Diskussion:Positiver Operator

Positiv definite Matrizen

Hallo,

Ein Vorschlag, der vielleicht Verwirrung vermeiden hilft:

- Auf die allgemeinere Def. von positiven Matrizen hinweisen, in der die Selbstadjungiertheit der Matrix nicht verlangt wird. Ich persönlich war durch die hier präsentierte strengere Def. zunächst verwirrt, da ich nur die allgemeinere kannte.

-Dann darauf hinweisen, dass eine komplexe (reelle) Matrix A genau dann positiv ist, wenn ihr hermitescher (symmetrischer) Teil A_H = A + HermitianConjugate[ A ] (A_S = A + Transpose[ A ] ) ebenfalls positiv ist.

Vgl. http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Schöne Grüße, Jason -- 131.188.168.165 19:22, 10. Feb. 2009 (CET)

Die Charakterisierung 'positiv <==> P=A*A' setzt keine Selbstadjungiertheit voraus. Im komplexen Fall kann man bei der Charakterisierung '<Px,x> >= 0 für alle x' auf die Selbstadjungiertheit verzichten, da ja insbesondere <Px,x> für alle x reell ist. Wie die Drehung um 90 Grad im R^2 zeigt, wäre das im reellen Fall falsch. Die in http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html angegebene Charakterisierung kannte ich bis dato nicht. Gilt die auch im Falle unendlich-dimensionaler Hilberträume, d.h. für Operatoren? Wie dem auch sei, dieser Teil des Artikels befasst sich eigentlich mit komplexen Operatoren bzw. Matrizen. Das habe ich im Text deutlich gemacht. Wenn Du willtst, kannst Du in einem Unterabschnitt auf die reelle Situation eingehen.--FerdiBf 22:08, 11. Feb. 2009 (CET)