Diskussion:Rademacherverteilung

Definition, Wert für "sonst"

Ist es sinnvoll (oder üblich), bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nur auf −1 und 1 definiert ist, den Wert 0 für „sonst“ige Werte anzugeben? Das ist für mich auf den ersten Blick verwirrend (da noch nicht einmal klar ist, ob „sonst“ auf kontinuierlich Werte bezogen ist – der Variablenname x statt z. B. k legt das ein wenig nahe). Ich hätte entweder von einer diskreten Verteilung (ohne Definitionsmenge) gesprochen und dann die Werte für k = −1 und 1 und sonstige ganze Zahlen angegeben, oder (mit vorheriger Angabe der Definitionsmenge) einfach die dritte Zeile weggelassen. -- Dtrx (Diskussion) 13:46, 29. Sep. 2015 (CEST)

Spontan und ohne Blick in meine Büchersammlung würde ich sagen, dass man so den Vorteil hat, einfach die Definition der Verteilungsfunktion (als Funktion auf $\mathbb {R}$ ) als $F(x)=P(X\leq x)$ nutzen zu können. LG --NikelsenH (Diskussion) 13:54, 29. Sep. 2015 (CEST)

Okay ich habe nochmal genauer darüber nachgedacht. Es ist durchaus sinnvoll, auch diskrete Verteilungen (auf endlichen Mengen) als Verteilungen auf $\mathbb {N}$ oder auf $\mathbb {R}$ aufzufassen. Auf $\mathbb {N}$ macht es deshalb Sinn, weil man dann gefahrlos die Zufallsvariablen addieren kann ohne Probleme zu bekommen (ein bisschen wie wenn man den Definitionsbereich einer Funktion erweitert und auf der Erweiterung auf 0 setzt). Auf $\mathbb {R}$ macht vor allem wegen der Verteilungsfunktion (vgl. oben) und im Zusammenhang damit auch aus Konvergenzgründen wie bei der Konvergenz in Verteilung, die sich über die Verteilungsfunktion definieren lässt. Ich hoffe diese Ausführung hilft. LG --NikelsenH (Diskussion) 14:14, 29. Sep. 2015 (CEST)

Die diskrete Verteilung als eine solche auf $\mathbb {Z}$ aufzufassen, leuchtet mir ein. Unschön erscheint mir nur die Darstellung:

Die Rademacher-Verteilung ist definiert auf $\{-1,1\}$ und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f(x)={\begin{cases}0{,}5&{\text{ falls }}x=-1\\0{,}5&{\text{ falls }}x=1\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$

da hier zuerst steht, daß die Verteilung nur auf $\{-1,1\}$ definiert ist, und dann die Definition auch für andere Zahlen erfolgt – rechtfertigen läßt sich das vielleicht, wenn man systematisch zwischen der Verteilung und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion unterscheidet. $f(x)$ als Funktion auf $\mathbb {R}$ aufzufassen, macht mir Kopfzerbrechen wegen der Normierung (Summe oder Integral?). -- Dtrx (Diskussion) 09:39, 30. Sep. 2015 (CEST)

Stimmt, das ist technisch nicht ganz sauber. Zwar kann man sich aus einem Dirac-Maß ein Integral basteln, so dass dieses Integral über die Wahrscheinlichkeitsfunktion 1 ergibt oder die Summation als eben dieses Integral auffassen, aber das ist intuitiv nicht wirklich einsichtig. Ich nehme mal das "0 sonst" bei der Wahrscheinichkeitsfunktion raus, dann ist diese als Funktion auf -1,1 aufzufassen. LG --NikelsenH (Diskussion) 09:51, 30. Sep. 2015 (CEST)

Aufwand

Die Rademachervereilung ist nichts mehr als die diskrete Gleichverteilung auf -1 und 1. Ziemlich viel Aufwand für so wenig. Madyno (Diskussion) 09:23, 5. Aug. 2022 (CEST)