Diskussion:Partielle Ableitung

Warnung bzgl. Stetigkeit

Ich vermisse eine Warnung bzgl. Stetigkeit.

Man sollte in dem Artikel bemerken, dass eine Funktion mehrerer Veränderlicher, die im Punkt x partiell differenzierbar ist, nicht notwendig stetig ist.

Ein Beispiel für eine solche Funktion ist f(x,y) := (xy)/(x^2+y^2) für (x,y) != (0,0) und f(x,y) := 0 für (x,y) = 0.

Du bist in der Wikipedia. Also sei mutig. :-) --Qbi 12:00, 21. Mai 2006 (CEST)

Pol

Der verwendete Begriff "Pol", der Halbkugel, scheint mir ungünstig, da es sich hierbei wohl nicht um die verlinkte Polstelle zu handeln scheint.

M@gg! 16:11, 20. Juni 2006 (CEST)

Das 'partial'-Symbol und das georgische „m“

Den von einem IP-Nutzer am 5. Jun 2006 hinzugefügte Hinweis auf die Ähnlichkeit des Symbols $\partial$ mit dem georgischen „m“ habe ich wieder entfernt, da ein Bezug dazu äußerst unwahrscheinlich erscheint. Gruß, PanchoS 23:40, 28. Jun 2006 (CEST)

d im kyrillischen Alphabet

Diese angebliche Ähnlichkeit (nun auch in der BKL Del behauptet) kann ich nicht nachvollziehen. Tatsächlich handelt es sich doch um eine Variation des griechischen kleinen Delta δ (wodurch auch die ausgesprochene Abkürzung "del" erklärt wird). Das kyrillische д sieht komplett anders aus. --Latebird 09:54, 29. Jun 2006 (CEST)

• Woher weißt Du, wie es „tatsächlich“ ist? Schau Dir bitte mal die kursive Schreibweise von д unter Kyrillisches_Alphabet an, dann müsste Dir die Ähnlichkeit klar werden. Das kyrillische Alphabet hat eben z.T. völlig unterschiedliche Zeichen für aufrechte und kursive Buchstaben. Gruß, PanchoS 22:50, 29. Jun 2006 (CEST)

• • Ich entnehme Deiner Benutzerseite, dass Dir die kyrillische Schrift durchaus geläufig ist, insoweit sorry für die belehrenden Worte! Dennoch ist ir nicht ganz klar, was Du meinst und warum! Gruß, PanchoS 02:38, 30. Jun 2006 (CEST)

Die kyrillische Schrift ist mir in der Tat bekannt, dir kursiven Formen vergesse ich allerdings häufig, weil ich auf meinem Computer keine Schrift installiert habe, welche sie vernünftig darstellt. Jetzt sehe ich natürlich die Ähnlichkeit. Nebenbei wird das kursive д handschriftlich meistens in Form eines lateinischen kleinen <g> geschrieben, was noch zu weiteren Verwirrungen führt (jedenfalls machen meine mongolischen Freunde das alle so). Die Herkunft scheint mir dann übrigens ziemlich eindeutig. Die Übernahme der meisten Zeichen aus dem griechischen Alphabet wird ja in Kyrillisches Alphabet gleich zu Beginn erläutert, und die Benennung "del" für "Delta" liefert ebenfalls einen deutlichen Hinweis. Das passt auch inhaltlich mit der Bedeutung Differenz/Differential zusammen. --Latebird 10:04, 30. Jun 2006 (CEST)

Woher stammt denn nun das Zeichen für die partielle Ableitung? Weiß jemand etwas genaueres? --Andreasm82 14:28, 17. Feb. 2007 (CET)

Ich kenne zwar nicht den historischen Hintergrund, aber dass es das kursive kyrillische "D""d" ist, scheint mir am plausibelsten. Denn es sieht genauso aus, es leitet sich glaube aus dem giechischen $\Delta$(groß Delta) her(bin kein Experte auf dem Gebiet, meine das nur mal gelesen zu haben), genauso wie das latainische "d" bei der Infinitesimalrechnung gewissermaßen im Sinne eines unendlich kleinen $\Delta$ verstanden werden kann und weiterhin spricht dafür, dass viele Naturwissenschaftler und Mathematiker aus dem osteuropäischen Raum stammen und möglicher Weise - so denke ich mir - hat eben einer dieser Wissenschaftler dieses Zeichen eingeführt. Mein Analysis-Professor hat uns auch beigebracht, dass es sich bei $\partial$ um das kyrillische "D""d" handelt. Ich kanns leider auch nicht hieb- und stichfest belegen - es spricht aber sehr viel dafür und - aus meiner Sicht - nichts dagegen, dass es so ist.--Falk 19:28, 3. Jun. 2007 (CEST)

Meiner Meinung nach ist das Theoriefindung vom Feinsten. Ohne Beleg werde ich die Aussage zumindest relativieren. -- Digamma 15:49, 9. Jan. 2011 (CET)

Nur Ableitung in Richtung der Argumente?

Wenn ich mich nicht täusche, dann bezieht sich die partielle Ableitung nicht nur auf die Ableitung einer Funktion mit verschiedenen Argumenten nach einem bestimmten Argument, sondern man kann auch theoretisch nach jeder beliebigen Richtung, wenn das Wort Argument beibehalten möcht, ebenfalls in Richtungen zwischen zwei benachbarten Argumenten ableiten. Dieses Ergebnis hat dann einen direkten Zusammenhang mit dem Gradienten der Funktion. Man kann es mit Hilfe des Differenzenquotienten im Mehrdimensionalen zeigen. --Ad.Astra! :-) 13:13, 30. Okt. 2009 (CET)

Da täuschst Du Dich. Die partielle Ableitung geht nur in Richtung der Argumente. Was Du meinst ist die Richtungsableitung, die hier sträflicherweise nicht erwähnt wird. --P. Birken 14:50, 31. Okt. 2009 (CET) P.S. Ich habe die mal in den Artikel gepackt.

Plan für Ausbau des Artikels

Ich möchte den Artikel gerne ausbauen. Im Moment fehlt mir aber etwas die Zeit dazu. Ich möchte hier aber mal vorstellen, was ich mir wünsche:

• Substantiellere Rechenbeispiele
• Zusammenhang mit Richtungsableitung und totaler Ableitung (Der "Gradient" ergibt nur dann einen Sinn, wenn die Funktion total differenzierbar ist). Genaueres über die Abgrenzung der verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffe werden aber im Artikel Differenzierbarkeit abgehandelt.
• Höhere partielle Ableitungen, mit
  • Definition
  • Satz von Schwarz
  • Hesseform, Hessematrix
  • Beispiele
  • Taylorformel, Taylorreihe (nur kurz)
• Anwendung für die Bestimmung von Extremwerten
  • notwendige Bedingung
  • hinreichende Bedingung (nur: Hessematrix definit)
  • kein Maximum wenn Hesseform indefinit
• Erweiterung für Funktionen (Abbildungen) mit Werten in $\mathbb {R} ^{m}$, Jacobi-Matrix
• Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Soweit zu einem Punkt ein eigener Artikel existiert, soll hier nur eine knappe Zusammenfassung stehen.

Wer dazu etwas beitragen möchte, ist herzlich dazu eingeladen. Ich freue mich auch über Kritik an diesem Vorschlag und über Alternativvorschläge.-- Digamma 22:11, 2. Jun. 2010 (CEST)

Bemerkung zur Taylorformel in n-Variablen

Bon!

Im Abschnitt "Höhere Ableitungen" ist unter dem Abschnitt "Eigenschaften" die n-dimensionale Taylorformel angegeben. Dazu folgende Bemerkung, die unter "==Einzelnachweise und Fußnoten==" (=<.ref> Text < /.ref>, der Punkt "." dient nur der optischen Sichtbarkeit und entfällt in der Praxis) unmittelbar als Fußnote per <.ref> <./ref> ins Kapitel eingeführt werden könnte:

<.ref> Die Formel ist einfacher zu merken und kann auf Schulstoff zurückgeführt werden, wenn man folgenden Trick benutzt :

Man betrachtet statt der Funktion f(x₁, ... ,x_n) die Funktion g(t):=f(t•x₁, ..., t•x_n) und setzt am Ende t=1. Auf diese Weise kann man auch scheinbar kompliziertere Ableitungen (höhere "Frechét-Ableitungen" und Anderes) behandeln. </.ref>

Letztlich ist dieser Trick wohlbekannt. Er sollte nur systematischer benutzt (z.B. explizit erwähnt) werden. -- MfG, Meier99 09:38, 10. Jan. 2011 (CET)

Ich die Fußnote wieder raus genommen. Zum einen sind Fußnoten bei Wikipedia unüblich zum anderen ist Wikipedia keine Anleitung. Falls jemand der Meinung ist, dass es doch in den Artikel gehört, dann bitte in den Fließtext einarbeiten. --Doc ζ 18:04, 10. Jan. 2011 (CET)

Widerspruch?

Einfaches Beispiel:

$f(x)=x\cdot g(x)\cdot h(x)$

$g(x)=5x^{2}$

$h(x)=2x^{3}$

Jetzt f partiell nach x ableiten, dann g und h einsetzen:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=g(x)\cdot h(x)=10x^{5}$

Und jetzt andersrum, erst g und h einsetzen, dann ableiten:

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial (10x^{6})}{\partial x}}=60x^{5}$

Beide Ergebnisse sind offensichtlich nicht gleich. Wie kann das sein, dass ein Ergebnis von der Reihenfolge des Einsetzens bekannter Funktionen abhängt? Was hab ich an der Definition der Partiellen Ableitung falsch verstanden? --87.188.240.205 16:17, 2. Nov. 2012 (CET)

Das hat mit partieller Ableitung gar nichts zu tun. Bei partiellen Ableitungen geht es um Funktionen, die von mehreren Variablen (z.B. x und y) abhängen. Die partielle Ableitung ist die Ableitung nach nur einer dieser Variablen.

Eine Funktion, die nur - aber mehrfach - von x abhängt, nach nur einem Vorkommen von x abzuleiten, ist etwas anderes. --Digamma (Diskussion) 19:05, 2. Nov. 2012 (CET)

Ergänzung: So ganz stimmt das nicht, was ich geschrieben habe. Das Ableiten nach mehrfachem Vorkommen der Variablen x hat tatsächlich etwas mit partiellen Ableitungen zu tun. Man kann nämlich eine Funktion (nennen wir sie $k$) von 3 Variablen definieren durch

$k(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}\cdot g(x_{2})\cdot h(x_{3})$.

Daraus erhält man die Funktion $f$ durch Verkettung mit der Funktion $u(x)=(u_{1}(x),u_{2}(x),u_{3}(x))=(x,x,x)$:

$f(x)=(k\circ u)(x)=k(u_{1}(x),u_{2}(x),u_{3}(x))$

Nach der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man

${\begin{aligned}k'(x)&={\frac {\partial k}{\partial x_{1}}}(u(x))\cdot u_{1}'(x)+{\frac {\partial k}{\partial x_{2}}}(u(x))\cdot u_{2}'(x)+{\frac {\partial k}{\partial x_{3}}}(u(x))\cdot u_{3}'(x)\\&=1\cdot g(x)\cdot h(x)+x\cdot g'(x)\cdot h(x)+x\cdot g(x)\cdot h'(x),\end{aligned}}$

wobei für die inneren Ableitungen gilt: $u_{1}'(x)=u_{2}'(x)=u_{3}'(x)=1$.

Man kann also erstmal so tun, als wäre jedes Vorkommen der Variabeln $x$ eine andere Variable, und nach jeder dieser Variablen einzeln ableiten, wobei die andern Vorkommen von x als konstant angesehen werden. Am Schluss addiert man alle diese "partiellen" Ableitungen.

Bei Produkten (wie in dem Beispiel hier) läuft das auf das Anwenden der Produktregel hinaus. --Digamma (Diskussion) 20:28, 12. Nov. 2012 (CET)

lassen sich anordnen

Diese Formulierung (zweimal unter Verwendung) drückt imho aus, dass es sich beim Ergebnis nicht wirklich um einen Vektor bzw. eine Matrix handelt. – Rainald62 (Diskussion) 17:29, 13. Jan. 2014 (CET)

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen. Wie würdest du denn formulieren? --Digamma (Diskussion) 17:43, 13. Jan. 2014 (CET)

Die Formulierung sollte davon abhängen, ob es Sinn macht, sich den Gradienten als Element eines Vektorraumes vorzustellen. --Rainald62 (Diskussion) 21:53, 13. Jan. 2014 (CET)

Das ist beim Gradienten der Fall, wenn die Funktion total differenzierbar ist, bei der Hesse-Matrix, wenn die Funktion zweimal total differenzierbar ist. Wenn nicht, dann kann man den Gradienten bzw. die Hesse-Matrix zwar hinschreiben, sie haben aber nicht die Eigenschaften, die man erwartet. Wenn man diese Voraussetzung hinschreibt, dann könnte ich mir auch die folgenden Formulierungen vorstellen: "bilden die Komponenten des Gradienten" bzw. "bilden die Komponenten der Hesse-Matrix". Meinst du so etwas? --Digamma (Diskussion) 22:07, 13. Jan. 2014 (CET)

Darüber würde ich jedenfalls nicht stolpern. Der Hinweis auf die nicht notwendig gegebene totale Differenzierbarkeit^† steht ja schon weiter oben.

^†) Dort fehlt ein Beispiel für eine Funktion, die partiell, aber nicht total diffbar ist. Vielleicht nicht überall nicht total diffbar, damit ein anschaulicher Plot möglich ist. --Rainald62 (Diskussion) 17:10, 14. Jan. 2014 (CET)

Ja, in totale Differenzierbarkeit fehlt noch so einiges. Beispiel (mit Grafik) finden sich in Differenzierbarkeit#Gegenbeispiele. --Digamma (Diskussion) 20:00, 14. Jan. 2014 (CET)

Danke für den Link – kann es sein, dass WP zu viele Artikel zu diesem Themenkreis hat?

f_2 erinnere ich aus Unizeit, ab f_4 wird es interessant. --Rainald62 (Diskussion) 02:45, 15. Jan. 2014 (CET)

Aussprache "di"

Ich habe im Studium zur Unterscheidung von "d" die Aussprache "di" kennengelernt. Kennt das noch jemand? Ist es vielleicht etwas typisch österreichisches? --KnightMove (Diskussion) 09:06, 15. Nov. 2014 (CET)

Du meinst für $\partial$? Ich habe das noch nie gehört. --Digamma (Diskussion) 10:19, 15. Nov. 2014 (CET)

Geometrische Deutung.

Schön wäre es hier auf die Tangenten in einem Punkt einer Fläche einzugehen. Dazu dienen doch die partiellen Ableitungen. Der Gradient steht dann senkrecht auf diesen Tangenten und es würde sofort klar, dass es unsinnig ist eine Ableitung als Gradienten zu definieren. Dies ist nur durch das kanonische Skalarprodukt möglich. Darauf sollte man hinweisen. Die Geraden können durch die partiellen Ableitungen wunderbar deutlich gemacht werden. (nicht signierter Beitrag von 78.48.151.86 (Diskussion) 16:26, 5. Aug. 2019 (CEST))

So richtig verstehe ich nicht, was du möchtest. Welche Flächen meinst du? Funktionsgraphen oder Niveauflächen? --Digamma (Diskussion) 16:29, 5. Aug. 2019 (CEST)

Kettenregel

Die Kettenregel fehlt völlig! Nehmen wir als Beispiel f von der Ebene in die Geraden, also R^2 --> R. Schalten wir nun noch g:R^2 --> R^2 davor. Wie lauten die Rechnungen der partiellen Ableitungen? (nicht signierter Beitrag von 78.48.151.86 (Diskussion)) 16:33, 5. Aug. 2019 (CEST)

Es gibt den Artikel Mehrdimensionale Kettenregel. --Digamma (Diskussion) 16:37, 5. Aug. 2019 (CEST)