{0})$, der nicht auf der Ellipse liegt, so gilt (...)"

Die im Text folgende Gleichung gilt auch für den Berührpunkt; die Einschränkung ist argumentativ nicht erforderlich.

(3) Weitere Veränderungen betreffen Ergänzung von Links und Straffungen.

--Psychironiker (Diskussion) 19:42, 13. Jan. 2018 (CET)

Danke für Deine Änderungen. Ich habe mir noch einmal Gedanken dazu gemacht und schlage vor, den Anfang von (2) durch Folgendes zu ersetzen. Man braucht dann nicht auf Pol/Polare Bezug nehmen:

(2) Die Tangente in einem von den Scheiteln verschiedenen Punkt $(u,v)$ der Ellipse $E$ hat die Hauptform $y=mx+n$, die sich durch Auflösen der Gleichung ${\frac {u}{a^{2}}}x+{\frac {v}{b^{2}}}y=1$ (s. Ellipse) ergibt:

$y=-{\frac {b^{2}u}{a^{2}v}}\;x\;+\;{\frac {b^{2}}{v}}$.

Mit der Abkürzung $m=-{\frac {b^{2}u}{a^{2}v}}$ und der nennerfreien Gleichung der Ellipse $b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}=a^{2}b^{2}$ zeigt man:

$m^{2}a^{2}+b^{2}=\cdots ={\frac {b^{4}}{v^{2}}}\;.$

Eine nicht senkrechte Tangente der Ellipse besitzt also die Gleichung

$y=m\;x\;\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}.$

Zu jeder Steigung $m$ gibt es zwei (parallele) Tangenten.

... --Ag2gaeh (Diskussion) 22:38, 14. Jan. 2018 (CET)

(Aufgrund der Länge des Textes ist das Folgende nicht, wie sonst üblich, weiter eingerückt.)

(4) Die Einführung des Begriffs "Scheitel" erscheint verzichtbar, zumal die eingeführte Begrifflichkeit (vgl. Artikel Ellipse) Haupt- und an den Nebenscheiteln unterscheidet, also mehr als zwei Scheitel einer Ellipse definiert.

Der Weg über Pol und Polare war gewählt, weil er die Beziehung zwischen y-Achsenabschnitt und Steigung einer nicht senkrechten Tangente geometrisch unterfüttert. Die Herleitung der Steigung aus der Ellipsengleichung, die du neu einführst, ist allerdings deutlich einfacher. Nur "fällt" die Form des y-Achsenabschnitts dann sehr "vom Himmel" - ich versuchte einen herleitenden Fallschirm.

(5) Vorgefunden: "Mit der Abkürzung m = "

Es handelt sich um keine (neu eingeführten) Abkürzungen, sondern um eine Variable der im Text bereits eingeführten Hauptform der Geradengleichung.

(6) Vorgefunden: "...und der nennerfreien Gleichung der Ellipse $b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}=a^{2}b^{2}$ zeigt man:"

Die angegebene Gleichung ist keine Gleichung der Ellipse (sondern stellt das Enhaltensein eines Punktes in der Ellipse dar).

(7) Vorgefunden: ":$m^{2}a^{2}+b^{2}=\cdots ={\frac {b^{4}}{v^{2}}}\;.$ "

Die Umformung ist dunkel. Auch ist eine vorgenannte nennerfreie Gleichung nicht erforderlich, um die angegebene Form des y-Achsenabschnitts herzuleiten.

--Psychironiker (Diskussion) 23:05, 20. Jan. 2018 (CET)

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Hier die "dunkle" Umformung: Für $m=-{\frac {b^{2}u}{a^{2}v}}$ ergibt sich mit $b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}=a^{2}b^{2}$:

$m^{2}a^{2}+b^{2}={\frac {b^{2}(b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2})}{a^{2}v^{2}}}={\frac {b^{4}}{v^{2}}}\;.$

Ich hatte nur die einfachen Zwischenschritte weggelassen, um das Wesentliche optisch hervorzuheben. Deinen Ansatz hatte ich auch auf dem Schirm. Habe ihn aber verworfen, da das Einschieben einer geeigneten 1 doch auch nur vom Himmel zu fallen scheint, während man bei meinem Ansatz ohne weitere Tricks zu dem Ergebnis gelangt. Übrigens: Eine Ellipse besitzt 4 Scheitel, 2 Haupt- und 2 Nebenscheitel. Und genau die Scheiteltangenten werden im Fall (1) abgehandelt und in (2) ausgeschlossen.
Du hast recht, die Gleichung der Tangente scheint vom Himmel zu fallen. Aber besser, man kann einen Beweis leicht nachvollziehen, als dass man die Umformungen einer Herleitung mit einem Computer erst nachprüfen muss. Und die Pol-Polare-Beziehung muss man auch erst einmal verstanden haben.
--Ag2gaeh (Diskussion) 10:46, 21. Jan. 2018 (CET)

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(8) Danke für die Angabe der Umformung... auf die man auch erst einmal kommen muss. Sie ist sicher für einen zügigen Beweis des (schon vorgegebenen, in deiner Gleichungskette links stehenden) Ergebnisses hilfreich. Als Herleitung, also vom Standpunkt einer Person aus, die das Ergebnis noch nicht kennt, finde ich das weniger zugänglich. Dass ich auch auf die Schreibweise Multiplikation mit einer geeigneten 1 kam, die du wieder verwarfst, spricht ein wenig dafür, dass noch mehr Interessierten das ebenfalls näher liegt.

...wohl deswegen, weil Multiplikation mit einer geeigneten 1 auch aus anderen (sogar schul-)mathematischen Zusammenhängen geläufig ist; aus dem Stegreif fällt mir die Integration des natürlichen Logarithmus vermöge partieller Integration ein.

(9) Zu den Scheiteln: Eben weil eine Ellipse mehr als zwei Scheitel hat (s.o. mein Argument in (4)) erschien mir die Sprechweise von "Scheiteln" nicht geeignet, um eine Fallunterscheidung zwischen den senkrechten Tangenten und allen anderen einzuführen.

Dein Einwand machte mich darauf aufmerksam, dass in Artikelabschnitt (2) die Argumentation mit dem Steigungsprodukt für waagrechte Tangenten auch nicht funktioniert, obwohl jene eine Hauptform haben und also formal in (2) einbezogen sind. Deswegen formulierte ich noch einmal genauer um, wo welche Sorte Tangente betrachtet wird. Die neue Formulierung spricht ähnlich wie deine vorherige wieder von Scheiteln, allerdings getrennt von Haupt- und Nebenscheiteln.

(10) Vom Textfluss erscheint stringenter, den hergeleiteten Kreis erst im Artikelabschnitt (3) als die gesuchte orthoptischen Kurve zu identifizieren.

(11) Zur bis aus Weiteres nur noch in der Versionsgeschichte vorhandene Version: Meiner Einschätzung nach kennen die meisten Leser(innen), die sich für orthoptische Kurven interessieren, auch die Pol-Polare-Beziehung. Ausgehend von dieser entspricht jeder folgende Schritt der genannten Herleitung einer geometrischen Anschauung (nichts "fällt vom Himmel").

Die Überprüfbarkeit mit allgemein zugänglichen Instrumenten erwähnte ich in (1), weil ich die Herleitung über die Polare selbst erstellt hatte und im Gegensatz zur älteren Version keine Quelle angab, also die Objektivität anders zu belegen hatte. Ich halte die in jener Version benutzten Umformungen insoweit für elementar, als die weitaus meisten an diesem Artikel interessierten Personen keinen Computer brauchen werden, um sie sich klarzumachen.

(12) Vielleicht ist am besten, den verschiedener Gleichungen für Tangenten an einen Kegelschnitt (vgl. Formelsammlung im Artikel "Ellipse") inkl. Herleitung einen eigenen Artikel zu widmen, in dem dann alle drei Verfahren (inklusive der "etwas ungewöhnlichen Parameterdarstellung") zur Herleitung der Hauptform Platz finden. Dann kann jene mit entsprechendem Verweis im Artikel über orthoptischen Kurven kommentarlos verwendet werden.

--Psychironiker (Diskussion) 02:26, 22. Jan. 2018 (CET)