Diskussion:Permutation/Archiv

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[[Diskussion:Permutation/Archiv#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Permutation/Archiv#Thema_1

Kritik

Die der Kombinatorik zugeschriebene Definition ist ziemlich unpräzise. Was z.B. soll eine Anordnung sein? Einfach ein Tupel?

Die der Algebra entnommene Definition könnte ein paar mehr Bemerkungen gebrauchen:

• Permutationen lassen sich als Produkt von 2-Zyklen schreiben
• Zusammenhang Darstellung endlicher Gruppen <-> Symmetrische Gruppen
• Palindrome als besondere Permutation
• Gebrauch des Worts Fixpunkt bei Derangement

Vielleicht habe ich mal Zeit zur Änderung.

--Marc van Woerkom 00:03, 6. Okt 2004 (CEST)

Ich hab schon mal einen Anfang gemacht und einige weitere charakteristische Eigenschaften von Permuationen hinzugefügt. --Prometeus 11:02, 10. Sep 2005 (CEST)

Gibt es wirklich jemanden, der die Vektordarstellung benutzt? Wenn ja, sollte man vielleicht die Notation der Vektordarstellung von der der Zykeldarstellung unterscheidbar machen, vor allem in den Beispielen sieht das ziemlich wüst aus... --Horrorist 15:19, 6. Nov 2005 (CET)

Bin mir grad nicht ganz sicher drum frag ich mal hier nach, aber fehlt im folgenden satz nicht das wörtchen disjunkt?? : "Als Involution bezeichnet man eine Permutation (allgemeiner: jeden Endomorphismus) π für die π2 = id gilt. Eine Permutation ist genau dann eine Involution, wenn sie nur aus Fixpunkten und Transpositionen besteht."

denn: "Jede Permutation ist Komposition von 2-Zykeln." (nicht signierter Beitrag von 137.226.140.53 (Diskussion) 24. Okt. 2006 22:32‎)

Fixpunkt ist keine spezielle Permutation.

Bei der Erklärung von Involution werden "paarweise disjunkte Transpositionen" erwähnt. Wenn man sich eine Perm in Matrixschreibweise vorstellt, dann ist das "paarweise disjunkt" überflüssig. Außerdem sollte man das Verb "bestehen aus" vielleicht durch "lässt sich schreiben als eine Verknüpfung". Dann allerdings sollten die Transpositionen wieder paarw. disjunkt sein. Wann sind zwei Transp. disjunkt (formal)? (nicht signierter Beitrag von 134.96.241.1 (Diskussion) 11. Jul. 2007 14:22‎)

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Menge vs. n-Tupel

Mal als Anmerkung: In einer Menge gibt es keine Reihenfolge der Elemente.--86.56.33.35 17:49, 3. Dez 2005

Definition 1 sagt: Permutationen sind Bijektionen $\{1,\ldots ,n\}\to X$ (oder äquivalent dazu: $n$-Tupel, die jedes Element von $X$ als Eintrag haben), Definition 2 sagt: Permutationen sind Bijektionen $X\to X$. In beiden Fällen ist $X$ eine Menge, kein $n$-Tupel, zumindest wird keine Anordnung von $X$ benutzt.--Gunther 18:04, 3. Dez 2005 (CET)

• Man hat als Alternativen die Darstellung als "Veränderung der Reihenfolge der Elemente eines Tupels" oder "spezielle Abbildung einer Menge auf eine Andere". Eine Abbildung auf Mengen ist keine Menge, und man kann eine Menge auch nicht permutieren, da Mengen per Definition keine Reihenfolge haben. Was man permutieren kann, sind Tupel gebildet aus den Elementen einer Menge - siehe Kartenspiel-Beispiel. --Equinox 18:13, 3. Dez 2005 (CET)

Zunächst: Ich möchte nicht die alte Fassung gutheißen.

Mengen kann man sehr wohl permutieren, auch wenn sie keine Ordnung tragen (z.B. suche nach "permutiert" in charakteristische Untergruppe, Überlagerung (Topologie), Galoisgruppe).

Wie kann man "Veränderung der Reihenfolge der Elemente eines Tupels" mathematisch fassen, wie das Mischen eines Kartenstapels modellieren?

• Angabe des Zieltupels: benötigt die Ausgangsreihenfolge nicht.
• Angabe, auf welchen Platz das k-te Elemente angegeben wird, d.h. Bijektion $\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$: benötigt überhaupt kein Ausgangs-n-tupel.
• Angabe der Paare, die vorher bzw. nachher denselben Platz einnehmen, d.h. Bijektion $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\to \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$: benötigt keine Reihenfolge.

Natürlich kann man die Sache redundant machen und irgendwie die Ausgangsreihenfolge mit hineinpacken, aber wesentlicher Teil der Information ist sie nicht.--Gunther 18:52, 3. Dez 2005 (CET)

Irgendwie meinen wir das selbe, nur anders ausgedrückt. Ich denke, du verdrehst das Auftreten von Elementen aus einer Menge mit der Menge selbst. Man kann über einer Menge permutieren, aber nicht die Menge. Das was in dem Sinne die Permutation ist, ist die Abbildung $M\to M$. Also permutiert man nicht die Menge, sondern Elemente der Menge.

Die Veränderung der Reihenfolge ist insofern ein Spezialfall, bei dem die Elemente eines Tupels, die auch Elemente einer Menge sind, permutiert werden... --Equinox 23:46, 3. Dez 2005 (CET)

Ja, nur die Elemente der Menge werden permutiert, das ist richtig. Aber es ging mir nicht um die sprachlichen Feinheiten, sondern um den inhaltlichen Punkt, dass man kein n-Tupel braucht, um von Permutationen sprechen zu können, denn deswegen führen wir ja überhaupt die Diskussion hier. (Wenn man so genau auf die Sprache achtet, sollte man auch von Einträgen eines n-Tupels und nicht Elementen sprechen.)--Gunther 11:45, 5. Dez 2005 (CET)

Ich stoße mich auch sehr an dieser Formulierung: ...die Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente., da mathematisch eben nicht korrekt. Ich bin für eine Formulierung ala Einträge eines Tupels zur Not eine Nicht-Mathematiker Defintions Sektion einfügen, da so Tupel ja nicht jedermanns Sache sind was ich verstehen kann :) Methossant 03:36, 27. Jan. 2008 (CET)

Warum ist Anordnung einer Menge mathematich nicht korrekt? --Stefan Birkner 11:30, 27. Jan. 2008 (CET)

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Fehler in Beispiele zu Verknüpfungen

Ist es möglich, daß die Ergebnisse der beiden letzten Beispiele vertauscht sind. Stecke noch nicht so ganz in der Materie, aber beim Nachrechnen habe ich für $(132)\circ (23)=(12)$ und $(23)\circ (132)=(13)$ raus. (nicht signierter Beitrag von Mushroom (Diskussion | Beiträge) 19:25, 18. Jan 2006)

Dir ist bekannt, dass Verkettungen von Abbildungen von rechts nach links ausgewertet werden?--Gunther 19:29, 18. Jan 2006 (CET)

Hallo Gunther! Das mit der Verkettung ist mir klar. Eben deswegen habe ich was anderes raus, denn $(132)\circ (23)={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}=(12)$, da 1 -> 1 und 1 -> 2, 2 -> 3 und 3 -> 1, 3 -> 2 und 2 -> 3. Die andere Verkettung entsprechend.

Ah, jetzt verstehe ich. Gemeint ist die Zykelschreibweise, d.h. (132) ist die Permutation $1\mapsto 3\mapsto 2\mapsto 1$. Siehe unten.--Gunther 00:23, 20. Jan 2006 (CET)

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Vektordarstellung

Bitte belegen, dass diese Darstellung ernsthaft verwendet wird. Die Verwechslungsgefahr mit der absolut üblichen Zykelschreibweise erscheint mir viel zu hoch, deshalb habe ich sie vorerst komplett aus dem Artikel entfernt.--Gunther 00:23, 20. Jan 2006 (CET)

Diese Darstellung hatte ich in der Version 3666901 vom 11. Dezember 2004 aus dem Artikel „Symmetrische Gruppe“ übernommen. Eine Anwendung ist mir auch nicht bekannt. --Squizzz 01:05, 20. Jan 2006 (CET)

Hatte ich mich irgendwie verguckt, ich dachte, Du hättest das dort eingebaut. Verzeihung.--Gunther 01:15, 20. Jan 2006 (CET)

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Korrekturen

Die Reihenfolge in der Zyklenschreibweise ist sehr wohl entscheidend. Das angegebene Beispiel (124)(35)=(35)(124) stimmt zwar, aber nur, weil keine der Ziffern in beiden Zykeln auftritt.

Die Formel zur Berechnung der Signatur $\sgn(\sigma)=(-1)^{m_1+\cdots+m_r}$ ist falsch. Im Exponenten fehlt der Summand $+r$. (nicht signierter Beitrag von 134.100.222.22 (Diskussion) 15:02, 3. Jul 2006)

Die Reihenfolge ist bei der Angabe einer einzelnen Permutation egal, weil dort immer nur disjunkte Zykeln angegeben werden. Den anderen Punkt habe ich korrigiert, das hättest Du aber genausogut tun können :-) --Gunther 15:30, 3. Jul 2006 (CEST)

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Vorschläge

Präzise Definition: Eine Permutation ist ein Automorphismus (eine bijkektive Selbstabbildung) einer endlichen Menge. Die Automorphismen auf einer Menge mit $n$ Elementen bilden eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe $\Sigma_n=S_n$ . (nicht signierter Beitrag von 134.100.222.22 (Diskussion) 15:12, 3. Jul 2006)

Ich würde ja fast auch bijektive Selbstabbildungen unendlicher Mengen als Permutation bezeichnen. Jedenfalls sollte man dazusagen, dass $S_{n}$ genau die Permutationen der Menge $\{1,\ldots ,n\}$ und nicht irgendeiner beliebigen $n$-elementigen Menge sind.--Gunther 15:45, 3. Jul 2006 (CEST)

Der Zauberwürfel ist ein gutes Beispiel!

Andere Beispiele : im Schachspiel (a) die Rochade. 2 Möglichkeiten der Stellungswechsel von König und Turm und (b) das "schlagen" Ersetzen einer gegnerischen Figur mit ihrem Ausscheiden (c) Zu- oder Rückgewinn einer frei wählbaren Figur bei Erreichen der gegnerischen Grundlinie. (nicht signierter Beitrag von 80.121.237.14 (Diskussion) 07:57, 12. Nov. 2010 (CET))

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Schreibweise σ₁:{a,b,c}→{a,b,c}

Die Schreibweise $\sigma _{1}:\{a,b,c\}\rightarrow \{a,b,c\}$ ist korrekt, da hier nur die Definitions- und Zielmenge angegeben werden, jedoch nicht die Abbildungsvorschrift $\sigma _{1}(b)=a$. --Stefan Birkner 00:03, 26. Feb. 2007 (CET)

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Grundsätzliche Kritik

Der Artikel mag inhaltlich korrekt sein, oder auch nicht, so tief bin ich nicht eigestiegen. Aber: er ist Faktoren zu formal. Ich wollte nur mal eben mein Gedächtnis auffrischen und bin am formalen Charakter gescheitert. Ich habe mir dann die engl. Seite vorgenommen und die hat meine Fragen beantwortet.

Eine formale Definition ist OK, versteht mich nicht falsch, aber eine natürlichsprachliche Erklärung zur Mengentheorie vs Algebra etc. ist für Nicht-Mathematiker sicherlich sehr viel hilfreicher.

--213.71.6.220 14:30, 14. Jun. 2007 (CEST)

Dem kann ich mich nur anschließen.

--stockmar 22:52, 1. Aug 2009 (CEST)

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Anordnung

Meine Ergänzung wurde mit dem Kommentar "keine Verbesserung des Artikels" [1] wieder rückgängig gemacht. Dieser Punkt ist ganz entscheidend – für eine Menge, für die keine Anordnung festgelegt ist, ist die Tupelschreibweise sinnlos. Man definiert, indem man aus den Elementen einer solchen Menge ein Tupel bildet, keine Permutation. Es ist nicht klar, welches Element auf welches abgebildet werden soll. Tatsächlich kann es, je nach Wahl einer Anordnung der Menge, jede beliebige Permutation bezeichnen. --80.129.71.53 07:34, 19. Dez. 2008 (CET)

Etwas weiter oben im Text steht:

Im Folgenden bezeichnen wir die $n$ Elemente von $X_{n}$ mit $1,2,...,n$ und es sei $\sigma \in S_{n}$.

Deshalb verbessert deine Erläuterung den Artikel nicht. --Stefan Birkner 08:52, 19. Dez. 2008 (CET)

Nein, Permutationen sind nicht nur für die Mengen {1,...,n} definiert. Daran ändert auch die Tatsache nichts, dass man hier diese Mengen als Beispiel wählt. Letzteres habe ich in meiner Formulierung durchaus berücksichtigt. Ohne meine Anmerkung wird die falsche Aussage suggeriert, die "Tupelschreibweise" sei ebenso wie die anderen Schreibweisen allgemein zur Angabe einer Permutation geeignet. --80.129.71.53 09:08, 19. Dez. 2008 (CET)

Jetzt habe ich verstanden, worauf du hinauswillt, und den Artikel entsprechend abgeändert. --Stefan Birkner 16:17, 21. Dez. 2008 (CET)

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Definition Zyklenschreibweise

Die Zykelschreibweise ist kompakter und benötigt nur eine Zeile. Wir beginnen mit einem beliebigen Element a\in X_n und schreiben

   (a \; \sigma(a) \; \sigma^2(a) \; \cdots \; \sigma^{|a|-1}(a))

wobei σk die k-fache Hintereinanderausführung von σ bezeichnet und | a | die Elementordnung von a, das heißt | a | ist minimal mit σ | a | (a) = a bzw. σ | a | = ε. " Das bzw ergibt keinen Sinn. Es müsste "... die Elementordnung von σ eingeschränkt auf die Bahn, die a enthält..." heißen. Vielleicht fällt jemandem eine bessere Formulierung ein. Die Permutation im folgenden Beispiel hat Ordnung 6 und müsste nach der vorangegangen Definition (124124)(353535) heißen. (nicht signierter Beitrag von 82.82.143.251 (Diskussion | Beiträge) 13:46, 13. Okt. 2009 (CEST))

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"Lückenhaft"

Ich habe "Lückenhaft" nochmal entfernt, jetzt mit Begründung: Mathematische Artikel sollten auf jeden Fall Programmcode enthalten, wenn es möglich ist und dem Verständnis des Gegenstandes dient. Das kann, wie bei Bildern, viel zur Qualität des Artikels beitragen. Bei Permutation aber ist es anders: Ein Programmcode (wie er in Einführungsveranstaltungen für Programmierer oft verlangt wird) kann dabei helfen, das Programmieren zu lernen (genau wie das Programmieren der Fakultätsfunktion). Durch das Lesen oder Abkopieren des Programmcodes wird aber nicht die geringste Erkenntnis über Permutationen gewonnen. (Anders ist es, wenn man sich anhand des guten Artikels einen Programmcode selbst erarbeitet.) Ich sage voraus, dass das "Lückenhaft", falls es wieder draufgeklebt wird, bis zum St. Nimmerleinstag dort klebt und den schönen Artikel verunziert, ohne dass irgendjemand sich veranlasst fühlt, der ungerechtfertigten Kritik nachzugehen. Dhanyavaada 21:10, 11. Nov. 2009 (CET)

Also soll man nur keine Programmierbeispiele angeben, weil Studenten / Schüler mit Hilfe dieser Programmierbeispiele schummeln könnten?! BESTECHENDE "Logik" --Baruch ben Alexander - ☠☢☣ ✍ ✉ 13:12, 12. Nov. 2009 (CET)

Nein. Die Frage ist vielmehr: kann Programmcode zum Verständnis des Begriffs Permutation beitragen? Darum entferne ich den Lückenhaft-Baustein wieder. Dieser Baustein soll Artikel markieren, bei denen Aspekte des jeweiligen Begriffs nicht vorkommen. --Stefan Birkner 21:38, 13. Dez. 2009 (CET)

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Grundformeln aus der Kombinatorik.....

Wie wäre es denn, wenn man mal die beiden grudlegenden Formeln aus der Kombinatorik hier reinschreibt?

nPk = n!: (n-k)! --> Permutation ohne Wiederholung

nPWk = n hoch K --> Permutation mit Wiederholungen (nicht signierter Beitrag von 78.49.89.69 (Diskussion | Beiträge) 18:29, 29. Jan. 2010 (CET))

...

Die werden zur Zeit im Artikel Kombinatorik beschrieben, und zwar unter der Bezeichnung Variation, nicht Permutation. Gibt es einen Beleg dafür, dass man dies auch im Deutschen auch als Permutation bezeichnet? Dann sollte man von dem Artikel hier darauf verweisen. --91.32.77.253 18:41, 29. Jan. 2010 (CET)

...

Ich habe verschiedene "Mathe-Seiten" (unter Anderen die einer Uni) herausgesucht und festgestellt, dass auch hier als Einleitung die Permutation als Synonym/Fachbegriff für "Anordnung/Reihenfolge" betimmter Elemente gebraucht wird. Schon als nächster Punkt werden oft meine oben beschriebenen Formeln angegeben. Ob dies als Beleg ausreicht weiß ich nicht....

Wie ich eig. darauf gekommen bin: Im Mathematikunterricht (9te Klassse) hatten wir drei Wochen lang eine Epoche namens 'Die abgezählte Kombinatorik'. Die großen Themen waren: "Permutationen" und "Kombinationen". Unterteilt in:

• Permutationen ohne Wiederholungen (ohne Zurücklegen?) --> nPk = n!: (n-k)!
• Permutationen ohne Wiederholungen bei n=k --> (n)Pn = n!
• Permutationen mit Wiederholungen --> nPWk = n hoch K

• Kombinationen ohne Wiederholungen --> nKk = n! : (n-k)! [mal] k!
• Kombinationen mit Wiederholungen --> nKWk = (n+k-1)! : (n-1)! [mal] k!

Der Begriff Variation wurde nicht einmal erwähnt. Als ich bei Wikipedia nun unter Kombinatorik nachschlug, fand ich "unsere" Grundformeln unter einer anderen Überschrift (Variation statt Permutation) und außerdem in einer deutlich komplizierteren Ausführung (Keine Kritik, war nur für mich als Laie etwas verwirrend). Als ich nun den mathematischen Unterschied zwischen "Permutation" und "Variation" herausfinden wollte, stand im Artikel über "Permutationen" wieder etwas völlig anderes. Daraufhin hab' ich bei Google gesucht und folgende Tabelle gefunden, die meint, den Unterschied erklären zu können: [2]

Heißt das jetzt unsere Mathelehrerin hat und Mist erzählt (oder zumindest alles unter komplett falschen Bezeichnungen)?

Hier sind die Seiten von denen ich oben schrieb: [3] [4]

Vielen Dank für Ihre Bemühungen und dafür, dass Sie sich durch diesen Text gequält haben ;-)

-- 92.227.211.73 11:41, 3. Feb. 2010 (CET)

Also ich verstehe unter

• Kombination: Auswahl von k Elementen aus n Elementen ohne Berücksichtigung der Anordnung
• Variation: Auswahl k Elementen aus n Elementen unter Berücksichtigung der Anordnung
• Permutation: Auswahl n Elementen aus n Elementen unter Berücksichtigung der Anordnung

Damit ist die Permutation ein Spezialfall der Variation (mit k=n). ---Sigbert 19:05, 18. Mär. 2011 (CET)

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Zykel

Es sollte erklärt werden, was ein Zykel (oder Zyklus) ist, und zwar unabhängig von der Zyklenschreibweise. --Digamma (Diskussion) 20:33, 2. Aug. 2012 (CEST)

Zustimmung, wobei man zwischen Zykeln und zyklischen Permutationen genauer unterscheiden sollte. Ähnliches gilt auch für Transpositionen, die erstaunlicherweise im Artikel alternierende Gruppe behandelt werden. Reicht ein Abschnitt "Spezielle Permutationen" hier oder sollte man nicht besser für spezielle Permutationen eigene Artikel anlegen? Derangement hat beispielsweise auch einen eigenen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:17, 16. Nov. 2012 (CET)

Steht nun im Artikel Zyklische Permutation. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:01, 29. Nov. 2012 (CET)

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Stirling-Zahlen

In dem Abschnitt "Eigenschaften/Typ" steht "Die Anzahl der Permutationen pro Typ kann aus der Typbeschreibung errechnet werden, wobei die Permutationen mit gleicher Zyklenzahl durch die Stirling-Zahlen erster Art gezählt werden.". Wenn ich mich richtig erinnere helfen die Stirling-Zahlen einen da nicht weiter, die Aussage ist also falsch. --188.118.170.124 22:38, 13. Mär. 2013 (CET)

Siehe Zykeltyp#Zahl der Permutationen pro Typ sowie Stirling-Zahl#Stirling-Zahlen erster Art: die Stirling-Zahlen erster Art $s_{n,k}$ zählen die $n$-stelligen Permutationen, die genau $k$ Zyklen aufweisen. Ich habe den Text aber etwas umformuliert. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:18, 14. Mär. 2013 (CET)

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Permutationen auf Polyederflächen?

Gestern ist mir aufgefallen, dass es beim Durchnummerieren der Flächen eines n-flächigen Polyeders aufgrund der Symmetrien nicht n! verschiedene Polyeder gibt, sondern deutlich weniger:

• Tetraeder: nur 2 statt 4! = 24
• Hexaeder: 4! + 3! = 30 statt 6! = 720

Gibt es dafür eine allgemeinere Formel oder einen Namen, unter dem man die Formeln finden/herleiten könnte? --RokerHRO (Diskussion) 07:41, 28. Mär. 2013 (CET)

Das ist der Index der Drehgruppe $D$ des Polyeders in der symmetrischen Gruppe $S_{n}$, also gleich ${\frac {n!}{|D|}}$. Zum Beispiel beim Hexaeder ${\frac {720}{24}}=30$. -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 28. Mär. 2013 (CET)

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Matrixdarstellung

Mich irritiert schon lange der Begriff „Matrixdarstellung“. Unbestritten handelt es sich dabei um eine $(2\times n)$-Matrix, allerdings erscheint mir dieser Begriff in der Literatur nicht geläufig und er birgt Verwechslungspotential mit Permutationsmatrizen. Dummerweise gibt es fast keine deutschen Begriffe für die Schreibweise. Im Englischen gibt es den recht verbreiteten Begriff "two-row notation", dessen deutsches Pendant „Zwei-Reihen-Notation“ oder „Zwei-Zeilen-Notation“ (mehrere Schreibweisen möglich) wäre. Allerdings finden sich diese Begriffe auch nicht in der Literatur, zumindest laut Google books. Eine kurze Recherche ergibt:

• Bronstein: kein eigener Begriff
• Artin: kein eigener Begriff
• Wolfart: kein eigener Begriff
• Steger: kein eigener Begriff

• Nehrlich: „Standarddarstellung“ – finde ich als Begriff zumindest ungünstig
• Reiss/Stroth: „Schreibweise in zwei Reihen“
• Karpfinger/Meyberg „Zweizeilenform“

Die beiden letzten gehen zumindest in die richtige Richtung. Mit „Zweizeilenform“ könnte ich mich anfreunden. Oder hat jemand einen besseren Vorschlag? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:58, 27. Mai 2013 (CEST)

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