Diskussion:Primorial-Primzahl

Euklids Beweis

Euklids Beweis ist KEIN Widerspruchsbeweis. Euklid zeigt, wie man zu je endlich vielen Primzahlen eine weitere finden kann. Das genau ist der Begriff von unendlich (= nicht endlich). Man braucht hier keinen Widerspruch zu irgendetwas.--FerdiBf (Diskussion) 07:54, 19. Feb. 2020 (CET)

Hallo @FerdiBf: Ich gebe Ihnen durchaus recht, dass Euklid in seinem Beweis keinen Widerspruch gebraucht hat (darüber ist auch im Diskussionsteil vom Satz von Euklid ausgiebig diskutiert worden). Er wollte offenbar auch nur beweisen, dass es mehr Primzahlen gibt als jede vorgelegte Primzahl-Anzahl (das Vokabel endlich/unendlich hat er nicht verwendet). Trotzdem ist die moderne Aussage des Satzes von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ich wollte mit der Beweisskizze im Artikel auch gar nicht seinen eigenen Beweis wiedergeben. Es ging mir nur darum, dass man mit der (falschen) Annahme, es gebe nur endlich viele Primzahlen, mit der Methode des Zusammenmultiplizierens aller (also nur endlich vieler) existierenden Primzahlen (inklusive des Hinzuaddierens der Zahl Eins) durchaus eine neue Zahl erhalten kann/könnte, die ebenfalls prim sein muss/müsste. Womit meiner Ansicht nach tatsächlich ein Widerspruch zur Annahme, also zur Endlichkeit der Anzahl der Primzahlen erzeugt wurde. Egal, ob jetzt Euklid das Vokabel endlich oder unendlich verwendet hat oder nicht. Ich denke schon, dass der Beweis, den ich im Artikel skizziert habe, ein Widerspruchsbeweis ist (nur halt nicht so, wie ihn Euklid formuliert hat). Liebe Grüsse, --DJGrandfather (Diskussion) 11:15, 19. Feb. 2020 (CET)

Ja, der im Text stehende Beweis ist ein Widerspruchsbeweis, allerdings ohne Not und daher unnötig umständlich. Einfacher und logisch sauberer geht es so: Sind p_1, ... p_n verschiedene Primzahlen, so ist jeder Primfaktor von p_1*...*p_n + 1 eine weitere Primzahl. Daher ist die Anzahl der Primzahlen unbeschränkt. Fertig! (Man braucht keine Annahme, dass die p_1, ... p_n die ersten n Primzahlen sind oder dass das sogar schon alle sind.)

Da es hier um Primordial-Primzahlen geht, könnte man schreiben: Sind p_1, ... p_n die ersten n Primzahlen, so ist jeder Primfaktor von p_n#+1 eine weitere Primzahl. Daher ist die Anzahl der Primzahlen unbeschränkt. Fertig! (Die Voraussetzung, dass p_1, ... p_n die ersten n Primzahlen sind, führt nicht zu einem Widerspruch, sondern erst die unnötige Annahme, dass das schon alle seien.)--FerdiBf (Diskussion) 17:49, 19. Feb. 2020 (CET)

Guten Abend, @FerdiBf: Mir geht es im Artikel nicht darum, einen möglichst kurzen Beweis des Satzes von Euklid anzuführen, sondern um den Umstand, dass man nach der Lektüre des Beweises dieses so oft zitierten Satzes (wobei das mit der Unendlichkeit in diesem Fall gar nicht so wichtig ist) dem Irrtum erlegen kann, dass man immer eine Primzahl erhält, wenn man die ersten (oder gar irgendwelche) n Primzahlen miteinander multipliziert. Dem ist nämlich genau nicht so, wie das Beispiel danach zeigt, in welchem man die ersten sechs Primzahlen miteinander multipliziert, die so erhaltene um Eins erhöhte Primfakultät (auch Primorial genannt) p₆#+1=13#+1=30031 aber eben keine Primzahl (also eben keine Primorial-Primzahl) ist. Ich habe sogar einen Link zu einem Artikel angegeben, in dem auf diesen beliebten Denkfehler aufmerksam gemacht wird. Liebe Grüsse, --DJGrandfather (Diskussion) 22:34, 19. Feb. 2020 (CET)