Diskussion:Penrose-Parkettierung

Dies ist eine Übersetzung des englischen Artikels. Es fehlen noch deutsche Links bzw. Verweise auf die deutschen Ausgaben der angegebenen Bücher sowie ggf. noch eine Erklärung zum goldenen Schnitt (wo genau kommt der in den Kacheln vor) und wie man damit die Aperiodizität beweist. --Christian Gawron 23:42, 22. Dez 2005 (CET)

Widerspruch zu Wang Parkettierung!

Hi,

unter Wang-Parkettierung steht, dass Herr Robert Berger eine Parkettierung mit 20.526 verwendete, beim Artikel Penrose-Parkettierung werden aber 20426 Kacheln angegeben.

Weiterhin bin ich unschluessig, ob auf den richtigen Robert Berger verlinkt worden ist - "Robert Berger (* 9. Februar 1934 in Chicago) ist ein US-amerikanischer Filmproduzent." Nicht das ich es abstreite, dass es der richtige ist, aber koennte jmd. mal verifizieren ob es wirklich der Filmproduzent Berger gewesen ist?

Wieso überabzählbar viele Parkettierungen?

Wenn man an einem bestimmten Ort startet, ergeben sich doch abzählbar unendlich viele Parkettierungen, weil man sie in einem Baum anordnen kann. Legt man einen Stein hin, so ergeben sich zunächst 4, beim nächsten Stein 6 Anlegemöglichkeiten, dann weniger oder mehr, aber immer natürlich viele. Ich sehe nicht, wo das überabzählbar sein soll. Trotzdem ein toller Artikel! 85.177.181.162 17:03, 13. Aug 2006 (CEST)

Ohne jetzt für die Richtigkeit die Hand ins Feuer legen zu wollen: Jede Parkettierung der ganzen Ebene hat abzählbar unendlich viele Kacheln. An (fast) jeder Stelle - bzw. an abzählbar vielen "Entscheidungsstellen" - kann ich alternativ eine andere Kachel nehmen. Damit kann man sicher ein Cantor'sches Diagonalenargument aufbauen. So wie es auch überabzählbar viele verschiedene reelle Zahlen gibt, die man als abzählbare Folgen der Ziffern 1 bis 9 darstellen kann. Christian Gawron 16:28, 12. Sep 2006 (CEST)

Mich stört in der gegenwärtigen Fassung vor allem, dass zwar von überabzählbar vielen die Rede ist, aber nirgends gesagt wird, dass es unendlich viele sind. Da der Begriff überabzählbar aber nur im Zusammenhang mit unendlich einen (mir bekannten) Sinn hat, vermute ich, dass der Autor eigentlich nur unendlich sagen wollte und fälschlicherweise überabzählbar für ein Synonym davon hielt. (Aber ich will damit niemandem auf die Füße treten.) Ich plädiere jedenfalls für Änderung in abzählbar unendlich viele. Alfe 07:19, 8. Feb. 2007 (CET)

done Alfe 06:13, 24. Feb. 2007 (CET)

Hm, sind es denn wirklich nur abzählbar unendlich viele? Entweder hat man abzählbar unendlich viele Entscheidungen zu treffen (→ es sind überabzählbar viele Parkettierungen). Oder "ungünstige" Entscheidungen können sich irgendwann "rächen"; in dem Fall würde ich sogar vermuten, dass alle Varianten durch Translation und Rotation auseinander hervorgehen. Mein Bauchgefühl geht zwar eher in die erste Richtung, aber die Aussage "dass jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters sich unendlich oft wiederfindet (und zwar sogar auch in einer beliebigen anderen Penrose-Parkettierung" scheint wiederum leicht in die Gegenrichtung zu deuten. Das ist eigentlich ein Fall für Quellenstudium, bzw. es sollte nur unendlich behauptet werden.--Hagman 22:47, 24. Feb. 2007 (CET)

Ich hab das "abzählbar" mal rausgenommen, bis diese Frage entschieden ist. -- Martin Vogel 23:08, 24. Feb. 2007 (CET)

Alsoooo: Im en:wikipedia steht The tiles are put together with one general rule: no two tiles can be touching so as to form a single parallelogram. Given this rule, there is an uncountably infinite combination of ways to tile the plane without gaps. The original Penrose tilings have five-fold rotational symmetry. Da steht also auch überabzählbar. Allerdings ist mir erst dort (obwohl im de:wikipedia letztlich dasselbe ausgesagt wird - im Deutschen überles ich solche Feinheiten offenbar) aufgefallen, das es hier um zahlreiche verschiedene Dinge geht: a) Pflasterungen, die mit den Kacheln möglich sind; b) Pflasterungen, die die Parallelogrammregel beachten:; c) quasi-kristalline Pflasterungen; d) Penroses Original-Konstruktion. Hierbei würde a) offenbar sogar solche Pflasterungen, die nur einen Baustein verwenden, beinhalten. Gesprochen wird von b), was insb. dennoch u.a. periodische Pflasterungen beinhaltet (siehe ASCII-Grafik oben); hier gibt es in der Tat vermutlich überabzählbar viele, das müßte dennoch genauer geklärt werden. Gemeint war möglicherweise c), wobei also Kristalle mit einigen wenigen "Störstellen" ausgeschlossen sind. Dagegen is d) sehr speziell (nämlich 5fach drehsymmetrisch) und durch eine Konstruktion eindeutig festgelegt. IMHO scheinen alle durch den Deflation approach gewonnenen Parkettierungen der gesamten Ebene identisch zu sein, während en:Image:VarPenrT.jpg anders aussieht. Ich vermag im Moment aber nicht einmal zu beurteilen, warum dies nicht doch einfach ein "ferner" Ausschnitt der Standardparkettierung sein sollte. Ich werde den Verdacht nicht los, dass die ganze Parallelogrammregel in dieser Form nur durch ein Missverständnis von being characterized by the absence of a period parallelogram (aus dem US-Patent) in die wikipedia gekommen ist.--Hagman 20:49, 25. Feb. 2007 (CET)

Ich habe natürlich Respekt vor dem, was in der englischen Version des Artikels steht, einen guten Grund für die dort genannte Überabzählbarkeit der Unendlichkeit (uncountably infinite) sehe ich aber nicht; ich werde das dort thematisieren bzw. mal in der discussion schauen, was dazu steht. Für eine blinde Übernahme von dort kann ich mich nicht erwärmen. Nochmal: Dass es unendlich ist, bestreite ich nicht, nur dass es überabzählbar unendlich ist. Ich plädiere noch einmal für abzählbar unendlich viele und bitte die Verwender des Begriffs überabzählbar viele (ohne unendlich) zu erklären, was sie damit meinen. Alfe 08:08, 10. Mär. 2007 (CET)

Hab im englischen Wikipedia geschaut -- die Leute da gehen auf die spezielle mathematische Bedeutung des Begriffs der (Über-)Abzählbarkeit nicht näher ein als hier. Es liegt nahe, dass dort dieselben Fehler wie hier gemacht werden. Es gibt auf der dortigen Discussion-Seite auch ein Kapitel zu dem Begriff (uncountably), aber da geht es ähnlich verworren mit der Begriffsnutzung zu wie hier. Die englische Wikipedia scheidet daher aus meiner Sicht als besonders kompetente Quelle in dieser Frage leider aus. Alfe 08:53, 10. Mär. 2007 (CET)

Es sind überabzählbar viele...

Endlich bin ich bereit, das Argument von Christian Gawron zu akzeptieren: In der 5fach drehsymmetrischen Standard-Parkettierung (die man rekursiv zusammensetzt) wird die im Artikel genannte Parallelogrammregel beachtet (aber es gibt periodische Parkettierungen, die auch die Parallelogrammregel beachten). Die folgende Figur taucht hierbei abzählbar unendlich oft auf: Packe drei dicke Rauten an den 72°-Ecken zusammen; in die drei enstehenden 144°-Lücken packe je eine dünne Raute. Es entsteht ein 8eck mit Innenwinkeln 144°,144°,144°,108°,144°,144°,144°,108°, so dass die Figur (d.h. ihr Äußeres) punktsymmetrich ist. Da die Figur abzählbar unendlich oft auftaucht und eine Entscheidungsstelle im Sinne Christian bildet, ergeben sich insgesamt tatsächlich überabzählbar viele Parkettierungen. Wenn man will, kann man die Entscheidungen sogar so treffen, dass die Drehsymmetrie (und sogar die Spiegelsymmetrie) erhalten bleibt. Man kann nachprüfen, dass die Punktspiegelungen nicht zu einem Bruch der Parallelogrammregel führen, aber sie sind nicht mit den üblichen Ausbuchtungen/Einkerbungen bzw. Färbungen verträglich! Also:

• Die Parallelogrammregel (in der dargestellten Form) erlaubt überabzählbar viele D₅-symmetrische Parkettierungen
• Die Parallelogrammregel erlaubt jedoch noch weitere (z.B. regelmäßige) Parketterungen (ist also wohl schwächer als beabsichtigt)
• Die "passende Kanten"-Regeln (Kerben/Farben) sind eine stärkere Einschränkung und führen (mit der obigen Methode) nicht auf überabzählbar viele Parkettierungen

Ob es ein ähnliches Entscheidungsmuster gibt, das auch mit Kerben/Farben verträglich ist, weiß ich im Moment nicht.

Summary: "überabzählbar viele" stimmt, mit der Parallelogrammregel bin ich immer noch nicht glücklich... Alle Klarheiten beseitigt? --Hagman 11:39, 27. Feb. 2007 (CET) Ich find des einfach nur Häßlich so, schön das ich hdas von der seele hab...

Ich frage mich, was der Begriff "überabzählbar viele" bedeuten soll. Mit sind die Begriffe "endlich viele" und "unendlich viele" bekannt, wobei sich letzteres noch gliedern lässt in "abzählbar unendlich viele" und "überabzählbar unendlich viele". Es steht glaube ich außer Frage, daß es sich hier nicht um "endlich viele" handelt (aber da mag ich falsch liegen, ich kann nicht so gut in Eure Köpfe gucken). Die Frage ist also, ob die Unendlichkeit hier abzählbar ist oder überabzählbar. Der Artikel zum Thema Abzählbarkeit beschreibt, dass die Unendlichkeit genau dann abzählbar ist, wenn sich eine bijektive Abbildung auf die Menge der natürlichen Zahlen finden lässt. Die oben genannte Begründung mit dem Ansatz eines Algorithmus', der alle Parkettierungen fände, wenn er unendlich viel Zeit hätte, scheint mir eine solche Abbildung zu sein. Die Anzahl der Schritte des Algorithmus ist eine natürliche Zahl, auch wenn sie gegen unendlich strebt. Ergo: "abzählbar unendlich viele". Alfe 07:56, 10. Mär. 2007 (CET)

(Zunächst: selbstredend bedeutet "überabzählbar viele" dasselbe wie "überabzählbar unendlich viele", auch wenn ich mich erinnere, dass wir früher scherzhaft "überabzählbar endlich" gesagt haben, wenn es um unvorstellbar große, aber gewiß endliche Zahlen ging -- halt mehr, als man zu Lebzeiten abzählen kann). Wie du rchtig bemerkt hast, gibt es in der Mathematik verschiedene Abstufungen von "unendlich viele". Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist "abzählbar unendlich", was bedeutet "so viele, wie es natürliche Zahlen gibt". Es gibt abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen, Primzahlen, ganze Zahlen, Paare natürlicher Zahlen, rationale Zahlen, algebraische Zahlen, endliche Buchstabenfolgen, endliche Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge. Dagegen gibt es in einem klar definierten Sinne mehr (und dann sagt man überabzählbar viele) reelle Zahlen, komplexe Zahlen, endlose Buchstabenfolgen, Teilmengen der natürlichen Zahlen. Es gibt auch Kardinalzahlen, die noch größer sind, aber in den vielen Fällen nicht weiter begrifflich unterschieden werden müssen. Im Fall der Penrose-Parkettierungen haben wir es mit einer Variante von "endlose Buchstabenfolgen" zu tun, nämlich abzählbar vielen Antworten auf Fragen "Soll das x-te 8eck so (a) oder so (b) orientiert sein?". Jede Folge von Antworten á la "aabbabbabaabbabaab...." liefert eine andere Pflasterung, also zunächst überabzählbar viele. (Oben beschrieben ist kein (nicht endender) Algorithmus zur Auflistung aller Parkettierungen, sondern ein Algorithmus, der aus einer unendlichen Antwortenfolge als Eingabe eine Parkettierung als Ausgabe liefert). Möglicherweise gehen einige hierbei durch Drehunge und Verschiebungen auseinander hervor (sind äquivalent). Jedoch habe ich pro Pflasterung nur abzählbar viele Kandidaten für solche Bewegungen: Der Ursprung muß auf eine der abzählbar vielen Kachelecken bewegt werden und danach kann ich noch um Vielfache von 36° drehen. Kann diese Gruppierung in äquivalente Pflasterungen zu "nur noch" abzählbar vielen wesentlich verschiedenen Pflasterungen führen? Nein, denn abzählbar mal abzählbar ist immer noch abzählbar (á la Paare natürlicher Zahlen). Alternativ kann ich auch dafür sorgen, dass alle produzierten Varianten die Drehsymmetrie beachten. Dann ist klar, dass sie paarweise nicht äquivalent sind, da es ja pro Pflasterung höchstens ein Drehsymmetriezentrum geben kann.--Hagman 09:40, 10. Mär. 2007 (CET)

Betrachtet man nur komplette Pflasterungen einer Ebene (die unendlich groß ist), dann stimmt überabzählbar (weil jede einzelne Pflasterung einer unendlichen Buchstabenkette, einer reellen Zahl oder dgl. entsprechen kann). Der Algorithmus bezog sich auf Pflasterungen, wie sie in Realität vorkommen können, d. h. endlich große, wohl aber beliebig große. Davon gibt es dann also abzählbar unendlich viele. Man sollte also wohl stärker betonen oder irgendwo wenigstens klar sagen, dass die gemeinten Pflasterungen jeweils eine komplette Ebene füllen. So langsam wird mir das auch klar, war aber aus dem Text für mich noch nicht ersichtlich. Alfe 08:06, 14. Mär. 2007 (CET)

des find i gar net so doll ......alle machen so a riesen gschicht drum......mei...sos...werd fei gezungen des anzuglubschen..........ruft die police!!!!!!!!!!!!!!!!es geht um leben und.......TOD!!!!......hilfe!!! er kommmt um mich zu TÖTEN!!!!!!!!!r.i.p.......ok neues tehma meine cat hat geschtern junge bekommen ......voll süsss!!!!bye küsschen bye ciao

Um grad mal eben den Beweis von oben zu kommentieren, man kann sicherlich eine Methode der Abzählung finden, so das man an einer Stelle unendlich viele Möglichkeiten hat, dies beweist aber nicht die Überabzählbarkeit, eine solche Methode gibt es auch bei abzählbar unendlichen Mengen immer. Wenn ich zum Beispiel die natürlichen Zahlen abzählen will habe ich auch unendlich viele Möglichkeiten mit welcher Zahl ich anfange, welche ich als zweites nehme, usw, trotzdem sind diese verständlicherweise weiterhin abzählbar. Wenn ich Überabzählbarkeit beweisen will muss ich zeigen das ich egal wie ich sie zähle nicht alle erwischen kann, man müsste also zeigen, das es bei jeder Abzählung eine solche Stelle gibt, an der man unendlich viele Möglichkeiten hat. De facto ist die Zahl der Parkettierungen aber überabzählbar, um es mal Ordnungsgemäß zu beweisen, frei nach Cantor:

Sei die kleine Kachel k=0 und die große k=1 Schritt 0: Ich beginne mit einer Kachel k und nummeriere die Kanten 1,2,3,4. Sei z=0,k (im Binärsystem) Schritt n: Wenn es möglich ist an der Kante n beide Kacheln anzulegen, so das jeweils eine gültige Parketierung existiert, dann lege ich eine Kachel k an, nummeriere ihre Kanten mit den nächsten noch nicht benutzten Nummern und füge k als Nachkommastelle an z an.

z wird offensichtlich immer länger, ansonsten gäbe es nur enldich viele Parkettierungen(müsste man streng auch noch beweisen, nehm ich aber mal so hin). Also kann ich jeder Parketierung ein z zuordnen. Insbesondere gibt es dann auch zu jedem z mindestens eine Parketierung. Nehmen wir an ich hätte eine Abzählung aller Parkettierungen, dann könnte ich von der ersten in der unendlichen Liste die erste Nachkommastelle nehmen, wenn diese 1 ist z= 0,0 setzen, ansonsten z=0,1, dann die zweite nehmen, usw. und jedes Mal einen andere Ziffer als die in der Zahl wählen. Dann kann ich so ein Z erzeugen, das von allen Zahlen meiner Liste verschieden ist und trotzdem gibt es eine Parkettierung mit diesem z, also ist meine Liste unvollständig, also kann die Menge der Parkettierungen nicht abzählbar sein.

Lieber Unbekannter. Im Prinzip war das der oben genannte Beweis. Es wurde nämlich an keiner Stelle ein Punkt behauptet, an dem man unendlich veile Möglichkeiten hat, sondern abzählbar viele Stellen, an denen man jeweils mehr al s eine Möglichkeit hat.--Hagman 16:33, 25. Jun. 2007 (CEST)

Rauten

Ich wäre dafür, die Penrose-Kacheln in diesem Artikel als Rauten zu bezeichnen, da die Bezeichnung "Parallelogramm" zwar sachlich korrekt ist (jede Raute ist auch ein Parallelogramm), aber zu allgemein. Gegenstimmen? --Neitram 13:25, 29. Aug 2006 (CEST)

Erledigt. --Neitram 13:09, 30. Aug 2006 (CEST)

Parallelogrammregel hinreichend erklärt?

Nach der gegenwärtigen Fassung der Parallelogrammregel wäre folgendes Muster erlaubt:

     ,*------,*-------*   /       /  ,-'
  ,-'     ,-'/       /   /       /,-'
*'------*'  /       /  ,*------,*'------*
       /   /       /,-'     ,-'/       /
      /  ,*------,*'------*'  /       /
     /,-'     ,-'/       /   /       /,-'
---,*'------*'  /       /  ,*------,*'---
,-'/       /   /       /,-'     ,-'/
  /       /  ,*------,*'------*'  /
 /       /,-'     ,-'/       /   /
*------,*'------*'  /       /  ,*------,*
    ,-'/       /   /       /,-'     ,-'/
--*'  /       /  ,*------,*'------*'  /
 /   /       /,-'     ,-'/       /   /
/  ,*------,*'------*'  /       /  ,*----
,-'     ,-'/       /   /       /,-'     ,
'-----*'  /       /  ,*------,*'------*'
     /   /       /,-'     ,-'/       /
    /   *------,*'------*'  /       /  ,*

(Ich hoffe, man erkennt, was ich meine.)

Dieses Muster ist eindeutig periodisch und sehr simpel. Die Parallelogrammregel muss meiner Meinung nach daher überarbeitet werden in ihrem Wortlaut, denn auch in dieser Parkettierung liegen keine zwei Rauten so aneinander, dass sie gemeinsam ein Parallelogramm bilden.

Ich denke eine bessere Formulierung der Regel, nach der die Parkettierung vollzogen werden darf, lautet in etwa so:

"Beide Rautensorten der Parkettierung haben je eine ausgezeichnete Ecke; entweder man wählt für seine Parkettierung je eine der spitzen Ecken oder je eine der stumpfen Ecken als ausgezeichnete Ecke. Es gilt die Regel, dass an einer ausgezeichneten Ecke nur weitere ausgezeichnete Ecken der Nachbarrauten liegen dürfen."

Das ganze hat dann nichts mehr mit einer "Parallelogramm"-Regel zu tun, ich weiß aber auch nicht, ob sich die hier benötigte Regel durch etwas mit Parallelogrammen ausdrücken lässt.

Meinungen?

Alfe 07:14, 8. Feb. 2007 (CET)

Inzwischen glaube ich, dass man die Parallelogrammregel so formulieren kann: "Keine zwei gleichen Rauten dürfen sich mit gleicher Orientierung berühren, auch wenn die Berührung nur an einer gemeinsamen Ecke erfolgt."

Ich bin noch nicht sicher, ob diese Aussage dasselbe bedeutet wie meine obige Aussage mit den ausgezeichneten Ecken, könnte mir das aber vorstellen. Sind hier nicht auch Mathematiker anwesend? ;-) Alfe 06:27, 24. Feb. 2007 (CET)

Habe ein Bild mit puzzleteil-artig geformten Kanten sowie Farbmustern ergänzt. Mittelfristig ist das wahrscheinlich besser ("richtiger"?) als die Parallelogrammregel.--Hagman 20:52, 25. Feb. 2007 (CET)

Meines Erachtens sind alle drei Regeln nicht ausreichend bzw. ungeeignet, um eine "echte" aperiodische Penrose-Parkettierung zu erzeugen. Dass die Parallelogramm-Regel nicht zur Sicherstellung von Aperiodizität genügt zeigt obiges Beispiel. Weiter frage ich mich, woher diese Regel im Sinne einer Bildungsvorschrift überhaupt stammt. Ist das Fehlen von Parallelogrammen nicht vielmehr nur eine notwendige, aber nicht hinreichende, Bedingung für eine korrekte Penrose-Parkettierung? Auch die beiden von Alfe aufgestellten Regeln sind, so wie ich sie verstehe, nicht zur Definition einer Penrose-Parkettierung geeignet (siehe [1], Abb. 10: In den Figuren 6 und 4 werden die Regeln verletzt, die Figuren stellen aber gültige Nachbarschaften von Kacheln an einer Ecke dar).

Aus meiner Sicht stellen die kantenmarkierten Kacheln der von Hagman ergänzten Grafik das einzig richtige Erzeugungsprinzip für Penrose-Parkettierungen (mit rhombischen Kacheln) dar, so wie sie auch im US-Patent von Roger Penrose dargestellt sind (vgl. [2], S. 2). --PyroPi 23:02, 30. Jul. 2007 (CEST)

Islamische Architekten der westlichen Welt um mehr als 500 Jahre voraus.

Mittelalterliche Ornamente an iranischen Moscheen als quasikristallin erkannt: http://www.wissenschaft.de/wissenschaft/news/275291.html Dies will ich nur zur mglw. Neudatierung der Entdeckung hinzufügen, ohne dass wir jetzt nicht mehr von der Penrose-Ornamentik des alten Persiens sprechen müssen ;-)

Auch heise/Telepolis hat kurz darüber berichtet.

Moderne Mathematik im Mittelalter

Islamische Architektur zeigt schon im 15. Jahrhundert Muster, deren zugrundeliegende Mathematik der Westen erst Ende des 20. Jahrhunderts entwickelt hat

http://www.heise.de/tp/r4/artikel/24/24708/1.html

--Alexander.stohr 02:49, 25. Feb. 2007 (CET)

Nichtperiodizität von Penrose Parketierungen mit Drachen und Pfeilen(Schwalben)

Hallo

Weiss jemand wo man einen Beweis dafür findet, dass die Penrose Parkettierung mit Drachen und Pfeilen(Schwalben) nicht periodisch sein kann? Ich habe nichts in dieser Richtung finden können, bis auf die Flosskel, dass man sich das überlegen kann. Ich bleibe immer an der Deflation und Inflation hängen, genauer gesagt an der Behauptung, dass diese immer möglich sei ohne dass sich Widersprüche ergeben.

M. T. 23.04.2007

Siehe auf der englischen Seite z.B. den "Star" und um zwei Generationen "deflated". Wenn du einen Teil der Ebene gepflastert hast (zunächst den Stern), so vergrößere die Kacheln um $\phi ^{2}$ (glaub ich) und ersetze jede Kachel durch entsprechend viele kleinere (genau genommen muß man wohl auch noch um 36° drehen). Das Ergebnis ist eine Pflasterung eines rundum größeren Teils der Ebene, und sie stimmt mit der vorherigen Pflasterung überein, d.h. sie ist eine echte Fortsetzung er vorherigen Pflasterung. Dadurch kann man die Vereinigung all dieser Teilpflasterungen nehmen und erhält eine Pflasterung der ganzen Ebene. so etwa?--Hagman 22:58, 23. Apr. 2007 (CEST)

Erstmal Danke, für die sehr schnelle Antwort! (Ich habe sie auch sofort gelesen brauchte aber Zeit die Hinweise zu "checken".)

Leider habe ich mich nicht ganz klar ausgedrück. Mein Problem ist folgender Natur: In den Beweisen, mind. in den die ich bisher zum diesen Theme las wird gezeigt, dass man mit Hilfe der Deflation die Ebene "überdecken kann". Und weiter, dass dann in dieser durch Deflation entstandene Parkettierung die Anzahl der Drachen durch die Anzahl der Pfeile gegen die irrationale Zahl Φ konvergiert. In Gegensatz dazu konvergiert dieses Verhältniss in jeder periodischen Parkettierung gegen eine Rationale Zahl. Soweit so gut.

Aber damit habe ich doch nur gezeigt, dass jede Parkettierung, die durch Deflation entstand nicht periodisch ist. Es fehlt mind. ein Argument, warum dies für alle Parkettierungen gelten soll.

P.S.: Es gibt wohl im Penrose, Roger: Pentaplexity - A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane; The Mathematical Intelligencer, Volume 2, Number 1, 1979, pp.32-37. Nachdruck aus Eureka No. 39. einen anderen Argument für die nicht periodizität der Parkettierungen, den ich aber ganz und gar nicht nachvollziehen kann.

P.P.S.: Das ist jetzt nicht so wichtig, aber: Ich muss auch zugeben, dass ich nicht verstehe, wie man mit einem endlichen Wachstum, welches bei Deflation entsteht, eine unedliche Eben überdekan kann?! Das man früher oder später jeden Punkt der Ebene erwischt ist mir klar, aber ist es nicht so dass zu jeden Zeitpunkt des Deflationsprozesses unendlich viele Punkte unüberdeckt sind?

In die konkave Ecke des Darts kann man zwangsweise nur Kites hineinpacken. Dadurch ist klar, dass man jeden "Half-Dart" mit einem "Half-Kite" zusammenfassen kann (zu einem "Half-Dart" der ersten Generation, vgl. englische Seite). Hierbei bleiben noch einige Half-Kites übrig, und man macht sich klar, dass man diese mit einem Half-Dart 1. Gen. zu einem Half-Kite 1. Gen. zusammenfassen kann. Obendrein passen die Hälften immer zusammen. Dadurch erhält man aus einer periodischen Parkettierung mit $a_{0}$ Darts und $b_{0}$ Kites eine andere periodische Parkettierung mit entsprechend größeren Darts und Kites, deren Anzahlen $a_{1}$ und $b_{1}$ seien. Es folgt $a_{0}=a_{1}+b_{1}$ und $b_{0}=a_{1}+2b_{1}$. Da zumindest eine reine Dart-Parkettierung "offensichtlich" unmöglich ist, folgt z.B. $a_{1}<a_{0}$. Da wir die ursprüngliche Parkettierung so gewählt haben könnten, dass $a_{0}$ minimal wird, ergibt sich ein Widerspruch.

Zu deiner PPS-Frage: Wir erhalten eine Folge von Teilparkettierungen der Ebene. Wichtig ist, dass diese zusammenpassen. Dadurch können wir deren Vereinigung betrachten, und die überdeckt die ganze Ebene. Oder: Wir können für jedem spezifischen Punkt der Ebene mit endlich vielen Deflationsschritten bestimmen, von was für einer Kachel er bedeckt wird und wie diese Kachel genau positioniert ist. Je weiter unser Punkt vom Ursprung enternt ist, desto mehr Schritte brauchen wir, aber dennoch funktioniert es für jeden Punkt auf eindeutige Weise. Somit kennen wir das Muster an jedem Punkt der Ebene.--Hagman 13:11, 27. Apr. 2007 (CEST)

Ich möchte mich wieder herzlich für die Hinweise bedanken! Manches habe ich erst jetzt verstanden. Was mir noch nich ganz klar ist, ist Ihr Argument, das keine periodische Parkettierung existieren kann.

Angenommen das mit der Inflation klappt immer (ich denke das kann ich mir klar machen). Dann verstehe ich immer noch nicht ganz dem Widerspruch, den:

1) entweder betrachten wir eine "unedliche" Parketierung, dann sind Aussagen der Form $a_{1}<a_{0}$ glaube ich nicht möglich, da sowohl $a_{0}$, wie auch $a_{1}$ unendlich sind (oder kann man sie doch machen ?), oder

2) ich betrachte einen endlichen Ausschnitt der Parketierung, dann habe ich Probleme mit den Ränder, die mir auch die Ausage $a_{1}<a_{0}$ (vermute ich) zunichte machen.

3) Was ich noch nicht sehe ist, ob durch Inflation tatsächlich stets wieder eine periodische Parkettierung entstehen muss, was ja für den Widerpruch entscheidend ist.

M.T.

Die Zahlen $a_{0}$ usw. beziehen sich auf ein Periodenparallelogramm. Dieses enthält eine ganze Anzahl von jeder Sorte, denn selbst wenn eine gerade Parallelogrammkante den überstehenden Teil einer Kachel zerschneidet, so muß ja das abgeschnittene Teil auf der anderen Seite wieder hereingucken. Dieses feste Zahlenverhältnis ist natürlich gleichzeitig der Grenzwert für immer größer werdende (nicht zu seltsam geformte) Teilbereiche der Ebene. Die Konstruktion der größeren Kacheln erfolgt nur aufgrund der lokalen Gegebenheiten, d.h. das Über-Muster hat dieselbe Periodizität wie das Original-Muster, jedoch mit größeren Kacheln. Vielleicht wird das erhellt, wenn man einen Fall betrachtet, wo tatsächlich periodische Parkettierungen möglich sind: Drei zu einem Winkel verklebte Einheitsquadrate als Kacheln:

+---+-+ +-+-+---+-+ +-+-+---+-+ +-+-+
|   | |   | |   | |   | |   | |   | |
| +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ |
| | |   |   | | |   |   | | |   |   |
+-+ +-+-+---+-+ +-+-+---+-+ +-+-+---+
| |   | |   | |   | |   | |   | |   | 
| +-+-+ | +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ | +-+
|   |   | | |   |   | | |   |   | | |
+-+-+-+-+-+ +-+-+-+-+-+ +-+-+-+-+-+ +
  | |   | |   | |   | |   | |   | |  
+-+ | +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ | +-+ +-+
|   | | |   |   | | |   |   | | |   |
+---+-+ +-+-+---+-+ +-+-+---+-+ +-+-+
|   | |   | |   | |   | |   | |   | |
| +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ | +-+ +-+-+ |
| | |   |   | | |   |   | | |   |   |
+-+ +-+-+-+-+-+ +-+-+-+-+-+ +-+-+-+-+

ist periodisch, da man um 6 Einheitsquadrate nach rechts gehen kann oder auch um 2 nach rechts und 2 nach oben. Man kann jetzt immer 4 kleine L-Kacheln zu einer großen zusammenfassen, so dass ein entsprechendes Muster entsteht, das invariant ist gegenüber Verschiebungen um 3 nach rechts bzw. um (1,1).--Hagman 15:22, 3. Mai 2007 (CEST)

Frage zum zweiten (ersten) Bild

am Rand chaotisch?!?

Es geht um das Bild mit den gelben Sternen, da steht in der Beschreibung, dass das Muster zum Rand hin immer chaotischer würde....Davon kann ich aber nichts erkennen, für mich wirkt es perfekt 5-symmetrisch. --χario 22:38, 24. Feb. 2009 (CET)

+1, die Bilder sind insofern nicht ideal zur Illustration des Artikels, als sie Beispiele perfekt symmetrischer Penrose-Parketts sind. Wenn man unendliche Aperiodizität zeigen möchte, wäre es gut, wenigstens im Endlichen auf Symmetrien (welche Periodizität suggerieren) zu verzichten. --Neitram ✉ 13:42, 17. Sep. 2015 (CEST)

Wäre vielleicht geeigneter? --Neitram ✉ 13:53, 17. Sep. 2015 (CEST)

Hat's der Dürer auch schon gekannt?

Ich bin über den Dürer-Artikel auf diese Seite gekommen. Hier [[3]] steht am Ende

"Der Oxforder Kunsthistoriker Martin Kemp wies in einem Beitrag in der englischen Wissenschaftszeitschrift Nature darauf hin, dass Dürer Parkettierungen gezeichnet hat, die Ähnlichkeit mit einem Fussbodenbelag in der Eingangshalle des Molecular and Chemical Sciences Building der University of Western Australia in Perth aufweisen, der auf einer Penrose-Parkettierung beruht."

Wenn da was dran ist, könnte man das hier auch erwähnen. Vielleicht hat ja der Dürer auf ähnlichen Gedankenwegen wie die alten Perser dieses interessante "mathematische Muster" entdeckt.--212.144.169.135 00:00, 21. Jul. 2009 (CEST)

Islamische Vorläufer

Gibt es zu den islamischen Vorläufer auch Bilder? Oder zum oben erwähnten Dürerschen Vorläufer? Wäre sicherlich eine Bereicherung für den Artikel. --::Slomox:: >< 20:24, 1. Okt. 2010 (CEST)

Der Nature-Artikel von Martin Kemp ist hier als PDF einsehbar. Da ist auch ein Bild von Dürers "doodling" von 1524. Allerdings in zu schlechter Bildqualität, um es hier hochzuladen. --Neitram ✉ 14:02, 17. Sep. 2015 (CEST)

aperiodisch und ohne Drehsymmetrie?

Sind aperiodische Parkettierungen möglich, die auch keine Drehsymmetrie aufweisen? --RokerHRO 11:31, 9. Sep. 2011 (CEST)

Die gibt es zumindest, wenn man sich nicht an die "Kerben und Ausbuchtungen" hält, vergleiche oben im Abschnitt "Es sind überabzählbar viele". In der "Standard"-Parkettierung gibt es unendlich viele Konstellationen (in Form eines Achtecks), bei denen man - jweils unabhängig von einander - im Nachhinein ein kleines Stück der Parkettierung verdrehen kann. Man macht sich leicht klar, dass die genügend Wahlfreiheit bietet, um Drehsymmetrie zu verhindern. Wenn man sich doch an die Kerben-und-Ausbuchtungen-Regel hält, deutet die Aussage, dass jedes Teilmuster einer gegebenen Parkettierung in jeder anderen Parkettierung auftaucht, darauf hin, dass es tatsächlich ohne Rotationssymmetrie möglich sein sollte: Man fängt beliebig an, such das Muster in der Standardparkettierung außerhalb vom Drehzentrum (das geht, weil das Muster unendlich oft auftaucht), vergrößert das Muster, indem man von der Standardparkettierung koipiert, und zwar so viel, bis "bewiesen" ist, dass ein gegebener Punkt kein Rotationszentrum ist (solch ein Beweis ist in der Standardparkettierung ja möglich, da es nur ein - nicht im gegebenen Muster liegendes - Rotationszentrum hat); dann nimmt man sich den nächsten Knoten vor und macht dasselbe nochmal mit dem (jetzt größeren) Muster. Am Ende hat man die Ebene parkettiert und von jedem Knoten nachgewiesen, dass er kein Rotationszentrum ist.--Hagman 23:30, 9. Sep. 2011 (CEST)

Hmhm. Kann das mal jemand grafisch darstellen? Das berühmte Bild, das mehr als 1000 Worte sagt. :-) --RokerHRO 19:33, 11. Sep. 2011 (CEST)

aperiodisch mit einer einzigen Steinform

Beim "Science Slam 16.02.2012 - Dirk Frettlöh - Aperiodische Pflastersteine" wurde eine von einer Frau Taylor aus Tasmanien gefundene Figur gezeigt mit der eine aperiodische Parkettierung mit einer einzigen Steinform möglich ist. Tatsächlich gelingt das sogar mit einem regelmäßigem Sechseck wenn die Steine markiert sind und gewisse Anlegeregeln eingehalten werden.

Quelle: http://www.youtube.com/watch?v=SR8lzzAB51A --Buchholz.frank (17:29, 17. Okt. 2013 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Lückenlose Parkettierung bei Anwendung der Farbmusterregel?

Die Anwendung der Farbmusterregel im vierten Bild, kann offenbar zu Lücken im Parkett führen - in welche keine der beiden Kacheln passt. Dies war mir nach Lesen des Artikels nicht ersichtlich. Ich nahm an, dass die Anwendung dieser Regel - in jedem Fall - zu einer lückenlosen, nicht periodischen Parkettierung führt. Habe ich etwas übersehen? Kann ich hier ein Bild zur Veranschaulichung hochladen? (nicht signierter Beitrag von SichtWaise (Diskussion | Beiträge) 19:52, 8. Apr. 2015 (CEST))

Auch periodische möglich?

Was mir beim Lesen des Artikels nicht klar geworden ist: kann man mit Penrose-Kacheln auch periodische Parkettierungen machen oder nur aperiodische? --Neitram ✉ 13:40, 17. Sep. 2015 (CEST)

falsche bildbeschriftung

beim bild von roger penrose im foyer steht drunter der boden sei mit einem penrose-muster ausgelegt; dies stimmt jedoch nicht, da sich das muster perfekt wiederholt. mMn am besten zu erkennen wenn man vom sofa auf der rechten seite aus eine diagonale durch das blaue schriftstück in seiner hand zur linken unteren bildecke zieht - umkreister stern, stern mit offenem kreis, umkreister stern. dasselbe lässt sich zwei sternreihen weiter links-oben betrachten, also ist das muster periodisch und somit keine penrose-parkettierung, sondern eine gewöhnliche die dieselben basismuster verwendet. --2A02:8070:A184:A500:F031:EB61:D7B3:7DC2 12:53, 14. Jan. 2016 (CET)

"Islamische Vorläufer"

Könnte man diesen Abschnitt auch "Orientalische Vorläufer" oder noch allgemeiner "Historische Vorläufer" betiteln? Dass diese Kacheln kunsthistorisch zur islamischen Kunst gehören, will ich nicht bestreiten. Aber zum einen haben Kacheln oder Muster keine Religion, zum anderen geht es ja weniger um die Abgrenzung islamische vs. christliche Kunst, sondern vielmehr um eine Abgrenzung "Kachel-Kunst im 15. Jahrhundert" vs. "mathematische Arbeiten im 20. Jahrhundert". --Neitram ✉

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Pugo (Diskussion) 05:37, 15. Jan. 2016 (CET)

Regeln, Gedanken

Die Regeln sind nicht aufgeführt; nur, dass die Parallelogrammregel alleine nicht ausreicht. Aber ein Beispiel für ein periodisches Muster trotz Befolgung letzterer ist auch keines angegeben.

Und ich glaube, einen Widerspruch gefunden zu haben: Wenn das drehsymmetrische Muster bei Erweiterung bis ins Unendliche symmetrisch sein soll, gleichzeitig aber jeder Ausschnitt unendlich oft vorkommt, dann haben wir Drehsymmetrien um unendlich viele Zentren, das geht nur mit periodischen Mustern. Lösbar wäre das Problem, wenn das symmetrische Muster in beliebiger, auch nichtsymmetrischer Weise fortgesetzt werden kann und die unendlich symmetrische Version nur eine Möglichkeit ist. Das erscheint mir plausibel. Man nehme die symmetrische Fortsetzung F0 von Beispiel 1, suche Beispiel 1 ein weiteres Mal in F0 (an Stelle X) und bezeichne F0 von X aus betrachtet als (nicht um X drehsymmetrische) Fortsetzung F1. Wenn ich es richtig sehe, könnte es dann auch verschiedene gesamt-drehsymmetrische Penrose-Parkettierungen geben, z.B. F2 ≠ F0, da nur endliche Ausschnitte und nicht das gesamte Muster von F0 und F2 im jeweils anderen vorhanden sind. --androl ☖☗ 21:49, 26. Mai 2021 (CEST)