Diskussion:Primitivwurzel

• Ist $p$ prim? Wenn ja, warum $\varphi (p)$ und nicht gleich $p-1$? Wenn nein, stimmt die Formel $\varphi (\varphi (p))$ nicht ($(\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} )^{\times }$ ist nicht zyklisch für $n>2$).

1. $p$ muss nicht prim sein, sondern $ggT(p,a)=1$. Zumindest für die Prime Restklassengruppe.

2. Was mich noch stört ist das Wörtchen "erzeugt". Wie ist das gemeint?

--DFG 03:42, 18. Sep 2005 (CEST)

Hab's verlinkt.--Gunther 14:24, 9 November 2005 (CET)

• Der Bezug zu primitiven Einheitswurzeln sollte deutlich gemacht werden.

--Gunther 03:28, 22. Mai 2005 (CEST)

Und für Nichtmathematiker...

...wäre es schön, wenn die Erklärungen zumindest ansatzweise verständlich wären. Nur so als Anregung. --84.245.183.252 17:12, 15. Mär 2006 (CET)

sehe das genauso. ich werd ein "unverständlich" draufkleben und hoffen, dass sich ein mathematiker erbarmt und den artikel so schreibt, dass ich auch was davon versteh ;-) --Theclaw 01:02, 17. Apr 2006 (CEST)

So besser? --Elmar Oppelt (Benutzerseite, Diskussion) 22:41, 19. Apr 2006 (CEST)

Nein eigentlich nicht. Auch ich habe nicht Ansatzweise verstanden worum es geht. Ich habe nie Matheleistungskurs gehabt und kenne grade mal mit Potenzen aus, wenn ich da dann die Einführung lese und sehe die Beispiele, dass 3 zum Exponent 3 = 6 sein soll, vergeht mir der Sinn. Spätestens hier hört ein jeder nicht Mathematiker auf zu lesen und fragt sich, was das soll.

Anderes

Gibt es auch noch eine andere Möglichkeit zu überprüfen, ob etwas eine Primitivwurzel ist? Also ohne, dass man alles durchprobieren muss?

In der Praxis (Kryptographie zum Beispiel) wählt man den Modul für den Körper über eine kleinere Primzahl aus. Man erzeugt sich sozusagen eine Primzahl p von der man dann die Faktorisierung von (p-1) schon kennt. Das heißt, mann nimmt eine Primzahl r, multipliziert sie mit 2 (kleinster Primfaktor) und addiert 1. Also (2*r) + 1 = p. Solche Primzahlen gibt es sehr häufig. Danach brauch man sich nur ein Element g aus dem Körper nehmen und die Rechnung g^((p-1)/r) mod p durchzuführen. Wenn das Ergebnis ungleich 1 ist, so ist g eine Primitivwurzel. Würde man es nicht so machen, wäre der Aufwand subexponentiell (etwa so wie bei der Faktorisierung von großen Zahlen) Stuchy

Berechnung

Das würde mich auch interessieren, habe die Berechnung schon einige male gesehen, kann aber leider wenig damit anfangen... Ansonsten ist die Erklärung meiner Meinung nach schon verständlich.

Hier der Link für die Berechnung: http://www.wiwi.hu-berlin.de/Professuren/quantitativ/or/lernangebote/Primitivwurzelberechnung aber händisch bekommen ich das nicht hin. Danke

Beispiel

1. Im Beispiel werden die Werte für die Zahlen 3 und 4 berechnet. Dabei wird mit dem Exponenten 1 begonnen und dann "geht" es bis 6, in der mathematischen Definition beginnt man aber mit dem Exponenten 0 (und muss dann bis 5 "gehen"). Im Beispiel sollte man das auch so machen!? 2. Warum wird im Beispiel der Exponent nicht "t" genannt, wie in der Definition - würde m.E. das Verstehen erleichtern.

Ansonsten ist das Beipiel sehr gut - hat mir jedenfalls das Verstehen der Definition erst ermöglicht. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Wawawalli (Diskussion • Beiträge) 09:39, 9. Feb. 2008)

Ich habe den Artikel entsprechend angepasst.--Stefan Birkner 10:41, 9. Feb. 2008 (CET)

Warum geht das Beispiel nur bis t=5? um zu sehen, dass ord_7(3) = 6 ist, sollte t=6 doch auch noch angezeigt werden. hat mir zumindest irgendwie gefehlt.--Roastbeef 22:15, 26. Dez. 2008 (CET)

Ich habe den Abschnitt in „Berechnung von Primitivwurzeln“ umbenannt und etwas verändert. Dein Einwand war berechtigt und ich hoffe, dass die jetzige Version deutlicher herausstellt, um wie man zum Ergebnis kommt. --Stefan Birkner 16:11, 30. Dez. 2008 (CET)

Seit wann ist 2^2 mod 7 ≡ 1? (nicht signierter Beitrag von 2.247.249.52 (Diskussion) 15:47, 18. Apr. 2021 (CEST))

Einführungsbeispiel

Fehlt da nicht die Null?

Die Null gehört nicht zur primen Restklassengruppe. --Stefan Birkner 20:52, 9. Jun. 2008 (CEST)

Fall $m=1$?

Ich zitiere: "Dies ist nach einem Satz von C. F. Gauß genau dann der Fall, wenn für den Modul

$m\in \{2,4,p^{\alpha },2p^{\alpha }|p\in \mathbb {P} \setminus \{2\};\;\alpha \in \mathbb {N} \}$

gilt."
Was ist aber mit dem Fall $m=1$? Es ergibt sich der Nullring $\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$ mit sich selbst als Einheitengruppe und diese ist zyklisch. So, wie die Aussage (ohne die 1) dasteht, ist sie falsch und Gauß hat entweder den Fall vergessen, was ich bezweifle, oder er hat ihn explizit ausgeschlossen.

Definition und Existenzbedingungen

Wäre die Änderung von

"dann existieren genau $\varphi (\varphi (m))$ modulo $m$ inkongruente Primitivwurzeln"

in

"dann existieren genau $\varphi (\varphi (m))$ modulo $m$ zueinander inkongruente Primitivwurzeln"

richtig(er) ?

Primitivwurzeln modulo Primzahlpotenzen

Braucht ein Beispiel. Sei p = 13 und $\gamma _{1}$ = 2, dann ist z.B. $\gamma _{2}$ = 2 , weil $2^{12}mod169=40\neq 1$ ist. Wenn ich aber $\gamma _{2}^{t}{\bmod {1}}3^{2}$ für $t\in \{0,1,2,\ldots ,169\}$ berechne, dann kommen alle Werte aus $\{1,\ldots ,168\}$ AUSSER den Vielfachen von 13 vor!!

Anscheinend ist "Primitivwurzeln modulo Primzahlen" fehlerhaft. In $\{1,\ldots ,m-1\}$ sollten alle Zahlen für die NICHT gilt ggT($a^{t}$,m) = 1 NICHT auftauchen! Wenn m eine Primzahl ist, dann ist diese Bedingung automatisch erfüllt. Bei m = $p^{2}$ ist sie es NICHT.

$\operatorname {ord} _{169}(2)=156$ und $\varphi (169)=156$ somit ist 2 eine Primitivwurzel von 169! 91.44.78.141 07:55, 14. Feb. 2020 (CET)

Def

"Die definierende Eigenschaft einer Primitivwurzel ist, dass jedes Element der primen Restklassengruppe als Potenz der Primitivwurzel dargestellt werden kann." Hä? in einer Definition/Erklärung über die Primitivwurzel taucht die Primitivwurzel ("als Potenz der Primitivwurzel") wieder auf. Das wäre ungefähr so, wenn ich sagen würde. "Eine Katze hat vier Beine der Katze." (nicht signierter Beitrag von 81.10.179.48 (Diskussion) 09:47, 25. Apr. 2021 (CEST))

Ist es jetzt besser? –Nomen4Omen (Diskussion) 16:54, 26. Apr. 2021 (CEST)