Diskussion:Primzahlsatz

Formatierung

Hinter der Formel steht bei mir: "wobei p ∈ P, P Menge der Primzahlen"

Das Zeichen zwischen "p" und "P" ist bei mir ein leeres Rechteck. Die sonstigen Sonderzeichen sehen gut aus. Kann das Rechteck durch einen Ausdruck in <math></math> ersetzt werden?

Habe gerade die Tschebyscheff ungleichen notdürftige "geflickt" (vorher stand da so etwas wie .9irgendwas <= 1 <= 1.irgendwas was trivialerweise wahr ist ...). Es fehlt noch der startwert für x.

Startwert fuer x noch immer falsch. Siehe tabelle erster eintrag als beweis.

Startwert fuer x (Tschebyscheff ungleichung)

stimmt nicht, da in der tabelle für N=10 schon schon die ungleichung falsch wird :(

Primzahlfunktion nach Hardy

Die Jahreszahl kann nicht stimmen, 1979 lebte Hardy nicht mehr.

Analytische Formel

Diese Formel hat mit dem Primzahlsatz nichts zu tun, deshalb ist sie hier fehl am Platz. Meinetwegen kann man sie unter Primzahl unterbringen. Übrigens muss die $-1$ vorne eine $+1$ sein.--Gunther 13:32, 16. Mai 2005 (CEST)

Korrektur: Ab $n\geq 4$ ist $-1$ korrekt.--Gunther 15:34, 16. Mai 2005 (CEST)

Die Funktion π(x) hat doch offensichtlich sehr wohl etwas mit dem Primzahlsatz zu tun, oder? Ich habe die Formel ursprünglich ihrer Erstaunlichkeit wegen eingefügt. Kaum jemand weiß, dass für π(x) tatsächlich eine geschlossene (wenn auch komplizierte) Darstellung möglich ist. Ich finde, dass gerade ein so selten gesehenes und kurioses Resultat Erwähnung finden sollte. Es einfach herauszulöschen, halte ich jedenfalls für nicht besonders wünschenswert. Übrigens würde es mich freuen, wenn sich auch Riemanns Formel im Artikel fände. --JensG 22:40, 17. Mai 2005 (CEST)

Hat die Formel irgendeine (auch nur theoretische) Verwendung? Ist sie beim Verständnis der Funktion $\pi (x)$ hilfreich? Man kann für ziemlich furchtbare Dinge explizite Formeln hinschreiben, z.B.

$\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\cos ^{2m}(n!\pi x)$

--Gunther 22:50, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich würde sagen, eigentlich gehört die Hardy-Formel in einen Artikel Primzahlfunktion. Solange es so einen Artikel aber nicht gibt, soll sie wohl oder übel hier stehen bleiben. --NeoUrfahraner 10:25, 18. Mai 2005 (CEST)

Vielleicht Primzahlverteilung? Dann könnte man auch noch Bertrand und Dirichlet irgendwo verlinken.--Gunther 10:32, 18. Mai 2005 (CEST)

Der Primzahlensatz ist eine Aussage über die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich einer Schranke. Die Formel gibt einen analytischen Ausdruck zur Berechnung an. Ein Zusammenhang ist daher nicht ganz abzustreiten.

Die Formel wäre allerdings unter der Rubrik Primzahltest besser aufgehoben. Denn die Summanden können als Primzahltest (1 für Primzahl, 0 für zusammengesetze Zahl) betrachtet werden.

Vor der Summe steht "+1", weil die 2 eine Primzahl ist. Meine Änderung diesbezüglich wurde jedoch wieder entfernt. Offenbar gibt es Leute, die es nicht glauben wollen. Ich werde diese Änderung jetzt aber nicht erneut rückgängig machen. Wer diesen Satz versteht, wird auch erkennen, dass es in Wahrheit "+1" heißen muss.

Benutzer:Fsswsb 6. April

Rechne die Summe halt mal für ein paar Zahlen konkret aus, dann fällt Dir vielleicht doch noch irgendwann auf, dass der Summand für $j=4$ den Wert 2 und nicht wie von Dir erwartet den Wert 0 hat. Wie gesagt: Wenn Dir der nötige Überblick fehlt, halte Dich lieber zurück und beteilige Dich stattdessen in den Gebieten, in denen Du Dich auskennst.--Gunther 17:50, 4. Apr 2006 (CEST)

Ok, da habe ich einen Fehler gemacht. Die Formel für den Primzahltest gilt erst für alle j>4, obwohl sie bereits für die 3 korrekt ist, ergibt sich für die zusammengesetzte Zahl 4 der "falsche" Wert 2. Dies könnte man reparieren, indem man den Funktionswert noch modulo 2 nimmt. In diesem Fall wäre die Formel bereits j>=3 korrekt. Am sinnvollsten erscheint es mir jedoch die Summe erst mit j=5 starten zu lassen, so dass die Summanden tatsächlich den korrekten "Testwert" ergeben. Auch die Schreibweise mit der Gaußklammer halte ich für ziemlich verwirrend.

Godfrey-Harold Hardy

Es ist (mir) nicht ersichtlich aus welchem Ergebnis von Godfrey-Harold Hardy, sich der analytische Ausdruck ableitet. Es ist dagegen nur nachvollziehbar, dass sich die Formel aus dem Satz von Wilson ableiten lässt. Ich habe den Hinweis auf Hardy daher entfernt.

Wenn, dann musst Du auch die ganze Aussage entfernen: Entweder die Aussage lässt sich belegen, oder sie hat hier nichts verloren. Hat sich aber inzwischen erübrigt.--Gunther 15:33, 5. Apr 2006 (CEST)

Ok, ich habe ja inzwischen festgestellt, dass sich die Formel über den Satz von Wilson belegen lässt. Allerdings scheint mir die Formel, genau wie auch der Satz von Wilson, ohne eine praktische Anwendung zu sein.

Das zitierte Werk stammt aus dem Jahr 1979, während Godfrey-Harold Hardy bereits 1947 gestorben sein soll. Zumindest findet man diese Angaben in dem Link auf Wikipedia. Was auf Seite 414 steht kann ich natürlich nicht nachprüfen. In jedem Fall ist der Ausdruck in seiner jetzigen Form unnötig kompliziert und daher kaum nachvollziehbar. Ich werde dies wieder ändern.

Es handelt sich um die 5. Auflage, wie in der Literaturangabe nachzulesen ist. Ich glaube nicht, dass Du besser als Hardy und Wright weißt, welche Form angemessen ist. "mod" ist kein üblicher Bestandteil analytischer Ausdrücke. Spar' Dir die Mühe.--Gunther 19:52, 5. Apr 2006 (CEST)

Die Aussage hinter der Formel ist in Worten:

Für jede zusammengesetze Zahl n größer als 4 ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis n-2 ein Vielfaches dieser Zahl. Für ungerade Primzahlen p ist das Produkt der Zahlen 1 bis p-2 vermindert um 1 ein Vielfaches von p.

Dabei ist die Aussage für zusammengesetze Zahlen auch unmittelbar ersichtlich, da n dividiert durch seinen kleinsten Primteiler den größten Teiler kleiner n ergibt. Der größte echte Teiler ist daher maximal n/2. Für n>4 ist dieser kleiner als n-2. Allein die Aussage für die ungeraden Primzahlen scheint daher bemerkenswert.

Das die Anzahl der Primzahlen größer als 3 damit als die Summe für j größer 4 geschrieben werden kann ist damit unmittelbar klar. Die Summe kann natürlich auch ab 3 geschrieben werden und dieser Fehler durch die Addition der -1 wieder korrigiert werden. Diese Notation ist jedoch völlig absurd und verwirrend.

P.S. Das Entfernen der Quellenangabe werte ich als Vandalismus.--Gunther 19:55, 5. Apr 2006 (CEST)

Also ehrlich gesagt finde ich die mod-Variante auch uebersichtlicher, und es ist so auch leichter zu sehen, dass die Formel direkt aus dem Satz von Wilson folgt.

Richtig ist natürlich auch, dass die mod-Schreibweise so nicht üblich ist (Informatiker haben allerdings kein Problem damit). Wie wäre es denn damit, $r((j-2)!,j)$ zu schreiben, wobei $r(a,b)$ als der Rest der ganzzahligen Teilung von $a$ durch $b$ definiert wird?

Ist irgendwo festgelegt, was eine analytischer Ausdruck genau ist?--MKI 20:34, 5. Apr 2006 (CEST)

Jede zusätzliche Erklärung erweckt nur den Eindruck, die Formel habe irgendeine theoretische oder praktische Bedeutung. Sie ist ein Kuriosum, mehr nicht. (Vgl. meinen Beitrag oben von 22:50, 17. Mai 2005.)--Gunther 20:41, 5. Apr 2006 (CEST)

Die Auffassung es handele sich nur um ein Kuriosum ohne weitere Bedeutung, ist durchaus vertretbar. Falls dies der Fall ist, sollte die Formel entfernt werden. Denn der Primzahlensatz ist zweifellos weit mehr eine Kuriosum. Falls tatsächlich kein Zusammenhang mit der Aussage, dass die "Dichte" der Primzahlen näherungsweise 1/ln(n) beträgt, hergestellt werden kann, hat dieses Kuriosum hier nichts verloren. Ich werde die Formel vollständig löschen.

Bedeutung als Primzahltest

Die Summanden in der Formel können quasi als Primzahltest betrachtet werden. Dazu betrachte ich einmal die Differenz

$\pi (n+1)-\pi (n)$

Diese Differenz ist offenbar 1, falls n+1 eine Primzahl ist und 0 sonst. Diese Differenz ist aber gerade der größte Summand für j=n+1. Schaut man sich die Konstruktion mit der Gaußklammer genauer an, erkennt man, dass sich der Rest der Division von (n-1)! durch n+1, also (n-1)! mod (n+1), ergibt.

Rechnet man dies für kleine n nach

n+1=3 ist eine Primzahl; 1! mod 3 = 1

n+1=4 ist keine Primzahl; 2! mod 4 = 2

n+1=5 ist eine Primzahl; 3! mod 5 = 1

n+1=6 ist keine Primzahl; 4! mod 6 = 0

n+1=13 ist keine Primzahl; 11! mod 13 = 1

Scheint die Formel für n > 4 korrekt zu sein.

Wir können in jedem Fall schreiben

$\pi (n)=2+\Sigma _{p=5}^{p=n}ptest(p)$

wobei ptest(p) als 1 für eine Primzahl p und sonst 0 definiert ist. Die Aussage kann auch in der Form

$\pi (n)=\Sigma _{p=2}^{p=n}ptest(p)$

geschrieben werden. Im ersten Ausdruck sind die Summanden für 2,3,4 also 1+1+0=2 separat geschrieben, da für ptest(p) erst für p>=5 ein analytischer Ausdruck angegeben werden kann.

Für p>4 gilt

$ptest(p)=(p-2)!\mod p$

Dies entspricht für eine Primzahl der Aussage:

$(p-2)!\equiv 1\mod p$

Multipilziert man diese Aussage mit (p-1) ergibt sich

$(p-1)(p-2)!\equiv (p-1)\mod p$

oder etwas anders geschrieben

$(p-1)!\equiv -1\mod p$

der Satz von Wilson für eine Primzahl p. Umgekehrt lässt sich die Aussage auch aus dem Satz von Wilson ableiten.

Franz Scheerer 4 April 2006

Hinweis: Die nachstehende Antwort bezieht sich auf eine frühere Version des obenstehenden Beitrages. Er wurde nachträglich verändert.--Gunther 17:05, 4. Apr 2006 (CEST)

Nein, wie schon oben bemerkt muss es ab $n\geq 4$ (wie längst im Artikel vermerkt) $-1$ heißen.

Ist $n$ prim, so gilt $(n-2)!\equiv -(n-1)!\equiv 1\mod n$ (Wilson). Ist $n$ nicht prim und $>4$, so sei $p$ der kleinste Primteiler von $n$. Falls $n=p^{2}$, so kommen $p$ und $2p$ unter den Faktoren in $(n-2)!$ vor, ansonsten kommen $p$ und $n/p$ vor.--Gunther 14:34, 4. Apr 2006 (CEST)

Die Aussage $n\mid (n-1)!$ für $n>4$ zusammengesetzt steht auch schon in Satz von Wilson.--Gunther 14:37, 4. Apr 2006 (CEST)

Tsch... Ungleichung

Die Aussage "für hinreichend grosse x" zerstöhrt den Nutzen der Ungleichung. Egal welches x man annimmt, wir wissen nicht ob es die gleichung erfüllt. Also bitte konkretes x angeben, oder Die Ungleichung löschen ...

Der praktische Nutzen ist gering, aber das ist auch bei der eigentlichen Aussage des Primzahlsatzes oder irgendwelchen Restgliedabschätzungen mit Landau-Symbolen so. Ich wollte mich aber ohnehin um eine effektive Abschätzung kümmern.--Gunther 11:20, 18. Mai 2005 (CEST)

#

Die Primzahlfunktion: „die Schreibweise $\#M$ steht für die Anzahl der Elemente der Menge M“ – für die Kardinalzahl? --87.163.84.198 03:09, 23. Aug. 2009 (CEST)

Geschichte: Mögliche deutsche Quelle, weitere Angaben

Ich hab mir mal in den 80-er Jahren eine Doppel-Seite (4-5) kopiert aus:

Karl Prachar. Primzahlverteilung. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1957.

Evtl. auch eine andere Auflage, das Exemplar stand im Lesesaal der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln (Nr. N720), aber da ich nicht mehr in Köln wohne, weiß ich nicht, ob es da noch steht oder inzwischen nur per Ausleihe angeschaut werden kann. Einen Ausweis für die Bibliothek konnte damals (heute auch noch?) jeder Einwohner von Köln kostenlos erhalten.

Das ist ne deutsche Quelle zur Geschichte des Primzahlsatzes (Einiges dürfte auf S.3 stehen, das hatte mich damals nicht weiter interessiert) und ist auch Quelle für ältere Abschätzungen des Fehlers von Li(x), beispielsweise von

${\Big |}\pi (x)-\mathrm {Li} (x){\Big |}<c_{1}\cdot x\cdot \exp \left(-c_{2}\cdot {\frac {(\ln(x))^{4/7}}{(\ln \ln(x))^{3/7}}}\right)$

das "von Tatuzawa aus dem Resultat von Hua abgeleitet wurde". Für mehr Details müsste man vermutlich in die Literaturliste schauen ...

Die Frage wär: macht es Sinn, englische Belege im Artikel durch Verweise auf dieses dieses deutschsprachige Buch zu ersetzen, und/oder solche "historischen" Abschätzungen im Abschnitt "Geschichte" hinzuzufügen?

Noch besser wären natürlich Verweise auf ein neueres deutsches Buch, das der interessierte Laie relativ schnell findet ...

--Helmut w.k. (Diskussion) 20:49, 25. Jun. 2018 (CEST)

Eigentlich nicht, ich habe eine Referenz für die im Artikel genannte "beste" Abschätzung ergänzt (Walfisz 1963, also noch nicht in Prachar). Stammt wie üblich wohl in engl. wiki aus Mathworld.--Claude J (Diskussion) 21:55, 25. Jun. 2018 (CEST)

Psi?

Im Abschnitt "Formeln zur Primzahlfunktion" wird das $\psi (x)$ in der Formel

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.$

nicht näher erläutert. Ist das eine andere Notation für $\pi (x)$ oder ist damit das $\psi (x)$ im Abschnitt Primzahlsatz für arithmetische Progressionen, Satz von Siegel-Walfisz gemeint? Oder ist $\psi (x;q,a)$ auch nur eine andere Schreibweise von $\pi _{q,a}(x)$?

Im zweiten Fall sollte das $\psi (x)$ besser beim ersten Auftauchen, also im Abschnitt "Formeln zur Primzahlfunktion", erläutert werden, wenn aber $\pi (x)$ gemeint ist, ist es besser, einheitlich $\pi (x)$ zu schreiben statt verschiedene Notationen nebeneinanderzustellen, die den interessierten Laien nur verwirren. Das Mindeste wär doch, einleitend zu erwähnen, dass je nach Autor Psi oder Pi benutzt wird ;)

--Helmut w.k. (Diskussion) 21:19, 25. Jun. 2018 (CEST)

Da hat jemand Material aus en:Prime-counting function eingebaut. Eigentlich gehört das nicht hierher.--Claude J (Diskussion) 22:40, 25. Jun. 2018 (CEST)