Diskussion:Pythagoreischer Körper

In Bröcker L., Über eine Klasse pythagoreischer Körper, Archiv der Mathematik, Volume 23, Number 1, Dezember 1972, S. 405-407 wird von dem Körper verlangt, dass er auch noch formalreell ist um pythagoreisch zu sein. Wer kennst sich da besser aus? --Alexandar.R. 18:26, 10. Apr. 2007 (CEST)

P.S. In Naas und Schmidt's Mathemitsches Wörterbuch wird verlangt, dass der Körper angeordnet ist, daher auch formalreell also. --Alexandar.R. 19:07, 10. Apr. 2007 (CEST)

Überarbeitung im Sinne der synthetischen Geometrie

Ich habe den Artikel in den letzten zwei Tagen stark in Richtung Synthetische Geometrie ausgebaut und entsprechend kategorisiert. Dabei habe ich noch 2 1/2 Probleme:

1. Schreibung: In der Literatur, die ich verwendet habe, heißt das Adjektiv IMMMER "pythagoräisch (mit "ä"), nie pythagoreisch, ob für Ebenen oder für Körper (Duden kennt die e-Version nur als österreichische Form) - jetzt ist das durch einen Redirect von der (meiner Ansicht nach korrekten) ä- auf die (meiner Ansicht nach falschen) e-Schreibung gelöst.
2. reell-pythagoräisch versus pythagoräisch: In der synthetischen Geometrie können die pythagoräischen Körper (in der Literatur, die ich dazu aufgesucht habe) immer angeordnet werden, das heißt, dass -1 dort nie ein Quadrat ist (pythagoräisch="mein" reell-pythagoräisch). In der englischen WP, Wolfram und Mathworld wird immer der allgemeinere Begriff definiert. Ich möchte nun hier keinen neuen Begriff erfinden. Kann man die Fallunterscheidung so (mit einem artikel-lokal definierten Begriff) durchziehen?
3. (2 1/2)- hängen mit dem vorigen Problem zusammen:

• Für die Unterscheidung zwischen (reell-)pythagoräischem und euklidischer Körper wäre ich einem ausgefuchsten Algebraiker für ein griffiges "Gegenbeispiel" dankbar, also für einen Körper der Char 0, der mehr als zwei Quadratklassen hat, bei dem -1 kein Quadrat ist und die Summe von zwei Quadraten immer wieder ein Quadrat ist. (Auch gern hier in der disku, ich arbeite es gern ein, wenn ich es verstehe).
• Ein Algebraiker, der sich mit Körpererweiterungen auskennt: Ergibt der Begriff "strikt-pythagoräisch", wie ich ihn (samt der Quelle Bröcker) in dem Artikel vorgefunden habe, im Kontext des geometrisch gestalteten Artikels noch einen Sinn? Und speziell: Ist in der Formulierung "Ein Körper K heißt strikt-pythagoreisch, wenn alle seine formalreellen quadratischen Erweiterungen pythagoreisch sind" gemeint gewesen, dass die Körpererweiterung eine pythagoräische ist oder dass der dabei entstehende Körper pythagoräisch ist?

--KleinKlio 22:26, 27. Sep. 2010 (CEST)

2. ist gelöst: Die in der synthetischen Geometrie als pythagoräisch bezeichneten Körper sind die formal reellen pythagoräischen Körper der algebraischen Literatur. --KleinKlio 03:10, 30. Sep. 2010 (CEST)

3. ist (im Prinzip) gelöst, die Gegenbeispiele kann man bei Bröcker erwähnt finden, wenn ichs verstehe arbeite ich es ein. - Die Definition von strikt-pythagoräisch habe ich an den Artikelstand angepasst: Bröcker versteht unter dem Begriff "pythagoräisch" das, was in diesem Artikel als "formal reell + pythagoräisch" definiert wird. In dieser Bedeutung ergab die Formulierung der Definition einen Sinn.--KleinKlio 17:32, 6. Okt. 2010 (CEST)

Zu 1.: Du schreibst: "Duden kennt die e-Version nur als österreichische Form". Wenn ich meinen Duden richtig verstehe, dann sagt er genau das Gegenteil: pythagoreisch, österr. pythagoräisch. Die allgemeine Form ist also "pythagoreisch", die österreichische ist "pythagoräisch". Als Grund für die ungewöhnliche Schreibung vermute ich, dass vielleicht schon im Griechischen und/oder lateinischen Ableitungen von "Pythagoras" mit Epsilon, Eta oder E geschrieben wurden. Vielleicht gibt es ja einen Altphilologen, der dazu etwas weiß. -- Digamma 19:56, 7. Okt. 2010 (CEST)

Danke, ja! Genau so rum muss ist es im Duden, "pythagroreisch" ist normal, "pythagoräisch" die österreichische Sonderform. In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur, die ich mir angeschaut habe, gibt es auch beide Schreibungen Gottlob wenigstens anscheinend keinen, der beide Schreibungen in unterschiedlichem Sinn verwendet. Ich werde also jetzt in den Fällen, wo ich für beide Schreibungen einen Beleg habe, einheitlich "e" schreiben. Sieht sonst einfach komisch aus.--KleinKlio 19:32, 10. Okt. 2010 (CEST)

formal reell

Die Aussage dass -1 keine Quadratsumme ist, stimmt mit der hier gegebenen Definition nicht. In den komplexen Zahlen ist jede Zahl ein Quadrat, also handelt es sich um einen pythagoreischen Körper im Sinne der hier gegebenen Definition. Das Argument "Quadratsummen dürfen nicht verschwinden" ist eben in einem allgemeinen Körper nicht war. Der Zusatz "formal reell" ändert also die Definition durchaus! (nicht signierter Beitrag von 138.232.105.88 (Diskussion) 09:30, 21. Dez. 2021 (CET))