Diskussion:Produktmaß

Da scheint mir einiges nicht ganz richtig zu sein. Zunächst muß bei der Definition der Produkt-Sigma-Algebra sicherlich noch ein σ-Operator vor die letzte Klammer, die reine Menge der cartesischen Produkte dürfte erst einmal keine Sigma-Algebra sein, deswegen nimmt man die davon erzeugte. Ich kenne aber noch eine andere Definition der Produkt-Sigma-Algebra, nämlich als die kleinste, bezüglich welcher alle eindimensionalen Projektionen meßbar sind. Das ist bei abzählbar vielen Räumen, deren Produkt betrachtet wird, dasselbe, bei überabzählbar vielen dürfte die analog nach dem Artikel definierte aber größer werden, was ggf. unpraktisch ist. Also bitte Definition der Produkt-Sigma-Algebra überprüfen.

Außerdem scheint mir der Satz "Denn das Lebesgue-Maß λ2 auf der σ-Algebra \mathcal{L}^2 ist ja als eine Vervollständigung der Borel-σ-Algebra \mathcal{B}^2, der kleinsten σ-Algebra (die von den offenen Quadern erzeugt wird), eindeutig bestimmt." keinen Sinn zu ergeben. Die Lebesguesche Sigma-Algebra ist eine Vervollständigung der Borelschen, und jedes Maß auf der Borelschen kann eindeutig zu einem auf der Lebesgueschen fortgesetzt werden, aber das hat doch erst einmal nichts mit Produkträumen zu tun?--Pangloss Diskussion 00:55, 1. Sep 2006 (CEST)

Ich sehe im Artikel nur eine Definition für zwei Faktoren, nicht für (abzählbar oder nicht) unendlich viele. Der Satz mit den vielen Zweien soll wohl andeuten, dass man das Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{2}$ nach demselben Prinzip aus dem eindimensionalen Lebesgue-Maß konstruieren kann.--Gunther 01:08, 1. Sep 2006 (CEST)

Zum ersten: ja gut, genauer müßte das ohnehin ein Artikel zu Produkt-Sigma-Algebren machen, aber wie gesagt, es fehlt doch in jedem Fall der Sigma-Algebra#σ-Operator. Zum zweiten: Da steht aber etwas von Vervollständigung und Borel-Lebesgue. Eine sinnvolle Reihenfolge wäre doch die:

• Maß auf Borelscher σ-Algebra auf R -> eindeutiges Produktmaß auf Borelscher σ-Algebra auf R² -> eindeutiges Maß auf Vervollständigung dieser, d.i. Lebesguescher σ-Algebra auf R²
• oder erst Maß auf die Lebesguesche σ-Algebra im R erweitern und dann davon das Produktmaß nehmen, wobei nach jeder Vernunft dasselbe rauskommen müßte (scheint mir aber nicht ganz trivial zu sein)

Jedenfalls ist doch die eindeutige Maßerweiterung auf eine Vervollständigung, die für mich hier angedeutet wird, erst einmal etwas anderes als die Eindeutigkeit und Existenz eines Prodkutmaßes (auch wenn das wahrscheinlich mit ähnlichen Beweistechniken geht). Und es kann doch schon nicht richtig sein, wenn der Satz ein Maß eine Vervollständigung einer σ-Algebra nennt.--Pangloss Diskussion 01:23, 1. Sep 2006 (CEST)

Bei der Definition der σ-Algebra fehlt offenbar etwas, das ist richtig. Wieso man immer vollständige Maße will, habe ich ohnehin noch nie verstanden. (σ-Algebren sind sowieso nicht so meins, für meinen Geschmack würde der Spezialfall von Radonmaßen auf lokalkompakten Hausdorffräumen genügen, und dann muss ich mir nur Gedanken darüber machen, wie ich das offensichtliche positive Funktional auf $C_{c}(X_{1})\otimes C_{c}(X_{2})$ auf $C_{c}(X_{1}\times X_{2})$ ausdehne.)--Gunther 01:48, 1. Sep 2006 (CEST)

• Natürlich muss noch ein σ-Operator für die Dreiecke, ich habe das mal als Fließtext erledigt.
• Die Messbarkeit bzgl. aller Projektionen ist auch meines Wissens nach der allgemeinere Begriff. Ob das trotzdem zu den Rechtecken hier äquivalent ist (dann im Sinne von "... enthält alle endlichen Kreuzprodukte...", weiß ich grad nicht auswendig.
• Borel- und Lebesgue-σ-Algebra gehören m. E. nicht in diesen Artikel, zumindest nicht ehe er sehr ausführlich ist. --Scherben 10:07, 1. Sep 2006 (CEST)

Messbarkeit der Projektionen (gemeint ist wohl im Sinne von "Urbilder messbarer Mengen sind messbar") ist bei endlich vielen Faktoren dasselbe wie Quader, weil man jeden Quader als Schnitt $(X_{1}\times A_{2})\cap (A_{1}\times X_{2})$ schreiben kann. --Gunther 10:14, 1. Sep 2006 (CEST)

???

Hallo! Den Artikel hatte ich geschrieben. Ist er jetzt so in Ordnung? Also von einem $\sigma$-Operator hab' ich in der ganzen Vorlesung nie was gehört und in unserem Skript Maßtheorie kann ich den auch nicht finden. Laßen wir ihn doch draußen, bitte. Aquilam 20:20, 2. Sep 2006 (CEST)

Inzwischen ist der Artikel wohl korrekt, aber ich möchte Dich bitten, Dich in Zukunft in Bereichen zu bewegen, in denen Du Dich etwas sicherer fühlst.--Gunther 22:58, 2. Sep 2006 (CEST)

Hallo,hallo? "Denn das Lebesgue-Maß ..." hab ich selbst schöner formuliert. Und das wars! Außer den zwei zusätzlichen kleinen Sätzen (nach der Definition der Produkt-Algebra) und einem Extra-Beispiel, hat sich hier überhaupt nichts geändert. Überhaupt, Dein Ratschlag ist nicht fair. Entweder mutig sein, oder die Fresse halten? Wir haben das so in der Vorlesung und in den Übungen besprochen - ich fühle mich sicher. 84.56.163.90 22:00, 3. Sep 2006 (CEST)

Übrigens find' ich Rechtecke schlechter formuliert, als offene Quader!

Ferner ist meine ursprüngliche Definition der Produkt-sigma-algebra hier absichtlich ALLGEMEIN gehalten worden!Der Verantwortliche möge das rückgängig machen! schau doch mal hier (das beantwortet Dir auch Deine frühere Frage) In der Vorlesung war von den Rechtecken (besser: n-dimensionale Quader) bei der Borel-sigma-Algebra die Rede -- und da hast Du Recht -- aber das möge doch alles in den noch nicht existierenden Artikel Produkt-sigma-Algebra. Wenn sich hier jemand so wahnsinnig sicher fühlt. Auf geht's! Hier soll mal gesagt werde was das Produktmaß ist.

Zunächst: Ich gehe davon aus, dass Du mit allen bisher beteiligten 84.56.*-IPs und mit Aquilam identisch bist.

Die ursprüngliche Definition der Produkt-σ-Algebra (in dieser Version) ist schlicht falsch. Es ist nicht einfach die Menge der $A_{1}\times A_{2}$ (egal, ob man das jetzt Rechteck oder Quader nennt), sondern die kleinste σ-Algebra, die alle derartigen Produkte enthält.

Zur Benennung: Quader haben üblicherweise die Form $A_{1}\times A_{2}\times A_{3}$, bei lediglich zwei Faktoren ist die Bezeichnung Rechteck deshalb naheliegender. Allerdings ist natürlich nicht jede Menge der Form $A_{1}\times A_{2}$ mit $A_{1},A_{2}\subseteq \mathbb {R}$ ein Rechteck in $\mathbb {R} ^{2}$, von daher ist das ohnehin wenig rigoros.

Zur Frage der Kompetenz: Ich fühle mich selbst nicht ausreichend kompetent, wesentlich zum Artikel beizutragen. Beispielsweise sehe ich mich außerstande, die oben von Pangloss aufgeworfene Frage zu beantworten, wie das Produktmaß im Fall unendlich vieler Faktoren sinnvollerweise definiert werden muss. Ich kann auch nicht einschätzen, ob dieser Fall überhaupt wichtig ist usw. Dazu fehlt mir einfach der Überblick. Den bekommt man nicht in einer einführenden Vorlesung, dafür ist deutlich mehr nötig.--Gunther 00:24, 4. Sep 2006 (CEST)

Wieso muss es immer der Körper $\mathbb {R}$ sein? Und wieso kann z.B. die sigma-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$ nicht eine Familie von Teilmengen aus dem Raum $\mathbb {R} ^{17}$ sein. Ich sehe mit meiner ursprünglichen Definition keinen Unterschied mit der englischen Version. Unter Wikipedia hatte ich eine andere Utopie in Verbindung. Aber gut, wenn es nicht gewünscht ist, dass Studenten bei Wiki mitmachen... Kein Problem. Aquilam 84.56.164.5 10:12, 4. Sep 2006 (CEST)

$\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3}$ sind nun einmal die unserer Anschauung zugänglichen Objekte. Wenn Du mit derselben Sicherheit im $\mathbb {C} ^{2}$ oder $\mathbb {R} ^{4}$ agierst, dann muss ich Dich bitten, ein wenig Rücksicht auf uns Normalsterbliche zu nehmen, danke.

Im englischen Artikel steht generated by, bei Dir steht ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}\equiv \left\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}\right\}$. "Erzeugt von" ist richtig, Gleichheit ist falsch.

Studenten sind wie jeder andere willkommen, solange sie sich auf Themen beschränken, die sie tatsächlich überblicken.--Gunther 10:37, 4. Sep 2006 (CEST)

In Ordnung großer Meister! Der von Dir als dumme Student implizit bezeichnete und gewesene Neuling in Wiki verabschiedet sich --> Aquilam

Ich erlaube mir, auch in die Diskussion einzugreifen.

• inhaltlich:

Ich bin kein Maßtheoretiker, aber das Produktmaß wird auf beliebigen Produkten von Maßräumen als Initialobjekt der Projektionen auf die Faktorräume eingeführt, analog zur Produkttopologie. (Ich weiß das deshalb so genau, weil ich auf diese Prüfungsfrage beim Staatsexamen nicht vorbereitet war und einfach "Topologisches Produkt" in Maßtheorie übersetzt habe. Meine Prüfer und ein anschließender Literaturcheck ergaben, dass es genau so ist.) Schreibe hier an dem Artikel trotzdem nichts, weil mir (in dem Sinn, wie Gunther es wohl meint) der Überblick über die Bedeutung und das Gewicht der Begriffe fehlt um die es hier geht.

• Zur persönlichen Seite (Wer sollte Was schreiben):

Was Gunther vor der Eskalation schrieb:

>>Inzwischen ist der Artikel wohl korrekt, aber ich möchte Dich bitten, Dich in Zukunft in Bereichen zu bewegen, in denen Du Dich etwas sicherer fühlst.

ist freundlich (obwohl man „etwas“ als ironisch verstehen kann), aber so wohl etwas zu pauschal. Was er später klarstellend schreibt, erscheint mir treffend. Meine persönliche Auffassung möchte ich so zusammenfassen:

1. Ich schreibe über etwas, von dem ich glaube, dass es eine gewisse Bedeutung (Wichtigkeit) hat. Daraus folgt, dass ich diese Bedeutung (also die mir bekannte) einschätzen kann. Das liefert schon mal den einen oder anderen Einleitungssatz und damit einen guten stub. Da wir keine Lehrbücher schreiben, sondern eine Enzyklopädie, sind diese Einleitungssätze (mit ein paar brauchbaren wiki-links) wohl das Wichtigste am ganzen Artikel.
2. Meine Einschätzung der Bedeutung ist (hoffentlich) korrekt, aber fast sicher nicht erschöpfend. Schlimmstenfalls steht dann in dem Artikel ein winziger Teilaspekt a la „die Graphentheorie erlaubt es, die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen zeichnerisch darzustellen“. Das wäre auf die Dauer peinlich, aber ist in einem Projekt wie Wikipedia kaum zu vermeiden.
3. Die Stärke der Zusammenarbeit sehe ich gerade darin, dass viele Leute viele Teilaspekte zusammentragen. Den, der den Überblick hat, dürfte es wohl meistens nicht geben oder (schlimmer noch) er schreibt nicht für die Wikipedia.
4. Gerade in der Mathematik finde ich es wichtig, dass für die Bewertung von Bedeutungen ein anderer Richtigkeitsbegriff gilt als für die mathematischen Fakten (Definitionen, Sätze). Bei ersterem ist das Kollektiv stärker, bei letzterem eine Fachfrau oder wenige Fachleute.

Ich sehe an der Versionsgeschichte, dass sich Gunther und P. Birken viel Mühe mit dem Artikel gegeben haben. Ich hoffe, dass ich niemandem mit meiner Schulmeisterei zu nahe trete. --KleinKlio 16:31, 3. Okt 2006 (CEST)

Mit Schulmeisterei hat das nichts zu tun, keine Sorge. Das Problem hier war nur, dass der Benutzer seinen Fehler nicht eingesehen bzw. ihn nicht verstanden hat: Die Menge aller Rechtecke ist im allgemeinen keine Sigma-Algebra. Das haben wir korrigert, damit wäre die Sache auch erledigt gewesen... Und dann kam das. --Scherben 16:45, 3. Okt 2006 (CEST)

Unglückliche Formulierung

Unter "Existenz und Eindeutigkeit" liest man

[...]dann ist es nun möglich auch ein Maß μ auf dieser Produktalgebra zu definieren (etwa mit dem Fortsetzungssatz von Caratheodory), welches $\mu (A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2})$ erfüllt[...]

Ich halte das für unglücklich formuliert, da der Fortsetzungssatz von Caratheodory nur dabei hilft, den (mehr oder weniger willkürlich) durch $\mu (A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2})$ vorgegebenen Inhalt auf dem durch die Rechtecke erzeugten Mengenring zu einem Maß auf ganz ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ fortzusetzen.

So wie es zur Zeit dasteht, könnte bei jemandem, der den Fortsetzunssatz nicht kennt (oder wie ich, vergessen hat) der Eindruck erweckt werden, daß der Fortsetzungssatz bereits $\mu (A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2})$ liefert... --Björn

fast überall Lebesgue-meßbar?

Schön, daß das die letzte Anmerkung so schnell "erhört" wurde!

Darum gleich noch eine (Abschnitt Bemerkungen):

auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ für jede (fast überall) Lebsgue-messbare Teilmenge

Auch auf die Gefahr hin, das das als Spitzfindigkeit ausgelegt wird... ist das ein Copy&Paste-Bug oder kann man selbst Meßbarkeit f.ü. definieren? (ich bin noch nicht so sehr mit den Gepflogenheiten hier vertraut, und nach der Diskussion da oben frage ich lieber erstmal, bevor ich da Pfusch mache...) --Björn

Da der Begriff "fast überall" ohne zu Grunde liegendes Maß überhaupt keinen Sinn macht: Hau rein. :) --Scherben 11:11, 2. Aug. 2007 (CEST)