Diskussion:Projektion (Mengenlehre)

Projektion bei Äquivalenzklassen

Die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet, wird ja auch oft „kanonische Projektion“ genannt, siehe z. B. [1]. Ich frage mich gerade, wie man das begriffsklärungsmäßig am besten regeln könnte. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:08, 2. Dez. 2014 (CET)

So? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:10, 2. Dez. 2014 (CET)

Zum Beispiel :-) Sollte Kanonische Projektion auch irgendwo hinführen? -- HilberTraum (d, m) 21:21, 2. Dez. 2014 (CET)

Man könnte hier eine BKS einrichten. Hab ich noch nicht gemacht, weil mir noch nicht klar ist, ob es neben diesen beiden nicht noch weitere kanonische Projektionen gibt. Außerdem sollte der Begriff noch in Quotientenabbildung erwähnt werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:27, 2. Dez. 2014 (CET)

Letzteres habe ich vorhin schon gemacht. -- HilberTraum (d, m) 21:34, 2. Dez. 2014 (CET)

Ersteres ich eben auch. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:40, 2. Dez. 2014 (CET)

Hier gibt es noch eine kanonische Projektion für projektive Räume und hier noch eine für Banachräume. Wohin damit? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:57, 2. Dez. 2014 (CET)

Puh, was du alles findest … das erste scheint mir spontan nur ein Spezialfall einer Abbildung auf Äquivalenzklassen zu sein (x und -x werden in einer Äquivalenzklasse miteinander identifiziert). Das zweite passt doch irgendwie zu Projektion (lineare Algebra) (Projektion auf einen Untervektorraum), oder? -- HilberTraum (d, m) 22:09, 2. Dez. 2014 (CET)

Stimmt, die erste Projektion kann man wohl als Quotientenabbildung ansehen. Projektionen auf Untervektorräume gibt es aber viele, die Frage ist, welche dabei nun die kanonische ist (die Definition (3.11) wird leider in der Vorschau nicht angezeigt). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:23, 2. Dez. 2014 (CET)

Ok, man nimmt an, dass man eine Basis für den Untervektorraum hat und diese eine Teilmenge der Basis für den Ausgangsraum ist. Dann ergibt sich die kanonische Projektion eines Vektors auf den Untervektorraum einfach durch Streichen aller Terme in der Basisdarstellung (bzw. Komponenten in der Koordinatendarstellung) des Vektors, die nicht zu dem Untervektorraum gehören. Damit ist tatsächlich dieser Artikel das richtige Linkziel. Projektion (lineare Algebra) wäre richtig, wenn die Koordinaten lediglich zu Null gesetzt würden, vom Prinzip her genau wie im letzten Satz im Abschnitt Geordnete Paare. Hoffen wir mal, dass niemand auf die Idee kommt, diese Projektion auch als kanonisch zu bezeichnen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:26, 3. Dez. 2014 (CET)

Also, das mit dem Terme Streichen und dem Koordinaten Nullsetzen hab ich noch nicht ganz verstanden. Macht das denn einen Unterschied? Ich hatte Projektion (lineare Algebra) eigentlich nur vorgeschlagen, weil es um lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen geht. -- HilberTraum (d, m) 09:18, 3. Dez. 2014 (CET)

Es macht einen formalen Unterschied. Nehmen wir der Einfachheit halber den Koordinatenraum $K^{n}$:

• Eine Projektion (lineare Algebra) ist eine Abbildung $K^{n}\to K^{n}$, zum Beispiel $(x,y)\mapsto (x,0)$.
• Eine Projektion (Mengenlehre) ist eine Abbildung $K^{n}\to K^{m}$ mit $m\leq n$, zum Beispiel $(x,y)\mapsto x$.

In dem Buch von Appell/Väth ist mit kanonische Projektion die zweite Variante gemeint, das sieht man an der Definition. Natürlich gibt es eine (ebenfalls kanonische) Einbettung $K^{m}\hookrightarrow K^{n}$, insofern spielt die Unterscheidung in der Praxis keine große Rolle. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:45, 3. Dez. 2014 (CET)

Aber bei Appell/Väth geht’s doch um Räume wie $\ell ^{p}$. Und da macht es doch keinen Unterschied, ob man $a=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n},0,0,\dotsc )$ oder $a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$ schreibt (exakte Gleichheit ohne Einbettung). Natürlich kann man ein Element eines Vektorraums auch als Element eines Untervektorraums auffassen und umgekehrt. Aber das ist doch noch viel, viel „kanonischer“. -- HilberTraum (d, m) 10:06, 3. Dez. 2014 (CET)

Na gut, wenn man eine gemeinsame Basis für den Vektorraum und seinen Untervektorraum hat, dann kann man die Projektion auf den Untervektorraum durch Nullsetzen auch als kanonisch bezeichnen. Wollen wir die Variante mit in Kanonische Projektion aufnehmen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:32, 3. Dez. 2014 (CET)

Ich weiß nicht recht, wie verbreitet die Bezeichnung ist. Ich z. B. kannte das so nicht.

Übrigens: Checkst du bitte nochmal die mittlere Darstellung der Produkt-σ-Algebra? Ich hab irgendwie im Kopf, dass das nicht für beliebige Indexmengen so klappt (sonst müsste man bei stochastischen Prozessen auch nicht so kompliziert mit Zylindermengen und so herumtun). Bin aber gerade zu faul, das genau zusammenzusuchen :) -- HilberTraum (d, m) 13:40, 3. Dez. 2014 (CET)

Ok. Ich habe die mittlere Formel erstmal rausgenommen. Zu den Zylindermengen wollte ich evtl. noch was schreiben, muss das aber auch selbst erst genauer raussuchen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:48, 3. Dez. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 09:31, 26. Dez. 2014 (CET)

Urbild

Die Zylinderformel

$\pi _{J}^{-1}(W)=W\times X_{I\setminus J}$

finde ich notationstechnisch (auch wenn sie in der angegebenen Quelle so steht) etwas ungünstig, denn sie suggeriert eine Art Kommutativität und Assoziativität des kartesischen Produkts, die im Fall endlicher Indexmengen so nicht gegeben ist. Hat jemand eine Idee, wie man die Formel besser angibt? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:19, 29. Jun. 2015 (CEST)

Hm, man könnte $\{(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}\mid (x_{j})_{j\in J}\in W\}$ schreiben, aber das ist ja eigentlich nur das Urbild ausgeschrieben. So richtig erkennt man daran nicht, warum die Mengen Zylindermengen heißen. -- HilberTraum (d, m) 12:29, 29. Jun. 2015 (CEST)

Ja, das wäre zumindest sauberer. Letztlich muss das obige Produkt ohnehin erst einmal definiert werden. Für $I,J$ disjunkt kann man (kanonisch)

$X_{I}\times X_{J}=X_{I\cup J}$

setzen. Für $V\subseteq X_{I},W\subseteq X_{J}$ kommt man aber um eine entsprechend umständliche Definition

$V\times W=\{(x_{k})_{k\in I\cup J}\in X_{I\cup J}\mid (x_{i})_{i\in I}\in V,(x_{j})_{j\in J}\in W\}$   ($=W\times V$)

wohl gar nicht rum. Wahrscheinlich muss man sich einfach damit abfinden, dass das allgemeine kartesische Produkt kommutativer und assoziativer als das endliche ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:34, 29. Jun. 2015 (CEST)