Diskussion:Poisson-Prozess

Definition "unabhängige Zuwächse"

Müsste man bei der Definition nicht fordern, dass sogar beliebig (endlich) viele Zuwächse stochastisch unabhängig sind, und nicht nur jeweils zwei Zuwächse paarweise? Dies ist nämlich nicht äquivalent, siehe auch Lévy-Prozess. -- 91.66.113.71 00:21, 19. Aug. 2009 (CEST)

Ja, stimmt. Siehe auch Diskussion dort. --Thire 01:15, 20. Aug. 2009 (CEST)

Dort gibt es keine Diskussion. -- 91.66.113.71 10:30, 10. Sep. 2009 (CEST)

1. Teil der Definition des PP

$P_{\lambda ,0}=0$ und der Pfad des Prozesses ist rechtsseitig stetig (beides mit Wahrscheinlichkeit 1)

Ist die Rechtsstetigkeit Bestandteil der Definition oder folgt sie aus den anderen Eigenschaften, die in der Definition gefordert sind? D.h., ist ein stochastischer Prozess denkbar, der die anderen drei Eigenschaften aus der Definition erfüllt, aber nicht rechtsstetig ist? Meines Wissens gibt es das nicht. Man könnte das dann aus Definition herausnehmen und unter Eigenschaften aufführen. --Smeyen 01:25, 5. Jan 2005 (CET)

Ja, ein solcher ist denkbar: setze einen Poi-Prozess an den Sprungstellen einfach linksstetig fort. der Resultierende Prozess erfüllt alle anderen Eigenschaften.--Benson.by 22:26, 6. Apr 2005 (CEST)

Ein stochastischer Prozess wird eindeutig durch seine endlich dimensionalen Verteilungen festgelegt (Hauptsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung von A.N. Kolmogorov). Allerdings besitzen die Prozesse in denen die Trajektorien rechtseitig, linksseitig, oder gar nicht stetig sind die selben endlich dimensionalen Verteilungen. Es könnte als Zwischenwert auch die 0.5 definiert werden. Es gehört also meines Wissens nach nicht zur Definition des Poisson Prozesses. Allerdings existiert zu jedem Poisson Prozess eine Version (ein stochastisch äquivalenter Prozess), die dann wieder rechtseitig stetig ist. .--Krautksf 19:29, 16. Jul 2008 (CEST)

Wo sind 1.1 und 1.4?

In der Abbildung sind die genannten "Intensitäten" (was ist das?) für einen Laien nicht erkennbar. Außerdem steht nirgends, dass normalerweise in Schritten von 1 gezählt wird und nicht in Schritten von 3,75*Pi². (nicht signierter Beitrag von 84.185.131.152 (Diskussion) )

Du bemühst Dich, keine Antwort zu bekommen: ohne Unterschrift und einfach irgendwo Mitten in der Diskussion...

Der dritte und der vierte Satz im Artikel sagen folgendes:

λ wird auch als Intensität des Prozesses bezeichnet, da pro Zeiteinheit genau λ Sprünge erwartet werden (Erwartungswert der Poissonverteilung ist ebenfalls λ). Die Höhe jedes Sprunges ist eins, die Zeiten zwischen den Sprüngen sind exponentialverteilt.

Ich denke, das beantwortet alles, schönen Tag noch, --Thire 07:44, 19. Aug. 2009 (CEST)

Was ist ein "Prozess"

Es fehlt ein Hinweis auf die Natur von P. Ist das eine Zahl oder eine Reihe oder Folge oder eine Gurke? Es steht nur da: "(P_lambda,t) ist ein Poisson-Prozess". Für einen Laien stellt sich die Frage, wie ein fortschreitender Prozess, eine Ereigniskette, durch solch einen Buchstaben ausreichend beschrieben werden kann. Die Wikipedia ist für alle da.

ja mich würde auch interssieren, was eigentlich ein prozess in diesem zusammenhang ist.

Ja und nein. Der Oma-Test ist ein ehrenwerter Ansatz, ist aber teilweise schwer durchzuhalten. In der Mathematik wird der Artikel deutlich lesbarer, wenn man nicht beim Wiener-Prozess, dem Levy-Prozess, dem Random Walk etc. erklärt, was ein stochastischer Prozess ist, sondern sich mit einem Link begnügt. Sonst bläht das den Artikel sehr stark auf (und wahrscheinlich würde der nicht geneigte Leser trotzdem nicht verstehen, was ein stochastischer Prozess ist). Gegenfrage: wie seid Ihr auf diese Seite gekommen? --Smeyen | Disk 19:01, 10. Jul 2006 (CEST)

Ich muss einen Vortrag darüber halten, deswegen bin ich auf die Seite gekommen. Die sg. Intensitäten 1.1 und 1.4 sind aber dennoch in der Abbildung nicht ersichtlich. Überhaupt ist nicht erklärt, WAS die Intensität ist. Es heißt nur Lambda sei die Intensität. Aber was sie macht, wie sie wirkt, wo sie auftritt, die Intensität, das steht nirgends. Ferner steht nirgends, welche Werte Lambda eigentlich annehmen darf. Darf es negativ sein, oder zwischen 0 und 1? Oder komplex? Da hilft ein Link wahrscheinlich nicht weiter, weil das LAMBDA des Poisson-Prozesses nicht automatisch das LAMBDA der Exponentialverteilung ist (falls man will, dass man sich dahinlinkt, um dort den Definitionsbereich nachzulesen). ps Ich würde gern unterschreiben, aber die Buttons sind weg. Schade. (13.07.2006)

Okay, die Grafik ist von mir, ich kümmere mich drum. Du hättest auch gerne mir schreiben können. Ganz kurz: Die Intensität ist ein Parameter der Poissonverteilung. Er ist reel und positiv. --Thire 12:10, 23. Aug 2006 (CEST)

Ist es besser so? Weitere Ideen einfach mir zukommen lassen! --Thire 14:14, 23. Aug 2006 (CEST)

Ja, das ist besser ;-)). Obwohl die Erklärung "Die Intensität ist ein Parameter der Poissonverteilung. Er ist reel und positiv." eigentlich genausowenig hilft wie keine Erklärung. Man könnte z.B. hilfreich formulieren: "Die Intensität ist ein Maß für die Häufigkeit der Sprünge, je höher die Intensität, desto häufiger kommt ein Ereignis vor." oder so ähnlich.

--84.185.13.69 16:34, 11. Okt. 2006 (CEST)

Ganz oben im (2.?) Einleitunsgsatz steht das noch schöner und einfacher drinnen. Dein Satz ist gut, vielleicht willst Du einen Teil davon im Artikel einbringen. --Thire 10:04, 12. Okt. 2006 (CEST)

Wald

Ist die im Text genannte Formel von Wald von Abraham Wald? Ev sollte man das dann verlinken (in beiden Artikeln). --Thire 12:10, 23. Aug 2006 (CEST)

Ja die Formel ist von ihm, ich habe mir erlaubt den entsprechenden Link (hier) zu setzen und ausserdem zur Seite mit der Waldidentitaet (oder Formel von Wald) zu verlinken.-- Syngola 14:12, 16. Apr. 2009 (CEST)

Wow, cool. Drei Jahre gewartet, dann kam die Antwort :) --Thire 18:45, 16. Apr. 2009 (CEST)

einführung

Ich würde gerne die letzten drei Absätze vor der Definition stark umbauen bzw löschen. Ich verstehe sie nicht und sie bestehen nicht den Wikipedia:Oma-Test. Im Detail:

• Was soll "selten" heißen?
• "Prinzipiell kann man diese Zufallsgrößen auch mit..." das ist wischiwaschi
• "sehr groß N > 100" also hier scheint etwas zu konvergieren, das kann man auch korrekt sagen.
• der zweite Absatz versucht mögliche Anwendungen zu Umreißen, scheitert aber meiner Meinung nach.

Kann mir jemand das obige erklären bzw es umformulieren oder darf ich wüten? ;) --Thire 09:34, 25. Aug 2006 (CEST)

Die Sache mit der Binomialverteilung halte ich auch für Unsinn. Der Prozess basiert auf der Poisson-Verteilung und auf nichts anderem. Klar ist, dass die Binomialverteilung gegen die Poissonverteilung konvergiert, d.h. wenn $\lambda ={\frac {p}{n}}$ die erwartete Antzahl der Ereignisse konstant ist und $n\rightarrow \infty$ (also auch $p\rightarrow 0$) ist, dann konvergiert das Ganze in Verteilung zu einer Poissonverteilung. Nur hat das IMHO im Artikel wenig verloren, weil es vom Artikelinhalt ablenkt.

Die Sache mit der "seltenen Ereignissen" finde ich da schon wichtiger. In der Finanz- und Versicherungsmathematik macht die Unterscheidung in "seltene" und "häufige" Ereignisse schon Sinn. Ein Aktienkurs wird dauernd durch irgendwelche (exogenen) Faktoren bestimmt. Also ändert sich häufig etwas. Die einzelnen, relativ kleinen Einflüsse sind nicht bekannt, aber man nimmt an, dass die Summe aller Einflüsse Normalverteilt ist (Achtung: Zentraler Grenzwertsatz). Der Prozess Deiner Wahl bei häufigen Ereignissen wäre also die Brownsche Bewegung. Seltene Ereignisse bedeutet im Grunde, dass Du das Ereignis als solches wahrnehmen kannst. Ein Bankrot ist ein einzelnes, singuläres Ereignis und nicht die Summe vieler kleiner Ereignisse. Also nimmst die den Poissonprozess und approximierst nicht durch die Brownsche Bewegung. --Smeyen | Disk 11:48, 25. Aug 2006 (CEST)

Super, danke dass Du in die Diskussion einsteigst! :) Ich wollte Dich fast schon persönlich anschreiben.

Ich kann erst morgen wieder was schreiben, bin aber am Ball...

Trotzdem ganz kurz zu selten: Regentropfen fallen auf eine Fläche (Bsp aus der engl. wp) - das ist sicher nicht selten. Finmathe gebe ich dir nur bedingt recht. mehr dazu später! :)

--Thire 12:21, 25. Aug 2006 (CEST)

Ich hab's neu formuliert, dh va viel gestrichen. Was ev wert wäre drinnen zu bleiben ist folgendes:

• Dabei ist $t$ nicht notwendigerweise eine Zeit, sondern kann analog auch einen infinitesimalen Flächen- oder Raumbereich bezeichnen. Ev willst/kannst Du das retten?

Zu selten:

Es gibt ja auch schon Modelle für Aktienpreise, wo der zugrundeliegende Prozess ein Lévy-Prozess mit unendlicher Aktivität ist (also unendlich viele Sprünge in jedem endlichen Zeitintervall). Das macht Sinn, da sind die Sprünge zwar nicht (nur) Poissonprozesse, aber halt auch sicher nicht selten. Außerdem kann man das in den Absatz Anwendungen schreiben und nicht oben, wozu Poissonprozesse ganz allgemein gut sind. Oder? (Ev macht sich auch eine kurze Erklärung gut, was das Merton-Modell ist.)

Ich finde der Artikel sollte auch für jemanden brauchbar sein, der fit in all den mathematischen Kleinigkeiten ist.

Wie gefallen Dir die Bilder? Hast Du eine Ahnung wegen der Abraham Wald-Frage oben? Weitere Ideen?

--Thire 13:59, 25. Aug 2006 (CEST)

Sorry, dass ich mich momentan ausklinke, wir haben gerade Schützenfest, da bin ich involviert. Ich werde mir das ganze am Sonntag mal durchlesen. Bei dem Satz von Wald bin ich mir nicht sicher, genau so wie ich nicht weiß, welcher der vielen Herren Cox sich um den Cox-Prozess verdiehnt gemacht hat. --Smeyen | Disk 12:35, 30. Aug 2006 (CEST)

Okay, ich habe eh schon genug gewütet fürs erste, wenn Du noch Ideen oder Wünsche hast, dann melde Dich bitte. Bis dann, --Thire 14:37, 30. Aug 2006 (CEST)

Ich habe mir den Artikel durchgelesen und finde ihn recht gut. Die Bilder gefallen mir. Das einzige, was noch fehlt, ist der Cox-Prozess, aber ich bin mir nicht so ganz sicher, ob der so einfach ist. Wer der Herr Wald ist, habe ich leider noch nicht rausgefunden.

Was "seltene" Ereignisse angeht, heißt selten etwa so viel wie endlich oder maximal abzählbar unendlich. Was die Regentropfen angeht, kannst Du diese ja zählen, damit macht ein Poisson-Prozess als Modell schon Sinn. Du könntest natürlich auch die Zahl der Tropfen mit einer Normalverteilung beschreiben und bekämst trotzdem eine gute Näherung (Zentraler Grenzwertsatz), aber prinzipiell kommt so "selten" ein Regentropfen, dass Du sie alle einzeln zählen kannst. Der Grund bzw. die Rechtfertigung, warum man für Aktienkurse eine (geometrische) brownsche Bewegung einsetzt, ist die Idee, dass die Rendite die Summe vieler Einflüsse ist. Du weißt aber nicht welche Einflüsse es im einzelnem sind oder in welcher Intensität sie eingehen, sondern kannst nur als Ergebnis die Summe aller Einflüsse, also den Kurs, beobachten. Die Summe all dieser Einflüsse ist dann normalverteilt (auch hier wieder ZGS), also bekomme ich eine brownsche Bewegung. Die BB hat dann den entscheidenden Vorteil, dass Du für sie eine stochastische Differentialgleichung aufstellen kannst, die man dann lösen kann. Das geht für den Poisson-Prozess wohl nicht so einfach.

Der Grund, warum man Levy-Prozesse einsetzt, hat wenig mit Poisson-Prozessen zu tun. Es gibt zwar Modelle, die zur BB noch einen (zusammengesetzten) PP addieren, um singuläre Ereignisse (Bankrott eines Kunden, Marktzulassung eines Produktes etc.) modellieren zu können, mir fällt aber kein prominentes ein. Der eigentliche Grund ist, dass man statt der Normalverteilung lieber eine andere, leptokurtischerere Verteilung nehmen will, die die empirisch beobachtbaren Renditen besser beschreiben sollen. Dazu werden gerne alpha-stabile Verteilungen herangezogen, die den Vorteil haben, dass die Summe zweier alpha-stabiler Variablen wiederum alpha-stabil ist. Die Normalverteilung ist ein Sonderfall der alpha-stabilen Verteilung, aber im Allgemeinen besitzen diese Verteilungen keine endliche Varianz. Das hat natürlich als Konsequenz, dass es keine Kovarianz zweier Renditeprozesse gibt (für die Portfoliotheorie schon unglaublich wichtig), die entsprechenden Levy-Prozesse keine endl. quadratischen Variation besitzen, keine Ito-Integrale existieren und die Trajektorien daher auch nicht stetig sein können. Daher sind solche Modelle bislang auch noch nicht sonderlich beliebt. --Smeyen | Disk 01:26, 8. Sep 2006 (CEST)

Wartezeit

Hallo, kann mir ein Fachkundiger sagen ob die Verwendung des Begriffs "Wartezeit" in der Einleitung korrekt ist? Falls ja, könnte das z.B. als Wartezeit (Mathematik) auf der BKL-Seite Wartezeit ergänzt werden. Danke + Gruß --Rapober 09:00, 13. Nov. 2008 (CET)

Gute Frage: Die Wartezeit ist die (zufällige) Zeit zwischen den zwei aufeinanderfolgenden Sprüngen/Ereignissen. Die Lebensdauer einer Glühbirne (die immer sofort ersetzt wird, wenn eine kaputt ist) - da ist dann die Anzahl der gekauften Glühbirnen ein Poissonprozess (plus eins oder so). OK? --Thire 23:01, 13. Nov. 2008 (CET)

Wenn du das sagst ist das bestimmt in Ordnung. Warum hast du denn den Begriff absichtlich durch [[Wartezeit|Zeiten]] "versteckt"? Gruß --Rapober 12:56, 14. Nov. 2008 (CET)

Damit das auch wirklich jeder versteht. :) --Thire 15:40, 17. Nov. 2008 (CET)

Cox-Prozess

Hallo, ich empfehle eine Änderung der Schreibweise, anstatt $\lambda (t)$ sollte lieber $\lambda _{t}$ geschrieben werden, um den stochastischen Charakter von $\lambda$ herauszustellen. (nicht signierter Beitrag von 87.170.228.252 (Diskussion | Beiträge) 23:52, 13. Mär. 2010 (CET))

Etwas verspätet aber was soll nun an dieser schreibweise "stochastisch" sein? --Tensorproduct (Diskussion) 00:57, 22. Mai 2021 (CEST)

Cadlag-Eigenschaft

Ich denke, die cadlag-Eigenschaft folgt nicht aus der Definition, sondern muss vorausgesetzt werden, oder? Insofern passt cadlag nicht unter "Eigenschaften", sondern müsste in die Definition aufgenommen werden?! --Floklk 12:00, 24. Jan. 2011 (CET)

Das ist richtig, und Punkt 1 bestätigt das auch. Ich ändere das mal gerade. --Siteswapper 18:21, 22. Mär. 2011 (CET)